文档内容
14.3 角的平分线
题型一 作角平分线
1．（24-25八年级上·广东江门·期中）尺规作图：(不写作法，保留作图痕迹)作 的角平分线 ．
【答案】图形见解析
【分析】本题主要考查尺规作图，熟练掌握角平分线的作图步骤是解题的关键．根据角平分线的作图步骤
画图即可．
【详解】解：以点 为圆心任意半径画弧，交 两点，以两点分别为圆心，大于两点 的距离画弧
交于一点，连接A点和此点的射线交 边于D点，连接 即可；
2．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在 中，作 的平分线交 于点D；（不写作法，
只保留作图痕迹．）【答案】作图见解析
【分析】本题考查作图-基本作图，解题的关键熟练掌握角平分线的作图方法．利用尺规作出 的平
分线 即可．
【详解】解：如图，射线 即为所求．
；
3．（24-25八年级上·广东广州·期中）已知 是 的一个外角， ．
(1)尺规作图，作 角平分线 ．（不写作法，保留痕迹）；
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了基本的尺规作图——角平分线，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的
外角定理，平行线的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握角平分线的作法和平行线的判定定理．
（1）利用角平分线的作法进行操作即可；
（2）利用等腰三角形的性质得出两底角相等，利用三角形的外角定理得出 ，利用角平分线
的性质得出 ，即可判定出两直线平行．
【详解】（1）解：如图所示，射线 即为所求；（2）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的平分线，
∴
∴ ，
∴
∴ ．
4．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图， 中， ， ，垂足为D．
(1)求作 的平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；）
(2)若 的平分线分别交 ， 于 ， 两点，证明： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查角平分线尺规作图，角平分线定义，同角的余角互余等．
（1）根据题意以点 为圆心，任意长为半径画弧交 于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点长
的一半为半径画弧，两弧交于一点，再连接 和两弧的交点，即为 的平分线；
（2）根据题意利用角平分线定义可得 ，后得到 ，继而得到本题答案．
【详解】（1）解：以点 为圆心，任意长为半径画弧交 于两点，再分别以这两点为圆心，大于两
点长的一半为半径画弧，两弧交于一点，再连接 和两弧的交点，如下图即为 的平分线：；
（2）解：根据题意画图如下：
， ，
，
．
，
．
，
．
，
．
题型二 用角平分线的性质定理证明
1．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在 中， 平分 ，且
，垂足分别为E，F．求证：
(1) ，
(2) ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键：
（1）根据角平分线的性质，利用 证明 即可；
（2）证明 ，即可得证．【详解】（1）证明：∵ 平分 ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ．
2．（24-25八年级上·天津·期中）如图，在 中， 平分 ，点 是 的中点， 于
点 ， 于点 ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定及性质．根据角平分线的性质得到 ，再证
明 ，即可得证结论．
【详解】证明： 平分 ， ， ，
， ，
是 的中点，
在 和 中，
，
∴ ，
．3．（24-25八年级上·陕西安康·期末）如图，在 中， ， 是 的平分线，
于点M，N在边 上且 ．
(1)求证： ．
(2)试判断 与 之间存在的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查角平分线的性质，直角三角形全等的判定和性质：
（1）根据角平分线的性质得到 ，证明 ，根据全等三角形的性质证明；
（2）证明 ，根据全等三角形的性质求解．
【详解】（1）证明： ，
，
是 的平分线， ， ，
，
在 和 中，
，
，
．
（2）解： ，理由如下：
在 和 中，
，
，
，．
由（1）得 ，
．
4．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知 平分 ， 于点 ， 交
的延长线于点F，且 ，求证： ．
【答案】答案见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明
是关键．根据角平分线的性质就可以得出 ，再证明 就可以得出结论．
【详解】证明：∵ 平分 ， 于 ， 于 ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
5．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）如图，在 中， ， 平分 ， 于点
E，点F在 上， ，求证： ．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的性质定理、
全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得 ，然后根据“ ”可判定 ，进而问题可求证．
【详解】证明：∵ ， 平分 ， 于点E，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
题型三 用角平分线的性质定理求面积
1．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，已知 的周长是 ， ， 分别平分 和
， 于点 ，且 ， 的面积是 ．
【答案】42
【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关
键．
根据角平分线的性质可得 ，从而可得到 的面积等于周长的一半乘以2，代入求出即
可．
【详解】如下图，连接 ，过 作 于 ， 于 ，
、 分别平分 和 ，
∴ 是 的平分线，
∵ ， ，
∴ ，
的周长是 ，，
故答案为： ．
2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在 中， ， 的平分线 交 于点 ，
若 ， ， ，则 的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质，能根据角平分线性质得出 是解此题的关键；
过 作 于 ，由 ， ，即可求得 的长，然后由角平分线的性质，求得
的长，继而求得答案．
【详解】解：过 作 于 ，
平分 ， ，
，
， ，
，
∵在 中， ， 的平分线 交 于 ，
，
，
的面积是： ．
故答案为：
3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在 中， ， 是 的平分线，如果的面积为 ，那么 的面积为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D分别作 的垂线，垂足为E、F，由角平分线的性
质可得 ，则可证明 ，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D分别作 的垂线，垂足为E、F，
∵ 是 的平分线， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为； ．
4．（22-23八年级上·黑龙江鸡西·期中）如图， 是 的角平分线， ，则
的面积是 ．
【答案】24【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握其性质及运用是关键．
先作 于E，再根据角平分线的性质得到 ，最后根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：过D作 于E，
∵ 是 的角平分线， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的面积 ．
故答案为：24．
题型四 用角平分线的性质定理求线段长度
1．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，在 中， 为 的平分线， 于E，
于F， 的面积是 ， ， ，求 的长．
【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质得出 ，根据三角形面积公式推出
，代入数据求解即可．
【详解】解：∵ 为 的角平分线， ， ，
∴ ，
∴，
∵ 的面积是 ， ， ，
∴ ，
∴ ．
2．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，在 中， 平分 ，过点 作 于点 ，
作 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据角平分线的性质得 ，然后证明 ，即可解决问题；
（2）根据三角形的面积公式即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是得到
．
【详解】（1）证明： 平分 ， ， ，
，
在 和 中，
，
，
；（2）解： ， ， ， ， ，
，
，
．
3．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，在 中， 是它的角平分线．求证 ．
(1)在图1中完成上面的证明过程；
(2)在图2中，如果 ， ， ， 求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握角平分
线的性质．
（1）过D作 于E， 于F，根据角平分线性质得出 ，根据 ，
，即可得出答案；
（2）过点A作 于E，根据三角形面积公式得出 ， ，从而得出
， 根据解析（1）得出 ， 代入数据求值即可．
【详解】（1）证明：过D作 于E， 于F，如图所示：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
即 ．
（2）解：如图，过点A作 于E，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴
∴ ．
4．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在 ， ， 平分 ， 于点
E，点F在 上， ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）证明 即可；
（2）证明 ，结合 ，列式计算即可．
本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，熟练掌握直角三角形的全等判定和性质是
解题的关键．
【详解】（1）证明：∵ ， 平分 ， ，
∴
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ， 平分 ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ．
∴ ，
∵ ， ，∴ ．
题型五 用角平分线的性质定理求点到直线的距离
1．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图， 是 的角平分线，若 ， ，则点
到 的距离是 ．
【答案】2
【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结果．
【详解】解：∵ ，
∴ 的长为点 到 的距离，
∵ 是 的角平分线，
∴点 到 的距离等于点 到 的距离，即为 的长，
∵ ，
∴点 到 的距离等于2；
故答案为：2．
2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在 中，以点A为圆心，小于 长为半径作圆弧，分别
交 于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于 的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线
，交 于点D． ，那么点D到 的距离是 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，过点D作 于H，由作图方法可
得 平分 ，则由角平分线的性质得到 ，再由线段的和差关系求出 的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点D作 于H，由作图方法可得 平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点D到 的距离是 ，
故答案为：3．
3．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在 中， ，
O是 与 平分线的交点，则点O到 的距离为 ．
【答案】 /1厘米
【分析】本题考查了角平分线的性质定理及与三角形高有关的计算，分别过点O作
，连接 ，易得点 在 的角平分线上，推出 ，设
，根据 ，建立方程求解即可．
【详解】解：分别过点O作 ，连接 ，∵点 是 与 平分线的交点，
∴点 在 的角平分线上，
∴ ，
设 ，
∵ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 到 的距离等于 ．
故答案为： ．
4．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）如图，在 中， ， 平分 交 于点 ，若
，则点 到斜边 的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质．过点 作 于点 ，根据角的平分线上的点到角的两边的距
离相等得出 ，即可求解．
【详解】解：过点 作 于点 ，如图：∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
即点 到斜边 的距离为 ．
故答案为： ．
题型六 角平分线的判定定理
1．（24-25八年级上·宁夏固原·期中）如图， ，M是 的中点， 平分 ，求证：
平分 ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，作 于 ，由角平分线性质定理可得 ，结
合题意推出 ，再由角平分线的判定定理判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此
题的关键．
【详解】证明：如图，作 于 ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∵M是 的中点，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴点 在 的角平分线上，
∴ 平分 ．
2．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在 中， 是 的中点， 于 ，
于点 ，且 ．求证： 平分 ．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质
是解题的关键．根据题意可证 ，得到 ，即可得到结论．
【详解】证明： 是 的中点，
，
， ，
，
在 和 中 ，
，
，
平分 ．
3．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图， ， 于点E， 交 的延长线于点
D，且 ，求证： 是 的平分线．【答案】见解析．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到 .
证明 得 ，可得点C在 的平分线上，进而可以解决问题．
【详解】证明： ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
点C在 的平分线上，
∴ 是 的平分线．
4．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）在三角形 中， 为 的中点， ， ，
垂足分别是 ， ， ．求证：点 在 的平分线上．
【答案】见解析
【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的判定，掌握角平分线的判定定理是解题关键．由
题意得出 ， ，即易证 ，得出 ，说明点 在
的平分线上．
【详解】解：∵ 为 的中点，∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在 的平分线上．
题型七 角平分线性质的实际应用
1．（22-23八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路和铁路的距离相等，
并且离交叉处 ，这个集贸市场应建于何处？（在图上标出它的位置，比例尺 ）
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质及比例尺的相关计算，解题的关键熟知角平分线的性质与图上距离的
计算方法．
根据角平分线上的任意一点到两边的距离相等作角的平分线，然后再根据比例尺算出集贸市场到交叉处的
图上距离，这样就确定了集贸市场的位置．
【详解】解：如图，设交叉处为点O，S区在 内部．作 的平分线 ．
∵图中要求比例尺为 ，实地距离 ，
∴图上距离
于是在 上截取线段 ，
点M即为所求．
2．（2023·吉林长春·模拟预测）三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路
的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法．【答案】4处，图见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质作出图形即可．
【详解】解：如图，满足条件的点有4个，图中 即为所求．
3．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，要在 区建一个电子商品批发市场，使它到公路 、铁路 的
距离相等，并且离公路与铁路的交叉处 ，这个电子商品批发市场应建于何处（请在图上标出它的位
置，保留作图痕迹，比例尺为 ）．
【答案】见解析
【分析】本题考查了成比例线段的性质，作角平分线；作角平分线 ，在射线 上截取 ，使得
，点 即为所求．【详解】解：依题意，
在射线 上截取 ，使得 ，如图点 为所求，
4．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图公路AE、AF、BC两两相交．
求作：加油站O，使得O到三条公路的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】作图见解析
【分析】根据角平分线的性质及作法，即可作得．
【详解】解：作法如下：
1．尺规作出∠A、∠EBC、∠BCF中任意两个角的角平分线，交点即为 点；
2．尺规作出∠A、∠ABC、∠ACB中任意两个角的角平分线，交点即为 点．证明： 点 是∠A与∠BCF平分线的交点，
点 到公路AE、AF、BC的距离相等；
点 是∠A与∠ABC平分线的交点，
点 到公路AE、AF、BC的距离相等；
点 、点 即为所求作的点
【点睛】本题考查了尺规作图—角平分线，角平分线的性质，熟练掌握和运用角平分线的作法及性质是解
决本题的关键．
1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在 和 中， ， ，若
，连接 交于点 ；
(1)求证： ．
(2)求 的度数．
(3)连接 ，求证： 平分 ．
(4)如图2， 是等腰直角三角形， ， ， ，点 是射线 上的一点，
连接 ，在直线 上方作以点C为直角顶点的等腰直角三角形 ，连接 ，若 ，请直接
写出 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析(4) 或 或
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形判定及性质，角平分线判定定理．
（1）利用 即可证明出；
（2）先得到 是等边三角形，利用全等性质可得 ，后利用
即可计算出；
（3）过点 作 于点 ， 于点 ，利用全等性质可得
再证明出 ，继而得到 ；
（4）分三种情况讨论：当 在线段 上，点 在 的右侧或左侧时，证明 ，继而
得到 ，当 在 的延长线上时，证明 ，继而得到 ，后即可得到本
题答案．
【详解】（1）解：证明： ，
，
又 ， ，
在 和 中，
，
；
（2）解： ， ，
是等边三角形，
，
，
，
，
；（3）解：过点 作 于点 ， 于点 ，
，
，
，
，
，
，
，
又 ，
平分 ．
（4）解：如图所示，当 在线段 上，点 在 的右侧时，
，
是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，
， ，
又 ， ，
，
，
，
， ，
，
如图所示，当 在线段 上，点 在 的左侧时，连接 ，∵ 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ , ，
又∵ , ,
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ , ，
∴ ，
∵ , ，
∴ ;
在直角三角形 中，根据勾股定理可得 ，即
解得 ，
如图所示，当 在 的延长线上时，
，
同理 ，
，
， ，
，综上所述， 或 或 ．
2．（24-25八年级上·广东汕头·期中）【问题背景】
如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， 、 、 的长分别为a、b、c，且满足
，点P从A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线 匀速运动，设点P运动
时间为t秒．则A的坐标为_________，B的坐标为_________．
【数学理解】
（1）如图2，连接 ，当 平分 时，求出t的值．
【深入探究】
（2）过P作 交直线 于D，交y轴于Q，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使
与 全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】问题背景： ， ；数学理解：（1） ；深入探究：（2）存在这样的点 ，使
与 全等，此时 的值为1或7
【分析】问题背景：先根据绝对值、偶次方和算术平方根的非负性求出 的值，由此即可得；
数学理解：（1）过点 作 于点 ，先根据角平分线的性质定理可得 ，再根据
建立方程，解方程即可得；
深入探究：（2）分两种情况：当点 在线段 上时和当点 在 的延长线上时，先证出， ，从而可得只能是 ，再根据全等三角形的性质可得
，由此建立方程，解方程即可得．
【详解】解：问题背景：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
则由图1可知，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
故答案为： ， ．
数学理解：（1）如图2，过点 作 于点 ，
由上可知， ，
由题意得： ，
∴ ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ．
深入探究：（2）如图3，当点 在线段 上时，则 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴此时只能是 ，
∴ ，即 ，
解得 ，符合题设；
如图4，当点 在 的延长线上时，则 ，
同理可得： ， ，
又∵ ，∴此时只能是 ，
∴ ，即 ，
解得 ，符合题设；
综上，存在这样的点 ，使 与 全等，此时 的值为1或7．
【点睛】本题考查了绝对值、偶次方和算术平方根的非负性，坐标与图形，三角形全等的判定与性质，角
平分线的性质定理等知识，较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键．
3．（24-25八年级上·河南信阳·期末）【发现问题】（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在
中，若 ，求 边上的中线 的取值范围．小亮在组内经过合作交流，得到了如下
解决方法：如图①，延长 到点E，使 ，连接 ，得到 ，他用到的判定定理是
__________；（用字母表示），可以求得 边上的中线 的取值范围是__________．
【解决问题】
（2）小刚发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”的字样，可以考虑构造全等三角形，要学好
数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图 ，当 平分 时，若
，求 的值（用含m，n的式子表示）；
（3）如图 ， 平分 ，延长 到E，使得 ，连接 ，若 ，
求 的值．【答案】（1） ； ；（2） ；（3）16
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得
出规律是解此题的关键．
（1）根据 定理解答，再根据全等三角形的性质得到 ，根据三角形的三边关系计算，得到答
案；
（2）过 作 于 ， 于 ，根据角平分线性质求出 ，根据三角形面积公式求出
即可；
（3）根据已知和（1）（2）的结论求出 和 的面积，即可求出答案．
【详解】解：（1）解： ， ， ，
，
小亮证明 用到的判定定理是 ，
，
，
在 中， ，
，
，
，
故答案为：； ， ；
（2）如图，过 作 于 ， 于 ，为 的角平分线，
，
， ，
；
（3） ，
由（1）知： ，
，
，
， ， 平分 ，
由（2）知： ，
，
．
4．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，且 ， 满
足 ．
(1)求点 ， 坐标；
(2)如图1，以 为斜边构造等腰直角 ，请直接写出点 的坐标；(3)如图2，已知等腰直角 中， ， ，点 是腰 上的一点（不与 ， 重合），
连接 ，过点 作 ，垂足为点 ．
①若 是 的角平分线，求证： ；
②探究：如图3，连接 ，当点 在线段 上运动时（不与 ， 重合）， 的大小是否发生变化？
若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)①见解析；② 的大小不变，为定值
【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性质得 ， ，则 ， ，进而得点 ， 坐标；
（2）分两种情况，①点C在第一象限时，②点C在第四象限时，过点C作 轴于点G，过点A作
于点F，证 ，得 ， ，即可解决问题；
（3）①延长 、 ，相交于点F，证 ，得 ，再证 ，
得 ，则 ，即可得出结论；
②过点C作 于点M， 于点N，证 ，得 ，则 是
的角平分线，即可解决问题．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ；
（2）解：解：分两种情况：
①如图1，点C在第一象限时，过点C作 轴于点G，过点A作 于点F，∴ ， ， ，
∴ ，
∵等腰直角 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点C的坐标为 ；
②如图1-1，点C在第四象限时，过点C作 轴于点G，过点A作 于点F，
同①得： ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点C的坐标为 ；
综上所述，点C的坐标为 或 ；
（3）解：①证明：如图2，延长 、 ，相交于点F，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②解： 的大小不变，为定值 ，理由如下：如图3，过点C作 于点M， 于点N，
则 ，
∵ ，
∴ ，
由①可知， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线，
∴ ，
即 的大小不变，为定值 ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性
质、绝对值和偶次方的非负性质、角平分线的判定、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟
练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
1．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法：如图1，
是一个任意角，在边 ， 上分别取 ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 ，
重合，即 ．过角尺顶点 的射线 便是 的平分线，已知角尺的夹角 ．【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理；
【变式判断】张明同学认为当 时，工人师傅就不需要先在边 ， 上分别取 ，直
接移动角尺，使角尺的两边分别与 ， 相交于点 ， ，且满足 ，如图2所示，便可以得
到 平分 ，你觉得张明的观点对吗？并说明理由；
【拓展探究】如图3， ， 平分 ， 是射线 上的一点，点 在射线 上运动，过
点 作 ，与直线 交于点 ，过点 作 于点 .若 ， ，请直接写出 的
长．
【答案】[初步思考]见解析；[变式判断]正确，见解析；[拓展探究]5或7
【分析】本题考查了角平分线的性质与判定定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，掌握全等
三角形判定与性质以及角平分线的性质定理是解题的关键．
[初步思考]根据 证明 即可；
[变式判断] 过点 作 于点 ，作 于点 ，证明 ，则 ，再
根据角平分线的判定即可说理；
[拓展探究] 当点D在点O右侧时，过点P作 于点F， 证明 ，则
，再证明 ，则 ，那么 ；当点D
在点O左侧时，过点P作 于点F， 同理可求 ， ，故
．
【详解】[初步思考]，解：在 和 中
，，
即 平分 ；
[变式判断]，解：张明的观点正确，理由如下，
过点 作 于点 ，作 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ,
∵ ， ，
∴ 平分 ，
∴张明的观点正确；
[拓展探究]解：当点D在点O右侧时，过点P作 于点F，如图
∵ ， 平分 ，
∴ ， ，同上可得， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当点D在点O左侧时，过点P作 于点F，如图
∵ ， 平分 ，
∴ ， ，
同上可得， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
综上： 长为5或7．
2．（24-25八年级上·山东临沂·期中）综合与实践
【问题情境】
在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识：
定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形，
如图1，在四边形 中， ， ，这种四边形被称为等补四边形．
【探究实践】
经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现．
（1）如图2，李明发现，连接 ，则 为 的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理
由；
（2）如图3，王红发现，在等补四边形 中，当 ， ， 时， ，
与 之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图4，已知 ， ， ，若 ， ，则 的长度是
_________．
【答案】（1）正确，理由见解析；（2） ，理由见解析；（3）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）作 交 延长线于点 ，作 于点 ，利用“角角边”证明 ，得出
，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等反推出 为 的角平分线．（2）延长 至 使 ，连接 ，利用“边角边”证明 ，得到 ，
，再通过角的等量代换得到 ，再利用“边角边”证明 ，得到
，最后通过角的等量代换即可得到结论．
（3）延长 至 ，使 ，连接 ，利用“边角边”证明 ，得到 ，
，再通过角的等量代换得到 ，再利用“边角边”证明 ， ，
最后通过角的等量代换即可得到结论．
【详解】解：（1）正确，理由如下：
作 交 延长线于点 ，作 于点 ，
，
已知 ， ，
．
在 和 中，
，
，
，
又 ， ，
为 的角平分线．
（2） ，理由如下：
延长 至 使 ，连接 ，
， ，在 和 中，
，
，
， ，
又 ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
又
．
（3）延长 至 ，使 ，连接 ，
， ，
．
在 和 中，，
，
， ．
又 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
3．（23-24八年级上·江苏泰州·期中） 如图1，在平面直角坐标系 中，点 点P为x
轴正半轴上一点，直线 直线 ，垂足为C，直线 与y轴交于点E，设P点的横坐标为m．
(1)求证： ；
(2)求E点坐标 (用含m的代数式表示)；(3)如图2， 连接 ，作点O关于 的对称点D，连接 与 轴交于点F．
①求证：当 时， 平分 ；
②试探索 三条线段长度之间的数量关系，直接写出结论．
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求解；
（2）证 ，即可求解；
（3）①作 ，由 ，可得 ，进而可证；②作 ，则 ，
证 ，即可求解；
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）①作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴当 时， 平分 ．
② ，理由如下：
作 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查三角形的全等证明及性质、角平分线的性质，能够真确做出辅助线是解题的关键．
4．（22-23八年级上·浙江台州·阶段练习）已知点 是 平分线上一点， 的两边 、 分别
与射线 、 相交于 ， 两点，且 过点 作 ，垂足为 ．(1)如图 ，当点 在线段 上时，求证： ；
(2)如图 ，当点 在线段 的延长线上时，探究线段 、 与 之间的等量关系；
(3)如图 ，在（ ）的条件下，若 ，连接 ，作 的平分线 交 于点 ，交
于点 ，连接 并延长交 于点 若 ， ，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
(3)
【分析】（1）过点 作 ，根据角平分线的性质得到 ，证明 ，得到
，证明 ，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）过点 作 ，根据角平分线的性质得到 ，证明 ，证明 ，得到
，结合图形解答即可；
（3）在 上截取 ，连接 ，证明 ，根据全等三角形的性质得到
，根据角平分线的判定定理得到 ，证明 ，得到 ，
计算即可．
【详解】（1）证明：如图 ，过点 作 ，垂足为 ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
在 和 中，
，
∴ （ ）
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
如图 ，过点 作 ，垂足为 ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （ ），
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图 ，在 上截取 ，连接 ，∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （ ）
∴ ， ，
∵ 是 的平分线， 是 的平分线，
∴ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （ ），
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，同角的补角相等，垂线定义及同角的余角相等等，关键是依照基础示例引出正确辅助线．
