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专题 24.16 圆的辅助线常用方法（5 种方法 8 类题型）（全章方法梳
理与题型分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
圆中的辅助线是指在解决圆的相关问题时，为了更好地理解和应用几何原理，而在图形
中添加的一些线段。这些辅助线可以帮助我们发现隐藏的几何关系，简化问题的解决过程。
以下是圆中常见辅助线的做法：
【方法1】遇到弦时：常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径），或再连结
过弦的端点的半径。作用在于利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关
系，以及勾股定理求解相关量；
【方法2】遇到有直径时：常常添加直径所对的圆周角。这样可以通过圆周角的性质得
到直角或直角三角形，进而利用直角三角形的性质解决问题；
【方法3】遇到90°的圆周角时：常常连结两条弦没有公共点的另一端点。利用圆周角的
性质，可以得到直径，从而进一步探索圆内的几何关系；
【方法4】遇到有切线时：可以添加过切点的半径，利用切线的性质定理得到垂直关
系，或者连结圆上一点和切点，构成弦切角，利用弦切角定理解决问题；
【方法5】遇到证明某一直线是圆的切线时：若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。若直线过圆上的某一点，则连结这点
和圆心（即作半径），再证其与直线垂直；
题型目录
【题型1】添加弦心距或作垂直于弦的半径，构造直角三角形.......................2
【题型2】添加直径所在的圆周角，构造直角三角形.........................3
【题型3】遇到90度圆周角作弦，构造直角三角形................................4
【题型4】遇到切线时过切点作半径构造直角三角形...............................5
【题型5】证明切线时有点连线.................................................6
【题型6】证明切线时无点作垂线...............................................7
【题型7】直通中考...........................................................8
【题型8】拓展延伸...........................................................8
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】添加弦心距或作垂直于弦的半径，构造直角三角形
【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：如图， 是 的直径，弦 交 于E点，
，求 的长．
【变式1】23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在扇形 中，点D在 上，点C在 上，
．若 ，则 的半径为( )A．4 B． C． D．
【变式2】（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，M为x轴正半轴上一点， 与x轴负半轴交于点
A，与y轴正半轴交于点B，连接 ，将 绕顶点B逆时针旋转 得到 ，此时点C恰在
上，若 半径为4，则点D的坐标是 ．
【变式3】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在半径为5的 中， 是直径， 是弦，D是
中点， 与 交于点P，若P是 中点，则 的长是 ．
【题型2】添加直径所在的圆周角，构造直角三角形
【例2】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图， 中， ，以AB为直径的 交
于 ，交 于 ．
(1)求证： ； (2)若 ，求 和 的度数．【变式1】（24-25九年级上·广西柳州·阶段练习）如图， 是 的内接三角形， 是直径，
，则 （ ）
A． B． C．60° D．
【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图， 是 的内接三角形，若 ，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在 中， 是直径，弦 ，垂足为 ，若
， ，则 的半径为 ．【题型3】遇到90度圆周角作弦，构造直角三角形
【例3】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形 的顶点在同一个圆上，且
．
(1)求 的度数；
(2)若 为 的中点， ， ，求四边形 的面积．
【变式1】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图， 内接于 ，点 在 上，连接 ，
若 ，则 的直径为（ ）
A．12 B． C．6 D．
【变式2】（23-24九年级下·河北邯郸·期中）图是用 制作的表盘模型，其中点 ， 分别与整钟点
“ 时”，“ 时”重合，要使 ，则点 应位于（ ）
A．“ 时”处 B．“ 时”处 C．“ 时”处 D．“10时”处【变式3】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，点 在圆上， ，点 为 的
中点， 的值为 ．
【题型4】遇到切线时过切点作半径构造直角三角形
【例4】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，四边形 为平行四边形， 为 上一点，
以 为半径作 ，与 、 的延长线分别相切于点 、 ，与 相交于点 ．
(1)求 的度数；
(2)试探究 、 、 之间的数量关系，并证明．
【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，P是圆O的直径 上一点， 与圆O相切于点
M，连接 ， ，若 ，则 的长为 ．
【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在 中， 是弦， 是 切线，过 点作
于 ， 交 于 点，若 平分 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【变式3】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图， 与 相切于点 ， 的延长线交 于点 ，
连接 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【题型5】证明切线时有点连线
【例5】（22-23九年级下·山东临沂·期末）如图，在 中， ，以 为直径作半圆，交
于点D，连接 ，过D作 ，垂足为E．
(1)求证： ；
(2)求证： 为 的切线．
【变式1】（2023九年级下·全国·专题练习）如图所示， 为 的直径，C为 上一点，过点C的
直线 于点 ， 平分 ．求证： 是 的切线．【变式2】（23-24九年级下·山东聊城·开学考试）如图，已知 的直径为 ，点 在圆周上（异于
， ）， ．
(1)若 ，求 的长；
(2)若 是 的平分线，求证：直线 是 的切线．
【题型6】证明切线时无点作垂线
【例6】（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，在 中，O为 上一点，以O为圆心， 长为
半径作圆，与 相切于点C，过点A作 交 的延长线于点D，且 ．
求证： 为 的切线；
【变式】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图， 为正方形 对角线上一点， 与以 为圆心，
长为半径的 相切于点 ．
（1）求证： 与 相切；（2）若正方形 的边长为1，求 的半径．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型7】直通中考
【例1】（2024·山东青岛·中考真题）如图， 是 上的点，半径 ， ，
，连接AD，则扇形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2022·上海·中考真题）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条
弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，
这个圆的半径为 ．
【题型8】拓展延伸
【例1】（2024·河南周口·模拟预测）如图，四边形 是 的内接四边形， 于点P，
于点E．若 ，则 ．【例2】（2024·上海·三模）已知： 为 的直径，弦 交 于点H，点F为弧 上一点，连接
交 于点E，交 于点G， ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接，当，，时，求的长．
