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专题 07 巧构等腰三角形的四类综合题型
目录
典例详解
类型一、利用平行线+角平分线构造等腰三角形
类型二、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形
类型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形
类型四、利用倍角关系构造新等腰三角形
压轴专练
类型一、利用平行线+角平分线构造等腰三角形
模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分
线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类
似总结）。
平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。
图1 图2 图3
条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。
条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。
条件：如图3，在 中， 平分 ， 平分 ，过点O作 的平行线与 ， 分
别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。
例1．（1）如图1， 中， ， ， 的平分线交于O点，过O点作 交
， 于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想： 与 ， 之间有怎样的关系，并说明理由；
（2）如图2，若 ，其他条件不变，图中有 个等腰三角形； 与 ， 间的关系是 ；
（3）如图3， ，若 的角平分线与 外角 的角平分线交于点O，过点O作交 于E，交 于F．图中有 个等腰三角形． 与 ， 间的数量关系是 ．
【答案】（1）2， ，理由见解析．（2）5， （3）2，
【分析】（1）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平
行线性质得到角相等，再进行等量代换得到 ， ，再利用等角对等边，得到
， ，即可解题．
（2）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质，
再进行等量代换得到 、 、 、 ，再利用等角对
等边，得到对应线段相等，即可解题．
（3）本题解法与（1）类似．
【详解】（1）解： ，理由如下：
， 的平分线交于O点，
， ，
，
， ，
， ，
， ，
和 为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形．
．
故答案为：2．
（2）解： ，即 为等腰三角形，
，
， 的平分线交于O点，
，
，即 为等腰三角形，
，
， ， ，
， ， ，即 为等腰三角形，， ，
和 为等腰三角形，
．
综上所述，共有5个等腰三角形，
故答案为：5， ．
（3）解： 的角平分线与 外角 的角平分线交于点O，
， ，
，
， ，
， ，
， ，
和 为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形．
．
故答案为：2， ．
【变式1-1】如图，在 中， ， 的角平分线交 于点 ，过点 作 交
的延长线于点 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 是 上的一点，且 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由平行线的性质可求出 ，根据角平分线的定义可得出
，最后结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解；
（2）由角平分线的定义可得 ，结合平行线的性质可证 ，即得出 ，即
易证 ，得出 ．
【详解】（1）解： ， ，．
平分 ，
．
，
，
；
（2）证明： 平分 ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角
形全等的判定和性质，熟练掌握上述知识是解题关键．
【变式1-2】（1）如图1， ， 平分 ，则 的形状是 三角形；
（2）如图2， 平分 ， ， ，则 ．
（3）如图3，有 中， 是角平分线， 交 于点D．若 ，则 ．
（4）如图4，在 中， 与 的平分线交于点F，过点F作 ，分别交 ， 于
点D，E．若 ，则 的周长为 ．
（5）如图，在 中， cm， 分别是 和 的平分线，且 ， 则
的周长是 ．【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对角对等边．
（1）平行线的性质结合角平分线平分角，得到 ，即可得出结果；
（2）平行线的性质结合角平分线平分角，得到 ，进而得到 即可；
（3）同法（2）可得： ，利用 ，求解即可；
（4）同法（2）得到 ，推出 的周长等于 ，即可得出结果；
（5）同法（2）得到 ，推出 的周长等于 的长即可．
掌握平行线加角平分线往往存在等腰三角形，是解题的关键．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
故答案为：等腰；
（2）∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：3；
（3）同法（2）可得： ，
∴ ；
故答案为：12；
（4）同法（2）可得： ，∴ 的周长 ；
故答案为：30；
（5）同法（2）可得： ，
∴ 的周长 ；
故答案为：5cm．
类型二、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形
模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形.
条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DE//BC. 结论：△ADE是等腰三角形.
条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE//AB. 结论：△CDE是等腰三角形.
例2．如图， 是 的角平分线， ，交 于点 ．
(1)求证： 是等腰三角形．
(2)当 时，请判断 与 的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，见解析
【知识点】角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等
【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，角平分线定义，熟练掌握等腰三角形
的判定及性质是解题的关键．
（1）由角平分线得 ．再根据平行线的性质得 ，进而 ．即可证明结论成立；
（2）由等边对等角及平行线的性质得 ， ，从而 ．由（ ）得
， ，从而 ．
【详解】（1）证明：证明：∵ 是 的角平分线，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）解： ．理由如下：
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
由（ ）得 ，
∴ ，
∴ ．
【变式2-1】综合与探究
如图，在 中， ， 为 延长线上的一动点，且 ，交 于点 ．
(1)如图1，求证： 是等腰三角形．
(2)如图2，当 为 的中点时， 与 有怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由．
【答案】(1)见解析；(2) ，理由见解析．
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质以及垂线的定义．解题的关键是熟悉全等三角
形的判定以及等腰三角形的性质．
（1）通过已知条件证明 和 相等就能证明是等腰三角形；
（2）由 ，F是AB的中点可得 ，再根据勾股定理求出 ，过A点作 ，再通过
证明三角形全等得出 ．
【详解】（1）证明： ，
．
，
， ，
．
又 ，
，
，
是等腰三角形；
（2）解： ，理由如下：
过点 作 于点 ，
由（1）得 ，
∵ ，
．
， ，
．
又 为 的中点，
．在 和 中，
，
，
．
【变式2-2】（1）如图1， 为等边三角形，动点D在边 上，动点E在边 上．若这两点分别
从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接 交于点P，则在
动点D，E的运动过程中， 与 之间的数量关系是______________________．
（2）如图2，若把（1）中的“动点D在边 上，动点E在边 上”改为“动点D在射线 上运动，
动点E在射线 上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，若把（1）中的“动点D在边 上”改为“动点D在射线 上运动”，连接 ，交
于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中， 与 之间存在怎样的数量关系？请写出简
要的证明过程．
【答案】（1） ；（2）成立，理由见解析；（3） ，证明见详解
【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理
是解题的关键．
（1）根据题意得 ， 和 ，即可证明 ，则有 ；
（2）由题意得， ，进一步得 ，结合等边三角形的性质即可证明 ，
有 ；
（3）作 交AB于H，则 ， ， ，有 为等边三角形，进一步得 ，即可证明 ，则 ．
【详解】解：（1）∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
由题意得， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2） 成立，
理由如下：由题意得， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
（3） ，
理由如下：作 交AB于H，如图，
∵ 为等边三角形， ，
∴ ， ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
类型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形
模型解析：如图， △ABC中,AD平分 ∠BAC,AD⊥BC,由“ASA”易得 △ABD≅△ACD,从而得
AB=AC,BD=CD.即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形.
例3．【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1， 平分 ．点 为 上一点，过点A作
，垂足为C，延长 交 于点B，可根据______证明 ，则 ，
（即点C为 的中点）．
【类比解答】
如图2，在 中， 平分 ， 于E，若 ， ，通过上述构造全等的
办法，可求得 ______．
【拓展延伸】
（1）如图3， 中， ， ， 平分 ， ，垂足E在 的延长线上，
试探究 和 的数量关系，并证明你的结论．（2）如图4， 中， ， ，点D在线段 上， ， ，垂足
为 ， 与 相交于点F．线段 与 的数量关系为______．（直接写出）
【答案】【问题情境】 ；【类比解答】 ；【拓展延伸】（1） ，证明见解析；（2）
【分析】问题情境：根据角平分线的性质得 ，垂直得性质得 ，结合
，可利用 证明 ；
类比解答：延长 交 于点F，由问题情境可知 ，由等腰三角形的性质得 ，
结合三角形的外角性质即可得出结论；
拓展延伸：（1）延长 、 交于点F，利用 证 ，有 ，结合问题情境可知
，即可得出结论；
（2）过点D作 ，交 的延长线于点G，与 相交于H，可得 和 ，进
一步得 ，结合 有 和 ，利用 可证得
，有 ，即可证明 ．
【详解】问题情境：
解：∵ 平分 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
故答案为： ；
类比解答：
延长 交 于点F，如图，
由问题情境可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
拓展延伸：
（1） ，证明如下：
延长 、 交于点F，如图，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，
由问题情境可知， ，
∴ ；
（2）过点D作 ，交 的延长线于点G，与 相交于H，如图，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
在 和 中∴ ，
∴ ，
则 ．
【变式3-1】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图 ， 平分 ．点 为 上一点，
过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，可证得 ，则 ， ．
【问题提出】
（1）如图 ，在 中， 平分 ， 于点 ，若 ， ，通过上述
构造全等的办法，求 的度数；
【问题探究】
（2）如图 ，在 中， ， ， 平分 ， ，垂足 在 的延长
线上，试探究 和 的数量关系；
【问题解决】
（3）如图 是一块肥沃的土地 ，其中 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角
形土地 进行水稻试验，他进行了如下操作：
作 的平分线 ；
再过点 作 交 于点
已知 米， 米， 面积为 平方米，求划出的 的面积．
【答案】（ ） ；（ ） ，理由见解析；（ ） ．
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或
者AAS）、等边对等角
【分析】（ ）延长 交 于点 ，由已知可知 ，再由等腰三角形的在得
，然后由三角形的外角性质即可得出结论；（ ）延长 交于点 ，证 ，得 ，再由已知可知 ，即
可得出结论；
（ ）延长 交 于 ， 由已知可知 ， ，则 再由三角形面积关系
得 ，即可得出结论．
【详解】（ ）如图 ， 延长 交 于点 ，
由已知可知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（ ） ，证明如下：
如图，延长 交于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，由已知可知， ，
∴ ；
（ ）如图，延长 交 于 ，
由已知可知， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质、角平分线定义以
及三角形面积等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
类型四、利用倍角关系构造新等腰三角形
模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形．
条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC. 结论：△BDC是等腰三角形.
条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD. 结论：△ADC是等腰三角形.
条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA
的延长线于点D. 结论：△DBC是等腰三角形.
例4．如图1， 是 的角平分线， ，试探究线段 ， ， 之间的数量关系．小明的解题思路如下：
①如图2，在 上取一点 ，使 ，连接 ．
②由 ， 平分 ， 是公共边，
可得 （理由：________），
则 ， ．
③由 ，
则 ．
又因为 ，
所以 ，则 ________
又由 ，得 ．
④根据上述的推理可知 ， ， 之间的数量关系为________．
(1)请你补全小明的解题思路．
(2)小明又想尝试其它方法：延长 到点 ，使 ，连接 ．请你帮助小明，完成解答过程．
【答案】(1) ， ，
(2)见解析
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质
与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据题意作辅助线，根据等边对等角得到 ，根据三角形外角的性质得到
，证得 ，得到 ，等量代换即可证明．
【详解】（1）解：①如图2，在 上取一点 ，使 ，连接 ．
②由 ， 平分 ， 是公共边，
可得 （理由： ），
则 ， ．
③由 ，则 ．
又因为 ，
所以 ，则
又由 ，得 ．
④根据上述的推理可知 ， ， 之间的数量关系为 ；
（2）证明：延长 到点 ，使 ，连接 ．如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 是公共边，
∴ ，
∴ ．
【变式4-1】问题背景：在 中， ，点 为线段 一动点，当 满足某种条件时，探讨在
线段 、 、 、 四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系．(1)在图1中，当 时，则可得 ，请你给出证明过程．
(2)当 时，如图2，求证： ；
(3)当 是 的角平分线时，判断 、 、 的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) ，理由见解析
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三
角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）根据三角形的外角的性质，等腰三角形的性质得到 ，证明结论；
（2）在 上截取 ，连接 ，证明 ，根据全等三角形的性质得到 ，
，根据三角形的外角的性质，等腰三角形的性质证明；
（3）在 上截取 ，连接 ，证明 ，仿照（2）的证明方法解答．
【详解】（1） ，
，
，
，
，
，
，
；
（2）在 上截取 ，连接 ，
在 和 中，
，
，， ，
，
，
，
，
，
，
；
（3） ，
理由如下：在 上截取 ，连接 ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
．一、解答题
1．已知：如图， 为 的外角平分线上的一点， ， ，求证：
(1) 是等腰三角形；
(2) ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判断与性质．
（1）由 可得 ，由 平分 得 ，从而
，故可得结论；
（2）根据 证明 即可证明 ．
【详解】（1）证明：∵ ，
， ，
为 的外角平分线上的一点，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）证明：在 和 中，
，∴ ，
∴ ．
2．如图， 是 的角平分线，E是 的中点， ，交 于点F，交 延长线一点G．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）如图：由角平分线的性质可得 ，再根据平行线的性质和等量代换可得 ，最
后由等角对等边即可证明结论；
（2）如图：延长 至点H，使 ，先证 可得 、 ，进而证得
，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】（1）证明：∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
（2）解：延长 至点H，使 ，连结 ，在 和
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性
质和判定定理是解答本题的关键．
3．某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图， 为主梁框架，
是桥墩支撑角度的2倍，即 ，工程师计划在 的角平分线处安装钢架 ，交底
梁 于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索 ，使得 ，分别交 ， 于点F，
E．
(1)求证：加固后的 是等腰三角形；(2)经测量，主梁全长 为13米，关键节点间距 为5米，求原始支撑段 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)原始支撑段 的长度是8米
【分析】（1）由垂直的定义得到 ，由角平分线的定义得到 ，根据三角
形的内角和得到 ，得到 ，于是得到结论；
（2）连接 ，根据等腰三角形的性质得到 垂直平分 ，得到 ，由等腰三角形的性质得到
，等量代换得到 ，于是得到结论．
【详解】（1）证明： ，
，
又 平分 ，
，
又 在 和 中
，
，
，
为等腰三角形；
（2）解：连接 ，
， 平分 ，
垂直平分 ，
，
，
，
，
又 ，
，
又 中， ，
，
，
．．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的
性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
4．在 中， 的垂直平分线分别交边 、边 和直线 于点 ，连接 ．
(1)点 在 的延长线上，
①如图，求证： ；
②如图，当 时，求 的周长；
(2)当 是等腰三角形时，请直接写出 的度数．
【答案】(1)①见解析；②
(2) 或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用；
（1）①根据三角形内角和定理分别表示出 ，即可得证；
②证明 是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求解；
（2）分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，求解即可．
【详解】（1）①证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ 的周长为 ；
（2）解：设
当 时，
∵
∴
∴
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴
∴
在 中， 即
解得： ，即 ；
当 时， ，
同理可得 ，
∴ ，
解得： ，即 ；
当 时， ，
如图，
在 中，
∵ 是 的垂直平分线，∴ ，
∴
∴
∵
∴
∴
解得： （舍去）
∴此情形不存在，
综上所述，当 是等腰三角形时， 或 ．
5．【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组发现：当角平分线遇上平行线时一般
可得等腰三角形．如图1， 为 的角平分线 上一点，常过点 作 交 于点 ，易得
为等腰三角形．
(1)【基本运用】如图2，把长方形纸片 沿对角线 折叠，使点 落在点 处，则重合部分
是等腰三角形．请将以下过程或理由补充完整：
∵在长方形 中， ，
∴ ，由折叠性质可得：____________，
∴ ，
∴ ，（依据是：____________）
∴ 是等腰三角形；
(2)【类比探究】如图3， 中，内角 与外角 的角平分线交于点 ，过点 作
分别交 、 于点 、 ，试探究线段 、 、 之间的数量关系并说明理由；
(3)【拓展提升】如图4，四边形 中， ， 为 边的中点， 平分 ，连接 ，求
证： ．
【答案】(1) ；等腰三角形中等角对等边(2) ，理由见详解
(3)证明过程见详解
【分析】（1）根据材料提示，平行线的性质，等腰三角形的性质即可求证；
（2）根据（1）的结论可知， 为等腰三角形，则 ，且 ，可证
，由此即可求解；
（3）如图所示（见详解），过点 作 ， 为 边的中点，可知点 是 的中点，得出
为等腰三角关系，证明 平分 ，再根据两直线平行同旁内角互补，即可证明 ，
即直角三角形 ，由此即可求证．
【详解】（1）证明：∵在长方形 中， ，
∴ ，由折叠性质可得 ，
∴ ，
∴ ，（依据是：等腰三角形中等角对等边）
∴ 是等腰三角形；
故答案为： ；等腰三角形中等角对等边．
（2）解： ，理由如下，
由（1）可证， 为等腰三角形，则 ，
∵ 平方 ， ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，即 ，
∵ ，
∴ ．
（3）解：如图所示，过点 作 ，
∵ 为 边的中点，
∴点 是 的中点，即 ，
∵ ， 平分 ，
∴ ，∴ 是等腰三角形，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，掌握等腰三角形的性质，
平行线的性质是解题的关键．
6．已知在 中，满足 ．
(1)【问题解决】如图1，当 ， 为 的角平分线时，在 上取一点E，使得 ，
连接 ，请直接写出 之间的数量关系_________；
(2)【问题拓展】如图2，当 ，AD为 的角平分线时，在 上取一点E，使得 ，连
接 ，（1）中的结论还成立吗?若成立，请你证明；若不成立，请说明理由．
(3)【猜想结论】如图3，当 为 的外角平分线时，在 的延长线上取一点E，使得 ，连
接 ，请直接写出线段 的数量关系_________．
【答案】(1)
(2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析
(3)
【分析】（1） 由 为 的角平分线，得到 ，通过 ≌ ，得到， ，由于 ， 得到 ，
，根据等腰三角形的性质得到 ，于是得到结论；
（2）由 为 的角平分线时，得到 ，通过 ≌ 得到
，由已知得到 ，根据等腰三角形的性质得到 ，即可得解；
（3）由 为 的 角平分线时，得到 ，通过 ≌ 得到 ，
，由已知得到 ，根据等腰三角形的性质得到 ，即可得解．
【详解】（1）解：
∵ 为 的角平分线
在 和 中
≌ ，
（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
∵ 是 的角平分线，
∴
在 和 中∴ ≌
∴ ， ，
又∵ ，
∴
∴
∴
∴
即：
（3）解：
证明： ∵ 平分
∴
在 与 中
∴ ≌
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的
作出辅助线是解题的关键．
7．如图， 是等边三角形，点D在 上，点E在 的延长线上，且 ．(1)如图（1），若点 是 的中点， 度， 度， 度， （选填“ ”“
”或“ ”）．
(2)如图（2），若点 不是 的中点，题（1）中 与 的关系还成立吗？说明理由（提示：可以过D
作 的平行线 ，通过全等三角形和等边三角形相关知识证明）；
(3)如图（3），若点 在线段 的延长线上，试判断 与 的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)90，30，30，
(2)成立，理由见解析
(3)
【分析】（1）求出 ，推出 ，根据等边三角形性质求出 ，即可得出答案；
（2） 这仍成立，过D作 ，交 于F，证 ，推出 ，证
是等边三角形，推出 ，即可得出答案；
（3）如图3，过点D作 ，交 的延长线于点P，证明 ，得到 ，即可得
到 ．
【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ 为 中点，
∴ ， ， ，即 ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故答案为：90，30，30，=；
（2）证明：如图2，过D作 ，交 于F，
则 ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
即 ；
（3）解： ．
证明：如图3，过点D作 ，交 的延长线于点P，
则 ， ，
∴ 是等边三角形，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与
性质，三角形的外角性质，平行线的性质等知识，解决本题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握全等三角
形的判定与性质．
8．【问题初探】
（1）如图1，在 中， ，点F是 上一点，点E是 延长线上的一点，连接 ，交
于点D，若 ，求证： ．
【类比分析】
（2）如图4，在 中，点E在线段 上，D是 的中点，连接 ， ， 与 相交于点N，
若 ，求证： ；
【学以致用】
（3）如图5，在 中， ， ， 平分 ，点E在线段 的延长线上运
动，过点E作 ，交 于点N，交 于点D，且 ，请直接写出线段 ， 和 之间
的数量关系．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）①证明 ，得出 ， ，证明 ，得出
，证明 ，得出 ，即可证明结论；
②证明 ，得出 ，根据等腰三角形的判定证明 ，即可证明结论；
（2）延长 ，取 ，连接 ，证明 ，得出 ， ，
根据等腰三角形判定得出 ，即可证明结论；
（3）延长 ，使 ，连接 ，证明 ，得出 ， ，证
明 ，得出 ，根据直角三角形性质得出 ，根据 ，即
可证明结论．
【详解】（1）证明：如图所示，在线段 上截取 ，使 ，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）延长 ，取 ，连接 ，如图所示：
∵D是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）延长 ，使 ，连接 ，如图所示：∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等的三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平
行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．
