文档内容
第 01 讲 二次根式及其性质
考点1：二次根式的定义与有意义条件
考点2：双重非负性的应用
考点3：二次根式性质的正向与逆向运用
考点4：❑√a2的化简
考点5：性质条件的辨析
重点：
（1）双重非负性
（2）4条核心性质的灵活运用
（2）❑√a2与（❑√a） 2的区别
难点：
（1）含的字母❑√a2的化简
（2）非负性的综合应用
知识点1：二次根式的定义及有意义的条件
1.定义：一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式， 称为 称为
二次根号．如 都是二次根式。
【总结】二次根式满足条件：
（1）必须含有二次根号
（2） 被开方 数必须是非负数2.有意义的条件
①单个二次根式：被开方数a≥0。
②多个二次根式：所有被开方数均≥0。
③含分母：被开方数≥0且分母≠0
【题型1 二次根式的识别】
【典例1】下面是二次根式的是（ ）
1
A． B．√32 C．❑√2 D．❑√−4
3
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式是指根指数为2的根式，且被开方
数非负数．
【详解】解：二次根式需满足根指数为2且被开方数是非负数，
1
A选项：∵ 为分数，不是二次根式，故A选项不符合题意；
3
B选项：∵√32的根指数为3，∴√32不是二次根式，故B选项不符合题意；
C选项：∵❑√2根指数为2且被开方数是非负数，∴❑√2是二次根式，故C选项符合题意；
D选项：∵❑√−4被开方数为−4<0，在实数范围内无意义，∴❑√−4不是二次根式，故
D选项不符合题意．
故选：C．
【变式1】下列式子中，属于二次根式的是（ ）
√1
A．√38 B．❑√−5 C．❑√x2+1 D．❑
x
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的定义，一般地，我们把形如❑√a(a≥0)的式子叫做二次
根式，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键．
根据二次根式的定义逐项判断即可得出答案．
【详解】∵二次根式需满足根指数为2且被开方数≥0，
对于A：√38，根指数为3，不是二次根式；
对于B：❑√−5，被开方数−5<0，无意义，不是二次根式；对于C：❑√x2+1，∵x2≥0，x2+1≥1>0，恒成立，是二次根式；
√1 1
对于D：❑ ，当x<0时， <0，被开方数不能保证为非负数，不属于二次根式的式子；
x x
故选C．
【变式2】下列各式中，是二次根式的是（ ）
A．❑√−6 B．❑√x2+2x+3 C．❑√a D．√3 9
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的定义，属于基础概念题，难度不大．解题的关键是掌握二
次根式的概念．形如“❑√a”且a≥0的式子叫二次根式．
结合二次根式的定义即可求解．
【详解】解：A：在❑√−6中，−6<0，不合题意，故错误；
B：在❑√x2+2x+3=❑√(x+1) 2+2中，(x+1) 2+2≥2>0，符合题意，故正确；
C：在❑√a中，a的正负性不可确定，不合题意，故错误；
D：在√3 9中，根指数是3，不合题意，故错误；
故答案是：B．
【变式3】下列各式❑√(x−1) 2，❑√−3，√37，❑√a2+1中是二次根式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据
二次根式的定义，“形如❑√a(a≥0)的式子”，逐一判断各表达式即可．
【详解】解：下列各式❑√(x−1) 2，❑√−3，√37，❑√a2+1中是二次根式的有❑√(x−1) 2，
❑√a2+1，共2个；
故选B．
【题型2 求二次根式的值】
1
【典例2】已知实数x，y满足y=❑√x−2025+❑√2025−x− ，求x2024 y2025的值．
20251
【答案】−
2025
【分析】本题考查了二次根式的性质，积的乘方的逆用，同底数幂乘法的逆用，正确掌
握相关性质内容是解题的关键．先结合二次根式的非负性，得
1
x−2025≥0，2025−x≥0，即x=2025，又因为y=❑√x−2025+❑√2025−x− ，
2025
1
得y=− ，整理x2024 y2025=(xy) 2024×y，最后代入数值计算，即可作答．
2025
【详解】解：结合二次根式有意义的性质，得x−2025≥0，2025−x≥0，
∴x≥2025，2025≥x，
即x=2025，
1 1 1
∴y=❑√x−2025+❑√2025−x− =0+0− =− ，
2025 2025 2025
则x2024 y2025
=x2024 y2024×y
=(xy) 2024×y
2024
[ ( 1 )) ( 1 )
= 2025× − × −
2025 2025
=(−1) 2024× ( − 1 )
2025
1
=− ．
2025
【变式1】当x=5时，二次根式❑√9−x的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．将x=5代入❑√9−x
计算即可．
【详解】解：当x=5时，
❑√9−x=❑√9−5=❑√4=2．
故选：B．
【变式2】《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以1
乘正广”，就是说：“S = ×底×高”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九
三角形 2
章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积，用式
√ 1[ (a2+b2−c2 ) 2 )
子可表示为：S=❑ a2b2− （其中a、b、c为三角形的三条边长，S
4 2
为三角形的面积）．在△ABC中，AB=❑√6,AC=❑√3,BC=❑√5，则△ABC的面积为
．
❑√14 1
【答案】 / ❑√14
2 2
【分析】本题考查代数式求值，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵AB=❑√6,AC=❑√3,BC=❑√5，
∴a=❑√5,b=❑√3,c=❑√6,
√ 1 [ ((❑√5) 2+(❑√3) 2 −(❑√6) 2 ) 2 ) ❑√14
∴S=❑ (❑√5) 2 (❑√3) 2 − = ，
4 2 2
❑√14
故答案为： ．
2
【变式3】已知x，y是实数，且满足y=❑√x−6+❑√6−x+1．
(1)求x和y的值；
(2)求❑√x+2y的值．
【答案】(1)x=6，y=1
(2)2❑√2
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的求值，根据二次根式有
意义的条件求得x=6是解题关键．
（1）根据二次根式有意义的条件可得x的值，进而得出y的值；
（2）将x，y的值代入❑√x+2y计算即可
【详解】（1）∵x，y是实数，且满足y=❑√x−6+❑√6−x+1，
{x−6≥0)
∴
6−x≥0
解得x=6
∴y=1；
（2）当x=6，y=1时，❑√x+2y=❑√6+2×1=2❑√2；
【题型3 求二次根式中的参数】
【典例3】n为正整数，且❑√18n是整数，那么n的最小值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的定义，掌握二次根式的性质，
二次根式的定义是解题的关键．
先根据二次根式的性质化简为：3❑√2n，由题意可知，❑√2n必须是整数，即2n必须是
一个完全平方数，当n=2时，2n=2×2=4，4是完全平方数，进而得出答案．
【详解】解：∵n为正整数，且❑√18n=3❑√2n是整数，
∴❑√2n必须是整数，即2n必须是一个完全平方数，
当n=2时，2n=2×2=4，4是完全平方数，
此时❑√2n=❑√4=2，
∴3❑√2n=3×2=6是整数，
∴n的最小值是2．
故答案为：2．
【变式1】已知❑√13−m是整数，则自然数m的最小值是（ ）
A．12 B．9 C．1 D．4
【答案】D
【分析】本题考查二次根式．由❑√13−m是整数，可设k=❑√13−m（k为非负整数），
则m=13−k2，且m≥0，故k2≤13，枚举k值进而求出m的可能值，即可得出答案．
【详解】解：∵❑√13−m是整数，
∴设k=❑√13−m，其中k为整数且k≥0，
则k2=13−m，
∴m=13−k2．
又∵m是自然数，
∴m≥0，即13−k2≥0，
∴k2≤13，
∴k可取0，1，2，3．
当k=0时，m=13−0=13；
当k=1时，m=13−1=12；
当k=2时，m=13−4=9；当k=3时，m=13−9=4．
∴m的可能值为13，12，9，4，最小值为4．
故选：D．
【变式2】已知❑√a−6+|b−3)=0，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ．
【答案】3
【分析】由题意得，a−6=0，b−3=0，可求a=6，b=3，由等腰三角形可知，第
三条边为3或6，然后根据三角形三边关系分情况求解作答即可．
【详解】解：∵❑√a−6+|b−3)=0，
∴a−6=0，b−3=0，
解得，a=6，b=3，
由等腰三角形可知，第三条边为3或6，
当第三条边为3时，此时无法构成三角形，舍去；
当第三条边为6时，此时能构成三角形，则三边分别为6，6，3，底边长为3，
综上所述，以a、b为边的等腰三角形的底边长为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角
形三边关系的应用．熟练掌握二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定
义，三角形三边关系的应用是解题的关键．
【变式3】已知❑√13−x是整数，则自然数x的所有取值为 ．
【答案】13,12,9,4
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式，还考
查了二次根式的性质：❑√a2=a．由已知可得13−x≥0且13−x为完全平方数求解．
【详解】解：由已知得13−x≥0，
∴x≤13
又∵❑√13−x为整数
∴13−x为完全平方数，
∴13−x=0或1或4或9
∴自然数x的所有取值为：13,12,9,4．
【题型4 二次根式有意义的条件】❑√x+2
【典例4】若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
x
A．x≠0 B．x≥−2 C．x>−2且x≠0 D．x≥−2且x≠0
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式及分式有意义的条件，代数式有意义需满足分母不为零
且根号内非负，即x≠0且x+2≥0，即可求解．
❑√x+2
【详解】解：∵代数式 有意义，
x
∴x≠0，且x+2≥0即x≥−2，
∴x≥−2且x≠0，
故选：D．
【变式1】若式子❑√2x−1有意义，则x的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A．x≥− B．x>− C．x≠− D．x≥
2 2 2 2
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如❑√a(a≥0)的式子叫二次根式，二次
根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
根据被开方数是非负数列式求解即可．
【详解】解：∵❑√2x−1有意义，
∴2x−1≥0，
∴2x≥1，
1
∴x≥ ．
2
1
因此，x的取值范围是x≥ ．
2
故选：D．
【变式2】当 时，二次根式❑√2x−6无意义．
【答案】x<3
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是明确“二次根式无意义时，
被开方数小于0”，进而列不等式求解．
二次根式无意义的条件是被开方数小于0，据此分析即可．
【详解】解：二次根式❑√2x−6有意义的条件是被开方数2x−6≥0，反之，当被开方
数2x−6<0时，二次根式无意义．解不等式2x−6<0，得：
2x<6，即x<3．
故答案为：x<3．
❑√3−x
【变式3】若代数式 有意义，则x的取值范围是 ．
x+1
【答案】x≤3且x≠−1
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟记分母不为
0，被开方数为非负数是解本题的关键．
根据二次根式中的被开方数是非负数、分母不为零得到3−x≥0，x+1≠0，进而求解
即可．
❑√3−x
【详解】解：∵代数式 有意义，
x+1
∴3−x≥0，x+1≠0，
∴x≤3且x≠−1．
故答案为：x≤3且x≠−1．
知识点2：二次根式的性质
（1）双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值)
（2）回归性 : (主要用于二次根式的计算)
（3）转化性：
【题型5 利用二次根式的性质化简】
【典例5】已知−10,x−5<0，
∴❑√(1+x) 2+|x−5)=1+x+5−x=6；
故答案为：6．
【变式1】当1≤x≤3时，化简：❑√x2−2x+1+|x−3)= ．
【答案】2
【分析】本题考查二次根式的化简，绝对值的化简，掌握相关知识是解决问题的关键．
根据x的取值范围，将算术平方根化为绝对值形式，再根据非负数的绝对值等于它本
身，负数的绝对值等于它的相反数化简绝对值，最后合并同类项．
【详解】解： ∵1≤x≤3，
∴❑√x2−2x+1+|x−3)
=❑√(x−1) 2+|x−3)
=|x−1)+|x−3)
=x−1+3−x
=2．
故答案为：2．
【变式2】已知−20,x−4<0，
∴❑√(x+2) 2=|x+2)=x+2，❑√(x−4) 2=|x−4)=−(x−4)=−x+4，
∴原式=(x+2)+(−x+4)=x+2−x+4=6．
故答案为：6．【变式3】当10，再利用
算术平方根的性质化简式子即可．
【详解】解：由数轴得，b<0|a)，
∴a−b>0，
∴❑√a2+❑√(a−b) 2+❑√b2
=|a)+|a−b)+|b)
=a+a−b−b
=2a−2b；
故选：C．
【变式1】如图，已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简❑√(a−2) 2的结果是
．【答案】2−a
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简是关键．根据
点在数轴上的位置得到10,a−2<0，再将原式化为|a−1)+|a−2)，然
后去绝对值即可．
【详解】解：根据数轴可知10,a−2<0，
∴|a−1)+❑√(a−2) 2=|a−1)+|a−2)=a−1+2−a=1．
故选：C．
【变式3】如图，在数轴上，点A对应的数为a，点B对应的数为b，则化简❑√a2+|a−b)
后结果正确的是（ ）
A．−b B．b C．2a+b D．−2a+b
【答案】D
【分析】本题考查了数轴上的点，二次根式的性质以及绝对值的意义，熟练掌握知识
点是解决本题的关键．先确定a,b的符号，判断a−b的正负，❑√a2+|a−b|=|a|+|a−b|，然后化简绝对
值即可．
【详解】解：∵a<0,b>0,|b|>|a|，
∴a−b<0，
∴❑√a2+|a−b|=|a|+|a−b|=−a−a+b=−2a+b，
故选：D．
1．二次根式❑√x−3有意义的条件是（ ）
A．x>3 B．x>−3 C．x≥−3 D．x≥3
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据被开方数是非负数列出不等式求解
即可．
【详解】解：∵二次根式❑√x−3有意义，
∴x−3≥0，
∴x≥3．
故选D．
2．化简(−❑√7) 2的结果为（ ）
A．±7 B．±49 C．7 D．−7
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的平方运算，掌握积的乘方规则以及二次根式的平方等
于其被开方数是解题的关键．
平方运算会使负号消失，因为负数的平方是正数，且平方根平方后得到原数．
【详解】解：∵(−❑√7) 2=(−1) 2×(❑√7) 2=1×7=7，
∴结果为7．
故选：C．
3．计算❑√(−3) 2的结果为（ ）
A．±3 B．3 C．9 D．❑√3【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握算术平方根的结果为非负数是解题的关键．
先计算根号内(−3) 2的结果，再根据二次根式的性质化简，最后逐一判断选项．
【详解】解：∵先计算根号内的式子：(−3) 2=9，
∴原式=❑√9．
∵算术平方根的结果是非负的，
∴❑√9=3．
故选：B．
4．下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
√5
A．❑√3 B．2❑√2 C．❑√a D．❑
6
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式要求被开方数必须是非负数，即
可判断．
【详解】解：A、❑√3，被开方数3>0，符合定义；
B、2❑√2，被开方数2>0，符合定义；
C、❑√a，由于字母a的取值范围不确定，不能保证被开方数a≥0，故该式子不一定是二次
根式，不符合定义；
√5 5
D、❑ ，被开方数 >0，符合定义；
6 6
故选：C．
5．已知❑√2025−a是正整数，则整数a的最大值为（ ）
A．2025 B．2024 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本
题的关键．
由题意可得a≤2025，要使❑√2025−a是正整数，即可得出当n最大取2024时，
❑√2025−a是正整数．
【详解】解：∵2025−a≥0
∴a≤2025
要使❑√2025−a是正整数，即当a=2024时，❑√2025−2024=1．
故整数a的最大值为2024．
故选：B．
6．已知10,x−2<0，
∴|x−1)+|x−2)=x−1+2−x=1，
∴❑√(x−1) 2+|x−2)=1，
故选：B．
√1
7．化简：❑ = ．
4
1
【答案】 /0.5
2
【分析】本题主要考查了二次根式乘除运算性质，准确计算是解题的关键．
应用平方根的性质，将根号内的分数分解为分子的平方根除以分母的平方根．
√1 ❑√1 1
【详解】❑ = = ；
4 ❑√4 2
1
故答案是： ．
2
8．y=a+❑√1−2a+a2，其中a=99，则y= ．
【答案】197
【分析】本题考查了二次根式的性质，通过将根号内的表达式化为完全平方形式，化
简后根据a的值确定绝对值，从而求解．【详解】解：由题意，y=a+❑√1−2a+a2．1−2a+a2=(a−1) 2，
∴❑√1−2a+a2=❑√(a−1) 2=|a−1|．
当a=99时，a−1=98>0，
故|a−1|=a−1．
因此y=a+(a−1)=2a−1．
代入a=99，得y=2×99−1=198−1=197．
故答案为：197．
9．已知y=❑√3−x+❑√x−3−2，则xy= ．
1
【答案】
9
【分析】本题主要考查二次根式有意义得条件，掌握❑√x有意义，则x≥0是解题的关
键．
根据题意，3−x≥0且x−3≥0，可解得x=3，继而得到y=−2，接着求xy即可．
【详解】解：∵y=❑√3−x+❑√x−3−2，
{3−x≥0)
∴ ，
x−3≥0
解得x=3，
∴y=−2，
1 1
∴xy=3−2= =
．
32 9
1
故答案为： ．
9
10．已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|b−a|−❑√a2= ．
【答案】b
【分析】本题考查了数轴的特点，化简绝对值，二次根式的性质化简，理解数轴上点
的符号，掌握二次根式性质化简是关键．
根据数轴的特点到a<0|b)，结合绝对值的性质，二次根式的性质化简即可．
【详解】解：由题意得，a<0|b)，
∴b−a>0，∴|b−a)−❑√a2
=b−a−|a)
=a−a+a
=b，
故答案为：b ．
11．化简：
(1)(❑√9) 2； (2)❑ √ ( 8 ) 2 ； (3)❑√121； (4) ( ❑ √ 4 ) 2 ．
17 25
【答案】(1)9；
8
(2) ；
17
(3)11；
4
(4) ．
25
【分析】本题考查了二次根式性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质进行化简即可；
（2）根据二次根式的性质进行化简即可；
（3）根据二次根式的性质进行化简即可；
（4）根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】（1）解：(❑√9) 2=9；
√ ( 8 ) 2 8
（2）解：❑ = ；
17 17
（3）解：❑√121=❑√112=11；
2
(√ 4 ) 4
（4）解： ❑ = ．
25 25
12．已知实数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，化简：|a−b)+❑√a2−❑√(b−c) 2．【答案】−c
【分析】根据数轴上点的位置推出a−b>0，b−c<0，据此化简绝对值和二次根式
即可得到答案．
【详解】解：由数轴，得b0，b−c<0，
∴|a−b)+❑√a2−❑√(b−c) 2
=a−b+(−a)+b−c
=a−b−a+b−c
=−c．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，化简二次根式和绝对值，有理数的加减运算法
则，正确推出a−b>0，b−c<0是解题的关键．
