文档内容
秘籍 02 平面向量
目录
【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测
【应试秘籍】总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：投影向量、投影向量的模与向量的投影
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略
【题型一】奔驰定理
【题型二】 极化恒等式
【题型三】 等和线
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 选择题、填空题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 投影向量的概念
平面向量是近几年小题的热点必考题型，主要考察学生对于向量的转化也就是基底思想的熟练程度，
包含了对于复杂知识的简单化也就是化归与转化的思想的掌握。近几年的向量也出现过单选的压轴题，考
察的大多为向量的三大定理之一。还有新教材新加的投影向量也是今年的热门知识点。注意题目的问法，
分清投影向量、向量的投影和投影向量的模之间的区别。
易错点：投影向量、投影向量的模与向量的投影
1.同方向单位向量： 的同方向单位向量为 ，指的是方向和 相同，模长为1的向量。2.向量 在 方向上的投影：设 为 、 的夹角，则 为 在 方向上的投影.
3.投影也是一个数量，不是向量.当 为锐角时投影为正值；当 为钝角时投影为负值；当 为直角时投影
为 ；当 时投影为 ；当 时投影为 .
4. 向量 在 方向上的投影向量：设 为 、 的夹角，则 为 在 方向上的投影向量.
5.向量的数量积的几何意义：数量积 等于 的长度与 在 方向上投影 的乘积.
易错提醒：1. 投影和投影向量的模都是数量，区别在于投影有正负，投影向量的模永远是正值。
2.投影向量结果是向量，所以是其投影（大小）乘上其同方向单位向量（方向）。
例 （多选）（2023·海南·模拟预测）已知向量 ，则（ ）
A．若 ，则
B． 在 方向上的投影向量为
C．存在 ，使得 在 方向上投影向量的模为1
D． 的取值范围为
【答案】BCD
【详解】对于A，若 ，则 ，则 ，所以A错误；
对于B， 在 方向上的投影向量为
，故B正确；
对于C， ，所以 在 方向上投影向量的模为：
，
当 时， ，所以存在 ，使得 在 方向上投影向量的模为1，故C正确；对于D，向量
，
所以 ，则 ，故D正确.
故选：BCD.
变式1：（2024·辽宁鞍山·二模）已知非零向量 ， 满足 ，向量 在向量 方向上的投影向量是
，则 与 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由向量 在向量 上投影向量为 ，
所以得 ，
又因为 ，所以 ，故C正确.
故选：C.
变式2：（多选）（2024·广东广州·一模）已知向量 ， 不共线，向量 平分 与 的夹角，则下列结
论一定正确的是（ ）
A． B．
C．向量 ， 在 上的投影向量相等 D．
【答案】BC
【详解】作向量 ，在 中， ， ，
由向量 平分 与 的夹角，得 是菱形，即 ，
对于A， 与 不一定垂直，A错误；
对于B， ，即 ，B正确；
对于C， 在 上的投影向量 ，在 上的投影向量 ，C正确；
对于D，由选项A知， 不一定为0，则 与 不一定相等，D错误.
故选：BC
变式3：（2024·青海·一模）已知向量 ， ，则向量 在 方向上的投影为 ．
【答案】 /
【详解】因为向量 ， ，所以 ，
则 ，所以向量 在 方向上的投影为： .
故答案为：
【题型一】奔驰定理
为 内一点， ，则 .
重要结论： ， ， .
结论1：对于 内的任意一点 ， 若 、 、 的面积分别为 、 、 ，则：
.
即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.
结论2：对于 平面内的任意一点 ，若点 在 的外部，并且在 的内部或其对顶角的内部
所在区域时，则有 .
结论3：对于 内的任意一点 ， 若 ，则 、 、 的面积之比
为 .
即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.结论4：对于 所在平面内不在三角形边上的任一点 ， ，则 、 、
的面积分别为 .
奔驰定理与三角形四心的关系：
一、三角形的“重心”
1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2:1
1
三角形中线向量式：⃗AM= (⃗AB+⃗AC)
2
2、重心的性质：
（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
所以⃗OA+⃗OB+⃗OC=0⃗
二、三角形的“垂心”
垂心的定义：高的交点。
锐角三角形的垂心在三角形内； A
直角三角形的垂心在直角顶点上；
钝角三角形的垂心在三角形外。 O
奔驰定理推论：S :S :S =tanA:tanB:tanC，
∆BOC ∆COA ∆AOB B C
tanA∙⃗OA+tanB∙⃗OB+tanC∙⃗OC=0⃗.
三、三角形的“内心”
1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
2、常见内心向量式：P是∆ABC的内心，
（1）|⃗AB|⃗PC+|⃗BC|⃗PA+|⃗CA|⃗PB=0⃗（或a⃗PA+b⃗PB+c⃗PC=0⃗）
其中a，b，c分别是∆ABC的三边BC、AC、AB的长，
四、三角形的“外心”
1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等
2、常用外心向量式：O是∆ABC的外心，
1、|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|⟺⃗OA2=⃗OB2=⃗OC2
2、(⃗OA+⃗OB)∙⃗AB=(⃗OB+⃗OC)∙⃗BC=(⃗OA+⃗OC)∙⃗AC=0
3、若(⃗OA+⃗OB)∙⃗AB=(⃗OB+⃗OC)∙⃗BC=(⃗OC+⃗OA)∙⃗CA=0，则O是∆ABC的外心.
【例1】（2021·四川凉山·三模）如图， 为 内任意一点，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .总有优美等式 成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有
以下命题：
①若 是 的重心，则有 ；
②若 成立，则 是 的内心；
③若 ，则 ；
④若 是 的外心， ， ，则 .
则正确的命题有 .
【答案】①②④
【详解】对于①：如图所示：因为 分别为 的中点，
所以 , ，
同理可得 、 ，
所以 ，又因为
所以 .①正确.
对于②：记点 到 的距离分别为 ， ，因
为 ，则 ，即
，又因为 ，所以 ，所以点 是 的内心.②
正确.
对于③：因为 ，所以 , ,
,所以 ,
化简得： ，
又因为 不共线.
所以 ，
.③错误.
对于④：因为 是 的外心， ，所以 , ，
,
因为 ，则 ，
化简得： ,由题意知 不同时为正.
记 ,
则 ，
因为
所以 .④正确.
故答案为：①②④.
【例2】（多选）（22-23高一下·山东·阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平
面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的
具体内容是：已知 是 内一点， 的面积分别为 ，且
.以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则 为 的重心B．若 为 的内心，则
C．若 ， 为 的外心，则
D．若 为 的垂心， ，则
【答案】ABD
【详解】对于A，取 的中点D，连接 ，
由 ，则 ，
所以 ，
所以A，M，D三点共线，且 ，
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得 ， ，所以 为 的重心，故A正确；
对于B，由 为 的内心，则可设内切圆半径为 ，
则有 ，
所以 ，
即 ，故B正确；
对于C，由 为 的外心，则可设 的外接圆半径为 ，
又 ，
则有 ，
所以 ，
，，
所以 ，故C错误；
对于D，如图，延长 交 于点D，延长 交 于点F，延长 交 于点E，
由 为 的垂心， ，则 ，
又 ，则 ， ，
设 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，故D正确.
故选：ABD．
【例3】（2023高一·江苏·专题练习）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点
P满足 ，则点P的轨迹一定经过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】C
【详解】因为 为 方向上的单位向量， 为 方向上的单位向量，
则 的方向与 的角平分线一致，由 ，可得 ，
即 ，
所以点P的轨迹为 的角平分线所在直线，
故点P的轨迹一定经过 的内心.
故选：C.
【变式1】（2023·吉林·一模）在直角三角形 中， ， 的重心、外心、垂心、内心分别为
， ， ， ，若 （其中 ），当 取最大值时， （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】直角三角形 中， ， 为 中点， 的重心为 ，如图所示，
，
则 ， ；
直角三角形 中， ， 的外心为 ，则 为 中点，如图所示，
，则 ， ；
直角三角形 中， ， 的垂心为 ，则 与 点重合， ，
则 ， ；
直角三角形 中， ， 的内心为 ，则点 是三角形内角平分线交点，直角三角形 中，角 的对边分别为 ，设内切圆半径为 ，
则 ，得 ，
，
， .
最大，所以当 取最大值时， .
故选：B.
【变式2】（22-23高三上·江西·阶段练习）奔驰定理：已知点O是 内的一点，若
的面积分别记为 ，则 ．“奔驰定理”是平面向量中
一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定
理”．如图，已知O是 的垂心，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】延长 交 于点P，
是 的垂心， ，
．
同理可得 ， ．
又 ，
．又 ，
．
不妨设 ，其中 ．
，
，解得 ．
当 时，此时 ，则A，B，C都是钝角，不合题意，舍掉．
故 ，则 ，故C为锐角，
∴ ，解得 ，
故选：B．
【变式3】（2022·安徽·三模）平面上有 及其内一点O，构成如图所示图形，若将 ， ，
的面积分别记作 ， ， ，则有关系式 ．因图形和奔驰车的 很相
似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足
，则O为 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【详解】由 得 ，
由 得 ，根据平面向量基本定理可得 ， ，
所以 ， ，
延长 交 于 ，延长 交 于 ，
则 ，又 ，所以 ，
所以 为 的平分线，
同理可得 是 的平分线，
所以 为 的内心.
故选：B
【题型二】 极化恒等式
基础知识：
A
简化：在△ 中， 是边 的中点，则 .
B D C
【例1】已知△ 是边长为2的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是
（ ）C
解析：取 的中点 ，连接 ， ，取 的中点 ，连接 ， D
E
P
A B
由△ 是边长为2的等边三角形， 为中线 的中点 ，
则 ，
所以 .
【例2】在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点， ， ，
则 的值是________.
【答案】 【解析】解法一：基底法
令 ，则 ，则
，
则
由 ， 可得 ，因此 ，
因此 .
解法二：极化恒等式
，
解得： 所以 .
【例3】已知球 的半径为1， 是球面上的两点，且 ，若点 是球面上任意一点，则的取值范围是A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由球 的半径为1， 是球面上的两点，且 ，可得
，
,故选B.
【变式1】（23-24高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形 的边长为4，若动点 在以 为直径
的半圆上（正方形 内部，含边界），则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】取 的中点 ，连接 ，如图所示，
所以 的取值范围是 ，即 ，
又由 ，
所以 .故选：B.
【变式2】（2024·江西·一模）如图，正六边形的边长为 ，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，
若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得，
，
当 与正六边形的边垂直时， ，
当点 运动到正六边形的顶点时， ，
所以 ，则 ，即 .
故选：B
【变式3】（2024·陕西安康·模拟预测）在平面直角坐标系中，曲线 与坐标轴的交点都在圆
上， 为圆 的直径，点 是直线 上任意一点；则 的最小值为（ ）
A．4 B．12 C．16 D．18
【答案】B
【详解】
对于曲线 ，令 ，则 ；令 ，则 ，
曲线 与坐标轴的交点分别为 ，
设圆心 ，由 ，得 ，
则圆心为 ，半径为2，所以圆 方程为 ，，
当 最小，即为圆心到直线 的距离时， 取到最小值，
圆心 到直线 的距离设为 ，则 ，
所以 最小值为4，则 的最小值为 ，
故选：B．
【题型三】 等和线
向量基本定理：
等和线原理：【例1】如图， 中， 是斜边 上一点，且满足： ,点 在过点 的直线上，
若 , ,则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】 ，因为 三点共线，所以 ，因此
，选B.
【例2】设 ， ， 是平面内共线的三个不同的点，点 是 ， ， 所在直线外任意-点，且满足
，若点 在线段 的延长线上，则（ ）
A． ， B． ， C． D．
【答案】A
【详解】由题可得： ，所以 可化为：
整理得： ，即： 又点 在线段 的延长线上，所以 与 反向，
所以 ， 故选：A
2π
【例3】如图，∠BAC= ，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，AD=1，点P是圆M及其内部任意
3
一点，且⃑AP=x⃑AD+ y⃑AE(x、y∈R)，则x+ y的取值范围是（ ）
A．[1,4+2√3] B．[4−2√3,4+2√3] C．[1,2+√3] D．[2−√3,2+√3]
【答案】B
【解析】
1 1
连接AM并延长分别交圆M于Q、T，连接DE，DE与AM交于R，显然⃗AR= ⃗AD+ ⃗AE，此时
2 2
x+ y=1，分别过Q、T作DE的平行线，由于AD=AE=1,∠BAC=1200 ，则AM=2,DM=√3，则
1
AQ=2−√3，AR= ，
22−√3
⃗AQ= =(4−2√3)⃗AR=(2−√3)⃗AD+(2−√3)⃗AE
1 ，此时x+ y=4−2√3 ，同理可得：
2
⃗AT=(2+√3)⃗AD+(2+√3)⃗AE，x+ y=4+2√3，选B.
【变式1】（2024·内蒙古包头·一模）如图，在菱形 中， ， ， 分别为
上的点， ， ．若线段 上存在一点 ，使得 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
， ， ， ，
，
，
三点共线， ，解得： ， ，
.
故选：A.【变式2】（2023·四川攀枝花·一模）在平面四边形 中， ， ， ，
，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】C
【详解】如图，以 为原点，以 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，
因为 ， ，则 ， ，
所以 ， ，设 ，
则 ， ， ，
由 ，即 ，
则 ，即 .
由 可知点 的轨迹为 外接圆的一段劣弧 ，
且 ，则 外接圆的半径为 ，
设 外接圆的方程为 ，
则 ，解得 或 （舍去），
即 外接圆方程为 ，圆心为 ，
因为 表示 外接圆劣弧 上一点到直线 的距离，
而圆心 到直线 的距离为 ，
要使 最大，则 最大，
而 ，即 ，
此时 ，即 的最大值为3.
故选：C.【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知点 是 的重心，过点 的直线与边 分别交于 两
点， 为边 的中点．若 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【详解】如图所示，由三角形重心的性质，可得 ，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 三点共线，可得 ，所以 .
故选：A．
【变式4】已知扇环如图所示， 是扇环边界上一动点，且满足
，则 的取值范围为 .
【答案】
【详解】以 为坐标原点，以 为 轴建立平面直角坐标系，易知 ，（1）当点 在 上运动时，向量 与 共线，显然 ，
此时 ，因为点 在 上，
其横坐标满足： ，所以 ；
（2）当点 在 上运动时，向量 与 共线，显然 ，
此时 ，因为点 在 上，
其横坐标满足： ，
则 ，所以 ；
（3）当点 在 上运动时，设 ，
由 ，得 ，
即 ，可得 ，
变形可得 ，其中 ，
因为 是扇环边界上一动点，且满足 ，所以 均为非负实数，
，因为 ，
所以当 时， 取得最大值， 的最大值为 ，
由 ，所以当 时， 取得最大角，
此时 取得最小值，即 ，
所以， 的最小值为1；（4）同理可得当点 在 上运动时，因为 ，
故 的最大值为 ，最小值为 .
综上所述， .
