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专题 07 巧构等腰三角形的四类综合题型
目录
典例详解
类型一、利用平行线+角平分线构造等腰三角形
类型二、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形
类型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形
类型四、利用倍角关系构造新等腰三角形
压轴专练
类型一、利用平行线+角平分线构造等腰三角形
模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分
线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类
似总结）。
平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。
图1 图2 图3
条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。
条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。
条件：如图3，在 中， 平分 ， 平分 ，过点O作 的平行线与 ， 分
别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。
例1．（1）如图1， 中， ， ， 的平分线交于O点，过O点作 交
， 于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想： 与 ， 之间有怎样的关系，并说明理由；
（2）如图2，若 ，其他条件不变，图中有 个等腰三角形； 与 ， 间的关系是 ；
（3）如图3， ，若 的角平分线与 外角 的角平分线交于点O，过点O作交 于E，交 于F．图中有 个等腰三角形． 与 ， 间的数量关系是 ．
【变式1-1】如图，在 中， ， 的角平分线交 于点 ，过点 作 交
的延长线于点 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 是 上的一点，且 ，求证： ．
【变式1-2】（1）如图1， ， 平分 ，则 的形状是 三角形；
（2）如图2， 平分 ， ， ，则 ．
（3）如图3，有 中， 是角平分线， 交 于点D．若 ，则 ．
（4）如图4，在 中， 与 的平分线交于点F，过点F作 ，分别交 ， 于
点D，E．若 ，则 的周长为 ．
（5）如图，在 中， cm， 分别是 和 的平分线，且 ， 则
的周长是 ．类型二、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形
模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形.
条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DE//BC. 结论：△ADE是等腰三角形.
条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE//AB. 结论：△CDE是等腰三角形.
例2．如图， 是 的角平分线， ，交 于点 ．
(1)求证： 是等腰三角形．
(2)当 时，请判断 与 的大小关系，并说明理由．
【变式2-1】综合与探究
如图，在 中， ， 为 延长线上的一动点，且 ，交 于点 ．
(1)如图1，求证： 是等腰三角形．
(2)如图2，当 为 的中点时， 与 有怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由．
【变式2-2】（1）如图1， 为等边三角形，动点D在边 上，动点E在边 上．若这两点分别
从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接 交于点P，则在
动点D，E的运动过程中， 与 之间的数量关系是______________________．（2）如图2，若把（1）中的“动点D在边 上，动点E在边 上”改为“动点D在射线 上运动，
动点E在射线 上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，若把（1）中的“动点D在边 上”改为“动点D在射线 上运动”，连接 ，交
于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中， 与 之间存在怎样的数量关系？请写出简
要的证明过程．
类型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形
模型解析：如图， △ABC中,AD平分 ∠BAC,AD⊥BC,由“ASA”易得 △ABD≅△ACD,从而得
AB=AC,BD=CD.即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形.
例3．【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1， 平分 ．点 为 上一点，过点A作
，垂足为C，延长 交 于点B，可根据______证明 ，则 ，
（即点C为 的中点）．
【类比解答】
如图2，在 中， 平分 ， 于E，若 ， ，通过上述构造全等的
办法，可求得 ______．
【拓展延伸】
（1）如图3， 中， ， ， 平分 ， ，垂足E在 的延长线上，
试探究 和 的数量关系，并证明你的结论．（2）如图4， 中， ， ，点D在线段 上， ， ，垂足
为 ， 与 相交于点F．线段 与 的数量关系为______．（直接写出）
【变式3-1】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图 ， 平分 ．点 为 上一点，
过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，可证得 ，则 ， ．
【问题提出】
（1）如图 ，在 中， 平分 ， 于点 ，若 ， ，通过上述
构造全等的办法，求 的度数；
【问题探究】
（2）如图 ，在 中， ， ， 平分 ， ，垂足 在 的延长
线上，试探究 和 的数量关系；
【问题解决】
（3）如图 是一块肥沃的土地 ，其中 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角
形土地 进行水稻试验，他进行了如下操作：
作 的平分线 ；再过点 作 交 于点
已知 米， 米， 面积为 平方米，求划出的 的面积．
类型四、利用倍角关系构造新等腰三角形
模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形．
条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC. 结论：△BDC是等腰三角形.
条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD. 结论：△ADC是等腰三角形.
条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA
的延长线于点D. 结论：△DBC是等腰三角形.
例4．如图1， 是 的角平分线， ，试探究线段 ， ， 之间的数量关系．小明
的解题思路如下：
①如图2，在 上取一点 ，使 ，连接 ．
②由 ， 平分 ， 是公共边，
可得 （理由：________），
则 ， ．
③由 ，
则 ．
又因为 ，
所以 ，则 ________
又由 ，得 ．
④根据上述的推理可知 ， ， 之间的数量关系为________．(1)请你补全小明的解题思路．
(2)小明又想尝试其它方法：延长 到点 ，使 ，连接 ．请你帮助小明，完成解答过程．
【变式4-1】问题背景：在 中， ，点 为线段 一动点，当 满足某种条件时，探讨在
线段 、 、 、 四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系．
(1)在图1中，当 时，则可得 ，请你给出证明过程．
(2)当 时，如图2，求证： ；
(3)当 是 的角平分线时，判断 、 、 的数量关系，并证明你的结论．
一、解答题
1．已知：如图， 为 的外角平分线上的一点， ， ，求证：
(1) 是等腰三角形；
(2) ．
2．如图， 是 的角平分线，E是 的中点， ，交 于点F，交 延长线一点G．(1)求证： 是等腰三角形；
(2)求证： ．
3．某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图， 为主梁框架，
是桥墩支撑角度的2倍，即 ，工程师计划在 的角平分线处安装钢架 ，交底
梁 于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索 ，使得 ，分别交 ， 于点F，
E．
(1)求证：加固后的 是等腰三角形；
(2)经测量，主梁全长 为13米，关键节点间距 为5米，求原始支撑段 的长度．
4．在 中， 的垂直平分线分别交边 、边 和直线 于点 ，连接 ．
(1)点 在 的延长线上，
①如图，求证： ；
②如图，当 时，求 的周长；
(2)当 是等腰三角形时，请直接写出 的度数．
5．【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组发现：当角平分线遇上平行线时一般
可得等腰三角形．如图1， 为 的角平分线 上一点，常过点 作 交 于点 ，易得
为等腰三角形．(1)【基本运用】如图2，把长方形纸片 沿对角线 折叠，使点 落在点 处，则重合部分
是等腰三角形．请将以下过程或理由补充完整：
∵在长方形 中， ，
∴ ，由折叠性质可得：____________，
∴ ，
∴ ，（依据是：____________）
∴ 是等腰三角形；
(2)【类比探究】如图3， 中，内角 与外角 的角平分线交于点 ，过点 作
分别交 、 于点 、 ，试探究线段 、 、 之间的数量关系并说明理由；
(3)【拓展提升】如图4，四边形 中， ， 为 边的中点， 平分 ，连接 ，求
证： ．
6．已知在 中，满足 ．
(1)【问题解决】如图1，当 ， 为 的角平分线时，在 上取一点E，使得 ，
连接 ，请直接写出 之间的数量关系_________；
(2)【问题拓展】如图2，当 ，AD为 的角平分线时，在 上取一点E，使得 ，连
接 ，（1）中的结论还成立吗?若成立，请你证明；若不成立，请说明理由．
(3)【猜想结论】如图3，当 为 的外角平分线时，在 的延长线上取一点E，使得 ，连
接 ，请直接写出线段 的数量关系_________．
7．如图， 是等边三角形，点D在 上，点E在 的延长线上，且 ．(1)如图（1），若点 是 的中点， 度， 度， 度， （选填“ ”“
”或“ ”）．
(2)如图（2），若点 不是 的中点，题（1）中 与 的关系还成立吗？说明理由（提示：可以过D
作 的平行线 ，通过全等三角形和等边三角形相关知识证明）；
(3)如图（3），若点 在线段 的延长线上，试判断 与 的大小关系，并说明理由．
8．【问题初探】
（1）如图1，在 中， ，点F是 上一点，点E是 延长线上的一点，连接 ，交
于点D，若 ，求证： ．
【类比分析】
（2）如图4，在 中，点E在线段 上，D是 的中点，连接 ， ， 与 相交于点N，
若 ，求证： ；
【学以致用】
（3）如图5，在 中， ， ， 平分 ，点E在线段 的延长线上运
动，过点E作 ，交 于点N，交 于点D，且 ，请直接写出线段 ， 和 之间
的数量关系．
