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专题 21.7 配方法的应用【八大题型】
【人教版】
【题型1 利用配方法求字母的值】..........................................................................................................................1
【题型2 利用配方法求代数式的值】......................................................................................................................4
【题型3 利用配方法比较大小】..............................................................................................................................7
【题型4 利用配方法进行证明】............................................................................................................................10
【题型5 利用配方法求最值】................................................................................................................................14
【题型6 利用配方法在实数范围内分解因式】...................................................................................................17
【题型7 利用配方法确定三角形形状】................................................................................................................18
【题型8 利用配方法求几何图形面积最值】.......................................................................................................21
知识点：配方法
等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数得最高次数就是 2（二次）的方程，
叫做一元二次方程。
【题型1 利用配方法求字母的值】
【例1】（23-24九年级·福建莆田·阶段练习）小明在学习配方法时，将关于x的多项式x2−2x+3配方成
(x−1) 2+2，发现当x−1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2−2x+3的值是相等的．例如：当
x−1=±2时，即x=3或−1时，x2−2x+3的值均为6；当x−1=±3时，即x=4或−2时，x2−2x+3的值
均为11．
于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当x−t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相
等，就称该多项式关于x=t对偶，例如x2−2x+3关于x=1对偶．
请你结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式x2−8x+10关于 对偶；
(2)当x=m或9−m时，关于x的多项式x2+2bx+c的值相等，求b的值；
(3)若整式(x2+8x+16)(x2−4x+4)关于x=n对偶，求n的值．
【答案】(1)x=4(2)b=−4.5
(3)n=−1
【分析】本题考查了配方法的应用，完全平方公式，整式乘法，正确理解新定理，判断出对称轴是解题关
键．
（1）将多项式配方得(x−4) 2−6，再根据新定义判定即可；
（2）将多项式配方得(x+b) 2−b2+c，再根据新定义，得到(m+b)+(9−m+b)=0，求解即可得到b的值；
（3）结合完全平方公式对多项式进行配方，再根据新定义判定即可．
【详解】（1）解：∵ x2−8x+10=(x−4) 2−6，
∴当x−4取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，
∴多项式x2−8x+10关于x=4对偶，
故答案为：x=4
（2）解：∵x2+2bx+c=(x+b) 2−b2+c，
∴当x+b取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，
∵当x=m或9−m时，关于x的多项x2+2bx+c的值相等，
∴(m+b)+(9−m+b)=0，
解得：b=−4.5；
（3）解：(x2+8x+16)(x2−4x+4) 2
=(x+4) 2 (x−2) 2
2
=[(x+4)(x−2))
=(x2+2x−8) 2
=[(x+1) 2−9) 2
∵整式(x2+8x+16)(x2−4x+4)关于x=n对偶，
∴n=−1．【变式1-1】（23-24九年级·湖北武汉·期末）已知关于x的多项式−x2+mx+4的最大值为5，则m的值可
能为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【分析】利用配方法将−x2+mx+4进行配方，即可得出答案.
【详解】解：−x2+mx+4=− ( x− m) 2 + m2 +4,
2 4
m2
故 +4=5,
4
解得：m=±2.
故选B.
【点睛】本题考查了配方法的运用，掌握配方法是解题的关键.
【变式1-2】（23-24九年级·山西吕梁·期中）若关于x的一元二次方程x2−10x+m=0可以通过配方写成
(x−n) 2=0的形式，那么下列关于m,n的值正确的是（ ）
A．m=25,n=5 B．m=20,n=5 C．m=100,n=10 D．m=20,n=−5
【答案】A
【分析】根据完全平方公式展开即可得解；
【详解】∵(x−n) 2=0，
∴x2−2xn+n2=0，
又∵一元二次方程x2−10x+m=0，
∴2n=10，m=n2，
∴n=5，m=25；
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程配方法的应用，准确分析计算是解题的关键．
1
【变式1-3】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）无论x为何值，关于x的多项式﹣ x2+3x+m的值都为负
2
数，则常数m的取值范围是（ ）
9 9
A．m＜﹣9 B．m＜﹣ C．m＜9 D．m＜
2 2
【答案】B1 1 9 1
【分析】首先判断出：﹣ x2+3x+m＝﹣ （x﹣3）2+m+ ，然后根据偶次方的非负性质，可得- （x﹣3）
2 2 2 2
9 9 1 9
2+m+ ≤m+ ，再根据无论x为何值，﹣ x2+3x+m＜0，推得m+ ＜0，据此判断出常数m的取值范围即可．
2 2 2 2
1 1 9 1 9
【详解】解：∵﹣ x2+3x+m＝﹣ （x2﹣6x+9）+m+ ＝﹣ （x﹣3）2+m+
2 2 2 2 2
1
∵﹣ （x﹣3）2≤0，
2
1 9 9
∴﹣ （x﹣3）2+m+ ≤m+ ，
2 2 2
1
∵无论x为何值，﹣ x2+3x+m＜0，
2
9
∴m+ ＜0，
2
9
解得m＜﹣ ．
2
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是配方法的应用，将多项式进行配方是解此题的关键．
【题型2 利用配方法求代数式的值】
【例2】（23-24九年级·浙江嘉兴·期末）已知关于x的多项式ax2−2bx+c(a≠0)，当x=a时，该多项式的
值为c−a，则多项式a2+b2+3的值可以是（ ）
A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75
【答案】A
【分析】本题考查了代数式及配方法，不等式及偶次方的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键．先将
x=a代入原式，可整理得a2=2b−1>0，再代入到a2+b2+3，配方得(b+1) 2+1，进而求解即可．
【详解】∵当x=a时，该多项式的值为c−a，
∴a3−2ab+c=c−a，
整理得a3−2ab+a=0，即a(a2−2b+1)=0
∵a≠0，
∴a2−2b+1=0，即a2=2b−1>0，1
∴b> ，
2
∴a2+b2+3=b2+2b−1+3=(b+1) 2+1>3.25，
四个选项中，只有A符合，
故选：A．
【变式2-1】（23-24九年级·辽宁鞍山·期中）若a，b满足2a2+b2+2ab−4a+4=0，则a+3b的值为
．
【答案】−4
【分析】已知等式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出a，b的值，代入原式计算即可得到结
果．
【详解】解：已知等式变形得：(a2+2ab+b2)+(a2−4a+4)=0，
即(a+b) 2+(a−2) 2=0，
∵(a+b) 2≥0，(a−2) 2≥0，
∴a+b=0，a−2=0，
解得：a=2，b=−2，
则a+3b=2−6=−4．
故答案为：−4．
【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式2-2】（23-24九年级·四川眉山·阶段练习）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将
代数式配成完全平方式．例如：
x2−8x+17=x2−8x+16+1=(x−4) 2+1，
∵(x−4) 2≥0
∴(x−4) 2+1≥1
∴x2−8x+17≥1
试利用“配方法”解决下列问题：{4a2+6a+1=b+c
)
(1)如果 4b2+6b+1=c+a ,，那么a+b+c的值为 ．
4c2+6c+1=a+b
(2)已知x2+8x+ y2+2y+17=0，求x+ y的值；
3
【答案】(1)−
2
(2)−5
【分析】（1）将方程组的三个方程相加，变形后再根据完全平方式的特征求解；
（2）先配方，再根据非负数的性质求值即可；
{4a2+6a+1=b+c①)
【详解】（1） 4b2+6b+1=c+a② ,
4c2+6c+1=a+b③
①+②+③，得：4a2+4b2+4c2+6a+6b+6c+3=2a+2b+2c,
∴4a2+4a+1+4b2+4b+1+4c2+4c+1=0,
∴(2a+1) 2+(2b+1) 2+(2c+1) 2=0,
∴(2a+1) 2=0,(2b+1) 2=0,(2c+1) 2=0,
∴2a+1=0,2b+1=0,2c+1=0,
1 1 1
∴a=− ,b=− ,c=− ,
2 2 2
1 1 1 3
∴a+b+c=− − − =− ，
2 2 2 2
3
故答案为：− ；
2
【点睛】本题考查配方法的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是求解本题的关键．
【变式2-3】（23-24九年级·重庆忠县·期末）阅读下面材料，解决后面的问题：
我们知道，如果实数a，b满足a2+b2=0，那么a=b=0．利用这种思路，对于m2−2mn+2n2−6n+9=0，
我们可以求出m，n的值．
解法是：∵m2−2mn+2n2−6n+9=0，∴(m2−2mn+n2)+(n2−6n+9)=0，即(m−n) 2+(n−3) 2=0，∴m−n=0，n−3=0，∴m=n=3．
根据这样的解法，完成：
(1)若x2+ y2+8x−2y+17=0，求x+3 y的值；
(2)若等腰△ABC的两边长a，b满足a2+b2=6a+8b−25，求该△ABC的周长；
(3)若正整数a，b，c满足不等式a2+b2+c2+11<3a+ab+6c，求a+b+c的值．
【答案】(1)x+3 y=−1；
(2)△ABC的周长为10或11；
(3)a+b+c=6．
【分析】本题考查的是配方法的应用、等腰三角形的概念、三角形的三边关系，灵活运用配方法是解题的
关键．
（1）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出x、y，进而求出x+3 y；
（2）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出a、b，根据等腰三角形的概念解答即可；
（3）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性以及有理数的平方、分情况讨论求出a、b、c，计算即
可．
【详解】（1）解：∵x2+ y2+8x−2y+17=0，
∴(x+4) 2+(y−1) 2=0，
∴x=−4，y=1，
∴x+3 y=−1；
（2）解：∵a2+b2=6a+86−25，
∴(a−3) 2+(b−4) 2=0，
∴a=3，b=4．
∵a，b是等腰△ABC的两边长，
∴当a是腰，b是底时，△ABC的周长为3+3+4=10；
当b是腰，a是底时，△ABC的周长为4+4+3=11．
综上所述：△ABC的周长为10或11；
（3）解：∵a2+b2+c2+11<3a+ab+6c，
∴4a2+4b2+4c2+44<12a+4ab+24c，∴3(a−2) 2+(a−2b) 2+4(c−3) 2<4，
∵a，b，c为正整数，
∴c−3=0，即c=3，
而a−2=0或±1，即a=2或1或3，
当a=1时，必有a−2b=0，则b=0.5，与题意不符，舍去，
当a=3时，必有a−2b=0，则b=1.5，与题意不符，舍去，
∴a=2，b=1，c=3，
∴a+b+c=6．
【题型3 利用配方法比较大小】
【例3】（23-24·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 m2+4的大小， 填“>” “<”或“=”：
①当m=3时， 4m m2+4；
②当m=2时， 4m m2+4；
③当m=−3时， 4m m2+4；
（2）论证，无论m取什么值，判断4m与m2+4有怎样的大小关系?试说明理由；
（3）拓展，试通过计算比较．x2+2与2x2+4x+6的大小．
【答案】（1）<，=，<；（2）总有4m≤m2+4，理由见解析；（3）x2+2≤2x2+4x+6
【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全平方公式、非负
数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小．
（1）当m=3时，当m=2时，当m=−3时，分别代入计算，再进行比较得出结论填空即可；
（2）根据(m2+4)−4m=(m−2) 2≥0，即可得出无论m取什么值，判断4m与m2+4有4m≤m2+4；
（3）拓展：先求出x2+2−2x2−4x−6)=−(x+2) 2，再判断−(x+2) 2的正负，即可做出判断．
【详解】解：（1）①当m=3时，4m=12，m2+4=13，则4m0，
∴a6a−2b，见解析
(3)2
【分析】（1）将代数式a2−2a+2配方可得最值；
（2）作差并配方，可进行大小比较；
（3）变形后得：a=b+2，代入ab+c2−4c+5=0中，再利用配方法即可解决问题．
【详解】（1）解：a2−2a+2=(a2−2a+1)+1=(a−1) 2+1，
∵(a−1) 2≥0，∴(a−1) 2+1≥1，
即代数式a2−2a+2的最小值为1；
故答案为：1；
（2）a2+b2+11>6a−2b，理由如下：
a2+b2+11−(6a−2b)
=a2+b2+11−6a+2b
=(a2−6a+9)+(b2+2b+1)+1，
∵(a−3) 2≥0，(b+1) 2≥0，
∴a2+b2+11>6a−2b；
（3）∵a−b=2，
∴a=b+2，
∵ab+c2−4c+5=0，
∴b(b+2)+c2−4c+5=0，
∴(b+1) 2+(c−2) 2=0，
∴b+1=0，c−2=0，
∴b=−1，c=2，
∴a=−1+2=1，
∴a+b+c=1−1+2=2．
【点睛】本题考查非负数的性质、配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法，利用配方法可以确定最
值问题，属于中考常考题型．
【题型4 利用配方法进行证明】
【例4】（23-24九年级·四川宜宾·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其
他重要应用．
例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+2x+3的最小值．
解： x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1) 2+2；
∵无论x取何实数，都有（x+1) 2≥0，∴（x+1) 2+2≥2，即x2+2x+3的最小值为2．
请利用上述知识解决以下问题：(1)求代数式2x2+4x+10的最小值．
(2)证明：无论x取何实数，二次根式 ❑√x2+x+2都有意义．
【答案】(1)代数式2x2+4x+10的最小值为8
(2)见解析
【分析】（1）先把2x2+4x+10配方得到2x2+4x+10=2(x+1) 2+8，再结合偶次方的非负性可得代数式
的最小值；
( 1) 2 7
（2）先把被开方数x2+x+2通过配方化为 x+ + ，再结合偶次方的非负性与二次根式有意义的条件
2 4
可得结论．
【详解】（1）解：2x2+4x+10=2(x2+2x)+10=2(x+1) 2+8
∵无论x取何实数，都有（x+1) 2≥0，∴2(x+1) 2+8≥8，
∴代数式2x2+4x+10的最小值为8．
√ 1 7 √ 1 2 7
（2）证明：❑√x2+x+2=❑ x2+x+ + =❑(x+ ) +
4 4 2 4
1 1 7 7
∵无论x取何实数，都有（x+ ) 2≥0，∴（x+ ) 2+ ≥
2 2 4 4
∴无论x取何实数，二次根式 ❑√x2+x+2都有意义．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，代数式的最值，偶次方的非负性的应用，二次根式有意义的条件，
掌握以上基础知识是解本题的关键．
【变式4-1】（23-24九年级·浙江·专题练习）用配方法说明，无论x取何值，代数式−2x2+8x−12的值总
小于0．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查配方的应用，将−2x2+8x−12配方，先把二次项系数化为1，然后再加上一次项
系数一半的平方，然后根据配方后的形式，再根据a2≥0这一性质即可证得．
【详解】证明：−2x2+8x−12=−2(x2−4x)−12=−2(x2−4x+4)+8−12=−2(x−2) 2−4，∵(x−2) 2≥0，
∴−2(x−2) 2≤0，
∴−2(x−2) 2−4<0，
∴无论x为何实数，代数式−2x2+8x−12的值总小于零．
【变式4-2】（23-24·湖南·模拟预测）已知整式A=4x2+4x−24．
(1)将整式A分解因式；
(2)求证：若x取整数，则A能被4整除．
【答案】(1)4(x+3)(x−2)；
(2)证明见解析．
【分析】（1）利用配方法把4x2+4x配成一个完全平方式，再利用平方差公式因式分解即可；
（2）利用（1）的结果即可求证；
本题考查了因式分解及其应用，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：A=(4x2+4x+1)−25
=(2x+1) 2−52，
=[(2x+1)+5][(2x+1)−5]，
=4(x+3)(x−2)；
（2）证明：∵x取整数，
∴x+3和x−2均为整数，
又由（1）可知，A=4(x+3)(x−2)，
∴A能被4整除．
【变式4-3】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将
一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式
的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如，把二次三项式x2−2x+3进行配方．
解：x2−2x+3=x2−2x+1+2=(x2−2x+1)+2=(x−1) 2+2．
我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为5=22+12.再如，M=x2+2xy+2y2=(x+ y) 2+ y2（x，y是整
数），所以M也是“雅美数”．
(1)[问题解决]4，6，7，8四个数中的“雅美数”是______．
(2)若二次三项式x2−6x+13（x是整数）是“雅美数”，可配方成(x−m) 2+n（m，n为常数），则mn的
值为______；
3
(3)[问题探究]已知S=x2+4 y2+8x−12y+k（x，y是整数，k是常数且x≠−4，y≠ ），要使S为“雅
2
美数”，试求出符合条件的k值．
(4)[问题拓展]已知实数M，N是“雅美数”，求证：M⋅N是“雅美数”．
【答案】(1)4，8
(2)12
(3)k=25
(4)见解析
【分析】（1）根据“雅美数”的定义判断即可；
（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；
（3）配方后根据非负数的性质可得x、y的值，进行计算即可；
（4）利用完全平方公式把原式变形，根据“雅美数”的定义证明结论．
【详解】（1）4是“雅美数”，理由：因为4=22+02；
8是“雅美数”，理由：因为8=22+22.
故答案为：4，8；
（2）∵x2−6x+13=x2−6x+9+4=(x−3) 2+22，
∴m=3，n=4，
∴mn=12，
故答案为：12；
（3）S=x2+4 y2+8x−12y+k=(x+4) 2+(2y−3) 2+k−25
3
又∵x≠−4，y≠
2∴(x+4) 2≠0，(2y−3) 2≠0
∴k−25=0，
∴k=25；
（4）因为M，N为“雅美数”，则令M=a2+b2，N=c2+d2（a，b，c，d为整数）
∴M⋅N=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
=(a2c2+b2d2+2abcd)+(b2c2+a2d2−2abcd)
=(ac+bd) 2+(bc−ad) 2
又∵a，b，c，d为整数
∴ac+bd，bc−ad均为整数
∴M⋅N是“雅美数”．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题关键．
【题型5 利用配方法求最值】
【例5】（23-24九年级·浙江宁波·期中）新定义：关于x的一元二次方程a (x−c) 2+k=0与
1
a (x−c) 2+k=0称为“同族二次方程”．例如：5(x−6) 2+7=0与6(x−6) 2+7=0是“同族二次方程”，
2
现有关于x的一元二次方程(m+2)x2+(n−4)x+8=0与2(x−1) 2+1=0是“同族二次方程”，则代数式
的mx2+nx+2029最小值是 ．
【答案】2024
【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本
题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于m与n的方程组，
求出方程组的解得到m与n的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可．
【详解】解：∵ 关于x的一元二次方程(m+2)x2+(n−4)x+8=0与2(x−1) 2+1=0是“同族二次方程”，
∴ (m+2)x2+(n−4)x+8=(m+2)(x−1) 2+1，
∴ (m+2)x2+(n−4)x+8=(m+2)x2−2(m+2)x+m+3，{n−4=−2(m+2))
∴ ，
m+3=8
{ m=5 )
解得 ，
n=−10
∴ mx2+nx+2029
=5x2−10x+2029
=5(x−1) 2+2024，
∵ 5(x−1) 2≥0，
∴ 5(x−1) 2+2024≥2024，
∴ mx2+nx+2029最小值是2024．
故答案为：2024．
【变式5-1】（23-24九年级·江苏南通·阶段练习）已知实数x，y满足2x+ y=4，则代数式
xy−2x+2y−4的最大值为 ．
9
【答案】
2
1 2 9
【分析】将y=4−2x代入代数式，利用配方法可得−2(x− ) + ，利用平方的非负性及不等式的基本
2 2
性质即可求解．
【详解】解：由题意得：y=4−2x，
将y=4−2x代入代数式得：
xy−2x+2y−4
=x(4−2x)−2x+2(4−2x)−4
=−2x2−2x+4
[ 1 2 1 2 )
=−2 x2−x+( ) −( ) +4
2 2
1 2 9
=−2(x− ) + ，
2 2
1 2
∵2(x− ) ≥0，
2
1 2
∴−2(x− ) ≤0，
21 2 9 9
∴−2(x− ) + ≤ ，
2 2 2
9
∴原代数式的最大值为： ，
2
9
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了配方法的应用、不等式的性质及平方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键．
【变式5-2】（23-24·河北石家庄·一模）已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，下列结论正确的是
（ ）
A．B−A的最大值是0 B．B−A的最小值是−1
C．当B=2A时，x为正数 D．当B=2A时，x为负数
【答案】B
【分析】利用配方法表示出B−A，以及B=2A时，用含n的式子表示出x，确定x的符号，进行判断即可．
【详解】解：∵A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，
∴B−A=2x2+4x+n2−(x2+6x+n2)
=2x2+4x+n2−x2−6x−n2
=x2−2x
=(x−1) 2−1；
∴当x=1时，B−A有最小值−1；
当B=2A时，即：2x2+4x+n2=2(x2+6x+n2)，
∴2x2+4x+n2=2x2+12x+2n2，
∴−8x=n2≥0，
∴x≤0，即x是非正数；
故选项A,C,D错误，选项B正确；
故选B．
【点睛】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键．
【变式5-3】（23-24九年级·湖北黄冈·自主招生）设实数x，y，z满足x+ y+z=1，则M=xy+2yz+3zx
的最大值为 ．
3
【答案】
4【分析】先将已知等式变形可得z=1−x−y，然后代入M中，利用配方法将右侧配方，最后利用平方的
非负性即可求出结论．
【详解】解：∵x+ y+z=1
∴z=1−x−y
∴M=xy+2yz+3zx
=xy+2y(1−x−y)+3x(1−x−y)
=xy+2y−2xy−2y2+3x−3x2−3xy
=−3x2−4xy−2y2+2y+3x
=(−2x2−4xy−2y2)−x2+2y+3x
=−2(x+ y) 2+2x+2y−x2+x
=−2 [ (x+ y) 2−(x+ y)+ 1 − 1) − ( x2−x+ 1 − 1)
4 4 4 4
( 1) 2 ( 1) 2 1 1
=−2 x+ y− − x− + +
2 2 2 4
( 1) 2 ( 1) 2 3
=−2 x+ y− − x− +
2 2 4
( 1) 2 ( 1) 2
∵−2 x+ y− − x− ≤0
2 2
( 1) 2 ( 1) 2 3 3
∴−2 x+ y− − x− + ≤
2 2 4 4
3
∴M=xy+2yz+3zx的最大值为
4
3
故答案为： ．
4
【点睛】此题考查的是配方法的应用和非负性的应用，掌握完全平方公式和平方的非负性是解决此题的关
键．
【题型6 利用配方法在实数范围内分解因式】
【例6】（23-24九年级·上海黄浦·期中）在实数范围内分解因式：x2+6x−5= ．
【答案】(x+3+❑√14)(x+3−❑√14)
【分析】先利用配方法进行整理，再根据平方差公式进行因式分解即可。【详解】解：x2+6x−5=x2+6x+9−9−5=(x+3) 2−14，
根据平方差公式可得(x+3) 2−14=(x+3+❑√14)(x+3−❑√14)，
故x2+6x−5=(x+3+❑√14)(x+3−❑√14)，
故答案为：(x+3+❑√14)(x+3−❑√14)．
【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，注意在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现
无理数为止是解题的关键．
【变式6-1】（23-24九年级·上海普陀·期中）在实数范围内因式分解：2x2−6x+1= ．
( 3−❑√7)( 3+❑√7)
【答案】2 x− x−
2 2
【分析】根据配方法化为平方差的形式，进而因式分解，即可求解．
【详解】解：2x2−6x+1
=2(x2−3x)+1
=2
[(
x2−3x+
9)
−
7)
4 4
[ ( 3) 2 (❑√7) 2 )
=2 x− −
2 2
( 3−❑√7)( 3+❑√7)
=2 x− x− ，
2 2
( 3−❑√7)( 3+❑√7)
故答案为：2 x− x− ．
2 2
【点睛】本题考查了实数范围内因式分解，熟练掌握配方法是解题的关键．
【变式6-2】（23-24九年级·上海浦东新·期中）在实数范围内分解因式：2x2−4xy−5 y2
【答案】(❑√2x−❑√2y+❑√7 y)(❑√2x−❑√2y−❑√7 y)
【分析】先利用配方法，再利用平方差公式即可得．
【详解】解：原式=2x2−4xy+2y2−2y2−5 y2=2(x2−2xy+ y2 )−7 y2
=2(x−y) 2−7 y2
=(❑√2x−❑√2y) 2 −(❑√7 y) 2
=(❑√2x−❑√2y+❑√7 y)(❑√2x−❑√2y−❑√7 y)．
【点睛】本题考查了用配方法和平方差公式法进行因式分解，因式分解的常用方法有：配方法、公式法、
提取公因式法、十字相乘法等．
1
【变式6-3】（23-24九年级·上海浦东新·阶段练习）在实数范围内因式分解：2x2− xy−y2
2
( ❑√33−1 )( ❑√33+1 )
【答案】2 x+ y x− y
8 8
【分析】先配方，再采用平方差公式进行分解.
【详解】解：原式=2 ( x2− 1 xy ) −y2
4
=2 [ x2− 1 xy+ ( y) 2 ) − 33 y2
4 8 32
=2 ( x− y) 2 − 33 y2
8 32
( ❑√2 ) 2 (❑√66 ) 2
= ❑√2x− y − y
8 8
( ❑√66−❑√2 )( ❑√66+❑√2 )
= ❑√2x+ y ❑√2x− y
8 8
( ❑√33−1 )( ❑√33+1 )
=2 x+ y x− y
8 8
【点睛】本题考查实数范围内分解因式，熟练掌握配方法与平方差公式是解题的关键.
【题型7 利用配方法确定三角形形状】
【例7】（23-24九年级·全国·课后作业）选取二次三项式ax2+bx+c(a≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：x2−4x+2=(x−2) 2−2；②选取二次项和常数项配方：
x2−4x+2=(x−❑√2) 2+(2❑√2−4)x或x2−4x+2=(x+❑√2) 2 −(4+2❑√2)x；③选取一次项和常数项配方：
x2−4x+2=(❑√2x−❑√2) 2 −x2．
根据上述材料解决下面问题：
（1）写出x2−8x+4的两种不同形式的配方．
（2）已知x2+ y2+xy−3 y+3=0，求xy的值．
（3）已知a、b、c为三条线段，且满足14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c) 2，试判断a、b、c能否围成三角形，
并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）1；（3）不能围成三角形，理由详见解析．
【分析】（1）根据配方的概念，分别对一次项和常数项进行配方；
（2）根据x2+ y2+xy−3 y+3=0求出x、y的值，代入求解即可；
（3）将原式进行转换，得出a、b、c之间的等量关系，从而进行判断．
【详解】（1）x2−8x+4=x2−8x+16−16+4=(x−4) 2−12或x2−8x+4=(x−2) 2−4x．
（2）∵x2+ y2+xy−3 y+3=0，
y 2 3
∴(x+ ) + (y−2) 2=0．
2 4
∴x=−1，y=2．∴xy=(−1) 2=1．
（3）不能，理由如下：原式变形：14a2+14b2+14c2−(a2+4b2+9c2+4ab+6ac+12bc)=0．
∴(4a2−4ab+b2 )+(9a2−6ac+c2 )+(9b2−12bc+4c2 )=0．
即(2a−b) 2+(3a−c) 2+(3b−2c) 2=0．
∴b=2a，c=3a，3b=2c．
∴a+b=3a=c．∴a、b、c三条线段不能围成三角形．
【点睛】本题考查了整式的运算，根据题意理解新概念并掌握整式的运算，求解出未知数或者他们之间的
等量关系是解题的关键．【变式7-1】（23-24九年级·江苏·单元测试）已知三角形三边长为a、b、c，且满足a2−4b=7，
b2−4c=−6， c2−6a=−18，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【答案】A
【详解】解：∵a2﹣4b=7，b2﹣4c=﹣6，c2﹣6a=﹣18，∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18，整理得：a2﹣
6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0，即（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2=0，∴a=3，b=2，c=2，∴此三角形为等腰
三角形．故选A．
点睛：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确的进行因式分解．
【变式7-2】（23-24九年级·全国·课后作业）已知a，b，c是 ABC的三边，若a，b，c满足a2－6a＋b2－
8b＋❑√c−5＋25＝0，则 ABC是 三角形；若a△，b，c满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，则
ABC是 三角形△．
△【答案】 直角; 等边.
【分析】把25分成9、16，利用配方法把a2－6a＋b2－8b＋❑√c−5＋25＝0改写为(a-3)2+(b-4)2+❑√c−5=0，
利用非负数的性质求出a、b、c的值，根据勾股定理逆定理判断即可；利用配方法把a2＋b2＋c2－ab－bc－
ac＝0改写为(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,再利用非负数的性质,可分别求出a、b、c的的关系.
【详解】∵a2－6a＋b2－8b＋❑√c−5＋25＝0，
∴(a-3)2+(b-4)2+❑√c−5=0，
∴a=3，b=4，c=5，
∵32+42=52，
∴ ABC是直角三角形；
∵△a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，
∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,
∴a=b，b=c，a=c，
∴a=b=c，
∴ ABC是等边三角形.
故△答案为直角；等边.
【点睛】此题考查了配方法的应用、勾股定理逆定理、非负数的性质,解题的关键是注意配方法的步骤,在
变形的过程中不要改变式子的值.
【变式7-3】（23-24九年级·全国·单元测试）先阅读，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2 −6n+9=0，
求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2 −6n+9=0，∴(m+n)2+(n−3)2=0，
∴m+n=0，n−3=0，
∴n=3，m=−3．
(1)若x2+2y2 −2xy+4 y+4=0，求xy的值；
(2)已知ΔABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2 −6a−6b+18+|3− c|=0，请问ΔABC是怎
样形状的三角形？
(3)根据以上的方法是说明代数式：x2+4x+ y2 −8y+21的值一定是一个正数．
1
【答案】(1) ；
4
(2)△ABC是等边三角形；
(3)答案见解析．
【分析】（1）将原式配方得(x−y)2+(y+2)2=0，求出x，y的值，进而求解．
（2）将原式配方得(a−3)2+(b−3)2+|3− c|=0，求出a，b，c的值进而求解．
（3）利用配方法可以对式子x2+4x+ y2 −8y+21化简，从而可以解答本题．
【详解】（1）解：x2+2y2 −2xy+4 y+4=x2 −2xy+ y2+ y2+4 y+4=(x−y)2+(y+2)2=0，
∴x−y=0，y+2=0，
∴x= y=−2，
1
∴xy=(−2)−2=
．
4
（2）解：a2+b2 −6a−6b+18+|3− c|
=(a−3)2+(b−3)2+|3− c|
=0，
∴a=b=c=3，
∴ΔABC是等边三角形；
（3）解：∵x2+4x+ y2 −8y+21
=x2+4x+4+ y2 −8y+16+1
=(x+2)2+(y−4)2+1⩾1，
故x2+4x+ y2 −8y+21的值一定是一个正数．
【点睛】本题考查配方法的应用、非负数的性质：绝对值、偶次方，解题的关键是明确如何运用配方法化
简题目中所求的问题，根据三角形的三边可以判断三角形的形状．【题型8 利用配方法求几何图形面积最值】
【例8】（23-24九年级·福建泉州·阶段练习）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公
式》，聪明的你可以发现：当a>0，b>0时，∵(❑√a−❑√b) 2=a−2❑√ab+b≥0，∴a+b≥2❑√ab，当且仅
当a=b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
1
(1)当x>0时，则x+ 的最小值为______；
x
x2+7x+11
(2)）若y= (x>−2)，求y的最小值．
x+2
(3)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形
ABCD面积的最小值．
【答案】(1)2；
(2)y最小值为4；
(3)25．
【分析】（1）当x>0时，按照公式a+b≥2❑√ab（当且仅当a=b时取等号）来计算即可；
x2+7x+11
（2）将y= (x>−2)的分子分别除以分母，展开，将含x的项用题中所给公式求得最小值，再
x+2
加上常数即可；
（3）设S =x，已知S =4，S =9，则由等高三角形可知：S :S =S :S ，用含
△BOC ΔAOB ΔCOD △BOC △COD △AOB △AOD
x的式子表示出S ，四边形ABCD的面积用含x的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，
△AOD
加上常数即可．
1 √ 1 1
【详解】（1）当x>0时，x+ ≥2❑ x⋅ =2，当且仅当x= 时取等号，
x x x
1
∴当x>0时，x+ 的最小值为2．
x
故答案为：2；x2+7x+11 (x2+4x+4)+(3x+6)+1 (x+2) 2+3(x+2)+1 1
（2）由y= = = =x+2+ +3，
x+2 x+2 x+2 x+2
∵x>−2，
1 √ 1
∴y=x+2+ +3≥2❑(x+2)⋅ +3=4，
x+2 x+2
1
当且仅当x+2= ，即当x=−1时取等号，
x+2
当x=−1时，y最小值为4；
（3）设S =x，已知S =4，S =9
△BOC △AOB △COD
则由等高三角形可知：S :S =S :S
△BOC △COD △AOB △AOD
∴x:9=4:S
△AOD
36
∴:S = ，
△AOD x
36 √ 36
∴四边形ABCD面积=4+9+x+ ≥13+2❑ x⋅ =25，
x x
当且仅当x=6时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为25．
【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题
难度中等略大，属于中档题．
【变式8-1】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）配方
(1)若x2−6x+7=(x+m) 2+n≥n，则m=_____，n=_____
(2)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速
度移动，动点Q从点B开始沿边BC以4cm/s的速度移动.如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，同时
停止运动．设动点运动时间为t(0
