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专题 24.11 圆的常用辅助线及作法四大题型
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生圆的常用辅助线及作法四大题型的
理解！
【题型1 有弦，作弦心距】
1．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在⊙O中，已知AB是直径，P为AB上一点(P不与A、B两点重
合），弦MN过P点，∠NPB=45°．
（1）若AP=2，BP=6，则MN的长为 ；
（2）当 点在 上运动时（保持 不变），则PM2+PN2 ．
P AB ∠NPB=45° =
AB2
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的半径为2，将劣弧AC
（虚线）沿弦AC折叠后交弦BC于点D，连接AD．若∠ACB=60°，则线段AD的长为 ．
3．（2023春·北京海淀·九年级校考开学考试）如图，DE为半圆的直径，O为圆心，DE=6√2，延长DE
到A，使得EA=√2，直线AC与半圆交于B，C两点，且∠DAC=45°．(1)求弦BC的长；
(2)求△AOC的面积．
4．（2023春·天津和平·九年级天津市双菱中学校考开学考试）如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG
上一点，以O为圆心，5为半径作⊙O分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连接OA，且OA∥PE．
(1)求AP的长：
(2)若弦AB=8，求OP的长．
5．（2023秋·湖北武汉·九年级统考期中）以CD为直径的⊙O中，AB为弦，分别过C、D点作AB的垂线，
垂足分别为F、E点．
(1)如图1，若AB为⊙O的直径，求证：AF=BE；
(2)如图2，AB为⊙O的非直径弦，试探究线段AF与BE间的数量关系，并说明理由．
6．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，A(6,0)，B(0,8)，点C在x轴正半轴
上，点D在y轴正半轴上，且CD=6，以CD为直径的第一象限作半圆，交线段AB于点E、F，则线段EF
的最大值为（ ）A．3.6 B．4.8 C．3√2 D．3√3
7．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AC=BD，AC⊥BD于点E，若⊙O的半径为2，则AD的
长为（ ）
A．√2 B．2√2 C．3√2 D．4
8．（2023秋·江苏镇江·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3)，
半径为3，函数y=x的图像被⊙P截得的弦AB的长为4√2，则a的值是（ ）
A．4 B．3+√2 C．3√2 D．3+√3
【题型2 有直径，可作直径所对的圆周角】
1．（2023春·北京海淀·九年级专题练习）如图，AB是半⊙O的直径，点C是弧AB的中点，D为弧BC的
AE
中点，连接AD，CE⊥AD于点E．则 （ ）
EDA．3 B．2√2 C．√2+1 D．3√2-1
2．（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．
(1)请在图1中BC上方作射线BP，使得∠PBA=∠CAB；在射线BP上作一点D，作以DB为直径的圆，
使其恰好过点C；（作图使用没有刻度的直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹，并在图中标注字母P、
D）
(2)在（1）中所作的图形中，设圆交AB于点E，若AC=2，AE=3，则DB的长为______．（如需画草图，
请使用图2）
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第六十九中学校校考学业考试）如图，AB、CD为⊙O的弦，
AB与CD相交于点E，A´D=B´C．
(1)如图1，求证：BE=DE；
(2)如图2，点F在B´C上，连接DF、AD，若DF为直径，AB⊥CD，求证：∠ADF=45∘；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接CF、BF，BF>CF，若DE=8，△BCF的面积为6，求AD的长．
4．（2023·广东广州·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，y轴的正半轴（坐标原点除外）上两点
A(0,3)、B(0,7)，C为x轴的正半轴（坐标原点除外）上一动点．当∠ACB取最大值时，点C的横坐标
为（ ）A．5 B．2 C．21 D．√21
5．（2023秋·福建厦门·九年级福建省厦门集美中学校考期中）如图，在⊙O中，AD⊥BC，连接AB、
CD，当AB=2，CD=6时，则⊙O半径长为 ．
6．（2023·天津·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B均在格点上，
顶点C在网格线上，∠BAC=25°．
（Ⅰ）线段AB的长等于 ；
（Ⅱ）P是如图所示的△ABC的外接圆上的动点，当∠PCB=65°时，请用无刻度的直尺，在如图所示的
网格中画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
7．（2023春·山东烟台·九年级校联考期中）如图，AB，CD是⊙O的直径，弦BE与CD交于点F，F为
BE中点，AF∥ED．若AF=2√3，则BC的长为 ．【题型3 利用四边形的对角互补，作辅助圆】
1．（2023秋·浙江温州·九年级期末）如图，点D，E，F分别在△ABC的三边上，AB=AC，
∠A=∠EDF=90°，∠EFD=30°，AB=1，下列结论正确的是（ ）
A．BD可求，BE不可求 B．BD不可求，BE可求
C．BD，BE均可求 D．BD，BE均不可求
2．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）在平面直角坐标系中，已知点A(-1,0)和直线m的函数表达
式为y=x，动点B(x,0)在A点的右边，过点B作x轴的垂线交直线m于点C，过点B作直线m的平行线
交y轴于点D，当∠CAD=45°时，则x的值为 ．
3．（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆市杨家坪中学校考期中）如图，正方形ABCD中，AB=7，点E、F
分别在AD、AC上的两点，BF⊥EF，AE=3，则四边形ABFE的面积为 ．4．（2023秋·浙江嘉兴·九年级校考期中）如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝4，点D是斜边BC
的中点，将△ABC绕点D旋转得到△GEF，直线AG、FC相交于点Q，连接BQ，线段BQ长的最大值是
．
5．（2023春·福建·九年级专题练习）已知菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在AB，BC上，
BE=CF，AF与CE交于点P．
(1)求证：∠APE=60°；
(2)当PC=1，PA=5时，求PD的长？
(3)当AB=2√3时，求PD的最大值？
6．（2023秋·北京·九年级北师大实验中学校考期中）在Rt△ABC中，∠BCA=90°，BC=AC，点E是△ABC
外一动点（点B，点E位于AC异侧），连接CE，AE．(1)如图1，点D是AB的中点，连接DC，DE，当△ADE为等边三角形时，求∠AEC的度数；
(2)当∠AEC=135°时，
①如图2，连接BE，用等式表示线段BE，CE，EA之间的数量关系，并证明；
②如图3，点F为线段AB上一点，AF=1，BF=7，连接CF，EF，直接写出△CEF面积的最大值．
7．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1，矩形ABCD中，∠ACB＝30°，将△ACD绕C点顺时针旋转α
（0°＜α＜360°）至△A'CD'位置．
（1）如图2，若AB＝2，α＝30°，求S BCD．
△ ′
（2）如图3，取AA′中点O，连OB、OD′、BD′．若△OBD′存在，试判定△OBD′的形状．
（3）当α＝α 时，OB＝OD′，则α＝_____°；当α＝α 时，△OBD′不存在，则α＝_______°．
1 1 2 2
【题型4 有切点，可作过切点的半径】
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AB为⊙O的切线，C为切点，D是⊙O上一点，过点D作
DF⊥AB，垂足为F，DF交⊙O于点E．连接CD，OE．
(1)若∠D=35°，求∠DEO的度数；(2)若点E是DF的中点，DE=4，求FC的长．
2．（2023·天津南开·统考二模）已知⊙O中，直径AC长为12，MA、MB分别切⊙O于点A，B，弦
AD∥BM．
(1)如图1，若∠AMB=120°，求∠C的大小和弦CD的长；
5
(2)如图2，过点C的切线分别与AD、MB的延长线交于点E，F，且CE= EF，求弦CD的长．
4
3．（2023秋·广东广州·九年级统考期末）如图，ABCD是正方形，BC是⊙O的直径，点E是⊙O上的一
动点（点E不与点B，C重合），连接DE，BE，CE．
(1)若∠EBC=60°，求∠ECB的度数；
(2)若DE为⊙O的切线，连接DO，DO交CE于点F，求证：DF=CE；
(3)若AB=2，过点A作DE的垂线交射线CE于点M，求AM的最小值．
4．（2023·湖北武汉·华中科技大学附属中学校考模拟预测）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是
⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE=CF．(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AB=10，BD=3，求AE的长．
5．（2023春·河南南阳·九年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在边AD的延长线上，
连接AC，BD，已知CD=CE，∠E=∠BAC．
(1)求证：DC平分∠BDE．
(2)若CE与⊙O相切于点C，求证：AC=BD．
6．（2023·广东汕头·统考一模）如图，已知点D在⊙O的直径AB延长线上，CD为⊙O的切线，过D作
ED⊥AD，与AC的延长线相交于E．
(1)求证：CD＝DE；
(2)若BD＝1，DE＝√5，求△ADE的面积；
(3)在（2）的条件下，作∠ACB的平分线CF与⊙O交于点F，P为△ABC的内心，求PF的长．
7．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点M是AC上一点，以CM
为直径作⊙O，AB与⊙O相切于点D，过点D作DE⊥AC于点F，DE交⊙O于点E，连接CD、CE．
(1)求证：∠B＝∠DCE；4
(2)若MF＝2，sinB＝ ，求CD的长．
5
8.（2023·河南安阳·九年级统考学业考试）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点F是半径AO
上一动点（不与O，A重合），过点F作射线 ，分别交弦AC， ⏜ 于H，D两点，在射线l上取点
l⊥AB
AC
E，过点E作⊙O的切线EC．
(1)求证：EC=EH．
(2)当点D是 ⏜ 的中点时，若 ，判断以O，A，D，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并
∠ABC=60°
AC
说明理由．
