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全等变化模型三 角平分线模型
【模型展示】
OP平分∠AOB，AP
⊥
AO，BP
⊥
BO
【模型条件】如图1，
OP平分∠AOB，OP⊥AB
如图2，
OP平分∠AOB，AO
=
BO
如图3，
△ABP≃△BOP.
【模型结论】
【模型解析】从变化方式的角度分析，两个全等三角形绕某一直线翻折而得；
从图形的结构分析，是一个角的角平分线，再取一组对应边或
者对应角相等，即可得到全等三角形。
【知识链接】三角形角平分线定理，等腰三角形三线合一
【模型总结】
①如图1，角平分线上的点到角的两边距离相等（角平分线定理）；
②如图2，等腰三角形的角平分线垂直平分底边（等腰三角形三线合一）；
③如图2，如果一个三角形的高线、中线、角平分线有两条重合，那么这个
三角形是等腰三角形（等腰三角形三线合一）。
【模型巩固】
【例3-1】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，P，Q分别在BC，CA上，AP，BQ分别是
∠BAC，∠ABC的角平分线．求证：BQ+AQ＝AB+BP．
【解答】证明：延长AB到D，使BD＝BP，连接PD，
则∠D＝∠5．
∵AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，
∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，
∴∠1＝∠2＝30°，
∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∠3＝∠4＝40°＝∠C，
∴QB＝QC，
又∠D+∠5＝∠3+∠4＝80°，
∴∠D＝40°．
在△APD与△APC中，
∴△APD≌△APC（AAS），
∴AD＝AC．
即AB+BD＝AQ+QC，
∴AB+BP＝BQ+AQ．
【例 3-2】如图，△ABC 的∠B 和∠C 的平分线 BD，CE 相交于点 F，∠A＝60°，求证：BC＝
BE+CD．
【解答】证明：在BC上取一点O，使得BO＝BE，
∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣60°＝120°
∵∠A＝60°，BD、CE是△ABC的角平分线，
∴∠BFC＝120°，∴∠BFE＝∠CFD＝60°，
在△BFE和△BFO中， ，
∴△BFE≌△BFO，（SAS）
∴∠BFO＝∠BFE＝60°，∴∠CFO＝∠BFC﹣∠BFO＝60°，
在△OCF和△OCD中， ，
∴△OCF≌△DCF（ASA），∴CO＝CD，
∵BC＝BO+CO，∴BC＝BE+CD．
【例3-3】如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝14，M为AC的中点，OM⊥AC交∠ABC的平分线于
O，OE⊥AB交BA的延长线于E，OF⊥BC．垂足为F．
（1）求证：AE＝CF．（2）求线段BE的长．
【解答】（1）证明：连接OA,
∵OB平分∠ABC，
又∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴OE＝OF．
∵OM⊥AC，M为AC中点，
∴OM垂直平分AC，∴OA＝OC，
在Rt△AEO与Rt△CFO中，
,
∴Rt△AEO≌Rt△CFO（HL），
∴AE＝CF；
（2）解：在Rt△BEO与Rt△BFO中，
，
∴△BEO≌△BFO（HL），
∴BE＝BF，
∵AB＝7，BC＝14，
设AE＝CF＝x，
∴x+7＝14﹣x，
∴ ，
∴ ．
【例3-4】如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠B＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．
（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD＝AC．
【解答】证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，
∵∠ABD＝90゜，OA平分∠BAC，
∴OB＝OE，
∵点O为BD的中点，
∴OB＝OD，
∴OE＝OD，
∴OC平分∠ACD；
（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴∠AOB＝∠AOE，
同理求出∠COD＝∠COE，
∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝ ×180°＝90°，
∴OA⊥OC；
（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB＝AE，
同理可得CD＝CE，
∵AC＝AE+CE，
∴AB+CD＝AC．
【例3-5】在 中， 、 分别平分 和 ， 和 相交于 点，若 ．
求证： ．
【解答】如图，延长 至 ，使得 ，连接 ，则 ．
， ，
，
又 ， ，
． ，
即 ．
， ．
．
【例3-6】如图，已知等边三角形ABC，点D为线段BC上一点，以线段DB为边向右侧作△DEB，
使DE＝CD，若∠ADB＝m°，∠BDE＝（180﹣2m）°，则∠DBE的度数是（ ）
A．（m﹣60）° B．（180﹣2m）° C．（2m﹣90）° D．（120﹣m）°
【解答】解：如图，连接AE．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠ABC＝60°，
∵∠ADB＝m°，∠BDE＝（180﹣2m）°，
∴∠ADC＝180°﹣m°，∠ADE＝180°﹣m°，
∴∠ADC＝∠ADE，
∵AD＝AD，DC＝DE，
∴△ADC≌△ADE（SAS），
∴∠C＝∠AED＝60°，∠DAC＝∠DAE，∴∠DEA＝∠DBA，
∴∠BDE＝∠BAE＝180°﹣2m，
∵AE＝AC＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB＝ （180°﹣180°+2m）＝m，
∴∠DBE＝∠ABE﹣∠ABC＝（m﹣60）°，
故选：A．
【模型拓展】
【拓展3-1】在 中， ，点 是 延长线上一点，点 是线段 上一点，连接
． ， ．
（1）求证： ；
（2） 平分 交 于点 ，点 是线段 延长线上一点，连接 ，点 是线段 上
一点，连接 交 于点 ，连接 ．当 平分 时，求证： ．
【解答】证明：（1）在 和 中，
，
，
，
（2）如图：作 平分 交 于点 ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
在 和 中， ，
，
， ，
在 和 中， ，
，
，
，．
【拓展3-2】在 中， ，在 的外部作等边三角形 ， 为 的中点，连接
并延长交 于点 ，连接 ．
（1）如图1，若 ，求 的度数；
（2）如图2， 的平分线交 于点 ，交 于点 ，连接 ．
①补全图2；
②若 ，求证： ．
【解答】（1）解：如图1中，
在等边三角形 中，
， ．
为 的中点，
，
，
，
，
，
．
（2）①补全图形，如图所示．
②证明：连接 ．
平分 ，
设 ，
，
．在等边三角形 中，
为 的中点，
，
，
，
，在 和 中，
，
， ，
，
在 中， ，
，
，
，
，
，
．
【拓展3-3】已知：在 中， 是边 的高， 为 的角平分线，且 ． 为
的中线，延长 到点 ．使得 ．连接 ． 交 于点 ． 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ．求证： ．
【解答】证明：（1） ，
， ，
又 为 的中线，
，
在 与 中，
，
，
，
，
；
（2） 垂直平分 ，
， ，
又 ，，
在 与 中，
，
，
，
又 ，
在 与 中，
，
，
．
【拓展 3-4】在等腰 中， ，点 是 上一动点，点 在 的延长线上，且
， 平分 交 于点 ，连接 ．（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，当 时，在 上取点 ，使 ．求证： 是等边三角形；
（3）如图3，当 ，且 时，求证： ．
【解答】证明：（1） 平分 ， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，；
（2）如图2，在 上截取 ，连接 ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
是等边三角形，
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF
=∠MAC+∠BAM=60°
，
为等边三角形；
（3）如图3，延长 、 交于 ，
， ，
， ，
，
，
， ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，，
，
．
