文档内容
【模型二 一线三等角模型】
【模型展示】
【模型条件】如图，∠B=∠ACD=∠E，AB=CE
△ABC≃△CED.
【模型结论】
【结论证明】请选取图1和图5分别证明
全等变化模型二 一线三等角模型
【模型解析】从变化方式的角度分析，两个全等三角形绕某一点旋转三角形
的一个内角大小得到的，当一组非对应边共线时就会形成等角。
从图形的结构分析，一线三等角是一条直线上的三个等角加一
组对应边相等组成的.【知识链接】三角形外角定理
【模型总结】 ①一线三等角证明常用外角证明，一线三垂直用余角证明亦
可。
②一线三等角会形成等腰三角形，解题时要考虑。
③三等角模型，对应边夹角相等，都等于旋转角。
【模型巩固】
【例2-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD、DE，若AD＝
DE，AC＝CD．
（1）求证：△ABD≌△DCE；
（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．
【例2-2】如图， 是经过 顶点 的一条直线， ， 、 分别是直线 上两点，
且 ．
（1）若直线 经过 的内部，且 、 在射线 上．
①如图1，若 ， ，则 _____ ；
②如图2，若 ，请添加一个关于 与 关系的条件 ，使①中的结论仍然成
立，并说明理由；
（2）如图3，若直线 经过 的外部， ，请提出关于 ， ， 三条线段数量
关系的合理猜想，并简述理由．【例2-3】如图，已知△ABC中，AB＝AC＝9cm，BC＝6cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在边BC上以1.5cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在边CA上由点C向点
A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理
由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，经过t秒后，△BPD与△CQP全等，求此时点Q
的运动速度与运动时间t．
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针
沿△ABC三边运动，则经过 秒后，点P与点Q第一次在△ABC的 边上相遇？（在横线
上直接写出答案，不必书写解题过程）【例2-4】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm，∠BDA＝
∠AEC＝∠BAC
（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 ，CE与AD的数量关系为 ；
（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与 DE的数量关系；
（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点
D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t
（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明
理由．【例2-5】已知，M是等边△ABC边BC上的点．
（1）如图1，过点M作MN∥AC且交于点N，求证：BM＝BN；
（2）如图2，连接AM，过点M作∠AMH＝60°，MH与∠ACB的邻补角的平分线交于点H，过H
作HD⊥BC于点D．求证：MA＝MH．，
