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专题 24.16 圆的辅助线常用方法（5 种方法 8 类题型）（全章方法梳
理与题型分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
圆中的辅助线是指在解决圆的相关问题时，为了更好地理解和应用几何原理，而在图形
中添加的一些线段。这些辅助线可以帮助我们发现隐藏的几何关系，简化问题的解决过程。
以下是圆中常见辅助线的做法：
【方法1】遇到弦时：常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径），或再连结
过弦的端点的半径。作用在于利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关
系，以及勾股定理求解相关量；
【方法2】遇到有直径时：常常添加直径所对的圆周角。这样可以通过圆周角的性质得
到直角或直角三角形，进而利用直角三角形的性质解决问题；
【方法3】遇到90°的圆周角时：常常连结两条弦没有公共点的另一端点。利用圆周角的
性质，可以得到直径，从而进一步探索圆内的几何关系；
【方法4】遇到有切线时：可以添加过切点的半径，利用切线的性质定理得到垂直关
系，或者连结圆上一点和切点，构成弦切角，利用弦切角定理解决问题；
【方法5】遇到证明某一直线是圆的切线时：若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。若直线过圆上的某一点，则连结这点
和圆心（即作半径），再证其与直线垂直；
题型目录
【题型1】添加弦心距或作垂直于弦的半径，构造直角三角形.......................2
【题型2】添加直径所在的圆周角，构造直角三角形.........................7
【题型3】遇到90度圆周角作弦，构造直角三角形...............................11
【题型4】遇到切线时过切点作半径构造直角三角形..............................14
【题型5】证明切线时有点连线................................................19
【题型6】证明切线时无点作垂线..............................................22
【题型7】直通中考..........................................................25
【题型8】拓展延伸..........................................................27
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】添加弦心距或作垂直于弦的半径，构造直角三角形
【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：如图， 是 的直径，弦 交 于E点，
，求 的长．
【答案】
【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理、含 度角直角三角形的性质等知识．作 于点M，连
接 ，则 ，先求出 ，在 中，由 求得 ，则 ．
解：作 于点M，连接 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 中， ，
∴ ，
在 中，
∵ ，即 ，解得 ，
∴ ．
答： 的长为 ．
【变式1】23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在扇形 中，点D在 上，点C在 上，
．若 ，则 的半径为( )
A．4 B． C． D．
【答案】C【分析】过点O作 与E，连接BD交 与点F，连接CF，利用勾股定理求出BD，再证明点F
是BD的中点，利用中位线定理和直角三角形的中线的性质分别求出 和 ，从而得到 ，最后用勾
股定理求 即可．
解：过点O作 与E，连接BD交 与点F，连接CF，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴F是BD的中点，
∴ ，
又∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的半径为 ，
故选：C．
【点拨】本题考查垂径定理，垂直平分线的性质，直角三角形中线的性质，中位线的性质，勾股定理，
等腰三角形的判定与性质等知识，综合性较大，利用垂径定理构造辅助线和证明点F是BD的中点是解题的关键．
【变式2】（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，M为x轴正半轴上一点， 与x轴负半轴交于点
A，与y轴正半轴交于点B，连接 ，将 绕顶点B逆时针旋转 得到 ，此时点C恰在
上，若 半径为4，则点D的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——旋转，熟练掌握旋转的性质，垂径定理，矩形的判断和性
质，勾股定理解三角形，是解题的关键．
过点M作 的垂线，垂足为N，连接 ，利用垂径定理证明四边形 是矩形，令 ，则
，利用勾股定理求出 ，进而求解即可．
解：过点M作 的垂线，垂足为N，连接 ，
则 ，
由旋转知， ， ， ，
∴ 轴，
∴ 轴，
∴四边形 是平行四边形，∵ ，
∴四边形 是矩形．
令 ，则 ，
在 中， ，
解得 （舍负），
∴ ，
即 ．
又∵ ，
∴ ，
即 ．
所以点D的坐标为： ，
故答案为：
【变式3】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在半径为5的 中， 是直径， 是弦，D是
中点， 与 交于点P，若P是 中点，则 的长是 ．【答案】 /
【分析】连接 ，交 于F，由垂径定理得出 ，利用 证 ，得
，然后由三角形中位线定理求得 ，求得 ，最后由勾股定理即可
求得 的长．
解：连接 ，交 于F，
∵D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ 是 的直径，半径为5，
∴ ，
∵P是 中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
∵ ，
∴ ，∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、三角形中位线定理以及勾股定
理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理，证明 是解题的关键．
【题型2】添加直径所在的圆周角，构造直角三角形
【例2】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图， 中， ，以AB为直径的 交
于 ，交 于 ．
(1)求证： ； (2)若 ，求 和 的度数．
【答案】(1)见解析； (2) ，
【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角、等腰三角形性质以及三角形内
角和定理等知识；
（1）连接 ，先由圆周角定理得 ，则 ，再由等腰三角形的性质得即可得出结论；
（1）证明：连接 ，如图所示：是 的直径，
，
，
，
．
（2）解： 是 的直径，
∴
∵ ，
∴
∵ ，
∴
∴
∵四边形 是 的内接四边形
∴
又∵
∴
【变式1】（24-25九年级上·广西柳州·阶段练习）如图， 是 的内接三角形， 是直径，
，则 （ ）A． B． C．60° D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的外接圆，圆周角定理．此题难度不大，注意辅助线的作法，注意掌握数形
结合思想的应用．首先连接BD，由 是 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得
的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得 的度数，继而求得
的度数．
解：连接BD，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：B．
【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图， 是 的内接三角形，若 ，
则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理．作直径 ，连接 ，由圆周角定理求得 ，再求得
，再根据圆周角定理即可求解．
解：作直径 ，连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：D．
【变式3】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在 中， 是直径，弦 ，垂足为 ，若
， ，则 的半径为 ．【答案】
【分析】本题主要考查了圆综合．熟练掌握圆周角定理推论，含30°的直角三角形性质，勾股定理解直角
三角形，是解决问题的关键．
连接 ，根据直径性质得出 ，再利用含30°角的直角三角形的性质可得 ，再根
据勾股定理求出 ，即得．（方法不唯一）
解：连接 ，
∵ 是 直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得， ，
∴ ．
∴ 的半径为 ．
故答案为： ．
【题型3】遇到90度圆周角作弦，构造直角三角形
【例3】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形 的顶点在同一个圆上，且．
(1)求 的度数；
(2)若 为 的中点， ， ，求四边形 的面积．
【答案】(1)90°； (2)49
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，
从而进行解题．
（1）设 、 、 分别为 、3x、 ，根据圆内接四边形对角互补可得 ，由此
求出 ，继而求出 的度数；
（2）连接 ，根据勾股定理求出 ，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到 ，根据勾股
定理、三角形的面积公式计算，得到答案．
解：（1）解：设 、 、 分别为 、3x、 ，
∵四边形 为圆内接四边形，
∴ ，即 ，
解得， ，
∴ ；
（2）连接 ，
∵ ，
∴ 为圆的直径，
∴ ，的面积= ， ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴ 的面积= ，
∴四边形 的面积 ．
【变式1】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图， 内接于 ，点 在 上，连接 ，
若 ，则 的直径为（ ）
A．12 B． C．6 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查圆周角定理和直角三角形的性质，连接 ，由 ，可得 为 的直
径，当 ，可得 ，在 中， ，则 ，
故可得解．
解：连接 ，如图，
∵ ，即 ，
∴ 为 的直径，∵ 所对的圆周角是 ，
∴
在 中， ，
，
故选：A．
【变式2】（23-24九年级下·河北邯郸·期中）图是用 制作的表盘模型，其中点 ， 分别与整钟点
“ 时”，“ 时”重合，要使 ，则点 应位于（ ）
A．“ 时”处 B．“ 时”处 C．“ 时”处 D．“10时”处
【答案】B
【分析】本题主要考查了 的圆周角所对的弦是直径，熟练掌握 的圆周角所对的弦是直径是解题的
关键，根据 的圆周角所对的弦是直径求解即可。
解：如图，连接 ， ，
∵ ，
∴AB是 的直径，即
∵点 ，与整钟点“ 时”重合，
∴点 应位于“ 时”处，
故选：
【变式3】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，点 在圆上， ，点 为 的中点， 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了半圆或直径所对圆周角为直角，勾股定理，根据 ，可得AB是直径，根据点
为 的中点，可得 ，根据勾股定理可得 ，在 中，运用勾股定理即可求解．
解：如图所示，连接AD，
∵ ，
∴AB是直径，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，故答案为： ．
【题型4】遇到切线时过切点作半径构造直角三角形
【例4】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，四边形 为平行四边形， 为 上一点，
以 为半径作 ，与 、 的延长线分别相切于点 、 ，与 相交于点 ．
(1)求 的度数；(2)试探究 、 、 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1) (2) ，证明见解析
【分析】（1）连接 ，由平行四边形的性质，得到 ， ， ，根据圆的切
线的性质，得出 是等腰直角三角形，进而得到 ，即可求出 的度数；
（2）连接 ，根据圆的切线的性质，得出 是等腰直角三角形，进而得出 ，
由勾股定理，得出 ，再结合 ，即可得出结论．
解：（1）解：如图，连接 ，
四边形 为平行四边形，
， ， ，
与 相切于点 ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
（2）解： ，证明如下：
如图，连接 ，
与 相切于点 ，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在 和 中， ， ，
，
，
．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，圆的切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等
知识，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．
【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，P是圆O的直径 上一点， 与圆O相切于点
M，连接 ， ，若 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经
过切点的半径；连接 ，根据切线性质得 ，再根据直角三角形的锐角互余得 ，
根据圆周角定理进而求得 ，然后根据等腰三角形的判定解答即可．
解：连接 ，与圆O相切于点M，
；
，
；
，
，
，
；
，
；
故答案为： ．
【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在 中， 是弦， 是 切线，过 点作
于 ， 交 于 点，若 平分 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了弦切角定理，角平分线的性质及垂直的定义，难度适中．
连接 ，并延长交 于点F，连接 ，根据弦切角的性质，得 ，再由已知条件可得，从而求出 ．
解：连接 ，并延长交 于点F，连接 ，如图所示：
∴ ，
∴ ，
是 切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
平分 ，
，
，
，
．
故选：A．
【变式3】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图， 与 相切于点 ， 的延长线交 于点 ，
连接 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】可不是主要考查切线的性质，连接 ，则 ，得 ，由 得由三角形外角的性质得 ，再由三角形内角和定理可得
解：连接 ，如图，
∵ 是 的切线，
∴ ，即
∵
∴
∵ ，
∴
∴
∵
∴ ，
故选：D
【题型5】证明切线时有点连线
【例5】（22-23九年级下·山东临沂·期末）如图，在 中， ，以 为直径作半圆，交
于点D，连接 ，过D作 ，垂足为E．
(1)求证： ；
(2)求证： 为 的切线．
【分析】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切
线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理．（1）先利用圆周角定理得到 ，再根据等腰三角形的性质得 ；
（2）连接 ，如图，先证明 为 的中位线，则 ，再利用 得到 ，
然后根据切线的判定定理得到结论．
（1）证明：∵ 为直径，
∴ ，
∵
∴ ；
（2）证明：连接 ，如图，
∵ ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ 是半径
∴ 为 的切线．
【变式1】（2023九年级下·全国·专题练习）如图所示， 为 的直径，C为 上一点，过点C的
直线 于点 ， 平分 ．求证： 是 的切线．
【分析】此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，以及平行线性质与判定，连接 ，由 为平分
，得到一对角相等，再由半径 ，等边对等角得到另一对角相等，等量代换得到内错角相
等，可得出 与 平行，由 ，可得出 ，即可得证．解：证明：连接 ，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为圆的半径，
则 是 的切线．
【变式2】（23-24九年级下·山东聊城·开学考试）如图，已知 的直径为 ，点 在圆周上（异于
， ）， ．
(1)若 ，求 的长；
(2)若 是 的平分线，求证：直线 是 的切线．
【答案】(1)8； (2)见解析【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到 是直角三角形后，直接利用勾股定理即可求解；
（2）连结 ，证明 ，再得到 ，利用切线的判定即可证明．
解：（1）∵ ，
∴ ．
为直径，
，
， ，
∴根据勾股定理可得： ，
∴ 的长为8．
（2）连结 ，
，
是 的角平分线，
，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴直线 是 的切线．
【点拨】本题考查了圆周角定理的推论、勾股定理、角平分线的定义、平行线的判定与性质、切线的判
定定理等内容，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
【题型6】证明切线时无点作垂线
【例6】（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，在 中，O为 上一点，以O为圆心， 长为半径作圆，与 相切于点C，过点A作 交 的延长线于点D，且 ．
求证： 为 的切线；
【分析】本题主要考查切线的判定和性质，切线长定理，全等与相似三角形的判定与性质，熟练掌握切
线的判定是解题的关键．
过点O作 于点E，根据题意证明 ，再证明 ，根据切线的判
定定理即可得到结论；
证明：过点O作 于点E，
于点D，
，
，
，
，
又 为 的切线，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
， 是半径，是 的切线；
【变式】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图， 为正方形 对角线上一点， 与以 为圆心，
长为半径的 相切于点 ．
（1）求证： 与 相切；
（2）若正方形 的边长为1，求 的半径．
【答案】(1)见解析 (2) 的半径为 ．
【分析】此题综合了正方形的性质和圆的切线的性质和判定．
（1）根据正方形的性质得到 是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明；
（2）根据正方形的边长可以求得其对角线的长，根据等腰直角三角形的性质得到 是圆的半径的 倍，
从而根据对角线的长列方程求解．
（1）证明：连接 ，过 作 于 ；
与 相切，
，四边形 是正方形，
平分 ，
，
与 相切；
（2）解： 四边形 为正方形，
， ， ，
， ，
，
；
又 ，
，
．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型7】直通中考
【例1】（2024·山东青岛·中考真题）如图， 是 上的点，半径 ， ，
，连接AD，则扇形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定义，扇形的面积，连接 ，由圆周角定理可得
，进而得 ，再根据扇形的面积计算公式计算即可求解，掌握圆周角定理及扇形的面积计算公式是解题的关键．
解：连接 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【例2】（2022·上海·中考真题）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条
弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，
这个圆的半径为 ．
【答案】 /
【分析】如图，当等弦圆O最大时，则 经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连
接OE，DK，再证明 经过圆心， ，分别求解AC，BC，CF， 设 的半径为 再分别表示
再利用勾股定理求解半径r即可．
解：如图，当等弦圆O最大时，则 经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接
OE，DK，过圆心O， ，
设 的半径为
∴
整理得：
解得：
不符合题意，舍去，
∴当等弦圆最大时，这个圆的半径为
故答案为：
【点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间
的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题的关键．
【题型8】拓展延伸
【例1】（2024·河南周口·模拟预测）如图，四边形 是 的内接四边形， 于点P，
于点E．若 ，则 ．【答案】3
【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，以及三角形中位线的判定以及性质，连接 并延长交
⊙O于点G，连接 ．由直径所对的圆周角等于 可得出 ，由垂径定理得出 是
的中位线，由中位线定理可得出 ，再证明 ，进一步得出 ，等量代换可
得出 ，进一步即可得出答案．
解：如图，连接 并延长交⊙O于点G，连接 ．
∵ 过点O为 的直径，
∴ ．
∵ 于点E，
∴E为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故答案为：3．
【例2】（2024·上海·三模）已知： 为 的直径，弦 交 于点H，点F为弧 上一点，连接
交 于点E，交 于点G， ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接 ，当 ， ， 时，求 的长．
【答案】(1)证明见解析； (2) ．
【分析】（ ）利用圆周角定理，三角形的外角的性质得到 ，则 ，利用垂径定
理的推论解答即可得出结论；
（ ）利用圆周角定理与已知条件得到 ，利用圆周角定理和三角形的外角的性质，
等腰三角形的判定定理得到 ，利用圆周角定理和勾股定理得到 ，利用三角形的
面积公式求得 ，利用垂径定理得到 ，再根据面积可得 ，将数值代入运算即可得出结论．
解：（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ；
（2）解：∵ 为 的直径， ；∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴点G到 和 的距离相等
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，三角形的外角的性质，直角三角形的
性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
