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专题 24.11 圆中常用辅助线的作法【八大题型】
【人教版】
【题型1 遇弦连半径构造三角形】..........................................................................................................................1
【题型2 遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】.....................................................................................................2
【题型3 遇直径作直径所对的圆周角】..................................................................................................................4
【题型4 遇切线作过切点的半径】..........................................................................................................................5
【题型5 遇90°的圆周角连直径】...........................................................................................................................6
【题型6 转移线段】..................................................................................................................................................7
【题型7 构造相似三角形】......................................................................................................................................9
【题型8 四点共圆】................................................................................................................................................11
【题型1 遇弦连半径构造三角形】
【例1】（2024·陕西渭南·三模）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，连接
CD、BD，BD=BC，延长DB到点E，使得BE=BD，连接CE．
(1)求证：∠A+∠E=90°；
25
(2)若⊙O的半径为 ，BC=5，求CE的长．
6
【变式1-1】（23-24九年级上·重庆大足·期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，若
CD=8，OP=3，则⊙O的直径为（ ）A．10 B．8 C．5 D．3
【变式1-2】（2024·贵州黔东南·二模）如图，⊙O是 △ABC的外接圆，且 AC=BC， 过点 B作
BE⊥AC，垂足为点E， 延长BE交⊙O于点D， 连接AD，CD，CO， 并延长CO交BD于点F．
(1)写出图中一个与∠ACD相等的角∶ ；
(2)求证∶ CD=CF；
(3)若 BC=10，BE=6， 求⊙O的半径．
【变式1-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC是⊙O的直径，
⊙O与边AB交于点D，E为B´D的中点，连接CE，与AB交于点F．
(1)求证：AC=AF．
(2)当F为AB的中点时，求证：FC=2EF．
【题型2 遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】
【例2】（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图，半径为5的⊙O中，有两条互相垂直的弦AB、CD，垂
足为点E，且AB=CD=8，则OE的长为（ ）A．3 B．❑√3 C．2❑√3 D．3❑√2
【变式2-1】（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，⊙O的半径是4，点P是弦AB延长线上的一点，连
接OP，若OP=6，∠APO=30°，则弦AB的长为（ ）
5
A．2❑√7 B．❑√7 C．5 D．
2
【变式2-2】（23-24九年级下·上海·阶段练习）如图，⊙O 和⊙O 相交于A和B，过点A作O O 的平行
1 2 1 2
线交两圆于C、D，已知O O =20cm，则CD= cm．
1 2
【变式2-3】（23-24九年级上·福建厦门·期末）关于x的一元二次方程❑√2ax2+2cx+❑√2b=0，如果a、
b、c满足a2+b2=c2且c≠0，那么我们把这样的方程称为“勾系方程”，请解决下列问题：
(1)求证：关于x的“勾系方程”❑√2ax2+2cx+❑√2b=0必有实数根.
(2)如图，已知AB、CD是半径为5的⊙O的两条平行弦，AB=2a，CD=2b，且关于x的方程❑√2ax2+
10x+❑√2b=0是“勾系方程”.①求∠BDC的度数，
②直接写出BD的长：_____________（用含a、b的式子表示）.
【题型3 遇直径作直径所对的圆周角】
【例3】（2024·安徽合肥·一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD于点M，连
接OD．
(1)若∠ODB=54°，求∠BAC的度数；
(2)AC，DB的延长线相交于点F，CE是⊙O的切线，交BF于点E，若CE⊥DF，求证：AC=CD．
【变式3-1】（2024九年级上·湖北武汉·期中）如图，AB为⊙O的直径，点C为B´E的中点，CD⊥AE交
直线AE于D点．
(1)求证：OC∥AD；
(2)若DE=1,CD=2，求⊙O的直径．
【变式3-2】（2024·浙江温州·三模）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，AC=3，点E是
AC边上的动点，以CE为直径作⊙F，连接BE交⊙F于点D，则AD的最小值为 ．
【变式3-3】（23-24九年级上·福建莆田·期中）如图，AB是半圆O的直径，AB=10，点D在半圆O上，AD=6，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程
中，BH的最小值是 ．
【题型4 遇切线作过切点的半径】
【例4】（2024·贵州·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P为边BC上一点，连接AP
1
，分别以点A，P为圆心，大于是 AP的长为半径画弧，两弧交于点E，F，EF交AB于点D，再以点D
2
为圆心，DA长为半径作圆，交AB于点M，BC恰好是⊙D的切线．若∠B=30°，AC=❑√3，则BM的
长为（ ）
2❑√3 ❑√3 ❑√3
A． B． C． D．❑√3
3 3 4
【变式4-1】（2024·辽宁大连·一模）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径与BC交于点F，
∠CAD=45°，过B点的切线交AD的延长线于点E．
(1)若∠C=64°，求∠E的度数；
(2)⊙O的半径是3，OF=1，求BE的长．
【变式4-2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知AB与⊙O相切于点B，直线AO与⊙O相交于C，D两点(AO>AC)，E为B´D的中点，连接OE并延长，交AB的延长线于点F．
(1)如图①，若E为OF的中点，求∠A的大小；
(2)如图②，连接BD与OF相交于点G，求证：∠D=∠F．
【变式4-3】（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，
D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．若BC=6，DE=4．
(1)求证：∠FEB=∠ECF；
(2)求⊙O的半径长．
(3)求线段EF的长．
【题型5 遇90°的圆周角连直径】
【例5】（2024·安徽合肥·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，BC=CD，过点C作
CE，使得CD=CE，交AD的延长线于点E．
(1)求证：AB=AE．
(2)若AD=DE=2，求CD的长．【变式5-1】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，矩形 内接于 ，则 ⏜ 的长
ABCD ⊙O,AB=2,BC=2❑√3
AB
为（ ）
1 2 ❑√3 2❑√3
A． π B． π C． π D． π
3 3 3 3
【变式5-2】（23-24九年级下·四川成都·开学考试）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方
圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的边长为2．以它的对角线的交点为位似中心，作
它的位似图形A′B′C′D′，若A′B′:AB=2:1，则四边形A′B′C′D′的外接圆半径为 ．
【变式5-3】（2024·江西景德镇·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P经过点O，与y轴交于点
A(0,6)，与x轴交于点B(8,0)，则OP的长为 ．
【题型6 转移线段】
【例6】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，⊙O的直径AB=8，弦CD=3，且弦CD在圆上滑
动（CD的长度不变，点C、D与点A、B不重合），过点C作CP⊥AB于点P，若M是CD的中点，则
PM的最大值是 ．【变式6-1】（2024九年级上·浙江台州·期中）如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，经过点C
且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是 ．
【变式6-2】（2024·江苏徐州·三模）【问题情境】
如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B．
小明认为线段PA是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在⊙O上任意取一个不同
于点A的点C，连接OC、CP，则有OP<OC+PC，即OP−OC<PC，由OA=OC得OP−OA<PC，
即PA<PC，从而得出线段PA是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段．
小红认为在图1中，线段PB是点P到⊙O上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明
理由．
【直接运用】
如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是C´D上的一
个动点，连接AP，则AP的最小值是______；
【构造运用】
如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值．
【深度运用】
如图5，已知点C在以AB为直径，O为圆心的半圆上，AB=4，以BC为边作等边△BCD，则AD的最大
值是________．
【变式6-3】（23-24九年级上·河南开封·阶段练习）如图，以G(0,3)为圆心，半径为6的圆与x轴交于
A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，点E在G的运动过程中，线
段FG的长度的最小值为 ．
【题型7 构造相似三角形】
【例7】（2024·贵州六盘水·二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，DB平分∠ADC，
CA=CD，DB与CA交于点E， 延长AB,DC交于点 F．
(1)直接写出线段AB与线段BC的数量关系；
(2)求证：△AFC≌△DEC；
(3)设 的面积为 ， 的面积为 ，求S 的值．
△ABD S △BCD S 1
1 2 S
2【变式7-1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知DE是⊙O的直径，DE=6．点A是圆外一点，点D和点E
在同一条直线上．且AD=2．过点A另一条直线交⊙O于B、C．
(1)如图1，当AC=5时，研究发现：连接CE、BD可以得到△ABD∽△AEC，继而可以求AB长．请
写出完整的解答过程．
(2)如图2，当B、C重合于一点时，AC=______．
(3)如图3，当OB平分∠AOC时，AC=______．
【变式7-2】（23-24九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在
AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连接AC，AD，点A关于CD的对称点为E，直线CE交
⊙O于点F，交AH于点G．
(1)求证：∠CAG=∠AGC；
EF 2 DP
(2)当点E在AB上，连接AF交CD于点P，若 = ，求 的值；
CE 5 CP
(3)当点E在射线AB上，AB=2，四边形ACOF中有一组对边平行时，求AE的长．
【变式7-3】（2024九年级上·上海·专题练习）已知AB是⊙O的一条弦，点C在⊙O上，连接CO并延
长，交弦AB于点D，且CD=CB．(1)如图1，如果 平分 ，求证： ⏜ ⏜ ；
BO ∠ABC
AB=BC
(2)如图2，如果AO⊥OB，求AD:DB的值；
(3)延长线段AO交弦BC于点E，如果△EOB是等腰三角形，且⊙O的半径长等于2，求弦BC的长．
【题型8 四点共圆】
【例8】（2024九年级上·北京海淀·阶段练习）如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，过点F作
EF⊥BC，且FE=FC(CE<CB)，连接CE、AE，点G是AE的中点，连接FG．
（1）用等式表示线段BF与FG的数量关系：______；
（2）将图1中的△CEF绕点C按逆时针旋转，使△CEF的顶点F恰好在正方形ABCD的对角线AC上，
点G仍是AE的中点，连接FG、DF．
①在图2中，依据题意补全图形；
②用等式表示线段DF与FG的数量关系并证明．
【变式8-1】（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，
BC=3，∠CPB=∠A，过点C作CP的垂线，与BP的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（ ）
15 16
A．4 B．5 C． D．
4 5
【变式8-2】（2024·浙江嘉兴·中考真题）如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，点D在AC上，
且AD=2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连接AG，FG，当AG=FG
时，线段DE长为（ ）5❑√2 ❑√41
A．❑√13 B． C． D．4
2 2
【变式8-3】（23-24九年级下·重庆·阶段练习）在△ABC中，AC=BC，点D在BC上方，连接CD，将
CD绕点D顺时针旋转90°到ED．
(1)如图1，∠ACB=90°，点D在AC右上方，连接AE，CE，若∠ACD=15°，AB=2❑√2，CD=2❑√6
，求AE的长；
(2)如图2，点D在AC的左侧上方，连接BE交CD于点M，F为BE上一点，若∠≝=∠EDF+∠EBC，
1
且M为BF的中点，过F作FH⊥DE于点H，求证：DM= DE+FH；
2
(3)如图3，，，，将沿着直线翻折至连接，连接并延长交于点，交于点，当最长时，直接写出此时的面
积．
