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专题 13.8 等腰三角形常用作辅助线方法【七大题型】
【人教版】
【题型1 作中线构造三线合一模型】......................................................................................................................1
【题型2 作垂线构造等腰三角形】..........................................................................................................................6
【题型3 构造等腰（直角）三角形】....................................................................................................................14
【题型4 作平行线构造等腰三角形】....................................................................................................................20
【题型5 倍长中线构造等腰三角形】....................................................................................................................28
【题型6 截长补短构造等腰三角形】....................................................................................................................32
【题型7 旋转构造等腰三角形】............................................................................................................................38
方法点拨：作中线构造三线合一模型
遇等腰三角形底边的中点，常连接底边上的中线，构造三线合一的模型解题。
【题型1 作中线构造三线合一模型】
【例1】（23-24八年级·河南三门峡·期末）已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC边的中
点，
（1）如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．
（2）如图②，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否
仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）△DEF为等腰直角三角，证明见解析
【分析】（1）先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中
线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，
AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；
（2）还是证明：△BED≌△AFD，主要证∠DAF=∠DBE（∠DBE=180°-45°=135°，∠DAF=90°
+45°=135°），再结合两组对边对应相等，所以两个三角形全等．
【详解】（1）证明：连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=AD．
∴∠B=∠DAC=45° 又BE=AF，
∴△BDE≌△ADF（SAS）．
∴ED=FD，∠BDE=∠ADF．
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°．
∴△DEF为等腰直角三角形．
（2）△DEF为等腰直角三角形．
证明：若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示：连接AD，
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD=BD，AD⊥BC（三线合一），
∴∠DAC=∠ABD=45°．
∴∠DAF=∠DBE=135°．又AF=BE，
∴△DAF≌△DBE（SAS）．
∴FD=ED，∠FDA=∠EDB．
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°．
∴△DEF仍为等腰直角三角形．【点睛】本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形
的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．
【变式1-1】（23-24春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC
上，且DF⊥BC连接AD，CF，若∠CFE=32°，∠ADB=45°，则∠B的大小是( )
A. 32° B. 64° C. 77° D. 87°
【答案】C
【分析】
本题考查直角三角形斜边中线的性质，四边形内角和定理，等腰三角形的判定与性质有关知识，如图，取
CF的中点T，连接DT，AT.想办法证明AC=AF，推出∠CFA=45°进而可解决问题．
【解答】
解：如图，取CF的中点T，连接DT，AT．
∵∠BAC=90°，FD⊥BC，
∴∠CAF=∠CDF=90°，
1
∴AT=DT= CF，
2
∴TD=TC=TA，∴∠TDA=∠TAD，∠TDC=∠TCD，
∵∠ADB=45°，
∴∠ADT+∠TDC=135°，
∴∠ATC=360°−2×135°=90°，
∴AT⊥CF，
∵CT=TF，
∴AC=AF，
∴∠AFC=45°，
∴∠BFD=45°−32°=13°，
∵∠BDF=90°，
∴∠B=90°−∠BFD=77°，
故选C．
【变式1-2】（23-24春·山东泰安·八年级统考期末）如图，△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，且
AD=BD.求证：CD⊥AC．
【答案】证明：如图，取AB的中点E，连接DE，则AB=2AE=2BE．∵AB=2AC，∴AE=AC．
∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD．
在△DEA和△DCA中，
AE=AC
∵{∠EAD=∠CAD
AD=AD
∴△DEA≌△DCA(SAS)．
∴∠ACD=∠AED．
∵AD=BD，AE=BE，DE=DE，
∴△ADE≌△BDE(SSS)．
∴∠AED=∠BED．
又∵∠AED+∠BED=180°，
∴∠AED=∠BED=90°．
∴∠ACD=90°，
∴DC⊥AC．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出△DEA≌△DCA，主要培
养了学生分析问题和解决问题的能力，题目比较好，难度适中．
如图，取AB的中点E，连接DE，则AB=2AE=2BE.根据SAS证明△DEA≌△DCA，得出
∠ACD=∠AED.再根据SSS证△ADE≌△BDE，推出∠AED=∠BED即可得出∠ACD=90°，此题
得解．
【变式 1-3】（23-24 春·河南南阳·八年级统考期末）如图，四边形ADBC中，BC=2BD，AB平分
∠DBC，AB=AC，求证：AD⊥BD．
【答案】解：如图，取BC中点E连接AE，∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AE垂直且平分BC，
1
∴BE=CE= BC，
2
∵2BD=BC，
∴BD=BE，
∵AB是∠CBD角平分线，
∴∠ABE=∠ABD
在△ABD和△ABE中，
{
BD=BE
∠ABD=∠ABE，
AB=AB
∴△ABE≌△ABD，
∴∠AEB=∠ADB，
∵AE垂直BC，
∠AEB=∠ADB=90∘，
∴AD⊥BD．
本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的三线合一，正确做出辅助线是解题的关键．
取BC中点E连接AE，得出AE垂直且平分BC，再证明△ABE≌△ABD，得出∠AEB=∠ADB，进而可
证明结论．
方法点拨：作垂线构造三线合一模型
遇等腰三角形，常作底边上的高，构造三线合一的模型解题。
【题型2 作垂线构造等腰三角形】
【例2】（23-24八年级·江苏常州·阶段练习）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一点，
EA⊥AB，且EB=EC．(1)如果∠ABC=40∘，则∠DEC的度数为
(2)求证：BC=2AB．
【答案】(1)40°
(2)证明见详解
【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠EBC，根据等腰三角形的性质得到∠ECB=∠EBC=20°，根
据三角形外角的性质计算，得到答案；
（2）作EF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得到BC=2BF，证明Rt△ABE≌Rt△FBE，根据全等三
角形的性质证明结论．
【详解】（1）解：∵∠ABC=40°，BD平分∠ABC，
1
∴ ∠EBC= ∠ABC=20°，
2
∵EB=EC，
∴∠ECB=∠EBC=20°，
∵∠DEC是△EBC的一个外角，
∴∠DEC=∠ECB+∠EBC=40°；
故答案为：40°
（2）证明：过点E作EF⊥BC于点F，
∵BD平分∠ABC，EA⊥AB，
∴EA=EF，
在Rt△AEB和Rt△FEB中，
{EA=EF)
∵
EB=EB∴Rt△AEB≌Rt△FEB(HL)，
∴AB=FB（全等三角形的对应边相等），
∵EB=EC，EF⊥BC，
∴BC=2FB，
∴BC=2AB．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，掌握三角
形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式2-1】（23-24八年级·四川自贡·期末）如图1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是线段CA延
长线上一点，且AD=AB．点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE，连接EA，
且EA⊥AB．
(1)若DG⊥AE，垂足为G，求证：AE=AF+BC；
(2)如图2，若点F是线段BA延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE，AF，BC之间的数量关系，
并说明理由．
【答案】(1)详见解析
(2)BC=AE+AF
【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确
地作出辅助线是解题的关键．
（1）由EA⊥AB，DG⊥AE，得∠EAF=∠DGE=∠AGD=90°，而∠C=90°，AD=BA，则
∠AGD=∠C，∠DAG=∠B=90°−∠BAC，即可根据“AAS”证明△DAG≌△ABC，得AG=BC，
再证明△GED≌△AFE，得¿=AF，则AE=≥+AG=AF+BC；
（2）作DH⊥AE交AE的延长线于点H，可证明△DAH≌△ABC，得AH=BC，再证明
△HED≌△AFE，得HE=AF，则AE+AF=AE+HE=AH=BC．
【详解】（1）证明：如图1，∵EA⊥AB，DG⊥AE，∴∠EAF=∠DGE=∠AGD=90°，
∵∠C=90°，
∴∠AGD=∠C，∠DAG=∠B=90°−∠BAC，
在△DAG和△ABC中，
{∠AGD=∠C
)
∠DAB=∠B ，
AD=BA
∴△DAG≌△ABC(AAS)，
∴AG=BC，
∵Rt△DFE是以DF为斜边的等腰直角三角形，
∴DE=EF，∠≝=90°，
∴∠GED=∠AFE=90°−∠AEF，
在△GED和△AFE中，
{∠DGE=∠EAF
)
∠GED=∠AFE ，
DE=EF
∴△GED≌△AFE(AAS)，
∴≥=AF，
∴≥+AG=AF+BC，
∵≥+AG=AE，
∴AE=AF+BC；
（2）解：AE+AF=BC，
理由：如图2，作DH⊥AE交AE的延长线于点H，则∠H=∠C=∠EAF=90°，∴∠DAH=∠B=90°−∠BAC，
在△DAH和△ABC中，
{
∠H=∠C
)
∠DAH=∠B ，
AD=BA
∴△DAH≌△ABC(AAS)，
∴AH=BC，
∵∠H=∠EAF=∠≝=90°，
∴∠HED=∠AFE=90°−∠AEF，
在△HED和△AFE中，
{
∠H=∠EAF
)
∠HED=∠AFE ，
DE=EF
∴△HED≌△AFE(AAS)，
∴HE=AF，
∴AE+AF=AE+HE=AH，
∴AE+AF=BC．
【变式2-2】（23-24八年级·江苏南通·期中）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CA = CB，点D在
AB上，AD = AC，BE⊥直线CD于E．
（1）求∠BCD的度数；
（2）求证：CD = 2BE；
（3）若点O是AB的中点，请直接写出三条线段CB、BD、CO之间的数量关系．【答案】（1）22.5°；（2）见解析；（3）BD =2OC－BC，见解析
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出∠A＝45°，利用等腰三角形进行解答即可；
（2）作AH⊥CD于H，根据全等三角形的判定和性质解答即可；
（3）由BD＝AB−AD，AB＝2CO，AD＝AC＝BC，可得BD＝2CO−BC；
【详解】解：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CA = CB，
∴∠A =∠CBA = 45°，
∵AD = AC，
∴∠ACD = 67.5°，
∴∠BCD =90°－∠ACD = 22.5°；
（2）作AH⊥CD于H，如图：
∵BE⊥直线CD于E，AD = AC，
∴CD = 2CH，∠BEC =∠AHC = 90°，
∵∠BCE +∠DCA = ∠HAC +∠DCA = 90°，
∴∠BCE =∠HAC，
在△CBE与△ACH中，
{
∠BCE=∠CAH
)
∠BEC=∠AHC=90°
BC=AC
∴△CBE≌△ACH（AAS），
∴CH = BE，即CD = 2CH = 2BE；
（3）如图，在Rt△ACB中，∵AO = OB，
∴AB = 2OC，
∵BD = AB－AD，AB = 2OC，AD = AC = BC，
∴BD =2OC－BC．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用等腰三角形的角度与边之间的
关系是解决问题的关键．
【变式2-3】（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是直线AB
上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE=CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线
BC于点F．
(1)如图1，当点D为线段AB上的任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；
(2)如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是
否发生改变，并证明；
(3)如图3，当点D在线段AB的延长线上时，直接写出线段EF、CF、AC之间的数量关系．
【答案】(1)结论：AC=EF+FC．理由见解析
(2)结论：AC=EF−CF，理由见解析
(3)AC=CF−EF
【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，添加恰当辅
助线构造全等三角形是本题的关键．
（1）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得FC=HC，EF=DH，可得结论；
（2）过D作DH⊥CB交BC的延长线于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得FC=HC，EF=DH，可得结论．
（3）过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得FC=HC，EF=DH
，可得结论．
【详解】（1）解：结论：AC=EF+FC．
理由如下：过D作DH⊥CB于H，
∴∠DHC=∠DHB=90°，
∵EF⊥CF，
∴∠EFC=∠DHC=90°，
在△FEC和△HDC中，
{∠EFC=∠DHC
)
∠ECF=∠DCH ,
EC=DC
∴△FEC≌△HDC(AAS)，
∴FC=HC，EF=DH，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∵∠DHB=90°，
∴∠B=∠HDB=45°，
∴DH=HB=EF，
∵BC=CH+HB，
∴AC=FC+EF；
（2）依题意补全图形，结论：AC=EF−CF，
理由如下：
过D作DH⊥CB交BC的延长线于H，∵EF⊥CF，
∴∠EFC=∠DHC=90°，
在△FEC和△HDC中，
{∠ECF=∠DCH
)
∠EFC=∠DHC ,
EC=DC
∴△FEC≌△HDC(AAS)，
∴FC=HC，EF=DH，
∵∠DHB=90°，
∴∠B=∠HDB=45°，
∴DH=HB=EF，
∵BC=HB−CH，
∴AC=EF−CF；
（3）AC=CF−EF．
如图3，过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，
同理可证△FEC≌△HDC(AAS)，∴FC=HC，EF=DH，
∵∠DHB=90°，∠HBD=∠ABC=45°
∴∠HBD=∠HDB=45°，
∴DH=HB=EF，
∵BC=CH−BH，
∴AC=CF−EF．
方法点拨：构造等腰（直角）三角形
在同一个三角形中证明两线段相等或垂直时，往往构造等腰（直角）三角形，运用三线合一来解决问题。
【题型3 构造等腰（直角）三角形】
【例3】（23-24八年级·辽宁锦州·期中）如图，△ABC中，AC=DC=4，BD垂直∠BAC的角平分线于
D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】解：延长BD交AC于点H.设AD交BE于点O．
∵AD⊥BH，
∴∠ADB=∠ADH=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，∠H+∠HAD=90°，
∵∠BAD=∠HAD，
∴∠ABD=∠H，
∴AB=AH，
∵AD⊥BH，∴BD=DH，
∵DC=CA，
∴∠CDA=∠CAD，
∵∠CAD+∠H=90°，∠CDA+∠CDH=90°，
∴∠CDH=∠H，
∴CD=CH=AC，
∵AE=EC，
1 1
∴S = S ，S = S ，
△ABE 4 △ABH △CDH 4 △ABH
∵S −S =S −S =S −S =S ，
△OBD △AOE △ADB △ABE △ADH △CDH △ACD
∵AC=CD=3，
1
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为 ×4×4=8．
2
∴图中两个阴影部分面积之差的最大值为8，
故选：C．
延长BD交AC于点H.设AD交BE于点O.根据垂直定义得到∠ADB=∠ADH=90°，求得∠ABD=∠H
，得到AB=AH，根据等腰三角形的性质得到BD=DH，推出∠CDH=∠H，求得CD=CH=AC，推
1
出当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为 ×4×4=8．
2
本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式3-1】（23-24春·山东枣庄·八年级统考期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，
△BCD的面积为58，△ADC的面积为30，则△ABD的面积为________．
【答案】28
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算；证明三角形全等得
出AD=ED是解决问题的关键．延长AD交BC于E，由AAS证明△ABD≌△EBD，得出AD=ED，得出
△ABD的面积=△EBD的面积，△CDE的面积=△ACD的面积=20，即可得出结果．
【解答】
解：延长AD交BC于E，如图所示：
∵BD平分∠ABC，AD垂直于BD，
∴∠ABD=∠EBD，∠ADB=∠EDB=90°，
{∠ABD=∠EBD
在△ABD和△EBD中， ∠ADB=∠EDB,
BD=BD
∴△ABD≌△EBD(AAS)，
∴AD=ED，
∴△ABD的面积=△EBD的面积，△CDE的面积=△ACD的面积=30，
∴△ABD的面积=△EBD的面积=△BCD的面积−△CDE的面积=58−30=28，
故答案为28．
【变式3-2】（23-24春·浙江杭州·八年级开学考试）如图，△ABC是等腰直角三角形，AD是其底边BC上
的高，E是AD上的一点，以CE为边向上作等边三角形CEF，连接BF，则∠CBF的度数为 ．
【答案】30°
如图，连接BE并延长交CF于点H，∵△ABC是等腰直角三角形，AD为BC上的高，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB.
∵△EFC是等边三角形，
∴∠FEC=60°，EF=EC，
∴EF=EB，
∴∠FBE=∠EFB.
∵∠FEH=∠FBE+∠EFB，∠CEH=∠EBC+∠ECB，
∴∠FEC=∠FEH+∠CEH=2∠FBE+2∠EBC=2∠FBC，
1
∴ ∠FBC= ∠FEC=30∘ ．
2
【变式3-3】（23-24春·安徽亳州·八年级统考期末）(1)如图1，在△ABC中，AB=AC，D、E为△ABC
内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长为_______；
(2)如图2，∠BAD=120°，BD=DC，AB+AD=AC.则∠CAD的度数为________．
【答案】(1)8；
(2)60°．【分析】
此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，求得MN的长是
解决问题的关键．
延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=6，DE=2，进
而得出△BEM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．
【解答】
解：(1)延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEM为等边三角形，
∴∠EMB=60°，EM=BM=BE=6，
又∵DE=2，
∴DM=EM−DE=4，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BC=2BN，
∴∠MDN=90°−60°=30°，
DM
∴MN= =2，
2
∴BN=BM−MN=4，
∴BC=2BN=8．
故答案为：8．
(2)【分析】本题主要考察的是三角形全等的判定与性质，等边三角形的性质与判定：有一个角是60∘的等腰三角形是
等边三角形，等边三角形的三个内角都等于60∘.解题的关键是熟记全等三角形的性质与判定;
延长BA到E使AD=AE，从而可证明BE=AC和△ADE是等边三角形，即可得到AD=DE;再根据SSS证
△ADC≌△EDB，即可得∠DAC=∠E=60∘，从而得出结论．
【解答】
解：延长BA到E，使AE=AD，连接DE，
∵∠BAD=120°，
∴∠DAE=180°−120°=60°，
又∵AE=AD，
∴△DAE是等边三角形，
∴DE=AD，∠E=60°，
又∵BE=AB+AE，AB+AD=AC，
∴BE=AC，
在△BDE和△CDA中，
{BD=CD
BE=CA
DE=AD
∴△BDE≌△CDA，
∴∠CAD=∠E=60°．
故答案为：60°．方法点拨：作平行线构造等腰三角形
作腰或底的平行线构造等腰三角形，作角平分线的平行线也可得等腰三角形。
【题型4 作平行线构造等腰三角形】
【例4】（23-24八年级·河南开封·期中）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作
PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ=PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25
【答案】C
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形
是解题的关键．过P作BC的平行线交AC于F，通过AAS证明△PFD≌△QCD，得FD=CD，再由
1
△APF是等边三角形，即可得出DE= AC．
2
【详解】解：过P作BC的平行线交AC于F，如图所示：
∴∠Q=∠FPD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=PF，∵AP=CQ，
在△PFD中和△QCD中，
{
∠FPD=∠Q
)
∠PDF=∠QDC ，
PF=CQ
∴△PFD≌△QCD(AAS)，
∴FD=CD，
∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，
∴AE=EF，
∴AE+DC=EF+FD，
1
∴DE= AC，
2
∵AC=2，
∴DE=1，
故选：C．
【变式4-1】（23-24八年级·湖北宜昌·期中）如图1，P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上
一点，且PA=CQ，连PQ交AC边于
点D．
（1）证明：PD=DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB=2，求DE的长．
【答案】答案见解析.
【分析】(1）利用平行线的性质结合全等三角形的判定与性质得出即可；
（2）过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出
1
EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE= AC即可．
2
【详解】
证明：如图1，过点P作PF∥BC交AC于点F；∵PF∥BC，
∴△APF∽△ABC，
又∵△ABC是等边三角形，
∴△APF是等边三角形，
∴∠APF=∠BCA=60°，AP=PF=AF=CQ，
∴∠FDP=∠DCQ，∠FDP=∠CDQ，
{∠PDF=∠QDC
)
∵在△PDF和△QDC中， ∠DFP=∠QCD
PF=QC
∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴PD=DQ；
（2）解：如图2，过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
由（1）可知∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，∵AE=EF，
1
∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE= AC，又∵AC=2，
2
∴DE=1．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的
性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决
问题的能力，题型较好，难度适中．
【变式4-2】（23-24八年级·全国·专题练习）在△ABC中，AB=AC，点D在射线BA上，点E在AC的延
长线上，且BD=CE．连接DE，DE与BC边所在的直线交于点F．
(1)当点D在线段BA上时，如图所示，求证：DF=EF．
(2)过点D作DH⊥BC交直线BC于点H．若BC=4,CF=1，求BH的长是多少？
【答案】(1)见解析
(2)BH的长为1或3
【分析】（1）过点D作DG∥AC，交BC于点G，利用平行线的性质和等边对等角证明∠DGB=∠B，
得到BD=GD，进而推出GD=CE，再证明△DGF≌△ECF(ASA)，即可证明DF=EF；
（2）分当点D在线段BA上时，过点E作EO⊥BC，交BC延长线于O，当点D在BA的延长线上时，过
点E作EO⊥BC交BC的延长线于点O，先证明△DHB≌△EOC(AAS)，得到BH=CO，进而求出
1
HO=4，再证明△DHF≌△EOF(AAS)，得到HF=OF= HO=2，再根据线段之间的关系求出BH的
2
长即可．
【详解】（1）证明：过点D作DG∥AC，交BC于点G．∴∠DGB=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠DGB=∠B，
∴BD=GD，
∵BD=CE，
∴GD=CE，
∵DG∥AC，
∴∠GDF=∠CEF,∠DGF=∠ECF，
∴△DGF≌△ECF(ASA)，
∴DF=EF；
（2）解：如图所示，当点D在线段BA上时，过点E作EO⊥BC，交BC延长线于O，点D作DH⊥BC
，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=∠OCE，
又∵∠DHB=∠EOC=90°,BD=CE，
∴△DHB≌△EOC(AAS)，
∴BH=CO，
∴HO=HC+CO=HC+HB=BC=4，
∵∠DHF=∠EOF=90°,∠DFH=∠EFO，
由（1）得：DF=EF
∴△DHF≌△EOF(AAS)，
1
∴HF=OF= HO=2，
2
∵CF=1，
∴BH=CO=OF−CF=2−1=1；
当点D在BA的延长线上时，过点E作EO⊥BC交BC的延长线于点O，过点D作DH⊥BC，如图，同理可证△DHB≌△EOC(AAS)，△DHF≌△EOF(AAS)，
∴HO=HC+CO=HC+HB=BC=4，
1
∴HF=OF= HO=2，
2
∵CF=1，
∴BH=CO=OF+CF=2+1=3；
综上所述，BH的长为1或3．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质等等，正确
作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【变式4-3】（23-24八年级·广东珠海·期末）【问题提出】
（1）如图1，在△ABC中，∠B=∠ACB，点D是AB上一点，DE∥AC交BC于点E，点F是CE的中
点，连接DF并延长交AC的延长线于点G，求证：BD=CG；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，连接AE，∠EAF=∠BAE，AF与DC
的延长线交于点F．探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并说明理由．
【问题解决】
（3）如图3，某校有一块四边形空地ABCD，现将这块空地规划为实践活动区域，在BC的中点E处修建
入口，沿AE修建一条小路（小路的宽度忽略不计），将这块空地分成两部分，在△ABE内种植蔬菜，在
1
四边形 ADCE内种植果树，已知∠BAD=60°， AE恰好平分∠BAD，∠B=180°− ∠BCD，
2
BC=100m，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）AB=AF+CF，见解析；（3）CD的长为50m
【分析】
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的
性质和判定，理清角度关系和线段的关系，作出正确的辅助线是解题的关键；
（1）由DE∥AG，∠B=∠ACB可得BD=DE，∠FDE=∠FGC，由F是CE的中点，可得EF=CF
，进而可证△≝≌△GCF，由全等的性质即可得证；
（2）由AB∥DC和E为BC边的中点，可证△ABE≌△GCE，再由等腰三角形性质和判定，即可得证；
（3）由AB∥MN，∠BAD=60°，得∠BAE=∠M，再由点E是BC的中点，可证△ABE≌△MCE，
由全等三角形的性质可得AE=ME，由AE平分∠BAD，结合等腰三角形的判定，可证AN=MN，由等
1
腰 三 角 形 三 线 合 一 可 得 ∠ANE=∠MNE=∠CND=60°， 由 ∠B=180°− ∠BCD，
2
∠B+∠ECN=180°，可得∠ECN=∠DCN，进而可证△CNE≌△CND，最后可得CD=50m．
【详解】
（1）证明：∵DE∥AG，∠B=∠ACB，
∴∠FDE=∠FGC，∠BED=∠ACB=∠B，
∴BD=DE，
∵点F是CE的中点，
∴EF=CF，
∵ ∠FDE=∠FGC，∠DFE=∠GFC，EF=CF，
∴△≝≌△GCF(AAS)，
∴DE=GC，
∴BG=CG．
（2）解：AB=AF+CF．
理由：分别延长AE、DF，AE与DF的延长线交于点G．∵AB∥DC，
∴∠B=∠GCE，∠BAE=∠EGC，
∵E为BC边的中点，
∴BE=CE，
∴△ABE≌△GCE(AAS)，
∴AB=CG，
又∵∠EAF=∠BAE，
∴∠G=∠EAF，
∴AF=GF，
∴AB=CG=GF+CF=AF+CF．
（3）解：过C作CM∥AB交AE的延长线于点M，延长MC交AD于点N，连接EN，
∵点E是BC的中点，BC=100m，
∴BE=CE=50m，
∵AB∥MN，∠BAD=60°，
∴∠B+∠ECN=180°，∠BAD=∠CND=60°，∠BAE=∠M，
∵ ∠BAE=∠M，∠AEB=∠MEC，BE=CE，
∴△ABE≌△MCE(AAS)，
∴AE=ME，
∵AE平分∠BAD，
∴∠M=∠BAE=∠DAE，∴AN=MN，
又AE=ME，
∴NE平分∠ANM，
∴∠ANE=∠MNE=∠CND=60°，
1
∵∠B=180°− ∠BCD，∠B+∠ECN=180°，
2
∴∠ECN=∠DCN，
∵ ∠CNE=∠CND，CN=CN，∠ECN=∠DCN，
∴△CNE≌△CND(ASA)，
∴CD=CE=50m．
方法点拨：倍长中线构造等腰三角形
中线倍长，将相等的角或边集中到新的三角形中构成等腰三角形。
【题型5 倍长中线构造等腰三角形】
【例 5】（23-24 春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，点E是BC的中点，点 A在DE上，且
∠BAE=∠CDE.求证：AB=CD．
【答案】证明：延长DE到F，使EF=DE，连接BF，∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
∵在△BEF和△CED中
{
BE=CE
∠BEF=∠CED，
EF=DE
∴△BEF≌△CED．
∴∠F=∠CDE，BF=CD．
∵∠BAE=∠CDE，
∴∠BAE=∠F．
∴AB=BF，
又∵BF=CD，
∴AB=CD．
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质；一般证明线段相等大多数是通过全等三角形解决问题，有
时没有全等三角形时，可以利用等腰三角形的性质解决问题．
此题要证明AB=CD，不能通过证明△ABE和△CED全等得到，因为根据已知条件无法证明它们全等；那
么可以利用等腰三角形的性质来解题，为此必须把AB和CD通过作辅助线转化到一个等腰三角形中，而延
长DE到F，使EF=DE，连接BF就可以达到要求，然后利用全等三角形的判定与性质就可以证明题目的
问题．
【变式5-1】（23-24八年级·四川成都·阶段练习）如图，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接
BF并延长交AC于点E，使AE=EF．求证：BF=AC．【答案】见解析
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，理解题意，作出辅助线是解题关
键．
延长AD至H，使得DH=AD，连接BH，根据全等三角形的判定得出△ADC≅△HDB(SAS)，再由其
性质确定AC=BH,∠CAD=∠H，根据等量代换及等角对等边即可证明．
【详解】证明：如图，延长AD至H，使得DH=AD，连接BH，如图所示：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵∠ADC=∠BDH,AD=DH，
∴△ADC≅△HDB(SAS)，
∴AC=BH,∠CAD=∠H.
∵AE=EF,
∴∠EAF=∠AFE
∵∠AFE=∠BFH,
∴∠H =∠BFH，
∴BF=BH，
∴BF=AC．
【变式 5-2】（23-24 春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，△ABC中，点E在边AC上，EB=EA，∠A=2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD=9，AC=11.5，则边BC的长为______．
【答案】3√ 13
【解析】解：延长BD到F，使得DF=BD，连接CF，如图所示：
∵CD⊥BF，
∴△BCF是等腰三角形，
∴BC=CF，
过点C作CH//AB，交BF于点H，
∴∠ABD=∠CHD=2∠CBD=2∠F，
∴HF=CH，
∵EB=EA，
∴∠ABE=∠BAE，
∵CH//AB，
∴∠ABE=∠CHE，∠BAE=∠ECH，∴∠CHE=∠ECH，
∴EH=CE，
∵EA=EB，
∴AC=BH，
∵BD=9，AC=11.5，
5
∴DH=BH−BD=AC−BD=11.5−9= ，
2
13
∴HF=CH=DF−DH=BD−DF=9−2.5= ，
2
在Rt△CDH中，由勾股定理得：CD=√ CH2−DH2=
√
(
13
) 2−(
5
) 2=6，
2 2
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC=√ BD2+CD2=√ 92+62=3√ 13，
故答案为：3√ 13．
延长BD到F，使得DF=BD，连接CF，过点C作CH//AB交BF于点H，则△BCF是等腰三角形，得
出BC=CF，再证明HF=CH，EH=CE，AC=BH，求出DH、CH的长，最后由勾股定理求出CD的
长与BC的长即可．
本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等腰三角形是解题
的关键．
【变式5-3】（23-24春·山东威海·八年级统考期末）如图，△ABC中，AD为中线，点E为AB上一点，
AD，CE交于点F，且AE=EF.若AB=5，则CF=( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
解：如图①，延长AD至点G，使DG=AD，连接CG．因为BD=CD，∠ADB=∠GDC，
所以△ABD≌△GCD(SAS)．
所以AB=CG，∠G=∠EAF．
因为AE=EF，
所以∠EAF=∠EFA．
又因为∠EFA=∠CFG，
所以∠G=∠GFC，
所以CG=CF．
所以AB=CF=5．
故选B．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质.正确做出辅助线构造全等三角形是解题的
关键．
延长AD至点G，使DG=AD，连接CG，证明△ABD≌△GCD，再运用全等三角形的性质可得AB=CG
，∠G=∠EAF，然后运用等腰三角形的性质可得CG=CF，进而求解即可
【题型6 截长补短构造等腰三角形】
【例 6】（23-24 春·安徽六安·八年级校考期中）在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，
∠C=2∠B，AB−BE=√ 7，则DE=______．
√ 7
【答案】
2
解：在BC上截取BF=AB，连接AF，∵AB−BE=√ 7，
∴BF−BE=√ 7，
即EF=√ 7，
设∠B=α，则∠C=2α，
∴∠BAC=180°−3α，
∵AE平分∠BAC，
1 3
∴∠BAE= ∠BAC=90°− α，
2 2
3 1
∴∠3=∠B+∠BAE=α+90°− α=90°− α，
2 2
∵AB=FB，
180°−α 1
∴∠2= =90°− α，
2 2
∴∠3=∠2，
∴AE=AF，
∵AD⊥BC，
1 √ 7
∴DE= EF= ，
2 2
√ 7
故答案为： ．
2
在BC上截取BF=AB，连接AF，于是得到EF=√ 7，设∠B=α，则∠C=2α，根据角平分线的性质得到
1 3
∠BAE= ∠BAC=90°− α， 根 据 三 角 形 的 外 角 的 性 质 得 到
2 2
3 1
∠3=∠B+∠BAE=α+90°− α=90°− α，推出∠3=∠2，得到AE=AF，根据等腰三角形的性质
2 2即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和，正确的作出辅助线构造等腰三
角形是解题的关键．
【变式6-1】（23-24春·广东深圳·八年级校考期中）如图，已知BF平分△ABC的外角∠ABE，D为BF上
一点，∠ABC=∠ADC．
(1)如图1，求证：∠DAB=∠DCB；
(2)判断△ADC的形状并证明；
(3)如图2，过点D作DH⊥AB于点H，若AH=7，BH=1，求线段CB的长．
【答案】解：(1)证明：如图1，设AB交CD于点O．
∵∠ADO+∠AOD+∠DAO=180°，∠OBC+∠BOC+∠BCO=180°，
又∠ADO=∠OBC，∠AOD=∠BOC，
∴∠DAB=∠DCB;
(2)结论：△ADC是等腰三角形．
理由：在射线BE上截取BH=BA，连接DH．∵BF平分∠ABE，
∴∠ABD=∠HBD．
在△ABD和△HBD中，
BA=BH,∠ABD=∠HBD,BD=BD,
∴△ABD≌△HBD(SAS)，
∴DA=DH，∠DAB=∠H．
∵∠DAB=∠DCB，
∴∠H=∠DCB
∴DH=DC，
∴DA=DC，即△ADC为等腰三角形；
(3)如图2，作DG⊥BE于点G．
∵BF平分∠ABE，DG⊥BE，DH⊥BA，
∴DG=DH．
在Rt△ADH和Rt△CDG中，{AD=CD,
DH=DG,
∴Rt△ADH≌Rt△CDG(HL)，
∴AH=GC=7．
在Rt△DBG和Rt△DBH中，
{DG=DH,
DB=DB,
∴Rt△DBG≌Rt△DBH(HL)，
∴BH=BG=1，
∴BC=GC−BG=6．
本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．角平分线的性质定理等知
识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．
(1)根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可解决问题；
(2)在射线BE上截取BH=BA，连接DH，证明△ABD≌△HBD，得到DA=DH，再证明DH=DC即
可；
(3)作DG⊥BE于点E.证明AH=CG，BH=BG即可．
【变式6-2】（23-24春·广东深圳·八年级校考期中）已知在△ABC中，∠ABC<60°，CD平分∠ACB交
AB于点D，点E在线段CD上(点E不与点C，D重合)，且∠EAC=2∠EBC．
(1)如图1，若∠EBC=27°，且EB=EC，则∠DEB= ，∠AEC= ．
(2)如图2，①求证：AE+AC=BC；②若∠ECB=30°，且AC=BE，求∠EBC的度数．
【答案】(1)54°;99°
(2)①如图，在CB上截取CF，使得FC＝AC，连接EF．因为CD平分∠ACB，
所以∠1＝∠2．
在△ACE和△FCE中，因为AC＝FC，∠1＝∠2，EC＝EC，
所以△ACE≌△FCE，
所以∠3＝∠4，AE＝FE．
因为∠4＝∠5+∠6，
所以∠3＝∠5+∠6．
因为∠3＝2∠6，
所以∠5＝∠6，
所以FB＝FE．
所以AE＝FB，
所以AE+AC＝FB+FC＝BC．
②如图，连接AF．
因为∠1＝∠2＝30°，
所以∠ACF＝∠1+∠2＝60°．
因为AC＝FC，
所以△ACF是等边三角形，
所以AF＝AC，∠FAC＝60°．
因为AC＝BE，
所以BE＝AF．
在△BFE和△AEF中，因为BF＝AE，FE＝EF，BE＝AF，
所以△BFE≌△AEF，
所以∠6＝∠7．因为∠7+∠3＝60°，
所以∠6+∠3＝60°．
因为∠3＝2∠6，
所以∠6+2∠6＝60°，
所以∠6＝20°，即∠EBC＝20°.
1. 根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质进行求解．
2. 利用截取法，构造一个三角形与△ACE全等，然后通过长度或角度之间的关系进行求解．
【变式6-3】（23-24春·山东枣庄·八年级统考期中）如图，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA=ED，
∠DCB=2∠B，∠AED=∠C，探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明．
【答案】解：DC、CE、BE之间的数量关系是BE=DC+CE，
证明：在EB上截取EF，使得EF=DC，连接AF，
∵∠EDC+∠DEC+∠C=180∘，∠AEF+∠DEC+∠AED=180∘，
且∠AED=∠C，
∴∠EDC=∠AEF；
在△AEF和△EDC中，{
EF=DC
∠AEF=∠EDC,
AE=DE
∴△AEF≌△EDC(SAS)，
∴EC=AF，∠AFE=∠C=2∠B，
∵∠AFE=∠B+∠BAF，
∴∠ABF=∠BAF，
∴BF=AF，
∴BF=CE，
∴BE=DC+CE．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关
键 ． 在 EB上 截 取 EF， 使 得 EF=DC， 连 接 AF， 证 明 △AEF≌△EDC， 得 到 EC=AF，
∠AFE=∠C=2∠B，根据∠AFE=∠B+∠BAF，得到∠ABF=∠BAF，从而得到BF=CE，则可得
BE=DC+CE．
【题型7 旋转构造等腰三角形】
【例7】（23-24春·浙江杭州·八年级开学考试）如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，
D、E为斜边AB上的点，∠DCE=45°，若AD=2，DE=5，则BE的长是( )
9
A. 3 B. C. √ 19 D. √ 21
2
【答案】D
【解析】解：∵AC=BC，∠BCA=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，
如图，将△BCE绕点C逆时针旋转90°，得到△ACF，连接DF．由旋转的性质得，CE=CF，AF=BE，∠ACF=∠BCE，∠CAF=∠B=45°，
∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，
∴∠DCF=∠ACD+∠ACF=∠ACD+∠BCE=∠ACB−∠DCE=90°−45°=45°，
∴∠DCE=∠DCF，
在△CDE和△CDF中，
{
CE=CF
∠DCE=∠DCF，
CD=CD
∴△CDE≌△CDF(SAS)，
∴DF=DE，
∵∠DAF=∠BAC+∠CAF=45°+45°=90°，
∴△ADF是直角三角形，
∴DF2=AD2+AF2，
∴DE2=AD2+BE2，
∵AD=2，DE=5
∴BE=√ 21；
故选：D．
首先求出∠CAB=∠B=45°，然后将△CEB绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，连接DF，根据旋转的性
质可得CE=CF，AF=BE，∠ACF=∠BCE，∠CAF=∠B=45°，然后求出∠DCF=45°，从而得到
∠DCE=∠DCF，再利用“边角边”证明△CDE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得
DF=DE，再求出△ADF是直角三角形，然后勾股定理得出DE2=AD2+BE2，由此即可解决问题．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，难度适中．准确
作出旋转后的图形是解题的关键．
【变式7-1】（23-24春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，△ABC中，AB=AC，D是△ABC内一点，连
接AD、BD、CD，∠ADB=∠ADC，求证DB=DC．【答案】解：将△ADB顺时针旋转到△AD′C的位置，使AB和AC重合，D变为D′，连接DD′
，
∴AD=AD′，BD=CD′，
∴∠AD′D=∠ADD′，
∵∠ADB=∠ADC，
∴∠AD′C=∠ADC，
∴∠CD′D=∠ADD′，
∴DC=CD′，
∴DB=DC．
【解析】本题主要考查了旋转的性质和等腰三角形判定和性质，解答此题可将△ADB顺时针旋转到
▵AD′C的位置，使 AB和AC重合，D变为D′，连接DD′，可得 AD=AD′，BD=CD’从而可得
∠AD′D=∠ADD′，然后再结合已知∠ADB=∠ADC代换可得∠CD′D=∠ADD′，从而可得
DB=DC．
【变式7-2】（23-24春·湖北恩施·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=2，AC=4，以BC为
边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．【答案】解：如图，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，
∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C
∴△A′BA是等边三角形，
∴A′ A=AB=BA′=2，
在△AA′C中，A′C
