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专题 12.19 角平分线相关的几何模型（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【模型归纳】
【模型1】角平分线+两边垂线=全等三角形
【基本条件】OP平分 AOB，PM OA，PN OB，垂足分别为M、N，如图1.
【模型结论】Rt
∆POM≅Rt∆PON
图1
【模型2】角平分线+垂线=全等三角形（等腰三角形）
【基本条件】OP平分 AOB，CD OP，垂足为P，如图2.
【模型结论】Rt
∆POC≅Rt∆POD.
图2
【模型3】角平分线+两边截取相等线段=全等三角形【基本条件】OP平分 COD，PC=PD.
【模型结论】∆
POC≅∆POD.
图3
【模型4】角平分线+平行线=等腰三角形
【基本条件】OP平分 MON，AB//ON.
【模型结论】∆ 为等腰三角形
AOB .
图4
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】角平分线+两边垂线=全等三角形
【例1】（23-24七年级下·山西太原·期末）如图， 和 的平分线交于点E，过点E作
于点 于点G．
（1）试说明： ．（2）猜想 之间的数量关系，并说明理由．
【变式1】（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，在 中， ，以A为圆心，任意长为半
径画弧，分别交 于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点
O，作射线 ，交 于点E．已知 ， ， 的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【变式2】（2024·重庆·三模）如图，四边形 中， 平分 ， 于点E，
，则 的长为 ．
【题型2】角平分线+垂线=全等三角形
【例2】（21-22八年级上·江苏南京·期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，
BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝ CD．【变式1】（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图， 是 的角平分线， ，垂足为 ，
若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·安徽蚌埠·一模）如图，在 中， ， 是 的角平分线，
于点E，若 ，则（1） ；（2） 的周长是 ．
【题型3】角平分线+两边截取相等线段=全等三角形
【例3】（2024·江苏南通·二模）如图，点P是 内一射线 上一点，点M、N分别是边 、
上的点，连接 ， 且 ， ．求证： 是 的平分线．
小星的解答如下：
证明：在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ……第一步
∴ ……第二步
∴ 是 的平分线．……第三步
（1）小星的解答从第 步开始出现错误；
（2）请写出你认为正确的证明过程．
【变式1】（22-23八年级上·吉林白城·期中）如图，在 中 ， 平分
交 于点D，在 上截取 ，则 的周长为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
【变式2】（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，在 中， 、 的角平分线交于点 ，
若 ， ，则 ．
【题型4】角平分线+平行线=等腰三角形
【例4】（2024·广西·一模）如图，已知 ， 平分 ．
（1）尺规作图：作 的平分线交 于点O，交 于点D；（要求：保留作图浪迹，不写作法，标明字母）
（2）求证： ．
【变式1】（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在四边形 中， ，若 的
角平分线 交 于 ，连接 ，且 平分 ，则下列结论：① ；② 为 的中点；
③ ；④ 其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【变式2】下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程： 已知：如图，
直线 l 和直线 l 外一点 A
求作：直线 AP，使得 AP∥l
作法：如图
①在直线 l 上任取一点 B（AB 与 l 不垂直），以点 A 为圆心，AB 为半径作圆，与直线 l
交于点 C．
②连接 AC，AB，延长 BA 到点 D；
③作∠DAC的平分线AP．
所以直线AP就是所求作的直线，
根据小星同学设计的尺规作图过程，完成下面的证明证明：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB （填推理的依据）∵∠DAC 是△ABC 的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB
∴∠DAC＝2∠ABC
∵AP 平分∠DAC，
∴∠DAC＝2∠DAP
∴∠DAP＝∠ABC
∴AP∥l （填推理的依据）
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·天津·中考真题）如图， 中， ，以点 为圆心，适当长为半
径画弧，交 于点 ，交 于点 ；再分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧（所在
圆的半径相等）在 的内部相交于点 ；画射线 ，与 相交于点 ，则 的大小为
（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，直线 ，直线 分别与 ， 交于点 ， ，
小明同学利用尺规按以下步骤作图：
（1）点 为圆心，以任意长为半径作弧交射线 于点 ，交射线 于点 ；
（2）分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ；（3）作射线 交直线 于点 ；若 ，则 度．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，在 中， 为 边上的高， 是
的角平分线，点 为 上一点，连接 ， ．
（1）求证： 平分
（2）如图2，连接 交 于点 ，若 与 的面积相等，求证：
【例2】（23-24八年级上·江西宜春·期末）课本再现：
思考如图12.3-3，任意作一个角 ，作出 的平分线 ．在 上任取一点P，过点P画出
， 的垂线，分别记垂足为D、E，测量 、 并作比较，你得到什么结论？在 上再取几个点
试一试．
通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
【实验猜想】针对以上问题，同学们进行了小组实验探究，并猜想：角的平分线上的点到角的两边的距
离相等．
【推理证明】为了证明该定理，小明同学根据书上的图形（如图12.3-3）写出了“已知”和“求证”，请
你利用全等的知识完成证明过程．
（1）已知：点P是 的平分线 上一点，过点P作 于点D， 于点E．求证：
．
【知识应用】（2）如图2， 的平分线与 的外角 的平分线相交于点O，过点O作
于点D， 于点E，连接 ．
①证明： 平分 ；
②若 ，则 ________．
