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专题 13.14 等腰三角形七种常见辅助线作法（方法梳理与题型分类
讲解）
第一部分【模型归纳与题型目录】
题型目录
【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明.................................1
【题型2】遇到中点作中线求值或证明.........................................6
【题型3】过一腰上的某一已知点作另一腰的平行线.............................10
【题型4】过一腰上的某一已知点作底边的平行线...............................14
【题型5】倍长中线构造等腰三角形...........................................20
【题型6】截长补短构造等腰三角形...........................................24
【题型7】延长相交构造或证明等腰三角形.....................................28
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明
【例1】（2024·浙江·模拟预测）如图， 是等腰三角形， ．设 ．
(1)如图1，点D在线段 上，若 ，求 的度数（用含 的代数式表示）．
(2)如图2，已知 ．若 ，过点B作 于点H，求证： ．
【答案】(1) (2)见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，
（1）根据等腰三角形的性质可得 ，设 ， ，解出方程组，即可求解；（2）延长 ，交 于点F，过点A作 于点E．根据 ，可得
．再由等腰三角形的性质可得 ，从而得到
， ，进而得到 ，然后根据角平分线的性质定理，可得
，即可求证．
解：（1）∵ ，
∴ ．
设 ， ，则
解得： ，
即 ；
（2）如图，延长 ，交 于点F，过点A作 于点E．
∵ ， ．
∴ ．
又∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ， ，∴ ，
∴ ．
【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在 中， ， 平分 交 于
点 ， 是 上一点，且 ．求证： ．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，正确作出辅
助线，构建全等三角形是解题的关键．
作 于点 ，根据等腰三角形的性质得出 ，再证明 即可得出结论．
证明：如图，作 于点 ．
，
．
，
．
平分 ，
．
在 和 中，
，
，，
．
【变式2】（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）在 中， ，过点C作射线 ，使
（点 与点B在直线 的异侧）点D是射线 上一动点（不与点C重合），点E在线
段 上，且 ．
(1)如图1，当点E与点C重合时， 与 的位置关系是 ，若 ，则 的长为 ；（用含a的式
子表示）
(2)如图 2，当点 E 与点 C 不重合时，连接 ，
①若 ，求 的度数；
②用等式表示 与 直间的数量关系，并证明．
【答案】(1)互相垂直； (2)① ；②
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得 与 的位置关系是互相垂直，过点A作 于点
M，根据等腰三角形性质得到 ，利用 证明 ，根据全等三角形
性质即可得出 ；
（2）当点E与点C不重合时，①求解 ，可得 ，由 ，可得
，可得 ；②过点A作 于点M、 于点N，利用 证明
，根据全等三角形性质即可得到 ；
解：（1）当点E与点C重合时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 与 的位置关系是互相垂直，
若 ，过点A作 于点M，如图：
则 ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
即 的长为 ，
（2）解：①∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②当点E与点C不重合时，用等式表示 与 之间的数量关系是： ，证明如下：
过点A作 于点M、 于点N，如图：则 ，
∴ ，
∵ ，
即 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【点拨】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定
理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解
题的关键．
【题型2】遇到中点作中线求值或证明
【例3】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在 中， ， 且 的顶
点E在边 上移动，在移动过程中，边 ， 分别与 ， 交于点M，N，
(1)当 且M与A重合时，求证：
(2)当E为 中点时，连接 ，求证：【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，
（1）根据等腰直角三角形的性质可得 ，利用三角形外角的性质与等量代换可得
，在根据全等三角形的判定即可证明；
（2）连接 ，在 上截取 ，根据等腰直角三角形的性质可得 ，
，证得 ，可得 ， ，利用等量
代换可得 ，证得 ，可得 ，即可得证．
解：（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）证明：连接 ，在 上截取 ，
∵ ， ，E为 中点，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【变式1】（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图， 中， ， 是 的中点， 、 分
别是 、 上的点，且 ，求证： ．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，属于基础题目，熟练掌握上述知识
是解题的关键．
连接 ，根据等腰三角形的性质可得 ，然后即可证明 ，进而可得结论．
证明：连接 ，
， 是 的中点，
∴ ，
在 和 中，，
，
．
【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在 中， ，过 的中点D作
， ，垂足分别为点E，F．
(1)求证： ； (2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析；(2) 。
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．
（1）通过证明 ，即可求证 ；
（2）连接 ，易得 ，则AD平分 ， ，根据 ．
推出 ，即可解答．
（1）证明：∵ ， ，
∴ ．
∵D是 的中点，
∴ ．
在 和 中，∴ ．
∴ ．
（2）解：连接 ．
∵ ，
∴ ，
∵D是 的中点，
∴AD平分 ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【题型3】过一腰上的某一已知点作另一腰的平行线
【例3】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图， 是等边三角形， 是 的中点，点 在
上，点 在直线 上，
(1)当点 与 重合时，判断 的形状，并说明理由?
(2)当点 在 的延长线上时，求证： ．
【答案】(1)等边三角形，证明见详解 (2)证明过程见详解【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关
键．
（1）根据 ，得 ，从而证明 ，即可证明 是等
边三角形；
（2）过点 作 交 于点 ，证明 ，即可求解；
解：（1）根据题意作图如下：
，
为等边三角形
，
，
为等边三角形．
（2）证明：过点 作 交 于点 ，
是等边三角形，
， ，
，
，
， ，
又 ，
为等边三角形
， ，，
，
即 ，
点 是 的中点，
，
，
在 和 中，
，
．
【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在等边 中，点D、E分别在 和 边上，
以 为边作等边 ，连接 ．若 ， ．则 的长是 ．
【答案】2
【分析】本题考查的是的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是
解本题的关键．
过D点作 于M，证明 为等边三角形，再证明 ，结合全等三角形的
性质可得答案．
解：∵等边 ，
∴ ， ，
过D点作 于M，
∴ ， ，∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ．
∴ ．
∴ ．
故答案为：2．
【变式2】（22-23八年级下·广西南宁·开学考试）如图，等边三角形 中，D为 上一点，E为
延长线上一点， 交 于点F，且 ．若 ，则 的长为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三
角形外角的性质，作 ，交 于M，得 为等边三角形，再证 得到
；根据 ， ，可得 ，由此得出
，最后根据 即可求得 的长．解：如图，作 ，交 于M，
∴ ， ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ .
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为：4．
【题型4】过一腰上的某一已知点作底边的平行线
【例4】（23-24八年级上·湖南怀化·期末）如图，在等边 中，点M为 上任意一点，延长 至
点N，使 ，连接 交 于点P．
(1)求证： ；(2)作 于点H，设 ，请用含 的式子表示 的长度．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定及性质，
（1）在等边 中过点 作 与 交于 ，先根据平行线的性质得出 ，
，再根据等边三角形的性质得出 ，然后利用 证明 ，
最后根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据等腰三角形的三线合一得出 是 的中点，再利用全等三角形的性质得出 ，然后利
用线段的和与差即可得出答案．
解：（1）证明：如图，在等边 中过点 作 与 交于 ，
∴ ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 与 中，，
，
；
（2）∵ 于点 ，且 是等边三角形，
∴ 是 的中点，
又∵由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【变式1】（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．如
图，已知E是 的中点，点A在 上，且 ．求证： ．
(1)现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长 到点F，使 ，连接 ；
②如图2，过点B作 ，交 的延长线于点F，过点C作 ，垂足为G．
(2) 请你在图3中添加不同于（1）中的辅助线，并对原题进行证明．
【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）①证明 ，则 ，由 得到 ，则，即可证明结论；②证明 ，则 ，再证明 ，即
可得到结论；
（2）过点C作 ，交 的延长线于点M，则 ，证明 ，则
，由 ， 得到 ，则 ，即可证明结论．
解：（1）证明：①如图1，延长 到点F，使 ，连接
∵E是 的中点，
∴
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ,
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②如图2，过点B作 ，交 的延长线于点F，过点C作 ，垂足为G．
∵E是 的中点，
∴
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
（2）如图，过点C作 ，交 的延长线于点M，则 ，
∵E是 的中点，
∴
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
【变式2】（21-22八年级上·湖北武汉·期中）如图，在等边三角形 中，点D在 上，延长 至
点E，使 于点F．
(1)如图①，若点D是 的中点，求证： ；
(2)如图②，若点D是 上任意一点， 是否仍然成立？请证明你的结论；
(3)如图③，若点D是 延长线上的任意一点，其他条件不变，（2）中的结论是否仍然成立？画图并写出你的结论，不必证明．
【答案】(1)见解析 (2)仍然成立，证明见解析 (3)（2）中的结论仍然成立，图见解析
【分析】此题考查了等边三角形的性质，三线合一，全等三角形的判定和性质，
（1）根据等边三角形得到 ， ，三线合一推出 ，证得 ，
，而证得 ，利用三线合一证得 ；
（2）过点D作 ，交 于点M，得到 是等边三角形，由此证明 ，
得到 ，根据三线合一证得 ；
（3）过点E作 ，交 的延长线于点N，得到等边三角形，证明 ，得到
，根据三线合一证得 ．
解：（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵点D是 的中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ；
（2） 仍然成立，
证明：过点D作 ，交 于点M，∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）（2）中的结论仍然成立，
证明：如图，过点E作 ，交 的延长线于点N，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【题型5】倍长中线构造等腰三角形
【例5】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在 中，D是 的中点，E是 上一点，
， 的延长线交 于点F，若 ， ，则求 的度数为 ．
【答案】 /32度
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形
是解题的关键．延长 到G使 ，连接 ，通过 ，根据全等三角形的性质得到
， ，等量代换得到 ，由等腰三角形的性质得到 ，即可得到
，进而利用三角形内角和解答即可．
解：如图，延长 到G使 ，连接 ，
在 与 中，∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：
【变式1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图在四边形 中， 是 的中点，连接
， 平分 ， ， ，则线段 的长为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是
解题关键．延长 、 交于点 ，证明 ，得到 ， ，结合角平
分线的定义，得到 ，进而得到 ，求出 的长即可求解．
解：如图，延长 、 交于点 ，
是 的中点，
，
在 和 中，，
，
， ，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）小明同学在学习完全等三角形后，发现可以通过添加辅
助线构造全等三角形来解决问题．(1)如图（1）， 是 的中线，且 ，延长 至点 ，使 ，连接 ，可证得
，其中判定两个三角形全等的依据为________．
(2)如图（2），在 中，点 在 上，且 ，过 作 ，且 ．求证： 平分
．
【答案】(1) ；(2)见解析.
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握倍长中线法构造全等三角
形，是解题的关键．
（1）根据全等三角形的判定方法，进行作答即可；
（2）延长 至 ，使得 ，连接 ，先证明 ，得到 ，
，平行线的性质，得到 ，等量代换结合等边对等角，得到 ，再利用
等量代换，得到 ，即可．
解：（1）∵ 是 的中线，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）证明：如图，延长 至 ，使得 ，连接 ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分
【题型6】截长补短构造等腰三角形
【例6】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在 中， ， ，三角形内
有一点 ，连接 ， ， ，若 平分 ， ，则 ．
【答案】 / 度
【分析】如图所示，延长 到H使得 ，连接 ，先求出 ，
再由等边对等角和三角形内角和定理得到 ，则 ，可推出 ，证明
，得到 ，再求出 ，
，进而证明 是等边三角形，推出 ，则
．
解：如图所示，延长 到H使得 ，连接 ，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内
角和定理，三角形外角的性质等等，通过作出辅助线证明 是解题的关键．
【变式1】（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在 中， ， 平分 交 于
点D，点E在 的延长线上， ，若 ，则线段 的长为 ．【答案】4
【分析】如图，在 上截取 ，使 ，连接 ，证明 ，则 ，
， ，由 ，可得
，则 ，计算求解即可．
解：如图，在 上截取 ，使 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定
理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定
理是解题的关键．
【变式2】（2024·陕西西安·三模）如图， 是等边三角形，D为 外一点，且 ，
连接 ，若 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的的判定与性质、等边三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此
题的关键．在 上截取 ，连接 ，根据等边三角形的判定与性质可得 ，再利
用全等三角形的判定与性质可得结论．
解：证明：在 上截取 ，连接 ，如图所示，
，
为等边三角形，
， ，
为等边三角形，
， ，
，
，，
，
．
故答案为： ．
【题型7】延长相交构造或证明等腰三角形
【例7】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在 中， ， ，动点 在射线
上， 交 于 ， 的平分线交 于 ．则当 时， ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，全等三角形的判定和性质，延长
交 于点 ，由平行线的性质可得 ，由角平分线的定义可得 ，得到
，即得 ，进而得到 ，再证明 ，得到
，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
解：延长 交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图， 为 外一点， ，BD平分
的一个外角，若 ， ， ，则AD的长为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握等
角对等边是解题的关键．
延长 交于点 ，根据角平分线的性质，垂直的性质可证 ，可得 ，
根据三角形内角和定理可得 ， ，由此即可求解．解：如图所示，延长 交于点 ，
∵BD平分 ， ，
∴ ， ，BD是公共边，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4．
【变式2】（23-24九年级下·山东临沂·期中）如图， ， ，点E为 的中点，若
， ， ，则 的长为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，如图所示，延长 交
于F，证明 ，得到 ， ，再证明 是等边三角形，得到，则 ．
解：如图所示，延长 交 于F，
∵ ，
∴ ，
∵点E为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
