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曲线运动知识点总结
一、曲线运动
1.定义：物体运动轨迹是曲线的运动。
2.条件：运动物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上。
3.特点：①方向：某点瞬时速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向。
②运动类型：变速运动（速度方向不断变化）。
③F ≠ 0，一定有加速度 a。
合
④F 方向一定指向曲线凹侧。
合
二、运动的合成与分解
1.合运动与分运动的关系： 等时性 、 独立性 、等效性、同体性。
2.互成角度的两个分运动的合运动的判断：（判断合初速度与合加速度的方向是否共线）
①两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动。
②速度方向不在同一直线上的两个分运动，一个是匀速直线运动，一个是匀变速直线运动，
其合运动是匀变速曲线运动，a 为分运动的加速度。
合
③两初速度为0的匀加速直线运动的合运动仍然是匀加速直线运动。
④两个初速度不为0的匀加速直线运动的合运动可能是直线运动也可能是曲线运动。当两
个分运动的合初速度方向与这两个分运动的和合加速度在同一直线上时，合运动是匀变速
直线运动，否则即为匀变速曲线运动。
三、运动的合成与分解两大题型
1.小船过河问题
模型一：过河时间t最短：
船头 垂直于河岸 渡河时间最短 ，渡河时间t为河宽d/船在静水中的速度v
船
小船的合速度为
小船的位移为合速度乘渡河时间，即
模型二：渡河位移x最短（分为能否到达正对岸两种情况）
①无论船速大还是水速大，合速度都为两者较大者与较小者的平
方差的平方根，即
②根据船速与水速谁大判断合位移，若船速较大，则合位移为河
宽d，若水速较大，则合位移为s ＝＝ d. .（记忆技巧，由
短
于此时船不能到达正对岸，所以最短位移 s 肯定比河宽d大，那
短
么这俩速度比就是大速度比小速度了，即水速比船速）
α 为船头与河岸上游的夹角，当船速比较大时， ，当水速比较大时，
（其实就是小的比大的，结合数学知识余弦函数小于1来理解记忆）③渡河时间直接用合位移比上合速度就可以了
2.速度“关联”问题
以物体与绳子或杆的连接点为研究对象，把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于
绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．
四、平抛运动
抛体运动
1.定义：以一定的速度将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物体只受重力的作用，
它的运动即为抛体运动。
2.条件：①物体具有初速度；②运动过程中只受重力。
平抛运动
1.定义：如果物体运动的初速度是沿水平方向的，这个运动就叫做平抛运动。
2.条件：①物体具有 水平 方向 的初速度；②运动过程中只受重力。
3.处理方法：平抛运动可以看作两个分运动的合运动：一个是水平方向的匀速直线运动，
一个是竖直方向的自由落体运动。
4.规律：
（1）位 移 ：
gt
tanα=
v =v v =gt v= √v2 +(gt) 2 v
（2）速度： x 0， y ， 0 ， 0
（3）推论：①从抛出点开始，任意时刻速度偏向角 的正切值等于位移偏向角 的正切
1
gt2
gt
2 gt
tanα= tanθ= = .
v v t 2v
值的两倍。 证明如下： 0 , 0 0 。
②从抛出点开始，任意时刻速度的反向延长线对应的水平位移的交点为此水平位移的中点
2y
tanθ= .
x
即 如果物体落在斜面上，则位移偏向角与斜面倾角相等。
5.应用结论——影响做平抛运动的物体的飞行时间、射程及落地速度的因素
a、飞行时间： ， t 仅仅与物体下落高度 h 有关 ，与初速度v 无关。（重点记忆）
0
b、水平射程： 由v 和h共同决定。（会推导即可）
0
c、落地速度： ，v由v 和v 共同决定。
0 y
由于平抛运动是应用运动的合成与分解方法来解决的，所以独立性和等时性这两个性质十
分重要，时间是解决平抛运动问题的关键，而时间仅仅由下落高度决定，无论怎样的题型
都要以时间为纽带，进而求解其它物理量
五、圆周运动
匀速圆周运动
1.定义：物体的运动轨迹是圆的运动叫做圆周运动，物体运动的线速度大小不变的圆周运动即为匀速圆周运动，这里的“速”是“速率”并非“速度”。
2.特点：①轨迹是圆；②线速度、加速度均是大小不变，但方向不断改变，故属于非匀变
速曲线运动，匀速圆周运动的角速度恒定；③匀速圆周运动发生条件是质点受到大小不变、
方向始终与速度方向垂直的合外力；④匀速圆周运动的运动状态周而复始地出现，匀速圆
周运动具有周期性。
3.描述圆周运动的物理量：
（1）线速度v是描述质点沿圆周运动快慢的物理量，是矢量；其方向沿轨迹切线，国际单
位制中单位符号是m/s，匀速圆周运动中，v的大小不变，方向却一直在变；
（2）角速度ω是描述质点绕圆心转动快慢的物理量，是矢量；国际单位符号是rad／s；
（3）周期T是质点沿圆周运动一周所用时间，在国际单位制中单位符号是s；
（4）频率f是质点在单位时间内完成一个完整圆周运动的次数，在国际单位制中单位符号
是Hz；
（5）转速n是质点在单位时间内转过的圈数，单位符号为r/s，以及r/min．
4.各运动参量之间的转换关系：
在转速n单位取r/s时，五个物理量之间的关系为
5.三种常见的转动装置及其特点：
(1)同轴转动：
A点和B点在同轴的一个圆盘上，如图所示，圆盘转动时，它们的角速度、周
期相同：ω ＝ω ，T＝T 线速度之比为
A B A B，
(2)皮带传动：
A点和B点分别是两个轮子边缘的点，两个轮子用皮带连起来，
并且皮带不打滑。如图所示，轮子转动时，它们的线速度大小相
同：v ＝v ， ，
A B
(3)齿轮传动：
A点和B点分别是两个齿轮边缘上的点，两个齿轮轮齿啮合。如图所示，
齿轮转动时，A、B两点的 线速度 大小相等 。即： ， =
， （n ,n 分别表示两齿轮的齿数，角速度与齿数成反比，即齿数越多，
1 2,
角速度越小，例如大齿轮100个齿，小齿轮50个齿，大齿轮转一圈（360°）的同时，小齿
轮会转两圈（720°））
向心加速度
1.定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫向心加速度。向心加速度的方向永远指向圆心。
2.向心加速度与实际加速度的关系：只有物体做匀速圆周运动时，物体实际的加速度才等
于向心加速度；若物体做变速圆周运动，向心加速度只是实际的加速度的径向分量，两者
不等（另一个分量是切向加速度）。
3.方向：在匀速圆周运动中，始终指向圆心，始终与线速度的方向垂直。向心加速度只改
变线速度的方向而非大小。
4.意义：描述圆周运动速度方向改变快慢的物理量。
4.公式：
向心力
1.定义：做圆周运动的物体所受到的沿着半径指向圆心的合力，叫做向心力。
2.方向：总是指向圆心。
3.公式： （适用于任何圆周运
动）
4.判断向心力来源的技巧：只要物体做的是圆周运动，那不管物体是做匀速圆周运动还是
变速圆周运动，其向心力永远都是物体所受沿半径方向的力的合力，并且其方向指向圆心。
（一定要记牢）
5.匀速圆周运动与变速圆周运动的本质区别在于：合外力是否全部用来提供向心力
匀速圆周运动中向心力就是物体所受的实际合外力（即合外力全部用来提供向心力，
此时物体所受合外力沿径向指向圆心，始终与速度方向垂直，切向方向无分力，不改变速
度的大小，只改变速度的方向，因此做匀速圆周运动），合外力=向心力。
变速圆周运动中，向心力只不过是物体所受实际合外力在半径方向的分力（即合外力
不全部用来提供向心力，合外力并不指向圆心，若把合外力正交分解可分为径向分力与切
向分力，径向分力即为向心力，只改变速度的方向，切向分力与速度方向共线，只改变速
度的大小）合外力≠向心力。
6.几个注意点：①在受力分析时，只分析性质力，而不分析效果力，因此在受力分析时，
不要加上向心力。②描述做匀速圆周运动的物体时，不能说该物体受向心力，而是说该物
体受到什么力，这几个力的合力充当或提供向心力。
离心运动：
（1）当物体实际受到的沿半径方向的合力满足 F =F =mω2r时，物体做圆周运动；当F
供 需
<F =mω2r时，物体做离心运动。
供 需
（2）离心运动并不是受“离心力”的作用产生的运动，而是惯性的表现，是F <F 的结
供 需
果；离心运动也不是沿半径方向向外远离圆心的运动。
有关生活中常见圆周运动的涉及的几大题型解题步骤：
①明确研究对象；
②定圆心找半径；
③对研究对象进行受力分析；④对外力进行正交分解；
⑤列方程：将与和物体在同一圆周运动平面上的力或其分力代数运算后，另得数等于向心
力；
⑥解方程并对结果进行必要的讨论。
圆周运动的临界问题
竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的
问题，中学物理只研究问题通过最高点和最低点的情况，并且经常出现有关最高点的临界
问题。
1. 轻绳约束、单轨约束条件下，小球过圆周最高点：
（注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力.）
（1）临界条件：小球到达最高点时，绳子的拉力或单轨的弹力刚好等于 0，小球的重力提
供向心力。即： 。
（2）小球能过最高点的条件： ，绳对球产生向下的拉力或轨道对
球产生向下的压力。
（3）小球不能过最高点的条件： （实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）。
2.轻杆约束、双轨约束条件下，小球过圆周最高点：
（1）临界条件：由于轻杆和双轨的支撑作用，小球恰能到达最高点的临街速度
（2）小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：
①当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力F，其大小等于小球的重力，即F=mg；
N N
②当 时，轻杆对小球的支持力的方向竖直向上，大小随小球速度的增大而减小，
其取值范围是 ；
类型 受力特点 图示 最高点的运动情况
①若F＝0，则mg＝，v＝
绳对球只有 ②若F≠0，则v>
绳球模型
拉力
小球能到达最高点的临界速度为v＝
①若F＝0，则mg＝，v＝
②若F向下，则mg＋F＝m，v>
③若F向上，则mg－F＝或mg－F＝0，则
杆对球可以
杆球模型 是拉力也可 0≤v<
以是支持力
小球能到达最高点的临界速度为v=0，此时
mg=F
B.物体在水平面内做圆周运动的临界问题依据mg＝判断，若v＝，F ＝0；若v<，F 向
N N
管对球的弹
上；若v>，F 向下
双轨道小 力F 可以向 N
N
球模型 上也可以向 小球能到达最高点的临界速度为v=0，此时
下
mg=F
N
依据mg＝判断，若v＝，F ＝0；若v>，F 向
N N
在最高点时
单轨道小 弹力F 的方 下
球模型 N
向只能向下 小球能到达最高点的临界速度为v＝
B.物体在水平面内做圆周运动的临界问题
供给向心力（沿半径方向的合力）等于需求向心力（F =F ）时，物体做圆周运动。当 F
供 需 供
>F 时物体做近心运动，当 F <F 时物体做离心运动，这是分析临界问题的关键。
需 供 需
在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径
有变化）趋势。若角速度突然变大，物体做圆周运动所需要的向心力也会变大，物体就会
有离心趋势；若角速度突然变小，物体则会有近心趋势。
临界态问题解题思路:（关键点在于求解临界状态的线速度或角速度）
①：先分析物体可能的运动状态。
v或ω大了会怎样，小了会怎样。
②：找临界状态。
即物体保持现有状态与不能保持这种状态的那个交界，也就是物体能做圆周运动与不
能做圆周运动（即近心或离心运动）的中间状态。
③：对临界态受力分析。
列向心力方程求解临界速度（ω 或v）。临界态的供给向心力中，弹力与摩擦力是不
0 0
确定因素，可大可小，可有可无，方向也可正可负。问最小速度就求解最小供给向心力，
问最大速度就求解最大供给向心力。
④：将题目中的线速度v与临界线速度v 或者将角速度ω与临界角速度ω 进行比较。
0 0
结合①判断的物体运动状态，再一次列方程即可求解该线速度或角速度做匀速圆周运
动的受力情况。
第六章 万有引力与航天
开普勒行星运动定律
(1)开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。(2)开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面
积。（换一种说法就是环绕天体距离中心天体越近，速率越大，距离中心天体越远，速率
越小）
在中学阶段将椭圆轨道看成圆轨道处理，该定律的物理意义是，若天体做圆周运动，则必
定是匀速圆周运动
(3)开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都
相等。可用公式表示为： ，其中 代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，k只
与中心天体的质量有关，且成正比关系。
在中学阶段将椭圆轨道看成圆轨道处理，用半径r代替公式中的半长轴a即可，公式表达
为 注意公式中的r与T的物理意义：r是环绕天体轨道半径（公转半径），并非天
体的半径；T为环绕天体的公转周期，并非自转周期。
适用范围：该定律适用于宇宙中一切绕心的宏观低速（相对光速）天体运动，对于其他天
体系统，如地—月系统，地—卫系统，双星系统等同样适用．k与中心天体有关，在不同
的星系中，k值不相同。
万有引力定律
内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物
体的质量m 和m 的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。
1 2
m m
F=G 1 2
公式：
r2
，r为两质点或球心间的距离；G为引力常量（1798年由英国物理学
G=6.67×10−11 N⋅m2 /kg2
家卡文迪许利用扭秤装置测出）
适用范围：万有引力定律适用于宇宙中任意的两个物体，不过在中学阶段只能计算质点或
均匀球体间的万有引力大小。
r的取值:
①两个均匀的球体间，其距离为球心间的距离；（例如地球与月球）
②一个均匀的球体与一个形状、大小均可忽略不计的物体之间，其距离为球心到物体的距
离。（例如地球与人造卫星）
只有质量巨大的天体间,万有引力的存在才有宏观物理意义，受力分析时不分析质量小的物
体之间的万有引力。万有引力和重力的区别和联系
重力是万有引力的一个分力，在地球表面上的物体所受的万有引力F可以按效果分解成物
体所受到的重力G（其与物体所受的支持力平衡）和随地球自转而做圆周运动的向心力Fn
（让物体跟随地球一起自转）。位于赤道的物体需要的向心力最大，重力最小；位于两极
的物体没有向心力，重力最大且等于万有引力。
不考虑地球自转，物体在地球表面所受重力等于万有引力 ；对于高空中的物
体，其所受重力等于其位置对应高度的万有引力 ，h为物体距离地球表
面的高度。
万有引力定律的应用
应用万有引力定律解题的知识常集中于两点：
mM
R2
一：天体表面物体所受的万有引力等于表面所受的重力，即 G ＝mg 从而得出
。
为引力常量， 为天体质量， 为天体表面的重力加速度， 为天体的半径（非轨道
半径）
Mm v2 4π2
G =m m r
r2 r2 T2
二：天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 ＝
=mω2r
；
为引力常量， 为中心天体质量， 为环绕天体质量， 为环绕天体的轨道半径，并
不是天体半径，而是两天体中心间的距离， 为环绕天体的公转周期
计算天体质量和密度
方法一：若不考虑天体自转的影响，利用物体在天体表面的重力等于天体对该物体的万有
引力
，变形可得黄金代换公式： （该公式在解答题中需推导，不可直
接用）
若已知天体的半径R和天体表面的重力加速度g，解得天体质量为 。
4 3g
M= πR3 ⋅ρ ρ=
3 4πRG
又 得天体密度为
方法二：利用万有引力全部充当向心力，根据环绕天体的运动规律求解中心天体质量
Mm (2π) 2 4π2r3
G =m r M=
r2 T GT2
由 得
4 3πr3
M= πR3 ⋅ρ ρ=
3 GT2R3
又 得特别地，当匀速圆周运动的天体绕中心天体表面运行时，其轨道半径r等于天体半径R，
则 （这是计算中心天体密度最简单的方法，只需要知道近地环绕天体的周期）
注意：方法二只能计算中心天体的质量以及密度，不能求解环绕天体的质量与密度。
环绕天体在中心天体上空做匀速圆周运动分布规律
一般行星或卫星的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力独家
提供，即F ＝F 。
引 向
由以上关系式可知，随着轨道半径 的增大，线速度 、角速度 、（向心）加速度 都
会变小，只有周期 会随之变大。
概括起来该规律就是“高轨低速长周期”，为方便记忆，这个“速”包含着线速度 、角
速度 、（向心）加速度 。
由于该口诀是根据万有引力全部提供向心力得出的，所以对它的应用有两个前提条件：①
环绕天体必须仅受万有引力作用，②环绕天体在仅受万有引力作用的条件下做匀速圆周运
动。两条件同时满足才可利用该口诀，若两条件有任意一个不满足（如椭圆轨道的卫星、
星球表面的物体）则不可利用，要从开普勒三大定律或者运动学角度分析这五个物理量
以地球上空的人造卫星为例，我们还可以从这一系列公式概括出“一定则四定”的规律，
即人造地球卫星在地球上空做匀速圆周运动必须在万有引力定律给它“设定”的轨道运行。
轨道半径 、线速度 、角速度 、（向心）加速度 、周期 这五个物理量只要有一个
确定了，则其他四个物理量就确定了，卫星在什么高度运行，就必须以该高度轨道对应速
度运行，一旦不是则必定会变轨。
宇宙速度
第一宇宙速度(环绕速度)：7.9km/s，卫星在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度。
推导：根据万有引力提供向心力，
①
注意：式中的R的物理意义是近地卫星的轨道半径，
2 { 2 3
{ mM v GM { mM GM mM 4π √r 只不过其数值与星球的半径是相等的
√ √
2
结合黄金代换公式 可得第一宇宙速度的
G = m ⇒ v = ¿ G = mωr ⇒ ω = ¿ G = m r ⇒ T = 2π ¿¿¿¿
GM 另一表达式 ②
2 r r 2 3 2 2
r r r r T
适用范围：以上两个表达式适用于求解任意天体的
第一宇宙速度。
对于地球的第一宇宙速度7.9km/s的理解:
如果卫星的发射速度小于7.9km/s，卫星将落回地面而不能绕地球运转。
如果卫星的发射速度等于7.9km/s，卫星刚好能在地球表面附近做匀速圆周运动。
如果卫星的发射速度大于7.9km/s，而小于11.2km/s，卫星将沿椭圆轨道绕地球运行，地
球就处在椭圆轨道的一个焦点．且发射速度越大，卫星的远地点距离地球越远。
发射速度与运行速度：发射速度：是指承载卫星的火箭，在燃料耗尽那一刻卫星所获得的瞬时速度（线速度）
运行速度：是指卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度．
①第一宇宙速度是人造卫星的 最小 发射速度 以及 最大 运行速度 ；② 发射速度总是≥运行速
度； ③ 发射速度越大，运行速度越小。
两者关系：发射速度决定卫星稳定飞行后做匀速圆周运动所能达到的轨道高度（正相关）
而该轨道高度又恰能决定卫星的运行速度（负相关）。这里的轨道高度是指椭圆轨道的远
地点高度
第二宇宙速度(逃逸速度)：11.2km/s，使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度。
第三宇宙速度(脱离速度)：16.7km/s，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
同步卫星
所有卫星都在以地心为圆心（或焦点）的圆（或椭圆）轨道上，且在圆轨道运行的卫星满
足“高轨低速长周期”的规律。有一种特殊的卫星始终相对于地面静止，它的周期与地球
自转的周期相同，该种卫星即为地球同步卫星（一般用于通信）。
其特点如下：
a．同步卫星的运行方向与地球自转方向一致。
b．同步卫星的运转周期与地球自转周期相同，T＝24h。
c．同步卫星的运行角速度等于地球自转的角速度。
d．同步卫星的轨道平面均在赤道平面上，即所有的同步卫星都在赤道的正上方。
e．同步卫星高度固定不变(h＝3.6×104km)。
f．同步卫星的环绕速度大小一定（v≈3.1km/s）。
卫星变轨问题
所有发射速度大于第一宇宙速度的卫星都会在以地球为焦点的椭圆轨道上围绕地球运动，
且速度越大，长轴越长，远地点距离地球越远，卫星一般会在远地点高度变轨做匀速圆周
运动。
实际做题时往往涉及二次变轨问题，即卫星从一个圆轨道转移到另一个不同高度的圆轨道
对该问题分析的关键在于判断供给向心力（万有引力）与需求向心力（与线速度大小正相
关）的关系，根据供需关系来判断卫星近心或离心运动。
卫星变轨的原理：当卫星由于某种原因速度突然改变时（开启或关闭发动机或空气阻力作
用），万有引力就不再等于向心力，卫星将做变轨运动。
若卫星由低轨道变轨进入高轨道，则必须加速，若想由高轨道变轨进入低轨道，则必须减
速。
对不同轨道卫星的各物理量的比较：
对于仅由万有引力充当向心力且做匀速圆周运动的卫星，直接根据“高轨低速长周期”判
断；
对于椭圆轨道：
用开普勒第二定律讨论卫星、飞船在同一椭圆轨道上不同位置的线速度大小。
用开普勒第三定律讨论卫星、飞船在不同椭圆轨道（也可将椭圆轨道与圆轨道进行比较，
比较椭圆的半长轴与圆的半径即可）上运动的周期大小。判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时同一点的速度大小如何变化时
可根据离心运动或近心运动的条件进行分析．
易错点：地球表面上的物体与围绕地球匀速圆周运动的卫星不可直接比较，需要借助同步
卫星为中间媒介，将两者分别与同步卫星进行比较。
解决天体运动问题的思路
天体运动题型大部分都是匀速圆周运动，既然是匀速圆周运动，那么线速度、加速度、向
心力……这些物理量都可以从力学角度（通过对物体受力分析，寻找向心力，进而分析运
动）或运动学角度（找物体的运动参量，根据向心力公式，进而求解力）这两种思路，结
合匀速圆周运动的物体所受合外力等于向心力，加速度就是向心加速度的特点求解，同学
们在做题时要学会培养自己独立从力学和运动学两个角度分析解决问题的能力。
经典力学的局限性
以牛顿运动定律为基础的经典力学只适用于解决低速运动问题，不能用来处理高速运动问
题，只适用于宏观物体，一般不适用于微观粒子：只适用于解决弱引力问题，不能用来处
理强引力（例如黑洞）问题。
双星问题
众多的天体中如果有两颗恒星，它们靠得较近，在万有引力作用下绕着中间的某一点共同
转动，这样的两颗恒星称为双星.
双星问题的特点是：
(1)两星的运行轨道为同心圆
(2)两星的轨道半径之和等
于它们间的距离，即r＋r＝L
1 2
(3)两星的转动周期与角速度相同
(4)两星的向心力大小相等，由他们间的万有引 力提供。
所列基本方程如下
m m
F =F =G 1 2
1 2 L2
双星模型两个重要结论
(1)运动半径：与质量成反比，即 （线速度、向心加速度同理）
(2)质量之和： （该质量公式与中心天体质量公式十分类似，可用其快速
求 解 双 星 周 期 ， 结 合 可 进 一 步 求 解 角 速 度
）第七章 机械能守恒定律
功
功是力的空间积累效应，它和位移相对应，计算功的方法有两种：
①按照定义求功。即： 。 这种方法只适用于恒力做功。当 时
做正功，当 时 不做功，当 时 做负功。
这种方法也可以说成是：功等于恒力和沿该恒力方向上的位移的乘积。
②用动能定理 或功能关系求功。当 为变力时，高中阶段往往考虑用这种方法
求功。这里求得的功是该过程中外力对物体做的总功（或者说是合外力做的功）。
功的物理含义
关于功我们不仅要从定义式 进行理解和计算，还应理解它的物理含义．功是
能量转化的量度，即：做功的过程是能量的一个转化过程，这个过程做了多少功，就有多
少能量发生了转化． 功的正、负 既不代表大小，也不代表方向 ，仅仅 表示能 量转化的趋向 。
外力对物体做负功往往又称物体 该 克服阻力做功 （即该阻力做了多少负功）。
功率
功率是描述做功快慢的物理量。
功率的定义式： ，所求出的功率是时间 内的平均功率。
功率的计算式： ，其中 是力与速度间的夹角。该公式有两种用法：
①求某一时刻的瞬时功率。这时F是该时刻的作用力大小， v 取瞬时值 ，对应的P为F在该
时刻的瞬时功率；
②当v为某段位移（时间）内的平均速度时，则要求这段位移（时间）内F必须为恒力，
对应的P为F在该段时间内的平均功率。
重力的功率可表示为 ，即重力的瞬时功率等于重力和物体在该时刻的竖直分速
度之积。
汽车的两种加速问题
当汽车从静止开始沿水平面加速运动时，有两种不同的加速过程，但分析时采用的基本公
式都是 和
①恒定功率的加速由公式 和 知，由于P恒定，随着v的增大，F必将减小，a也必将减小，
汽车做加速度不断减小的加速运动，直到F=f，a=0，这时v达到最大值 。可
见恒定功率的加速一定不是匀加速。这种加速过程发动机做的功只能用W=Pt计算，不能
用W=Fs计算（因为F为变力）。
②恒定牵引力的加速
由公式 和 知，由于F恒定，所以a恒定，汽车做匀加速运动，而随着
v的增大，P也将不断增大，直到P达到额定功率P ，功率不能再增大了。这时匀加速运动
m
结束，其最大速度为 ，此后汽车要想继续加速就只能做恒定功率的变
加速运动了。可见恒定牵引力的加速时功率一定不恒定。这种加速过程发动机做的功只能
用W=Fs计算，不能用W=Pt计算（因为P为变功率）。
重力势能
1．定义：物体和地球由相对位置决定的能叫重力势能，是物体和地球共有的。表达式：
E =mgh
p ，与零势能面的选取有关。
2．对重力势能的理解
①重力势能是物体和地球这一系统共同所有，单独一个物体谈不上具有势能．即：如果没
有地球，物体谈不上有重力势能．平时说物体具有多少重力势能，是一种习惯上的简称．
重力势能是相对的，它随参考点的选择不同而不同，要说明物体具有多少重力势能，首先
要指明参考点 ( 即零 势能 点 )．
②重力势能是标量，有正负．其正负不表示方向，但表示大小．零点的选择不同虽对势能
值表述不同，但对物理过程没有影响．即势能是相对的，势能的变化是绝对的，势能的变
化与零点的选择无关．
③重力做功与重力势能
物体高度下降，重力做正功，重力势能降低；物体高度上升，重力做负功，重力势能升高
可以证明，重力做功与路径无关，由物体所受的重力和物体初、末位置所在水平面的高度
差决定，即： 或 ．
重力做的功等于重力势能增量的负值， （初状态-末状态）．
弹性势能
弹簧弹力做正功时弹性势能减小，弹簧弹力做负功时弹性势能增加，弹力做的功等于弹簧
的弹性势能变化量的负值（与重力势能类似）具体表达式为 （初状态-末状态）
由该公式可知，同重力势能一样，弹性势能也有相对性，零势能面的选择会影响各位置的
弹性势能，但是不会影响弹性势能的变化量，即弹性势能的变化量具有绝对性。
动能
1
E = mv2
k 2
1．定义：物体由于运动而具有的能，叫动能。其表达式为： 。
2．对动能的理解
（1）动能是一个状态量，它与物体的运动状态对应．动能是标量．它只有大小，没有方向，
而且物体的动能总是大于等于零，不会出现负值．
（2）动能是相对的，它与参照物的选取密切相关．如行驶中的汽车上的物品，对汽车上的
乘客，物品动能是零；但对路边的行人，物品的动能就不为零。
动能定理
1．动能定理的表述
合外力做的功等于物体动能的变化。（这里的合外力指物体受到的所有外力的合力，包括
重力）。表达式为 （末动能减去初动能）
动能定理也可以表述为：外力对物体做的总功等于物体动能的变化。实际应用时，这种表
述比较好操作。不必求合力，特别是在全过程的各个阶段受力有变化的情况下，只要把各
个力在各个阶段所做的功都按照代数和加起来，就可以得到总功。
2．对合外力做功与动能变化关系的理解：
合外力对物体做正功，物体的动能增加；合外力对物体做负功，物体的动能减少。合外力
做功是动能变化的量度，合外力对物体做了多少功；就有多少动能与其它形式的能发生了
转化．所以合外力对物体所做的功就等于物体动能的变化量．
机械能守恒定律
1．机械能守恒定律的两种表述
（1）在 只有重力 或弹簧弹力 做功 的情形下，物理系统的动能和势能发生相互转化，但机械
能的总量保持不变。
（2） 如果没有 滑动 摩擦 生热以及外界能量来源 ，物理系统内只发生动能和势能的相互转化
时，机械能的总量保持不变。
2．对机械能守恒定律的理解：
（1）机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。通常我们说“小球的机
械能守恒”其实一定也就包括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的。另外小
球的动能中所用的v，也是相对于地面的速度。
（2）当研究对象（除地球以外）只有一个物体时，往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是否守恒；当研究对象（除地球以外）由多个物体组成时，往往根据是否“只有重
力或弹簧弹力做功”来判定机械能是否守恒。
（3）“只有重力做功”不等于“只受重力作用”。在该过程中，物体可以受其它力的作用，
只要这些力不做功，或所做功的代数和为零，就可以认为是“只有重力做功”。
（4）系统的机械能守恒并不代表组成系统的每一个物体机械能都守恒
3．对机械能守恒条件的认识
如果没有滑动摩擦生热和外界能量来源，物理系统内只发生动能和势能的相互转化时，机
械能的总量保持不变，这就是机械能守恒定律．没有滑动摩擦生热和外界能量来源以及没
有非弹性碰撞，这是系统机械能的守恒条件．
分析一个物理过程是不是满足机械能守恒，关键是分析这一过程中有哪些力参与了做功，
这一力做功是什么形式的能转化成什么形式的能．如果只是动能和势能的相互转化，而没
有与其它形式的能发生转化，则机械能总和不变．如果没有力做功，不发生能的转化，机
械能当然也不发生变化．
4．机械能守恒定律的各种表达形式
1 ' 1
mgh+
2
mv2 =mg {h+
2
mv¿¿
E +E =E' +E'
（1） ，即 p k p k；
ΔE +ΔE =0 −ΔE =ΔE
（2） P k ； ； P K
点评： 用（ 1 ）时，需要规定重力势能的参考平面。 用（2）时则不必规定重力势能的参考
−ΔE =ΔE
平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。尤其是用 P K，只要
把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了。
能量守恒定律
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一
个物体转移到别的物体，在转移或转化的过程中，能量的总量保持不变。
运用能量守恒定律解决问题时，为避免思路混乱，可以先思考什么能量损失了，什么能量
增加了，分别损失了多少以及增加了多少，根据守恒的原理，等号左边只写损失的能量，
右边只写增多的能量，在解决复杂问题时比较好用。
四种功能关系
①重力或弹簧弹力做功是重力势能或弹性势能变化的量度
重力或弹簧弹力对物理系统做了多少焦耳的正功，对应的势能就会减少多少焦耳，反之亦
然。
②合外力做功是动能变化的量度（动能定理）
合外力对物理系统做了多少焦耳的正功，其动能就会增加多少焦耳，反之亦然。
③除重力与弹簧弹力之外的其它力做功是机械能变化的量度（机械能定理）
（除重力与弹簧弹力之外的）其它力对物理系统做了多少焦耳的正功，其具有的机械能就
会增加多少焦耳，反之亦然。
④系统内的滑动摩擦力做功会使得一部分机械能转化为内能一对 静 摩擦力做功的代数和一定为零，即一个摩擦力做正功，则它的反作用力必然做等大
的负功，不会造成物理系统机械能的变化。
一对 滑动 摩擦力做功代数和一定为负值，其绝对值等于滑动摩擦力与 相对 位移的乘积，即
恰等于系统产生的热量 Q （即内能的增加量） 。物理系统的机械能会减小，并且
机械能的损失量等于内能的增加量。
