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全等变化模型三 角平分线模型
【模型展示】
OP平分∠AOB，AP
⊥
AO，BP
⊥
BO
【模型条件】如图1，
OP平分∠AOB，OP⊥AB
如图2，
OP平分∠AOB，AO
=
BO
如图3，
△ABP≃△BOP.
【模型结论】
【模型解析】从变化方式的角度分析，两个全等三角形绕某一直线翻折而得；
从图形的结构分析，是一个角的角平分线，再取一组对应边或
者对应角相等，即可得到全等三角形。
【知识链接】三角形角平分线定理，等腰三角形三线合一
【模型总结】
①如图1，角平分线上的点到角的两边距离相等（角平分线定理）；
②如图2，等腰三角形的角平分线垂直平分底边（等腰三角形三线合一）；
③如图2，如果一个三角形的高线、中线、角平分线有两条重合，那么这个
三角形是等腰三角形（等腰三角形三线合一）。
【模型巩固】
【例3-1】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，P，Q分别在BC，CA上，AP，BQ分别是
∠BAC，∠ABC的角平分线．求证：BQ+AQ＝AB+BP．【例 3-2】如图，△ABC 的∠B 和∠C 的平分线 BD，CE 相交于点 F，∠A＝60°，求证：BC＝
BE+CD．
【例3-3】如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝14，M为AC的中点，OM⊥AC交∠ABC的平分线于
O，OE⊥AB交BA的延长线于E，OF⊥BC．垂足为F．
（1）求证：AE＝CF．（2）求线段BE的长．【例3-4】如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠B＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．
（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD＝AC．
【例3-5】在 中， 、 分别平分 和 ， 和 相交于 点，若 ．
求证： ．
【例3-6】如图，已知等边三角形ABC，点D为线段BC上一点，以线段DB为边向右侧作△DEB，
使DE＝CD，若∠ADB＝m°，∠BDE＝（180﹣2m）°，则∠DBE的度数是（ ）
A．（m﹣60）° B．（180﹣2m）° C．（2m﹣90）° D．（120﹣m）°【模型拓展】
【拓展3-1】在 中， ，点 是 延长线上一点，点 是线段 上一点，连接
． ， ．
（1）求证： ；
（2） 平分 交 于点 ，点 是线段 延长线上一点，连接 ，点 是线段 上
一点，连接 交 于点 ，连接 ．当 平分 时，求证： ．
【拓展3-2】在 中， ，在 的外部作等边三角形 ， 为 的中点，连接并延长交 于点 ，连接 ．
（1）如图1，若 ，求 的度数；
（2）如图2， 的平分线交 于点 ，交 于点 ，连接 ．
①补全图2；
②若 ，求证： ．
【拓展3-3】已知：在 中， 是边 的高， 为 的角平分线，且 ． 为
的中线，延长 到点 ．使得 ．连接 ． 交 于点 ． 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ．求证： ．【拓展 3-4】在等腰 中， ，点 是 上一动点，点 在 的延长线上，且
， 平分 交 于点 ，连接 ．（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，当 时，在 上取点 ，使 ．求证： 是等边三角形；
（3）如图3，当 ，且 时，求证： ．
