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专题 24.18 证明切线几种常用方法（6 种方法 3 类题型）（方法梳理
与题型分类讲解）
第一部分【模型梳理与题型目录】
【知识点1】证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法
1、连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证
明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”
2、作垂直，证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆
心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”
【知识点2】证明切线的类型与方法
类型一、有公共点：连半径，证垂直
【方法1】特殊角计算法证垂直..................................................1;
【方法2】平行线性质法证垂直..................................................2;
【方法3】等角代换法证垂直....................................................3;
【方法4】全等三角形法证垂直..................................................4;
类型二、无公共点：做垂直，证半径
【方法5】角平分线的性质法证半径...............................................5;
【方法6】全等三角形法证半径..........................................................6;
类型三、拓展延伸
【直通中考】.........................................................................7；
【拓展延伸】.........................................................................7.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】有公共点：连半径，证垂直（特殊角计算法证垂直）
【例1】（23-24九年级下·福建莆田·阶段练习）如图，在等腰 中， ，过点 作
交 于点 ，
(1)尺规作图：作 的外接圆 （保留痕迹，不要求写作法）；(2)在（1）所作的图形中，求证： 是 的切线．
【变式1】（2024·湖北·模拟预测）如图，已知 是 的直径，弦 交 于M，过点C的直线交
延长线于点P，若 ．
(1)求证： 是 的切线．
(2)若 ，求阴影部分的面积．
【变式2】（2024·西藏日喀则·一模）如图， 是 的外接圆， 且
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的半径长．
【题型2】有公共点：连半径，证垂直(平行线性质法证垂直)
【例2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，点C在以 为直径的 上， 平分 交
于点D，过点D作 的垂线，垂足为E．(1)求证： 与 相切；
(2)请探究线段 之间的数量关系，并说明理由．
【变式1】（24-25九年级上·全国·期中）如图， 为 直径，点 为 上一点， 平分 ，
，垂足为 ， 交 于点 ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的直径．
【变式2】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图， 为 的直径，C为 上一点， 和过
点C的直线互相垂直，垂足为D， 平分 ．
(1)求证：直线 与 相切；
(2)若 ， ，求 的半径．【题型3】有公共点：连半径，证垂直（等角代换法证垂直）
【例3】（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）如图， 为 的直径， 交 于点C，D为
上一点，延长 交 于点E，延长 至F，使 ，连接 ．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 且 ，求 的半径．
【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图， 是 的直径，点 为 外一点，连接 交
于点 ，连接 并延长交线段 于点 ， ．求证： 与 相切．
【变式2】（22-23九年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，AB是 的直径， 是弦，D是 的中点，
CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且 ．
(1)求证：CF为 的切线；
(2)连接BD．若 ， ，求BD的长．【题型4】有公共点：连半径，证垂直（全等三角形法证垂直）
【例4】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图， 为 的切线， 为切点，过点 作 ，
垂足为点 ，交 于点 ，延长 与 的延长线交于点 ．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ，求线段 的长．
【变式1】（2024·河南周口·模拟预测）如图，四边形 是平行四边形，以点O为圆心， 为半径
的 交 于点D，交 于点E，延长 交☉O于点F，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 是 的切线，求证： 也是 的切线．
【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图， 为 的直径，过圆上一点D作 的切线
交 的延长线于点C，过点O作 交 于点E，连接 ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径及 的长．【题型5】无公共点：做垂直，证半径（角平分线的性质法证半径）
【例5】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图， 为正方形 对角线 上一点，以 为圆
心， 长为半径的 与 相切于点 ．
(1)求证∶ 与 相切；
(2)若正方形 的边长为4，求 的半径．
【变式1】（2024·广西南宁·模拟预测）如图， 是等腰直角三角形， ，O为 的中点，
连接 交 于点E， 与 相切于点D．
（1）求证： 是 的切线；
（2）延长 交 于点G，连接 交 于点F，若 ，求 的长．
【变式2】（2024·江西吉安·模拟预测）如图，在同心 ，大 的直径 交小 于 、 ，大
的两弦 、 交于 ，且 ， ，弦 与小 切于 ，过 作 于．小 的半径为 ．
（1） 的长为__________；
（2）试问弦 与小 是什么位置关系？请证明你的结论；
【题型6】无公共点：做垂直，证半径（全等三角形法证半径）
【例6】（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，在 中，O为 上一点，以O为圆心， 长为
半径作圆，与 相切于点C，过点A作 交 的延长线于点D，且 ．
求证： 为 的切线；
【变式1】（2024·广西南宁·二模）如图， 是 的直径， 和 分别是 的切线， 平分
，且与 交于点E，连接 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·四川攀枝花·中考真题）如图， 为 的直径，如果圆上的点 恰使 ，求
证：直线 与 相切．
【例2】．（2023·湖北恩施·中考真题）如图， 是等腰直角三角形， ，点O为 的
中点，连接 交 于点E， 与 相切于点D．
（1）求证： 是 的切线；
（2）延长 交 于点G，连接 交 于点F，若 ，求 的长．
2、拓展延伸
【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图， 是 的内接三角形， 是 的直径，D是
的中点， 交 的延长线于点E．
（1）求证：直线 与 相切；
（2）若 的直径是10， ，求 的长．【例2】（2023·云南楚雄·模拟预测）如图，已知直线 交 于A、 两点， 是 的直径，点
为 上一点，且 平分 ，过 作CD⊥PA，垂足为 ．
（1）求证： 为 的切线；
（2）若 ， ，求 的直径 的长．
