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专题 12.19 角平分线相关的几何模型（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【模型归纳】
【模型1】角平分线+两边垂线=全等三角形
【基本条件】OP平分 AOB，PM OA，PN OB，垂足分别为M、N，如图1.
【模型结论】Rt
∆POM≅Rt∆PON
图1
【模型2】角平分线+垂线=全等三角形（等腰三角形）
【基本条件】OP平分 AOB，CD OP，垂足为P，如图2.
【模型结论】Rt
∆POC≅Rt∆POD.
图2
【模型3】角平分线+两边截取相等线段=全等三角形【基本条件】OP平分 COD，PC=PD.
【模型结论】∆
POC≅∆POD.
图3
【模型4】角平分线+平行线=等腰三角形
【基本条件】OP平分 MON，AB//ON.
【模型结论】∆ 为等腰三角形
AOB .
图4
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】角平分线+两边垂线=全等三角形
【例1】（23-24七年级下·山西太原·期末）如图， 和 的平分线交于点E，过点E作
于点 于点G．
(1)试说明： ．(2)猜想 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2) ，理由见解析．
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键．
（1）过点 作 ，交 于点 ，根据角平分线的性质可得 ， 即可求证；
（2）先证明 ，得到 ，同理可得： ，即可求解．
（1）证明：过点 作 ，交 于点 ，如图：
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
∵ 平分 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，同理可得： ，
∵ ，
∴ ．
【变式1】（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，在 中， ，以A为圆心，任意长为半
径画弧，分别交 于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点
O，作射线 ，交 于点E．已知 ， ， 的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】A
【分析】根据角平分线的尺规作图可得 平分 ．作 ，再根据角平分线的性质可得
，再利用三角形的面积公式求解即可．
解：过点E作 ，如图所示：
由题意可知： 平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【变式2】（2024·重庆·三模）如图，四边形 中， 平分 ， 于点E，
，则 的长为 ．【答案】
【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，过点C作 交 的延长
线于点F，证明 ，则 ，证明 ，则
，得到 ，即可得到 的长．
解：过点C作 交 的延长线于点F，
∵ 平分 ， 于点E， 于F，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
故答案为：【题型2】角平分线+垂线=全等三角形
【例2】（21-22八年级上·江苏南京·期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，
BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝ CD．
【答案】见解析
【分析】分别延长BE、CA交于点F，首先结合题意推出 CFE≌△CBE，从而得到BE＝EF＝ BF，然后
△
证明 BFA≌△CDA，得到BF＝CD，即可得出结论．
证明△：分别延长BE、CA交于点F，
∵BE⊥ CD，
∴∠BEC＝∠FEC＝90°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCE＝∠BCE．
在△CFE与△CBE中，
∵∠BEC＝∠FEC，∠FCE＝∠BCE，CE＝CE，
∴△CFE≌△CBE，
∴BE＝EF＝ BF．
在△CFE与△CAD中，
∵∠F＋∠FCE＝∠ADC＋∠ACD＝ 90°，
∴∠F＝∠ADC．
在△BFA与△CDA中，
∵∠F＝∠ADC，∠BAC＝∠FAB，AB＝AC，
∴△BFA≌△CDA，
∴BF＝CD．∴BE＝ CD．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，理解角平分线的基本定义，熟练运用角平分线的性质构造
辅助线，并且准确判定全等三角形是解题关键．
【变式1】（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图， 是 的角平分线， ，垂足为 ，
若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键
是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
根据 ，求出 ， ，从而求得 ，再根据三角形全等证明
即可．
解： ， ，
，
平分 ，
，
，
，，
，
， ， ，
，
， ，
，
，
，
．
故选：B．
【变式2】（2024·安徽蚌埠·一模）如图，在 中， ， 是 的角平分线，
于点E，若 ，则（1） ；（2） 的周长是 ．
【答案】
【分析】（1）由角平分线的性质得点D到 的距离相等，然后利用三角形的面积公式求解即可；
（2）延长 交 于 ，根据ASA证明 ，根据全等三角形的性质得到 ，进而
得到 ，证明 得到 ，然后根据 得到 ，然后根据三角形周
长公式求解即可．
解：（1） 是 的角平分线，
∴点D到 的距离相等，
；
（2）延长 交 于平分
在 和 中，
，
，
∴ ，
∴ ，
．故答案为：（1） ；（2） ．
【点拨】本题考查了三角形全等判定和性质，三角形外角的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，
熟练掌握各部分知识点是本题的关键．
【题型3】角平分线+两边截取相等线段=全等三角形
【例3】（2024·江苏南通·二模）如图，点P是 内一射线 上一点，点M、N分别是边 、
上的点，连接 ， 且 ， ．
求证： 是 的平分线．
小星的解答如下：
证明：在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ……第一步
∴ ……第二步
∴ 是 的平分线．……第三步
(1)小星的解答从第 步开始出现错误；
(2)请写出你认为正确的证明过程．
【答案】(1)一 (2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，掌握三角形全等的判定方法是解题
的关键．
过点P作 ， 于点D，E，根据 证明 ，即可得到 ，然后根据
角平分线的判定定理即可得到结论．
解：（1）小星的解答从第一步开始出现错误，故答案为：一；
（2）证明：过点P作 ， 于点D，E，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的平分线．
【变式1】（22-23八年级上·吉林白城·期中）如图，在 中 ， 平分
交 于点D，在 上截取 ，则 的周长为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【分析】利用已知条件证明 ，得到 ，从而 ，
即可求得 的周长．
解：∵ 是 的平分线，
∴
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长 ．故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明 ．
【变式2】（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，在 中， 、 的角平分线交于点 ，
若 ， ，则 ．
【答案】 / 度
【分析】在 上取 ，连接 ， ，首先利用 证明 ，得 ，
，再证明 ，进而可得 ．
解：在 上取 ，连接 ， ，
平分 ，
，
又 ，
，
， ，
，
，
，
、 的平分线相交于点 ，
平分 ，
．
，
，，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识，作
辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【题型4】角平分线+平行线=等腰三角形
【例4】（2024·广西·一模）如图，已知 ， 平分 ．
(1)尺规作图：作 的平分线交 于点O，交 于点D；（要求：保留作图浪迹，不写作法，标明
字母）
(2)求证： ．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的尺规作图，角平分线的定义和平行线的性质：
（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）先由平行线的性质得到 ，再由角平分线的定义分别证明 ，
，据此可利用 证明 ．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，又∵ ，
∴ ．
【变式1】（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在四边形 中， ，若 的
角平分线 交 于 ，连接 ，且 平分 ，则下列结论：① ；② 为 的中点；
③ ；④ 其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】①由角平分线的定义即可求解；延长 ，交于点 ，可证 、
，即可判断②③④．
解：①∵
∴
∵ 平分 ， 平分
∴
∴
故①正确；
②延长 ，交于点 ，如图所示：
∵∵
即 为 的中点
故②正确；
∵
∴
故③正确；
∴
∴
故④正确；
故选：D
【点拨】本题重点考查了全等三角形的判定与性质．正确作出辅助线是解题关键．
【变式2】下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程： 已知：如图，
直线 l 和直线 l 外一点 A
求作：直线 AP，使得 AP∥l作法：如图
①在直线 l 上任取一点 B（AB 与 l 不垂直），以点 A 为圆心，AB 为半径作圆，与直线 l
交于点 C．
②连接 AC，AB，延长 BA 到点 D；
③作∠DAC的平分线AP．
所以直线AP就是所求作的直线，
根据小星同学设计的尺规作图过程，完成下面的证明证明：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB （填推理的依据）
∵∠DAC 是△ABC 的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB
∴∠DAC＝2∠ABC
∵AP 平分∠DAC，
∴∠DAC＝2∠DAP
∴∠DAP＝∠ABC
∴AP∥l （填推理的依据）
【答案】 （等边对等角）； （同位角相等，两直线平行）．
【分析】首先要根据角平分线的尺规作图即，再分别根据等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行
线的判定求解可得．
解：（1）如图所示，直线 即为所求．（2）证明： ，
（等边对等角），
是 的外角，
.
，
平分 ，
，
，
（同位角相等，两直线平行），
故答案为：（等边对等角）；（同位角相等，两直线平行）．
【点拨】本题主要考查作图 复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、三
角形外角的性质和平行线的判定．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·天津·中考真题）如图， 中， ，以点 为圆心，适当长为半
径画弧，交 于点 ，交 于点 ；再分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧（所在
圆的半径相等）在 的内部相交于点 ；画射线 ，与 相交于点 ，则 的大小为
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角
互余可求出 ，由作图得 ，由三角形的外角的性质可得 ，故可得答案
解：∵ ，
∴ ，
由作图知， 平分 ，
∴ ，
又
∴
故选：B
【例2】（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，直线 ，直线 分别与 ， 交于点 ， ，
小明同学利用尺规按以下步骤作图：
（1）点 为圆心，以任意长为半径作弧交射线 于点 ，交射线 于点 ；
（2）分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ；
（3）作射线 交直线 于点 ；若 ，则 度．
【答案】58
【分析】由作图得 平分 ，再根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”易得
，即可获得答案．
解：由作图得： 平分 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了尺规作图-基本作图以及平行线的性质，由作图得到 平分 是解题关键．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，在 中， 为 边上的高， 是
的角平分线，点 为 上一点，连接 ， ．
(1)求证： 平分
(2)如图2，连接 交 于点 ，若 与 的面积相等，求证：
【分析】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全
等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键．
（1）根据 是 的角平分线和， 为 边上的高，可得 ，由
得 ，即可证明 ；
（2）过点E作 于点M， 于点N，由角平分线性质可以得 ，由 与
的面积相等可得 ，证明 ，得出 ， ，
即可得出 ，再根据垂直模型证明 ，即可得出
结论．
（1）证明：∵ 为 边上的高，即 ，
∴ ，∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即： 平分 ．
（2）过点E作 于点M， 于点N，
平分 ，且 ， ，
．
，
，
平分 ，
，
在 和 中，
，
， ，
，
，，
为 边上的高，
，
，
．
在 和 中，
．
.
【例2】（23-24八年级上·江西宜春·期末）课本再现：
思考如图12.3-3，任意作一个角 ，作出 的平分线 ．在 上任取一点P，过点P画出
， 的垂线，分别记垂足为D、E，测量 、 并作比较，你得到什么结论？在 上再取几个点
试一试．
通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
【实验猜想】针对以上问题，同学们进行了小组实验探究，并猜想：角的平分线上的点到角的两边的距
离相等．
【推理证明】为了证明该定理，小明同学根据书上的图形（如图12.3-3）写出了“已知”和“求证”，请
你利用全等的知识完成证明过程．
（1）已知：点P是 的平分线 上一点，过点P作 于点D， 于点E．求证：
．
【知识应用】（2）如图2， 的平分线与 的外角 的平分线相交于点O，过点O作
于点D， 于点E，连接 ．
①证明： 平分 ；
②若 ，则 ________．【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；②
【分析】（1）根据条件证明 ，从而 ．
（2）①过点O作 于点F， 由（1）的结论易证 ，根据“到角的两边距离相等的
点在这个角的平分线上”得到 平分 ；
②根据三角形的内角和 ，再利用角平分线的定义和“三角形的一个外角等
于不相邻的两个内角的和”，推导出 ，从而求解．
（1）证明： 平分 ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）①证明：过点O作 于点F，
是 的平分线， ， ，
，是 的平分线， ， ，
，
，
， ，
平分 ，
② 平分 ， 平分 ，
， ，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、角平分线的性质和判定以及三角形的
内角和定理、三角形外角的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
