文档内容
第 01 讲 三角形中角平分线模型（解析版）
第一部分 几何模型+模型应用
几何模型一 三角形两内角平分线的夹角
1
例1 如图1，点P为△ABC的内角平分线BP与CP的交点，求证：∠BPC＝90°+ ∠A；
2
思路引领：（1）先根据三角形内角和定理求出∠PBC+∠PCB的度数，再根据角平分线的性质求出
∠ABC+∠ACB的度数，由三角形内角和定理即可求出答案．
证明：（1）∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°，
∵BP、CP是角平分线，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠BCP，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
1
∴∠BPC＝90°+ ∠A；
2
解题秘籍：本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的性质，关键是根据由三角形的内角和定理以及
三角形外角的性质，求得∠P与∠A的关系．
模型应用一
1．（2022春•江阴市校级月考）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝115°，则∠A＝（
）
A．50° B．45° C．65° D．70°
思路引领：先利用角平分线的性质在△DCB中求出∠EBC+∠FCB、∠ABC+∠ACB，再在△ABC中求出
∠A．
学科网（北京）股份有限公司解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，
1 1
∴∠EBC= ∠ABC，∠BCF= ∠ACB．
2 2
∵∠EBC+∠FCB+∠BDC＝180°，∠BDC＝115°，
∴∠EBC+∠FCB＝65°．
∴∠ABC+∠ACB＝130°．
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠A＝50°．
故选：A．
解题秘籍：本题主要考查了三角形的内角和，掌握“三角形的内角和是180°”及角平分线的性质是解决
本题的关键．
2．（2022春•沭阳县月考）如图，已知△ABC，点D，F分别在边AB，AC上运动，点E为平面上的一个
动点．当∠DEF＝∠A且点E恰在∠ABC与∠ACB的角平分线的交点处，若∠1+∠2＝140°，则∠BEC
为（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
思路引领：连接AE，根据三角形的外角性质得到∠DEF+∠A＝140°，根据题意求出∠A＝70°，根据角
平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．
解：连接AE，
则∠1＝∠DAE+∠DEA，∠2＝∠FAE+∠FEA，
∵∠1+∠2＝140°，
∴∠DAE+∠DEA+∠FAE+∠FEA＝140°，
∴∠DEF+∠A＝140°，
∵∠DEF＝∠A，
∴∠DEF＝∠A＝70°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
1 1
∴∠EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠ACB，
2 2
∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）
学科网（北京）股份有限公司1
＝180°− （∠ABC+∠ACB）
2
1
＝180°− （180°﹣∠A）
2
1
＝180°− （180°﹣70°）
2
＝125°．
故选：B．
解题秘籍：本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形的一个
外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
几何模型二 三角形一内角平分线和一外角平分线的夹角
例2 如图2，点P为△ABC内角平分线BP与外角平分线CP的交点，请探究∠BPC与∠A的关系；
1 1
思路引领：根据角平分线的定义得∠PBC= ∠ABC，∠PCD= ∠ACD，再根据三角形外角性质得
2 2
1 1
∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P，所以 （∠A+∠ABC）＝∠PBC+∠P= ∠ABC+∠P，然
2 2
1
后整理可得∠P= ∠A；
2
1
解：∠P= ∠A，理由如下：
2
∵△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP交于P，
1 1
∴∠PBC= ∠ABC，∠PCD= ∠ACD，
2 2
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P，
学科网（北京）股份有限公司1 1
∴ （∠A+∠ABC）＝∠PBC+∠P = ∠ABC+∠P，
2 2
1
∴∠P= ∠A；
2
解题秘籍：本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的性质，关键是根据由三角形的内角和定理以及
三角形外角的性质，求得∠P与∠A的关系．
模型应用2
3．（2021秋•曲靖期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝128°，P是△ABC的内角∠ABC的平分线BP 与外
1
角∠ACE的平分线CP 的交点；P 是△BP C的内角∠P BC的平分线BP 与外角∠P CE的平分线CP 的
1 2 1 1 2 1 2
交点；P 是△BP C的内角∠P BC的平分线BP 与外角∠P CE的平分线CP 的交点；依次这样下去，则
3 2 2 3 2 3
∠P 的度数为（ ）
6
A．2° B．4° C．8° D．16°
1 1
思路引领：根据角平分线的定义得∠PBC= ∠ABC，∠PCE= ∠ACE，再根据三角形外角性质得
2 2
1 1
∠ACE＝∠A+∠ABC，∠PCE＝∠PBC+∠P，于是得到 （∠A+∠ABC）＝∠PBC+∠P=
2 2
1
∠ABC+∠P，然后整理可得∠P= ∠A，同理得到结论．
2
解：∵△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP 交于P ，
1 1
1 1
∴∠P BC= ∠ABC，∠P CE= ∠ACE，
1 2 1 2
∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠P CE＝∠P BC+∠P ，
1 1 1
1 1
∴ （∠A+∠ABC）＝∠P BC+∠P = ∠ABC+∠P ，
2 1 1 2 1
1 1
∴∠P = ∠A= ×128°＝64°，
1 2 2
1
同理∠P = ∠P ＝32°，
2 2 1
∴∠P ＝2°，
6
学科网（北京）股份有限公司故选：A．
解题秘籍：本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
4．（2012春•南安市月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是x轴正半轴上的动点，点B是y轴正
半轴上的动点，作射线AB，∠OAB的平分线与∠OBA的外角的平分线交于点C．
（1）当OA＝OB时，∠C的度数是 ．
（2）当点A、B分别在x轴和y轴正半轴上移动时，∠C的大小是否变化？请说明理由．
思路引领：（1）先根据等腰直角三角形的性质求出∠OAB＝∠OBA＝45°，再由平角的定义得出∠DBO
的度数，由角平分线的性质得出∠CAB与∠CBO的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论；
（2）设∠DBC＝x，∠BAC＝y，再根据BC平分∠DBO，AC平分∠BAO可知∠CBO＝∠DBC＝x，
∠OAC＝∠BAC＝y．
再由∠DBO是△AOB的外角，∠DBC是△ABC的外角可得出关于x、y，∠C的方程组，求出∠C的值
即可．
解：（1）∵∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∴∠DBO＝180°﹣45°＝135°，
∵点C是∠OAB的平分线与∠OBA的外角的平分线的交点，
1 1
∴∠CAB= ∠OAB＝22.5°，∠CBO= ∠DBO＝67.5°，
2 2
∴∠CAB+∠CBO+∠OAB＝22.5°+67.5°+45°＝135°，
∴∠C＝180°﹣（∠CAB+∠CBO+∠OAB）＝180°﹣135°＝45°．
故答案为：45°；
（2）∠C的大小不变．
学科网（北京）股份有限公司理由如下：
设∠DBC＝x，∠BAC＝y，
∵BC平分∠DBO，AC平分∠BAO．
∴∠CBO＝∠DBC＝x，∠OAC＝∠BAC＝y．
∵∠DBO是△AOB的外角，∠DBC是△ABC的外角，
{2x=90°+2y
∴ ，
x=∠C+ y
∴∠C＝45°．
解题秘籍：本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和．
几何模型三 三角形两外角平分线夹角
例3 如图3，点P是△ABC的外角平分线BP与CP的交点，请探究∠BPC与∠A的关系．
1 1
思路引领：（3）根据题意得∠PBC= （∠A+∠ACB），∠PCB= （∠A+∠ABC），由三角形的内角
2 2
和定理以及三角形外角的性质，求得∠P与∠A的关系，从而计算出∠P的度数．
1
解：∠P＝90°− ∠A，理由如下：
2
∵BP、CP是△ABC的外角平分线，
1 1
∴∠PBC= （∠A+∠ACB），∠PCB= （∠A+∠ABC），
2 2
又∵∠PBC+∠PCB+∠P＝180°，
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
1
＝180°− （∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
2
1
＝180°− （180+∠A）
2
1
＝90°− ∠A．
2
学科网（北京）股份有限公司解题秘籍：本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的性质，关键是根据由三角形的内角和定理以及
三角形外角的性质，求得∠P与∠A的关系．
模型应用3
5．（2022春•渠县校级期中）如图，点F，C在射线AN上，点B，E在射线AM上，∠MEF与∠NFE的角
平分线交于点G，∠MBC与∠NCB的角平分线交于点P．若∠G＝67°，那么∠P＝ °．
思路引领：根据三角形内角和定理和角平分线的性质分别用角A表示出∠G和∠P即可．
解：∵∠MEF与∠NFE的角平分线交于点G，
1 1 1 1 1
∴∠G＝180°﹣（ ∠NCB+ ∠MBC）＝180°﹣[ （180°﹣∠ACB）+ （180°﹣∠ABC）]＝180°−
2 2 2 2 2
1
[180°+180°﹣（∠ACB+∠ABC）]＝180°− （180°+∠A）＝90°﹣∠A＝67°，
2
∵∠MBC与∠NCB的角平分线交于点P，
1 1 1 1 1
∴∠P＝180°﹣（ ∠NFE+ ∠MEF）＝180°﹣[ （180°﹣∠AFE）+ （180°﹣∠AEF）]＝180°−
2 2 2 2 2
1
[180°+180°﹣（∠AEF+∠AFE）]＝180°− （180°+∠A）＝90°﹣∠A＝67°，
2
故答案为：67°．
解题秘籍：本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线的性质是解题的关
键．
几何模型四 蝴蝶型两角平分线夹角
例4 如图所示，AB，CD相交于点E，CF，BF分别为∠ACD和∠ABD的平分线且相交于点F，求证：∠F
1
= （∠A+∠D）．
2
学科网（北京）股份有限公司思路引领：由角的平分线得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，再由三角形内角和定理和三角形的外角性质，即可
得出结论．
解：如图所示：
∵CF、BF分别是∠ACD和∠ABD的平分线，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
在△AMC和△FMB中，∠A+∠1＝∠3+∠F①，
在△AEC和△DEB中，∠A+∠1+∠2＝∠3+∠4+∠D，
即∠A+2∠1＝2∠3+∠D②，
由①×2﹣②得，∠A＝2∠F﹣∠D，
即2∠F＝∠A+∠D，
1
∴∠F= （∠A+∠D）．
2
解题秘籍：本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形的外角性质；熟练掌握三角形内角
和定理和三角形的外角性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
模型应用4
6．如图，AC，BD相交于点O，BP，CP分别平分∠ABD，∠ACD，且交于点P．
（1）若∠A＝70°，∠D＝60°，求∠P的度数；
（2）试探索∠P与∠A，∠D间的数量关系；
（3）若∠A：∠D：∠P＝2：4：x，求x的值；
（4）若BP、CP分别为∠ABD、∠ACD的外角平分线，则∠P与∠A、∠D的关系为 ．
学科网（北京）股份有限公司思路引领：（1）运用三角形的外角等于两个不相邻的内角的和，可得∠A+∠ABF＝∠P+∠PCF，
∠D+∠DCP＝∠P+∠DBP，再根据角平分线的定义和等式的性质可得∠A+∠D＝2∠P，从而得出关系；
（2）证明方法与（1）相同．
（3）代入（1）的关系式可求得x的值．
（4）如图，作CP′平分∠ACD，P′B平分∠ABC，首先证明∠PCP′＝∠PBP′＝90°，利用四边形
内角和定理解决问题即可．
解：（1）∵∠CFB＝∠A+∠ABF，∠CFB＝∠P+∠PCF（三角形的外角等于两个不相邻的内角的和），
∴∠A+∠ABF＝∠P+∠PCF（等量代换），
同理：∠D+∠DCP＝∠P+∠DBP，
∴∠A+∠ABF+∠D+∠DCP＝2∠P+∠PCF+∠DBP（等式性质），
∵CP，BP分别平分∠DCA，∠DBA，
∴∠ABF＝∠DBP，∠DCP＝∠PCF（角平分线的定义），
∴∠A+∠D＝2∠P；
1
∠P= （∠A+∠D），
2
∵∠A＝70°，∠D＝60°，
∴∠P＝65°
（2）∵∠CFB＝∠A+∠ABF，∠CFB＝∠P+∠PCF（三角形的外角等于两个不相邻的内角的和），
∴∠A+∠ABF＝∠P+∠PCF（等量代换），
同理：∠D+∠DCP＝∠P+∠DBP，
∴∠A+∠ABF+∠D+∠DCP＝2∠P+∠PCF+∠DBP（等式性质），
∵CP，BP分别平分∠DCA，∠DBA，
∴∠ABF＝∠DBP，∠DCP＝∠PCF（角平分线的定义），
∴∠A+∠D＝2∠P；
1
∠P= （∠A+∠D），
2
（3）由∠A：∠D：∠P＝2：4：x，
学科网（北京）股份有限公司可设∠A＝2k，∠D＝4k，∠P＝xk（k≠0），代入∠D+∠A＝2∠P可得：6k＝2xk，解得x＝3
（4）如图，作CP′平分∠ACD，P′B平分∠ABC，
1
由（2）可知：∠P= （∠A+∠D），
2
∵PC平分∠ACM，
1 1 1
∴∠PCP′= ∠ACM+ ∠ACD= ×180°＝90°，
2 2 2
同法可证：∠PBP′＝90°，
∴∠P+∠P′＝180°，
1
∴∠P＝180°− （∠A+∠D）．
2
1
故答案为：∠P＝180°− （∠A+∠D）．
2
解题秘籍：本题主要考查三角形外角的性质，解题的关键是在复杂图形中观察出外角和内角之间的关系，
有一定的难度．
几何模型五 燕尾形两角平分线夹角
例5 如图，BP，CP分别平分∠ABD，∠ACD，它们交于点P.求证:∠P＝ (∠A＋∠D).
A
P
D
B C
证明略
模型应用5
7．（2022春•宜兴市校级月考）如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＞∠D，∠ACD﹣
∠ABD＝64°，∠P＝18°，则∠A的度数为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．50° B．46° C．48° D．80°
1 1
思路引领：先利用角平分线的定义得到∠ABP= ∠ABD，∠ACP= ∠ACD，再根据三角形内角和定理
2 2
1
得到∠ABP+∠A＝∠ACP+∠P，所以∠A= （∠ACD﹣∠ABD）+∠P，然后把∠ACD﹣∠ABD＝64°，
2
∠P＝18°代入计算即可．
解：如图，
∵∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，
1 1
∴∠ABP= ∠ABD，∠ACP= ∠ACD，
2 2
∵∠1＝∠2，
∴∠ABP+∠A＝∠ACP+∠P，
∴∠A＝∠ACP﹣∠ABP+∠P
1
= （∠ACD﹣∠ABD）+∠P
2
1
= ×64°+18°
2
＝50°．
故选：A．
解题秘籍：本题考查了三角形内角和定理：运用三角形内角和定理主要用在求三角形中角的度数，可以
直接根据两已知角求第三个角或依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角．
8．（2021春•武侯区校级月考）已知，如图，在△ABC，∠A＝60°，若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点
O ，则∠BO C＝ °；若∠ABO 和∠ACO 的角平分线交于点O ，∠ABO 和∠ACO 的角平分线交
1 1 1 1 2 2 2
学科网（北京）股份有限公司于点O ，则∠BO C＝ °．
3 3
思路引领：由题意可以假设∠ABO ＝∠O BO ＝x，∠ACO ＝∠O CO ＝y，则∠ABO ＝∠O BO ＝2x，
3 3 2 3 3 2 2 2 1
∠ACO ＝∠O CO ＝2y，∠ABO ＝∠O BC＝4x，∠ACO ＝∠O CB＝4y，推出∠ABC＝8x，∠ACB＝
2 2 1 1 1 1 1
8y，可得8x+8y＝180°﹣60°，推出x+y＝15°，即可解决问题．
解：由题意可以假设∠ABO ＝∠O BO ＝x，∠ACO ＝∠O CO ＝y，
3 3 2 3 3 2
则∠ABO ＝∠O BO ＝2x，∠ACO ＝∠O CO ＝2y，∠ABO ＝∠O BC＝4x，∠ACO ＝∠O CB＝4y，
2 2 1 2 2 1 1 1 1 1
∴∠ABC＝8x，∠ACB＝8y，
∴8x+8y＝180°﹣60°，
∴x+y＝15°，
∴4x+4y＝60°，
∴∠O BC+∠O CB＝60°，
1 1
∴∠BO C＝180°﹣60°＝120°，
1
∴7x+7y＝105°，
∴∠O BC+∠O CB＝105°，
3 3
∴∠BO C＝180°﹣105°＝75°，
3
故答案为：120，75．
解题秘籍：本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，
属于中考常考题型．
几何模型六 三角形一内角平分线与一高的夹角
例6 （2022春•金牛区校级期中）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，若∠B＝48°，∠C
＝68°，则∠DAE的度数是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．10° B．12° C．14° D．16°
思路引领：根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠EAC，求出∠DAC，再求出
答案即可．
解：∵∠B＝48°，∠C＝68°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝64°，
∵AE平分∠BAC，
1
∴∠EAC= ∠BAC＝32°，
2
∵AD是△ABC的BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝68°，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝22°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝32°﹣22°＝10°，
故选：A．
解题秘籍：本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高定义等知识点，能求出∠EAC
的度数是解此题的关键．
模型应用6
9．（2021秋•湖州期末）如图，在△ABC中，AE是△ABC的角平分线，D是AE延长线上一点，DH⊥BC
于点H．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠EDH＝ ．
1 1
思路引领：在△EHD中，由三角形的外角性质知：∠HED＝∠AEC＝∠B+ ∠BAC，所以∠B+
2 2
学科网（北京）股份有限公司1
∠BAC+∠EDH＝90°；联立△ABC中，由三角形内角和定理得到的式子，即可推出∠EDH= （∠C﹣
2
∠B）．
1
解：由三角形的外角性质知：∠HED＝∠AEC＝∠B+ ∠BAC，
2
1
故∠B+ ∠BAC+∠EDH＝90° ①，
2
△ABC中，由三角形内角和定理得：∠B+∠BAC+∠C＝180°，
1 1 1
即： ∠C + ∠B + ∠BAC＝90° ②，
2 2 2
1 1
②﹣①，得：∠EDH= （∠C﹣∠B）= ×（50°﹣30°）＝10°．
2 2
故答案为：10°．
解题秘籍：本题考查三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义等知识，解题的关键是
1
证明∠EDH= （∠C﹣∠B）．
2
第二部分 专题提优训练
1．（2022春•海淀区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交
A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
学科网（北京）股份有限公司思路引领：由OA⊥OB即可得出∠OAB+∠ABO＝90°、∠AOB＝90°，再根据角平分线的定义以及三角
形内角和定理即可求出∠P的度数．
解：∵OA⊥OB，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，∠AOB＝90°．
∵AD平分∠CAO，
1 1
∴∠DAO= ∠OAC= （180°﹣∠OAB）．
2 2
∵BD平分∠ABO，
1
∴∠ABD= ∠ABO，
2
1 1 1
∴∠D＝180°﹣∠DAO﹣∠OAB﹣∠ABD＝180°− （180°﹣∠OAB）﹣∠OAB− ∠ABO＝90°−
2 2 2
（∠OAB+∠ABO）＝45°．
故选：B．
1
解题秘籍：本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出∠P＝90°− （∠OAB+∠ABO）．本题
2
属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键
2．（2022春•仪征市期中）如图，∠AOB＝60°，点M、N分别在OA、OB上运动（不与点O重合），ME
平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M、N的运动过程中，∠F的度数（
）
A．变大 B．变小 C．等于45° D．等于30°
思路引领：由∠AMN是△OMN的外角，∠EMN是△FMN的外角，得到∠AMN＝∠O+∠ONM，∠EMN
＝∠F+∠FNM，
1
再由角平分线，得到∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，从而得到∠F= ∠O．
2
解：∵∠AMN是△OMN的外角，
∴∠AMN＝∠O+∠ONM，
∵∠EMN是△FMN的外角，
学科网（北京）股份有限公司∴∠EMN＝∠F+∠FNM，
∵ME平分∠AMN，FN平分∠MNO，
∴∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，
∴∠O＝2∠F，
∴∠F＝30°．
故选：D．
解题秘籍：本题考查了三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，以及三角形的内角和是180°的定理
的综合运用．属于常考题．
3．（2022春•宜兴市校级月考）在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点 F在CA的延长线上，
FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H，下列结论：
①∠DBE＝∠EFH；
②2∠BEF＝∠BAF+∠C；
③2∠EFH＝∠BAC﹣∠C；
④∠BGH＝∠ABE+∠C．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路引领：根据BD⊥FD，FH⊥BE，∠FGD＝∠BGH即可判断①；
根据角平分线的定义和三角形的外角性质可判断②；
根据角平分线的定义和三角形内角和定理，可求出∠CBE，再根据垂直的定义，可求出∠CBD，再根据
∠EBD＝∠CBD﹣∠CBE以及①的结论可判断③；
根据角平分线的定义和三角形的外角性质可判断④．
解：①∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠EFH＝90°，
∵FH⊥BE，
∴∠BGH+∠DBE＝90°，
∵∠FGD＝∠BGH，
∴∠DBE＝∠EFH，
学科网（北京）股份有限公司故①正确；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠BEF＝∠CBE+∠C，∠BAF＝∠ABC+∠C＝2∠CBE+∠C，
∴∠BAF+∠C＝2∠CBE+2∠C＝2（∠CBE+∠C）＝2∠BEF，
故②正确；
③∵BE平分∠ABC，
1
∴∠CBE= ∠ABC，
2
∵∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC，
1 1
∴∠CBE= （180°﹣∠C﹣∠BAC）＝90°− （∠C+∠BAC），
2 2
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴∠CBD＝90°﹣∠C，
1 1
∵∠EBD＝∠CBD﹣∠CBE＝90°﹣∠C﹣90°+ （∠C+∠BAC）= （∠BAC﹣∠C），
2 2
∴2∠EBD＝∠BAC﹣∠C，
∵∠EBD＝∠EFH，
∴2∠EFH＝∠BAC﹣∠C，
故③正确；
④∵∠FEB＝∠EBC+∠C，∠ABE＝∠EBC，
∴∠FEB＝∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD＝∠FEB，
∵∠FGD＝∠BGH，
∴∠BGH＝∠FEB，
∴∠BGH＝∠ABE+∠C，
故④正确；
故选：D．
解题秘籍：本题考查三角形内角和定理，三角形外角性质，解题的关键是正确运用三角形的高，中线和
角平分线的概念以及熟练掌握三角形的内角和定理和外角性质．
学科网（北京）股份有限公司4．（2022•雁塔区校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE是△ABC的外角∠BAD的平分线，BF平
分∠ABC与AE的反向延长线相交于点F，则∠BFE为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
1 1
思路引领：根据角平分线的定义的定义可知：∠ABF= ∠ABC，∠EAB= ∠BAD，根据三角形外角的
2 2
性质可知：∠EAB﹣∠ABF＝45°，得到∠BFE的度数．
解：∵BF平分∠ABC，
1
∴∠ABF= ∠ABC，
2
∵AE平分∠DAB，
1
∴∠EAB= ∠DAB，
2
∵∠DAB﹣∠ABC＝∠C＝90°，
∴∠EAB﹣∠ABF＝45°，
∴∠BFE＝∠EAB﹣∠ABF＝45°，
故选：C．
解题秘籍：本题考查的是三角形内角和定理和三角形的外角的性质，掌握三角形内角和等于180°和三角
形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
5．（2021秋•虎林市期末）把一副三角板ABC与BDE按如图所示的方式拼接在一起，其中A、D、B三点
在同一条直线上，BM为∠ABC的角平分线，BN为∠CBE的角平分线．下列结论：①∠MBN＝45°，
②∠BNE＝∠BMC，③∠EBN＝65°，④2∠NBD＝∠CBM，其中结论正确的个数是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路引领：利用特殊三角形的性质以及角平分线的定义求解即可．
解：∵∠ABC＝60°，BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM＝30°，
∵∠DBE＝90°，
∴∠CBE＝90°+60°＝150°，
∵BN平分∠CBE，
1
∴∠CBN＝∠EBN= ×150°＝75°，
2
∴∠MBN＝∠CBN﹣∠CBN＝75°﹣30°＝45°，故①正确，③错误，
∵∠C＝90°，
∴∠BMC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠BNE＝180°﹣∠E﹣∠EBN＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∴∠BMC＝∠BNE，故②正确，
∴∠NBD＝90°﹣75°＝15°，
∴2∠NBD＝∠CBM，故④正确，
故选：C．
解题秘籍：本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握角平分线的定义，
属于中考常考题型．
6．（2021秋•泗水县期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线相交于点D，∠A
＝44°，则∠D的度数是（ ）
A．44° B．24° C．22° D．20°
学科网（北京）股份有限公司1
思路引领：根据角平分线的定义可得∠CBD= ∠ABC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个
2
1
内角的和和角平分线的定义表示出∠DCE，然后整理即可得到∠D= ∠BAC，代入数据计算即可得解．
2
解：如图：
∵BD平分∠ABC，
1
∴∠CBD= ∠ABC，
2
∵CD平分△ABC的外角，
1 1 1 1
∴∠DCE= ∠ACE= （∠A+∠ABC）= ∠A+ ∠ABC，
2 2 2 2
1
在△BCD中，由三角形的外角性质，∠DCE＝∠CBD+∠D= ∠ABC+∠D，
2
1 1 1
∴ ∠A + ∠ABC = ∠ABC+∠D，
2 2 2
1 1
∴∠D= ∠BAC= ×44°＝22°，
2 2
故选：C．
解题秘籍：本题考查了三角形的外角性质的应用，能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注
意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
7．（2021秋•任城区期末）如图，点O是△ABC内一点，∠A＝60°，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的
角平分线，则∠BOC等于（ ）
A．110° B．120° C．130° D．无法确定
1
思路引领：根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝120°，根据角平分线求出∠OBC= ∠ABC，
2
学科网（北京）股份有限公司1
∠OCB= ∠ACB求出∠OBC+∠OCB＝60°，根据三角形的内角和定理求出即可．
2
解：∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，
∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
1 1
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
2 2
∴∠OBC+∠OCB＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°，
故选：B．
解题秘籍：本题主要考查了三角形的内角和定理．能求出∠OBC+∠OCB的度数是解答此题的关键．
8．（2021秋•莱阳市期末）如图，F是△ABC的角平分线CD和BE的交点，CG⊥AB于点G．若∠ACG＝
32°，则∠BFC的度数是（ ）
A．119° B．122° C．148° D．150°
思路引领：由已知条件可求得∠A＝58°，则由三角形的内角和可得∠ABC+∠ACB＝122°，由角平分线
1 1
可得∠BCD= ∠ACB，∠CBE= ∠ABC，从而可求得∠BCD+∠CBE＝61°，再次利用三角形的内角和
2 2
即可求∠BFC的度数．
解：∵CG⊥AB，∠ACG＝32°，
∴∠A＝90°﹣∠ACG＝58°，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝122°，
∵F是△ABC的角平分线CD和BE的交点，
1 1
∴∠BCD= ∠ACB，∠CBE= ∠ABC，
2 2
1
∴∠BCD+∠CBE= （∠ACB+∠ABC）＝61°，
2
在△BFC中，∠BFC＝180°﹣（∠BCD+∠CBE）＝119°．
故选：A．
解题秘籍：本题主要考查三角形的内角和，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
学科网（北京）股份有限公司9．（2021秋•临漳县期末）BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP
＝50°，则∠P＝（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
思路引领：根据角平分线的性质求出∠CBP与∠ACB的度数，再根据三角形内角和定理即可求解．
解：∵CP是∠ACM的角平分线，∠ACP＝90°，
∴∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠ACB＝80°，
∵BP是∠ABC的角平分线，∠ABP＝20°，
∴∠CBP＝∠ABP＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠ACB﹣∠ACP
＝180°﹣20°﹣80°﹣50°
＝30°，
故选：A．
解题秘籍：本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题
的关键．
10．（2021秋•武冈市期末）如图，已知P是三角形ABC内一点，∠BPC＝120°，∠A＝70°，BD是∠ABP
的角平分线，CE是∠ACP的角平分线，BD与CE交于点F，则∠BFC等于（ ）
A．100° B．90° C．85° D．95°
思路引领：利用三角形的内角和定理求得∠ABC+∠ACB，由∠BPC＝120°，可得∠PBC+∠PCB，利用
角平分线的性质可得∠FBP+∠FCP，易得∠FBC+∠FCB，由三角形的内角和定理可得结果．
解：∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝110°，
∵∠BPC＝120°，
学科网（北京）股份有限公司∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC＝60°，
∴∠ABP+∠ACP＝110°﹣60°＝50°，
∵BD是∠ABP的平分线，CE是∠ACP的平分线，
∴∠FBP+∠FCP＝25°，
∴∠FBC+∠FCB＝∠PBC+∠PCB+∠FBP+∠FCP＝60°+25°＝85°，
∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣85°＝95°．
故选：D．
解题秘籍：本题主要考查了三角形的内角和定理，运用整体代入是解答此题的关键．
11．（2022春•宜兴市校级月考）如图，∠A＝45°，∠BCD＝135°，∠AEB与∠AFD的角平分线交于点
P，下列结论：①EP⊥FP；②∠AEB+∠AFD＝∠P；③∠A＝∠PEB+∠PFD．其中正确的有（ ）
个．
A．0 B．1 C．2 D．3
1 1
思路引领：延长EP交AB于G，根据角平分线的定义可得∠1＝∠AEP= ∠AEB，∠2＝∠PFD=
2 2
∠AFD，再根据邻补角的定义求出∠BCF＝45°，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
角的和分别用∠1和∠2表示出∠EGB和∠EBG，再利用三角形的内角和定理列式求出∠1+∠2，然后表
示出∠EPF即可判断出①②正确，再求出∠PEB+∠PFD＝45°，判断出③正确．
解：如图，延长EP交AB于G，
∵∠AEB与∠AFD的角平分线交于点P，
1 1
∴∠1＝∠AEP= ∠AEB，∠2＝∠PFD= ∠AFD，
2 2
∵∠BCD＝135°，
∴∠BCF＝180°﹣135°＝45°，
在△AEG中，∠EGB＝∠A+∠AEP＝45°+∠1，
在△BCF中，∠EBG＝∠AFD+∠BCF＝2∠2+45°，
在△BEG中，∠1+∠EGB+∠EBG＝180°，
即∠1+45°+∠1+2∠2+45°＝180°，
解得∠1+∠2＝45°，
学科网（北京）股份有限公司在△GFP中，∠EPF＝∠EGB+∠2＝45°+∠1+∠2＝45°+45°＝90°，
∴EP⊥FP，故①正确；
∠AEB+∠AFD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）＝90°＝∠P，故②正确；
∵∠PEB+∠PFD＝∠1+∠2＝45°，
∴∠A＝∠PEB+∠PFD＝45°，故③正确．
综上所述，正确的结论有①②③共3个．
故选：D．
解题秘籍：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两
个内角的和的性质，作辅助线构造出三角形并求出∠1+∠2＝45°是解题的关键．
12．（2022春•碑林区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝56°，AE，AD分别是角平分线和
高，则∠DAE的度数是 ．
思路引领：利用三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线和高线，可求出∠BAE和∠BAD，进而
可求出∠DAE的度数．
解：∵∠B＝40°，∠C＝56°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝84°，
∵AE是△ABC的角平分线，
1
∴∠BAE＝∠EAC= ∠BAC＝42°，
2
又∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝50°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝50°﹣42°＝8°．
学科网（北京）股份有限公司故答案为：8°．
解题秘籍：本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质等知识点，掌握三角形的内角和定理是解
题关键．
13．（2022•灞桥区校级二模）三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是
．
1
思路引领：由三角形的外角性质可得∠BAC+∠ABC＝100°，再由角平分线的定义得∠1= ∠BAC，∠3
2
1
= ∠ABC，从而可求得∠1+∠3＝50°，再利用三角形的内角和定理即可求解．
2
解：∵∠ACQ是△ABC的外角，且∠ACQ＝100°，
∴∠BAC+∠ABC＝100°，
∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，
1 1
∴∠1= ∠BAC，∠3= ∠ABC，
2 2
1
∴∠1+∠3= （∠BAC+∠ABC）＝50°，
2
∴∠D＝180°﹣（∠1+∠3）＝130°．
故答案为：130°．
解题秘籍：本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各
角之间的关系．
14．（2021秋•威县期末）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线．
（1）若∠B＝47°，∠C＝73°，则∠DAE的度数为 ．
（2）若∠B＝ °，∠C＝ °（ ＜ ），用含 、 的代数式表示∠DAE的度数＝ ．
α β α β α β
学科网（北京）股份有限公司思路引领：（1）根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAE的度
数，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数，然后根据∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE计算即可．
（2）根据（1）的思路，把度数换位 ， ，整理即可得解．
解：（1）∵∠B＝47°，∠C＝73°， α β
∴∠BAC＝180°﹣47°﹣73°＝60°，
∵AD是△ABC的BC边上的高，
∴∠BAD＝90°﹣47°＝43°．
∵AE是∠BAC的角平分线，
1
∴∠BAE= ∠BAC＝30°．
2
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝43°﹣30°＝13°．
故答案为：13°．
（2）∵∠B＝ °，∠C＝ °，
∴∠BAC＝180α°﹣ °﹣ °，β
∵AD是△ABC的αBC边β上的高，
∴∠BAD＝90°﹣ °，
∵AE是∠BAC的α角平分线，
1 1
∴∠BAE= ∠BAC= （180°﹣ °﹣ °），
2 2
α β
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE
1
＝90°﹣ °− (180°−α°−β°)
2
α
1 1
＝90°﹣ °﹣90°+ °+ β°
2 2
α α
1
= （ ﹣ ）°．
2
β α
1
故答案为： (β−α)°．
2
学科网（北京）股份有限公司解题秘籍：本题考查了三角形的角平分线，三角形的高线，以及三角形的内角和定理，仔细分析图形，
观察出∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE，然后分别表示出∠BAD和∠BAE是解题的关键．
15．（2021秋•金台区期末）如图，在△ABC中，∠A＝52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于 D ，
1
∠ABD 与∠ACD 的
1 1
角平分线交于点D ，则∠BD C的度数是 ．
2 2
思路引领：根据三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB＝180°﹣52°＝128°，再根据角平分线的定义得
∠ABD +∠ACD ＝64°，∠D BA+∠D CA＝32°，再利用角的和差关系得出答案．
1 1 2 2
解：∵∠A＝52°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣52°＝128°，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线交于D ，
1
1
∴∠ABD +∠ACD ＝∠D BC+∠D CB= (∠ABC+∠ACB)=64°，
1 1 1 1 2
∵∠ABD 与∠ACD 的角平分线交于点D ，
1 1 2
1
∴∠D BA+∠D CA= (∠ABD +∠ACD )=32°，
2 2 2 1 1
∴∠CBD +∠BCD ＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠D BA+∠D CA）＝128°﹣32°＝96°，
2 2 2 2
∴∠BD C＝180°﹣（∠CBD +∠BCD ）＝180°﹣96°＝84°，
2 2 2
故答案为：84°．
解题秘籍：本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，利用整体思想是解题的关键．
16．（2021秋•江油市期末）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，并画
出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB
的度数是定值．这个定值为 ．
学科网（北京）股份有限公司思路引领：利用三角形内角和定理和直角三角形的性质求解即可．
解：∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵AD平分∠CAB，EB平分ABC，
1 1
∴∠FAB= ∠CAB，∠FBA= ∠CBA，
2 2
1
∴∠FAB+∠FBA= （∠CAB+∠CBA）＝45°，
2
∴∠AFB＝180°﹣45°＝135°．
故答案为：135°．
解题秘籍：本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵
活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．（2021秋•黄石期末）如图，△ABC的内角∠ABC的平分线BP与外角∠ACD的平分线CP交于点P，
连接AP，若∠BPC＝46°，则∠CAP＝ °．
思路引领：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD＝x°，由角平分线的定义可得∠ACP＝
∠PCD＝x°，PM＝PN，∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，从而可得PF＝PM，根据三角形的外角性质得
∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣46）°，由三角形的内角和性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的
性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案．
解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，如图所示：
学科网（北京）股份有限公司设∠PCD＝x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∵∠BPC＝46°，
∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣46）°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣46°）﹣（x°﹣46°）＝92°，
∴∠CAF＝88°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
{PA=PA
，
PM=PF
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP＝∠PAC＝44°．
故答案为：44．
解题秘籍：此题主要考查了角平分线的性质，三角形外角的性质，直角三角全等的判定等知识，根据角
平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解决问题的关键．
18．（2022春•源城区月考）如图，BE、CE分别为△ABC的内、外角平分线，BF、CF分别为△EBC的内、
外角平分线，若∠A＝52°，则∠BFC＝ 度．
1
思路引领：根据角平分线的性质，由 CE平分∠ACD，BE平分∠ABC得∠ECD= ∠ACD，∠EBC
2
学科网（北京）股份有限公司1 1 1 1
= ∠ABC，进而推断出∠E＝∠ECD﹣∠EBC= ∠ACD− ∠ABC= ∠A．同理可得∠F
2 2 2 2
1
= ∠E，从而解决此题..
2
解：∵CE平分∠ACD，BE平分∠ABC，
1 1
∴∠ECD= ∠ACD，∠EBC= ∠ABC．
2 2
又∵∠ECD＝∠E+∠EBC，
1 1 1 1 1
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBC= ∠ACD− ∠ABC= (∠ACD−∠ABC)= ∠A= ×52°=26°．
2 2 2 2 2
1 1
同理可证：∠F= ∠E= ×26°=13°．
2 2
故答案为13．
解题秘籍：本题主要考查角平分线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的性质以及三角形
外角的性质是解决本题的关键．
19．（2022春•射阳县期中）如图，△ABC的角平分线 CD、BE相交于 F，∠A＝90°，EG∥BC，且
CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝45°；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分
∠BCG．其中正确的结论是 （填序号）．
思路引领：根据角平分线的性质，垂直的性质及三角形内角和定理依次判断求解．
解：∵EG∥BC，且CG⊥EG于G，
∴∠BCG+∠G＝180°，
∵∠G＝90°，
∴∠BCG＝180°﹣∠G＝90°，
∵∠GEC+∠GCE＝90°，∠BCA+∠GCE＝90°，
∴∠GEC＝∠BCA，
学科网（北京）股份有限公司∵CD平分∠BCA，
∴∠GEC＝∠BCA＝2∠DCB，
∴①正确．
∵CD，BE平分∠BCA，∠ABC，
1
∴∠BFD＝∠BCF+∠CBF= （∠BCA+∠ABC）＝45°，
2
∴②正确．
∵∠GCE+∠ACB＝90°，∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠GCE＝∠ABC，
∵∠GCD＝∠GCE+∠ACD＝∠ABC+∠ACD，
∠ADC＝∠ABC+∠BCD，
∴∠ADC＝∠GCD，
∴③正确．
∵∠GCE+∠ACB＝90°，
∴∠GCE与∠ACB互余，
∴④错误．
故答案为：①②③．
解题秘籍：本题考查平行线的性质与三角形内角和及外角定理，解题关键是熟练掌握以上性质及定理．
20．（2021秋•西安期末）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角
∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论 ①∠1＝2∠2，
②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2，正确的是 ．（把所有正确的结论
的序号写在横线上）
1
思路引领：依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°+ ∠1，
2
∠BOC＝90°+∠2．
解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
1 1
∴∠DCE= ∠ACD，∠DBE= ∠ABC，
2 2
学科网（北京）股份有限公司又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，
1
= （∠ACD﹣∠ABC）
2
1
= ∠1，故①正确；
2
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
1 1
∴∠OBC= ABC，∠OCB= ∠ACB，
2 2
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
1
＝180°− （∠ABC+∠ACB）
2
1
＝180°− （180°﹣∠1）
2
1
＝90°+ ∠1，故②、③错误；
2
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
1 1
∴∠ACO= ∠ACB，∠ACE= ACD，
2 2
1 1
∴∠OCE= （∠ACB+∠ACD）= ×180°＝90°，
2 2
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；
故答案为：①④．
解题秘籍：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，
以及角平分线的定义．
21．（2021秋•开江县期末）已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝
30°，∠C＝50°．则∠DAE＝ 10 ° ．
学科网（北京）股份有限公司思路引领：根据三角形内角和定理得到∠BAC+∠B+∠C＝180°，而∠B＝30°，∠C＝50°，可求得∠BAC
1
＝180°﹣30°﹣50°＝100°，根据△ABC的角平分线的定义得到∠EAC= ∠BAC＝50°，而AD为高线，则
2
∠ADC＝90°，而∠C＝50°，于是∠DAC＝180°﹣90°﹣50°＝40°，然后利用∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC计
算即可．
解：∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，而∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∵AE是△ABC的角平分线，
1
∴∠EAC= ∠BAC＝50°
2
又∵AD为高线，
∴∠ADC＝90°，而∠C＝50°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝50°﹣40°＝10°．
故答案为：10°．
解题秘籍：本题考查了三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了角平分线的定义．
22．（2022春•达川区校级期中）如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，O为三条角平分线的交点，则∠BOC
＝ 度．
思路引领：根据三角形的内角和是180°，得：∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°；
1 1 1
又O为三条角平分线的交点，得：∠OBC+∠OCB= ∠ABC+ ∠ACB= ×100°＝50°；
2 2 2
再根据三角形的内角和定理，得：∠BOC＝130°．
解：在△ABC中，∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°．
学科网（北京）股份有限公司又∵O为三条角平分线的交点
1 1 1
∴∠OBC+∠OCB= ∠ABC+ ∠ACB= ×100°＝50°．
2 2 2
在三角形OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝130°．
解题秘籍：理解角平分线的概念以及掌握三角形的内角和定理．此题中，注意公式的总结：∠BOC＝
1
90°+ ∠A．
2
23．（2022春•碑林区校级期中）如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线．
（1）若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）若∠DAE＝15°，求∠C﹣∠B的大小．
思路引领：（1）利用三角形的内角和定理、角平分线的性质先求出∠BAD，再利三角形外角与内角的
关系求出∠ADE，最后利用三角形外角与内角的关系求出∠DAE；
（2）在Rt△ABE和Rt△ACE中表示出∠B、∠C，两式相减得结论．
解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．
∵AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线，
1
∴∠BAD= ∠BAC＝40°，∠AEC＝90°．
2
∵∠ADE＝∠B+∠BAD＝80°，∠AEC＝∠ADE+∠DAE，
∴∠DAE＝90°﹣80°＝10°．
（2）在Rt△ABE和Rt△ACE中，
∵∠B+∠BAE＝90°，∠C+∠CAE＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BAE，∠C＝90°﹣∠CAE．
∴∠C﹣∠B＝90°﹣∠CAE﹣（90°﹣∠BAE）
＝∠BAE﹣∠CAE
＝∠BAD+∠DAE﹣（∠CAD﹣∠DAE）
＝2∠DAE
学科网（北京）股份有限公司＝30°．
解题秘籍：本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是180°”、“三角形的外角等
于与它不相邻的两个内角的和”、“直角三角形的两个锐角互余”及角平分线的性质是解决本题的关键．
24．（2022春•滨海县校级月考）【情景引入】
1
（1）如图1，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线，说明∠D＝90°+ ∠A的理由．
2
【深入探究】
（2）①如图2，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量
关系是 ；
②如图3，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，探究∠D与∠A之间
的等量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）请用以上结论解决下列问题：如图4，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、
Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、
∠ECQ．
①∠A＝80°，则∠F的度数为 ；
②∠F＝n°，则∠A的度数为 ．
1
思路引领：（1）利用角平分线的定义得出∠1+∠2= （∠ABC+∠ACB），再利用三角形内角和定理即
2
学科网（北京）股份有限公司可求解；
（2）①利用三角形内角和定理可得∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，利用角平
分线的定义可得∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，从而得到∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°，化简即
可求解；
②利用三角形的外角性质可得∠DCE＝∠DBC+∠D，∠A+2∠DBC＝2∠DCE，从而得到∠A+2∠DBC
＝2∠DBC+2∠D，化简即可求解；
1
（3）①由（1）知：∠D＝90°+ ∠A，即可求出∠A，利用三角形内角和定理可得∠MBC+∠NCB，再
2
1
利用角平分线的性质可得∠CBE+∠BCE，利用三角形内角和定理可得∠E，再由（2）②可知∠F=
2
∠E，求解即可；
②利用（3）①的解答过程进行逆推即可求解．
解：（1）∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
1 1
∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB，
2 2
1
∴∠1+∠2= （∠ABC+∠ACB），
2
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°，
1
∴∠D＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°− （∠ABC+∠ACB），
2
1
∴∠D＝90°+ ∠A；
2
1
（2）①∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝90°− ∠A，理由如下：
2
∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，
∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，
∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝180°﹣2∠DBC，∠ACB＝180°﹣
2∠DCB，
∴∠A+180°﹣2∠DBC+180°﹣2∠DCB＝180°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠D，
∴∠A﹣2（∠DBC+∠DCB）＝﹣180°，
∴∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°，
∴∠A+2∠D＝180°，
学科网（北京）股份有限公司1
∴∠D＝90°− ∠A，
2
1
故答案为：∠D＝90°− ∠A；
2
1
②∠D与∠A之间的等量关系是：∠D= ∠A，理由如下：
2
∵BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，
∵∠DCE＝∠DBC+∠D，∠A+2∠DBC＝2∠DCE，
∴∠A+2∠DBC＝2∠DBC+2∠D，
∴∠A＝2∠D，
1
∴：∠D= ∠A；
2
1
（3）①由（1）知：∠D＝90°+ ∠A，
2
∵∠A＝80°，
∴∠D＝130°，
∴∠DBC+∠DCB＝50°，
∴∠MBC+∠NCB＝360°﹣50°＝310°，
∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，
1
∴∠CBE+∠BCE= （∠MBC+∠NCB）＝155°，
2
∴∠E＝180°﹣155°＝25°，
1
由（2）②知：∠F= ∠E，
2
1
∴∠F= ∠E＝12.5°，
2
故答案为：12.5°；
1
②由（2）②知：∠F= ∠E，
2
∵∠F＝n°，
∴∠E＝2∠F＝2n°，
∵∠E+∠CBE+∠BCE＝180°，
∴∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠E＝180°﹣2n°，
∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，
学科网（北京）股份有限公司∴∠MBE＝∠CBE，∠NCE＝∠BCE，
∵∠MBC＝∠MBE+∠CBE＝2∠CBE，∠NCB＝∠NCE+∠BCE＝2∠BCE，
∴∠MBC+∠NCB＝2（∠CBE+∠BCE）＝360°﹣4n°，
∵∠DBC＝180°﹣∠MBC，∠DCB＝180°﹣∠NCB，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠MBC+180°﹣∠NCB＝360°﹣（∠MBC+∠NCB）＝4n°，
∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣4n°，
1
由（1）知：∠D＝90°+ ∠A，
2
∴∠A＝180°﹣8n°，
故答案为：180°﹣8n°．
解题秘籍：本题考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟记三
角形外角性质，内角和定理，角平分线的定义．
25．（海珠区期末）在平面直角坐标系中，点A（a，b）是第四象限内一点，AB⊥y轴于B，且B（0，b）
是y轴负半轴上一点，b2＝16，S△AOB ＝12．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）如图1，点D为线段OA（端点除外）上某一点，过点D作AO垂线交x轴于E，交直线AB于F，
∠EOD、∠AFD的平分线相交于N，求∠ONF的度数．
（3）如图2，点D为线段OA（端点除外）上某一点，当点D在线段上运动时，过点D作直线EF交x
轴正半轴于E，交直线AB于F，∠EOD，∠AFD的平分线相交于点N．若记∠ODF＝ ，请用 的式子
表示∠ONF的大小，并说明理由． α α
思路引领：（1）先确定B的坐标，再利用S△AOB 的面积求出AB，即可求出点A的坐标，
学科网（北京）股份有限公司1
（2）过点N作NM∥x轴，平行线的性质及角平分线的性质可得出∠MNO＝∠NOC= ∠EOD，∠MNF
2
1
＝∠NFA= ∠AFD，利用三角形的内角和，即可得出∠ONF的度数，
2
1
（3）过点N作NM∥x轴，平行线的性质及角平分线的性质可得出∠MNO＝∠NOC= ∠EOD，∠MNF
2
1
＝∠NFA= ∠AFD，利用三角形外角性质，即可得出∠ONF的度数，
2
解：（1）∵b2＝16，
∴b＝±4，
∵B（0，b）是y轴负半轴上一点，
∴B（0，﹣4），
∵AB⊥y轴，S△AOB ＝12．
1 1
∴ AB•BO＝12，即 AB×4＝12，解得AB＝6，
2 2
∴A的坐标为（6，﹣4），
（2）如图1，过点N作NM∥x轴，
∵NM∥x，
∴∠MNO＝∠NOC，
∵ON是∠EOD的角平分线，
1
∴∠MNO＝∠NOC= ∠EOD，
2
学科网（北京）股份有限公司又∵MN∥AB
∴∠MNF＝∠NFA，
∵FN是∠AFD的角平分线，
1
∴∠MNF＝∠NFA= ∠AFD，
2
∵AB∥x轴，
∴∠OED＝∠AFD，
∵ED⊥OA，
∴∠EOD+∠AFD＝90°，
1 1
∴∠ONF＝∠MNO+∠MNF= （∠EOD+∠AFD）= ×90°＝45°．
2 2
（3）如图2，过点N作NM∥x轴，
∵NM∥x，
∴∠MNO＝∠NOC，
∵ON是∠EOD的角平分线，
1
∴∠MNO＝∠NOC= ∠EOD，
2
又∵MN∥AB
∴∠MNF＝∠NFA，
∵FN是∠AFD的角平分线，
1
∴∠MNF＝∠NFA= ∠AFD，
2
学科网（北京）股份有限公司∵AB∥x轴，
∴∠OED＝∠AFD，
∵∠ODF＝∠EOD+∠AFD＝ ，
α1 1
∴∠ONF＝∠MNO+∠MNF= （∠EOD+∠AFD）= ．
2 2
α
解题秘籍：本题主要考查了坐标与图形性质，三角形的面积，三角形内角和定理和三角形的外角性质等
1
知识，证出∠ONF= （∠EOD+∠AFD）是解题的关键．
2
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