文档内容
专题 16.2 全等三角形十六大必考点
【人教版】
【考点1 利用全等图形求网格中的角度和】.......................................................................................................1
【考点2 将已知图形分割成几个全等的图形】...................................................................................................2
【考点3 添加条件使三角形全等】.......................................................................................................................3
【考点4 灵活选用判定方法证明全等】...............................................................................................................4
【考点5 尺规作图与全等的综合运用】...............................................................................................................5
【考点6 证明全等的常见辅助线的作法】...........................................................................................................7
【考点7 证一条线段等于两条线段的和（差）】................................................................................................8
【考点8 全等中的倍长中线模型】.....................................................................................................................10
【考点9 全等中的旋转模型】.............................................................................................................................12
【考点10 全等中的垂线模型】.............................................................................................................................13
【考点11 全等中的其他模型】.............................................................................................................................15
【考点12 全等三角形的动点问题】.....................................................................................................................16
【考点13 尺规作图作角平分线】.........................................................................................................................18
【考点14 角平分线的判定与性质的综合求值】.................................................................................................19
【考点15 角平分线的判定与性质的综合证明】.................................................................................................21
【考点16 角平分线的实际应用】.........................................................................................................................22
【考点1 利用全等图形求网格中的角度和】
【例1】（2022·山东·禹城市督杨实验学校八年级阶段练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则
∠1+∠3-∠2=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．135°
【变式1-1】（2022·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的
格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．【变式1-2】（2022·江苏·八年级单元测试）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则
∠P＋∠Q＝__________度．
【变式1-3】（2022·山东·济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在4×4的正方形网格中，求α+β=
______度．
【考点2 将已知图形分割成几个全等的图形】
【例2】（2022·全国·八年级专题练习）沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成四个全等的图形．
【变式2-1】（2022·江苏·八年级专题练习）方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全
相同的两个部分吗？请画出分割线．【变式2-2】（2022·江苏·八年级课时练习）试在下列两个图中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形
分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影．
【变式2-3】（2022·全国·八年级专题练习）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．”
理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等图形．
范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法．
请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来．
【考点3 添加条件使三角形全等】
【例3】（2022·全国·八年级专题练习）如图，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件：①AC＝AD；②∠ABC＝
∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件有（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式3-1】（2022·重庆·中考真题）如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能
判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB=DE B．∠A=∠D C．AC=DF D．AC∥FD
【变式3-2】（2022·安徽淮南·八年级期末）如图，点P是AB上任意一点，∠ABC=∠ABD，还应补充一个
条件，才能推出△APC≌△APD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是( )
A．BC=BD； B．AC=AD；
C．∠ACB=∠ADB； D．∠CAB=∠DAB
【变式3-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图，AB，CD相交于点E，且AB=CD，试添加一个条件使得
△ADE≌△CBE．现给出如下五个条件：①∠A=∠C;②∠B=∠D;③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB．其中符合要求有
( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点4 灵活选用判定方法证明全等】
【例4】（2022·湖南·八年级单元测试）具备下列条件的两个三角形一定是全等三角形的是（ ）．
A．有两个角对应相等的两个三角形
B．两边及其中一条对应边上的高也对应相等的两个三角形
C．两边分别相等，并且第三条边上的中线也对应相等的两个三角形
D．有两边及其第三边上的高分别对应相等的两个三角形
【变式4-1】（2022·广东·佛山市南海区瀚文外国语学校七年级阶段练习）我国传统工艺中，油纸伞制作非
常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE=AF，GE=GF，则△AEG≌△AFG的
依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【变式4-2】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学八年级）如图，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点
O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，那么图中全等的三角形有（ ）A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
【变式4-3】（2022·浙江·八年级单元测试）根据下列条件不能唯一画出△ABC的是（ ）
A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°
C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90° D．AB＝3，AC＝4，∠C＝45°
【考点5 尺规作图与全等的综合运用】
【例5】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC外找一个点A'（与点A不重合），并以BC为一边
作△A'BC，使之与△ABC全等，且△ABC不是等腰三角形，则符合条件的点A'有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式5-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以
顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD，CD．由作法可得：△ABC≅△CDA的根
据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【变式5-2】（2022·广东·普宁市红领巾实验学校八年级阶段练习）在课堂上，张老师布置了一道画图题：
画一个Rt△ABC，使∠B=90°，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了
∠MBN=90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别
是______；_______【变式5-3】（2022·北京·101中学九年级开学考试）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角
条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、
以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形
的示意图．
有以下结论：
①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ
②当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ
③当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ
其中所有正确结论的序号是______________．
【考点6 证明全等的常见辅助线的作法】
【例6】（2022·江苏·宿迁青华中学七年级阶段练习）（1）如图①，四边形ABCD中，AB=AD，
∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点，且BE+FD=EF．试探究图中∠EAF与∠BAD之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是：延长FD到G，使DG=BE，连结AG．先证明△ABE≌△ADG，再证明
△AEF≌△AGF，从而得出∠EAF=∠GAF，最后得出∠EAF与∠BAD之间的数量关系是 ．
（2）将（1）中的条件“∠B=∠ADC=90°”改为“∠B+∠D=180°”（如图②），其余条件不变，上述数量关系
是否成立，成立，请证明；不成立，说明理由
（3）如图③，中俄两国海军在南海举行联合军事演习，中国舰艇在指挥中心（O）北偏西30°的A处，俄
罗斯舰艇在指挥中心南偏东70°的B处，两舰艇到指挥中心距离相等．接到行动指令后，中国舰艇向正东
方向以60海里/小时的速度前进，俄罗斯舰艇沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，
指挥中心观测到两舰艇分别到达E，F处且相距280海里．求此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的
夹角∠EOF的大小．【变式6-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知：AB=AC，BD=CD，∠A=60°，∠D=140°，
则∠B=（ ）
A．50∘ B．40∘ C．40∘或70∘ D．30∘
【变式6-2】（2022·全国·七年级单元测试）（1）求证：等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于
定长.（提示：添加辅助线证明）
（2）如图所示，在三角形ABC中，点D是三角形内一点，连接DA、DB、DC，若
AB=AC,∠ADB=∠ADC，求证：AD平分∠BAC.
【变式6-3】（2022·全国·八年级课时练习）已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上， DE∥BC，交直
线AC与点E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足为H．
（1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE；
（2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明．
【考点7 证一条线段等于两条线段的和（差）】
【例7】（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，
AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD
【变式7-1】（2022·安徽淮北·八年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB//CD,AE是∠BAC的
平分线，且AE⊥CE．若AC=a,BD=b，则四边形ABDC的周长为（ ）
A．1.5(a+b) B．2a+b C．3a-b D．a+2b
【变式7-2】（2022·山东烟台·七年级期末）在 ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点
D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，△使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．
(1)如图1，当点D为线段AB上的任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；
(2)如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否
发生改变，并证明．
(3)如图3，当点D在线段AB的延长线上时，直接写出线段EF、CF、AC之间的数量关系．【变式7-3】（2022·全国·八年级专题练习）在△ABC中，AE，CD为△ABC的角平分线，AE，CD交于点
F．
（1）如图1，若∠B=60°．
①直接写出∠AFC的大小；
②求证：AC=AD+CE．
（2）若图2，若∠B=90°，求证：S =S +S +S ．
△ACF △AFD △CEF △DEF
【考点8 全等中的倍长中线模型】
【例8】（2022·江西吉安·七年级期末）（1）基础应用：如图1，在 ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC
边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2A△D利用旋转全等的方式集中在 ACE
中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 ； △
（2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在 ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别
在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF； △
1
（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝ ∠BAD，试问线段
2
EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．
【变式8-1】（2022·山东德州·八年级期末）（1）方法呈现：
如图①：在△ABC中，若AB=6，AC=4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把
AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接
EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB//CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是
∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．
【变式8-2】（2022·山东·高唐县赵寨子中学八年级期中）已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∠ACB=∠ADE=90°，点M是BE的中点，连接CM、DM．
（1）当点D在AB上，点E在AC上时（如图一），求证：DM=CM，DM⊥CM；
（2）当点D在CA延长线上时（如图二）（1）中结论仍然成立，请补全图形（不用证明）；
（3）当ED∥AB时（如图三），上述结论仍然成立，请加以证明．
【变式8-3】（2022·全国·八年级）如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取
值范围．
（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．
①请证明△CED≌△ABD；
②中线BD的取值范围是 ．
（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．
请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．
【考点9 全等中的旋转模型】
【例9】（2022·全国·八年级专题练习）问题发现：如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC，
BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE，BD，线段AE，BD之
间的数量关系为______；位置关系为_______．
拓展探究：如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE，BD交于点F，则AE与BD之间的关系是否
仍然成立？请说明理由．
【变式9-1】（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，
D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，若BD=3，CE=4，S =15，则△ABD与△AEC的面积之
△ADE
和为（ ）
A．36 B．21 C．30 D．22
【变式9-2】（2022·江苏·南京民办求真中学七年级阶段练习）如图直角三角形中的空白部分是正方形，正
方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，DB长______厘米．
【变式9-3】（2022·全国·八年级课时练习）综合与实践
（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量
关系为 ．
（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若
1
∠MBN＝ ∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
2
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，
1
若∠MBN＝ ∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 ．
2
【考点10 全等中的垂线模型】
【例10】（2022·广东佛山·七年级阶段练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且
CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，∠EAB+∠DAC= 度；
(2)求证：DE=CD+BE；
(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，
并加以证明．
【变式10-1】（2022·陕西省西安爱知中学七年级期末）（1）【问题发现】如图1， ABC与 CDE中，
∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，△则BE＝_△____．
（2）【问题提出】如图2，在Rt ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求
BCD的面积． △
△
（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°， ACD面积为12且CD的
长为6，求 BCD的面积． △
△【变式10-2】（2022·安徽·九年级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一
动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；
（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点．
AG
（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则 = ．（直接
CG
写出结果）
【变式10-3】（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线
MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：
AF+BF＝2CE．
(1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，
线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
(2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，
线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．【考点11 全等中的其他模型】
【例11】（2022·重庆八中七年级期中）如图：AD⊥AB，AE⊥AC，AD=AB，AE=AC，连接BE与
DC交于M，则：①∠DAC=∠BAE；②ΔDAC≌ΔBAE；③DC⊥BE；正确的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式11-1】（2022·全国·八年级单元测试）如图，已知ΔABC中，∠A=60°，D为AB上一点，且
AC=2AD+BD,∠B=4∠ACD，则∠DCB的度数是_________．
【变式11-2】（2022·山西阳泉·八年级期末）有些数学题，表面上看起来无从下手，但根据图形的特点，
可补全成为特殊的图形，然后根据特殊几何图形的性质去考虑，常常可以获得简捷解法．根据阅读，请解
答问题：如图所示，已知△ABC的面积为16cm2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积为
___________cm2．
【变式11-3】（2022·江苏南通·八年级期中）如图，等边△ABC的边长为6，点P从点B出发沿射线BA移
动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交
于点D.
（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是
否存在长度保持不变的线段？请说明理由.【考点12 全等三角形的动点问题】
【例12】（2022·江苏·八年级单元测试）如图，AB＝7cm，AC＝5cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段
AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动速度为xcm/s，它们运动的时间为t
（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．当点P、Q运动到某处时，有 ACP与 BPQ全等，则
相应的x、t的值为（ ） △ △
7 7 20
A．x＝2，t＝ B．x＝2，t＝ 或x＝ ，t＝1
4 4 7
20 7
C．x＝2，t＝1 D．x＝2，t＝1或x＝ ，t＝
7 4
【变式12-1】（2022·江苏·九华中学八年级阶段练习）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，
AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以
1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时
间为t（s）．
(1)AB与DE有什么关系？请说明理由．
(2)线段AP的长为________（用含t的式子表示）．(3)连接PQ，当线段PQ经过点C时，t的值为_______．
【变式12-2】（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级期末）长方形ABCD中，AB=6，AD=m，点P以每秒1
个单位的速度从A向B运动，点Q同时以每秒2个单位的速度从A向D运动，点E为边CD上任意一点．
(1)当m=8时，设P，Q两点运动时间为t，
①若Q为AD中点，求t的值；
②连接QE，若△APQ与△EDQ全等，求DE的长．
(2)若在边AD上总存在点Q使得△APQ≌△DQE，求m的取值范围．
【变式12-3】（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）如图① ，在△ ABC中，AB＝12cm，BC＝20cm，过
点C作射线CD∥AB．点M从点B出发，以4cm/s的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以acm/s的
速度沿CD匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接AM、MN，
设移动时间为t（s）．
(1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为______s；
(2)当 ABM与 MCN全等时，① 若点M、N的移动速度相同，求t的值；
② 若△点M、N的△移动速度不同，求a的值；
(3)如图②，当点M、N开始移动时，点P同时从点A出发，以3cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，到达
点B后立刻以原速度沿BA返回．当点M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否
存在 PBM与 MCN全等的情形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【考△点13 尺规△作图作角平分线】
【例13】（2022·四川广元·中考真题）观察下列作图痕迹，所作线段CD为△ABC的角平分线的是（ ）A． B．
C． D．
【变式13-1】（2022·江苏·八年级专题练习）利用作角平分线的方法，可以把一个已知角（ ）
A．三等分 B．四等分 C．五等分 D．六等分
【变式13-2】（2022·四川天府新区教育科学研究院附属中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，
∠C=90°，首先以顶点B为圆心，适当长为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E
1
为圆心，大于 DE为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG=4，P为边
2
AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．无法确定
【变式13-3】（2022·广西北海·八年级期中）如图，在△ABC中，AB=BC，点D在AB的延长线上．
(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）；①作∠CBD的平分线BM；
②作边BC上的中线AE，并延长AE交BM于点F；
(2)在（1）的前提下，猜测BF与边AC的位置关系，并写出证明过程．
【考点14 角平分线的判定与性质的综合求值】
【例14】（2022·广东汕头·八年级期末）如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三
条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S ：S ：S 等于（ ）
△ABO △BCO △CAO
A．1：1：1 B．1：2：3
C．2：3：4 D．3：4：5
【变式14-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，∠DAB与
∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD＝90°；②点M为BC的中点；③AB+CD
＝AD；④△ADM的面积是梯形ABCD面积的一半．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式14-2】（2022·重庆江北·八年级期末）如图，已知ΔABC和ΔADE都是等腰三角形，
∠BAC=∠DAE=90∘，BE、CD交于点O，连接OA．下列结论：①BE=CD；②BE⊥CD；③OA平分
∠CAE；④∠AOB=45∘．其中正确结论的是__________．【变式14-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图1，在 ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线
CE交于点O． △
1
(1)求证：∠AOC＝90°＋ ∠ABC；
2
(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．
【考点15 角平分线的判定与性质的综合证明】
【例15】（2022·全国·八年级专题练习）已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，
CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N．
【思考说理】
（1）求证：FE=FD．
【反思提升】
（2）爱思考的小强尝试将【问题背景】中的条件“∠ACB=90°”去掉，其他条件不变，观察发现（1）
中结论（即FE=FD）仍成立．你认为小强的发现正确吗？如果不正确请举例说明，如果正确请仅就图2
给出证明．【变式15-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知∠C＝60°，AE，BD是△ABC的角平分线，且
交于点P．
（1）求∠APB的度数．
（2）求证：点P在∠C的平分线上．
（3）求证：①PD=PE；
②AB=AD＋BE．
【变式15-2】（2022·四川成都·七年级期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，
AB≠AE，∠BAC=∠DAE=38°．连接BD，CE交于点O．
(1)求证：BD=CE；
(2)求∠BOC的度数：(3)小明同学对该题进行了进一步研究，他连接了AO，并提出了下面结论：OA平分∠BOE．请给予证明．
【变式15-3】（2022·山东·北辛中学八年级阶段练习）（1）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该
图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（2）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、
CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；并证明．
（3）如图③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，
请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【考点16 角平分线的实际应用】
【例16】（2022·江苏·八年级专题练习）如图，三条公路两两相交，现计划在△ABC中内部修建一个探照
灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是△ABC（ ）的交点．
A．三条角平分线 B．三条中线
C．三条高的交点 D．三条垂直平分线
【变式16-1】（2022·江苏·八年级单元测试）如图，要在河流的右侧、公路的左侧M区建一个工厂，位置
的选择要满足到河流和公路的距离相等，小红说工厂应该建在河流与公路夹角的平分线上，请你帮小红说
出她的理由__________________________________________________．
【变式16-2】（2022·全国·八年级）如图，l 与两条平行公路l，l 三条公路相交，若要在l 上确定某个位
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置，使其到另两条公路的距离相等，这样的位置有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【变式16-3】（2022·黑龙江黑河·八年级期末）如图，直线l ，l ，l 表示三条公路．现要建造一个中转站
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P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
