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专题 12.6 添加辅助线构造全等【七大题型】
【人教版】
【题型1 连接两点构造全等】..................................................................................................................................1
【题型2 作平行线构造全等】..................................................................................................................................5
【题型3 作垂线构造全等】....................................................................................................................................12
【题型4 倍长中线构造全等】................................................................................................................................16
【题型5 截长补短构造全等】................................................................................................................................23
【题型6 补全图形构造全等】................................................................................................................................33
【题型7 旋转构造全等】........................................................................................................................................42
【题型1 连接两点构造全等】
【例1】（23-24八年级·湖南衡阳·期末）D是等边三角形内一点，DB=DA，BP=AB，
∠DBP=∠DBC，则∠BPD的度数为______．
【答案】30°
【解析】【分析】
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．应用全等三角
形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
【解答】
解：连接DC.∵等边三角形ABC，
∴AB=BC=AC，
∵AB=BP，
∴BP=AB=BC，
在△PBD和△CBD中，
{BP=BC
∠1=∠ 2，
BD=BD
∴△PBD≌△CBD(SAS)，
∴∠BFD=∠BCD，
在△ACD和△BCD中，
{AC=BC
CD=CD，
BD=AD
∴△ACD≌△BCD(SSS)，
∴∠ACD=∠BCD，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACD=∠BCD=∠BPD=30°.
故答案为30°．
【变式1-1】（23-24八年级·江苏盐城·期中）如图，已知AB=CD，AC交BD于点O，且AC=BD.试用两
种方法证明∠ABO=∠DCO．【答案】证明：方法一：
连接BC．
在△ABC和△DCB中，
{AB=DC
AC=DB
BC=CB
∴△ABC≌△DCB(SSS)，
∴∠A=∠D
在△AOB和△DOC中，
{
∠A=∠D
∠AOB=∠DOC，
AB=DC
∴△AOB≌△DOC(AAS).
∴∠ABO=∠DCO；
证明：方法二：连接AD．
∵AB=DC，AC=DB，AD=DA，
∴△ABD≌△DCA，
∴∠ABO=∠DCO．【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，注意：全等三角形的判定定理有SASASA AASSSS，全等
三角形的对应边相等．
方法一：连接BC，先证明△ABC≌△DCB，然后证明△AOB≌△DOC，即可证得；
方法二：连接AD，证明△ABD≌△DCA，即可证得．
【变式 1-2】（23-24八年级·广东佛山·期末）如图，AB=AE，BC=ED，AF垂直平分CD，求证：
∠B=∠E．
【答案】证明：连接AC，AD，
∵AF是CD的垂直平分线，
∴AC=AD．
又AB=AE，BC=ED，
∴△ABC≌△AED(SSS)．
∴∠B=∠E．
【解析】本题考查三角形全等判定“SSS”的应用．通过作辅助线来构造全等三角形是常用的方法之一．
连接AC，AD证得AC=AD，进而证得△ABC≌△AED，则可得证．
【变式1-3】（23-24八年级·辽宁辽阳·期中） 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG垂直平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
证明(1)BE=CF； (2)若AB=5，AC=3，求AE、BE的长．
【答案】(1)证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD=CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
{BD=CD
，
DE=DF
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，
∴BE=CF；
(2)解：在△AED和△AFD中，
{∠AED=∠AFD=90°
∠EAD=∠FAD ，
AD=AD
∴△AED≌△AFD(AAS)，
∴AE=AF，
设BE=x，则CF=x，
∵AB=5，AC=3，AE=AB-BE，AF=AC+CF，
∴5-x=3+x，
解得：x=1，∴BE=1，AE=AB-BE=5-1=4．
【解析】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．
(1)连接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质，即可得
DE=DF，又由DG⊥BC且平分BC，根据线段垂直平分线的性质，可得BD=CD，继而可证得
Rt△BED≌Rt△CFD，则可得BE=CF；
(2)首先证得△AED≌△AFD，即可得AE=AF，然后设BE=x，由AB-BE=AC+CF，即可得方程
5-x=3+x，解方程即可求得答案．
【题型2 作平行线构造全等】
【例2】（23-24八年级·安徽合肥·期末） P为等边 ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA
＝CQ，连PQ交AC边于D． △
（1）证明：PD＝DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝3．
【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F；证出 APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由
AAS证明 PDF≌△QDC，得出对应边相等即可； △
（2）过P△作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS证明 PFD≌△QCD，得出对应边相等FD=CD，证出
△
1
AE+CD=DE= AC，即可得出结果．
2
【详解】（1）如图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F．
∵△ABC是等边三角形，
∴△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ．
∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ．
在 PDF和 QDC中，¿，
∴△△PDF≌△Q△DC（AAS），
∴PD=DQ；
（2）如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC， ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠Q△CD， APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF． △
∵PE⊥AC，∴AE=EF．
∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．
在 PFD和 QCD中，¿，
∴△△PFD≌△Q△CD（AAS），
∴FD=CD．
∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，
1
∴AE+CD=DE= AC．
2
∵AC=6，∴DE=3．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌
握等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、
平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质．
【变式2-1】（23-24八年级·福建龙岩·阶段练习）如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及
AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交BC于点M．
求让：MD=ME
【答案】见详解
【分析】过点D作DF∥AC，交BC于点F，根据等边三角形和平行线的性质得∠MDF=∠MEC，DF=CE，
从而证明∆FMD≅∆CME，进而即可得到结论．【详解】过点D作DF∥AC，交BC于点F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DF∥AC，
∴∠DFB=∠ACB=60°，∠MDF=∠MEC，
∴△BDF是等边三角形，
∴BD=DF，
∵BD=CE，
∴DF=CE，
又∵∠FMD=∠CME，
∴∆FMD≅∆CME，
∴MD=ME．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构
造等边三角形和全等三角形，是解题的关键．
【变式2-2】（23-24八年级·贵州黔西·期末）如图， ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点
P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA△，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．1 B．1.8 C．2 D．2.5
【答案】C
【分析】过P作BC的平行线交AC于F，通过AAS证明△PFD≌△QCD，得FD=CD，再由△APF是等1
边三角形，即可得出DE= AC．
2
【详解】解：过P作BC的平行线交AC于F，
∴∠Q=∠FPD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=PF，
∵CQ＝PA，
∴PF=CQ
在△PFD中和△QCD中，
¿，
∴△PFD≌△QCD(AAS)，
∴FD=CD，
∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，
∴AE=EF，
∴AE+DC=EF+FD=ED，
1
∴DE= AC，
2
∵AC=4，
∴DE=2，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形
是解题的关键．
【变式2-3】（23-24八年级·江苏盐城·阶段练习）已知在等腰 ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段
CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线△BC与点M．请探究：
(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立
吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；
(3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线
BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．
【答案】(1)DM=EM．理由见详解；
(2)成立，理由见详解；
1
(3)MD= ME．
2
【分析】（1）DM=EM；过点E作EF//AB交BC于点F，然后利用平行线的性质和已知条件可以证明
DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；
△（2）成立；过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质与已知条件可以证明
DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；
△ 1
（3）MD= ME．过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质和已知条件得到
2
DBM∽△EFM，接着利用相似三角形的性质即可得到结论；
△【详解】（1）解：DM=EM；
证明：过点E作EF//AB交BC于点F，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C；
又∵EF//AB，
∴∠ABC=∠EFC，
∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC．
又∵BD=EC，
∴EF=BD．
又∵EF//AB，
∴∠ADM=∠MEF．
在 DBM和 EFM中
¿ △， △
∴△DBM≌△EFM，
∴DM=EM．
（2）解：成立；
证明：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C；又∵EF//AB，
∴∠ABC=∠EFC，
∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC．
又∵BD=EC，
∴EF=BD．
又∵EF//AB，
∴∠ADM=∠MEF．
在 DBM和 EFM中
¿ △ △
∴△DBM≌△EFM；
∴DM=EM；
（3）解：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，
∵∠DBM=∠EFM，∠DMB=∠EMF
∴△DBM∽△EFM，
∴BD：EF=DM：ME，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠F=∠ABC，
∴∠F=∠C，
∴EF=EC，
∴BD：EC=DM：ME=1：2，
1
∴MD= ME．
2
【点睛】本题主要考查了三角形综合，涉及了等腰三角形性质和判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质，利用平行构造全等三角形是解题关键．
【题型3 作垂线构造全等】
【例3】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞
AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°．
【答案】见解析.
【分析】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．由Rt△CFA≌Rt△CEB，推出∠ACF＝∠ECB，推出∠ACB
＝∠ECF，由∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，可得∠ACB+∠AOB＝180°，推出∠OAC+∠OBC＝
180°．
【详解】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．
∵OC平分∠MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．
∴CE＝CF，
∵AC＝BC，∠CEB＝∠CFA＝90°，
∴Rt△CFA≌Rt△CEB（HL），
∴∠ACF＝∠ECB，
∴∠ACB＝∠ECF，
∵∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠ACB+∠AOB＝180°，
∴∠OAC+∠OBC＝180°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助
线，构造全等三角形解决问题.
【变式3-1】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，D是CB延长线上一点，且BD=BC，E是AB上一点，
DE=AC，求证：∠BAC=∠BED.【答案】详见解析
【分析】分别过点D、C作AB的垂线，构建RtΔDFE与RtΔCGA，证其全等即可求得答案.
【详解】如图，过点C作CG⊥AB于点G，过点D作DF⊥AB的延长线于点F，
则有∠DFB=∠CGB=∠CGA=90°，
又∵∠DBF=∠CBG，BD=BC，
∴ΔDBF≌ΔCBG，
∴DF=CG，.
又∵DE=AC，
∴RtΔDFE≌RtΔCGA，
∴∠BAC=∠BED.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题
的关键.
【变式3-2】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，∠ABD=∠CBE=90°，
BA=BD，BC=BE，延长CB交DE于F.求证：EF=DF.
【答案】详见解析
【分析】如图，过点D作DG⊥CF的延长线于点G，易证ΔABC≌ΔBDG，再证ΔBFE≌GFD即可得答
案.【详解】如图，过点D作DG⊥CF的延长线于点G，
∵∠ABC+∠DBG=90°，
∠BDG+∠DGB=90°，
∴∠ABC=∠BDG，
又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA=BD，
∴ΔABC≌ΔBDG，
∴BC=DG，
又∵BC=BE，
∴BE=DG，
又∵∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG，
∴ΔBFE≌△GFD，
∴EF=DF.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法是
解题的关键.
【变式3-3】（23-24八年级·江西抚州·期中）如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要
证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．
【答案】见解析
【分析】方法一：如图1，作BF⊥DE交DE的延长线于点F，CG⊥DE于点G，先证明 BFE≌△CGE，得
BF=CG，再证明 ABF≌△DCG即可； △
△方法二：如图2中，作CF∥AB交DE的延长线于点F，先证明CF=CD，再证明 ABE≌△FCE即可．
【详解】证明：方法一：如图1，作BF⊥DE交DE的延长线于点F，CG⊥DE于△点G．
∴∠F=∠CGE=90°，
在 BFE和 CGE中，¿，
∴△△BFE≌△C△GE（AAS），
∴BF=CG，
在 ABF和 DCG中，¿，
∴△△ABF≌△D△CG（AAS），
∴AB=CD；
方法二：如图2，作CF∥AB交DE的延长线于点F．
∴∠F=∠BAE．
又∵∠BAE=∠D，
∴∠F=∠D，
∴CF=CD，
在 ABE和 FCE中，¿，
∴△△ABE≌△F△CE（AAS），
∴AB=CF，
∴AB=CD．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会添加常用辅
助线，属于中考常考题型．
【题型4 倍长中线构造全等】
【例4】（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知AP//BC，点E是DC的中点，且
AD+BC=AB，求证：AE⊥BE．【答案】证明见解析
【分析】延长AE、BC交于点M，利用AAS证出△ADE≌△MCE，从而得出AD=MC，AE=ME，结合已知
条件即可证出BM=AB，再利用SSS即可证出△BAE≌△BME，从而得出∠BEA=∠BEM，根据垂直定义即
可证出结论．
【详解】解：延长AE、BC交于点M，如下图所示
∵点E是DC的中点，
∴DE=CE，
∵AP//BC
∴∠1=∠M
在△ADE和△MCE中
∠1=∠M
{∠5=∠6
DE=CE
∴△ADE≌△MCE
∴AD=MC，AE=ME
∵AD+BC=AB
∴MC＋BC=AB
∴BM=AB
在△BAE和△BME中
AE=ME
{BE=BE
BA=BM∴△BAE≌△BME
∴∠BEA=∠BEM
∵∠BEA＋∠BEM=180°
∴∠BEA=∠BEM=90°
∴AE⊥BE
【点睛】此题考的是全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义，掌握全等三角形的判定及性
质、平行线的性质和垂直的定义是解题关键．
【变式4-1】（23-24八年级·甘肃张掖·阶段练习）已知三角形的两边长分别是2和4，设第三边上的中线长
为x，则x的取值范围是 ．
【答案】1＜x＜3
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．
【详解】解：如图所示，AB＝2，AC＝4，
延长AD至E，使AD＝DE，
在△BDE与△CDA中，
∵AD＝DE，BD＝CD，∠ADC＝∠BDE，
∴△BDE≌△CDA，
∴AE＝2x，BE＝AC＝4，
在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，即4﹣2＜2x＜4+2，
∴1＜x＜3．
故答案为：1＜x＜3．
【点睛】本题考查了三角形的中线、三角形三边关系，有关三角形的中线问题，通常要倍数延长三角形的
中线，把三角形的一边变换到与另一边和中线的两倍组成三角形，再根据三角形三边关系定理列出不等式，
然后解不等式即可．
【变式4-2】（23-24八年级·北京房山·期末）如图，在△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到
点E，使BE=BD，连接AE．（1）依题意补全图形；
（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明．
【答案】（1）见解析；（2）AE=CD，见解析
【分析】（1）直接延长CB到点E，使BE=BD即可；
（2）延长AB至点F，使得BF=AB，连接DF，可证得△ABE ≌ △FBD，则AE=FD，再通过证明
△FAD ≌ △CAD，可得到FD=CD，从而得到AE=CD即可．
【详解】（1）如图所示：
（2）如图，
判断：AE=CD
证明如下：
延长AB至点F，使得BF=AB，连接DF
在△ABE和△FBD中，
∵¿
∴△ABE ≌ △FBD
∴AE=FD
∵BF=AB
∴AF=2AB
∵AC=2AB∴AF=AC
∵AD平分∠BAC
∴∠FAD=∠CAD
在△FAD和△CAD中，
∵¿
∴△FAD ≌ △CAD
∴FD=CD
又∵AE=FD
∴AE=CD
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，主要涉及倍长中线的模型，熟记基本模型是解题关键．
【变式4-3】（23-24八年级·江西宜春·阶段练习）阅读理解：
（1）如图1，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如
下方法：延长AD到点E，使得AD=DE，再连接BE，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形
三边关系即可判断中线AD的取值范围是______．
（2）解决问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于
点F，连接EF，求证：BE+CF>EF．
（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，D是BC边上的中点，延长DA至E，使得AC=BE，求证：
∠CAD=∠BED．
【答案】（1）2EF，
△（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，
由D是BC边上的中点，
∴BD=CD，
在△ADC和△GDB中，
∵CD=BD，
∠ADC=∠GDB，
AD=GD，
∴△ACD≌△GBD（SAS），
∴AC=GB，∠DAC=∠G，
∵BE=AC，
∴BE=BG，
∴∠BED=∠G=∠CAD．
【点睛】本题考查中线加倍，三角形全等，三边关系，垂直平分线，等腰三角形，掌握中线加倍构造三角
形，用三角形全等转化等量关系，用三边关系求取值范围，用垂直平分线转化线段，用等腰三角形证角是
解题关键．【题型5 截长补短构造全等】
【例5】（23-24八年级·湖北咸宁·期中）如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，
∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
(1)求证：AE=EF；
CF
(2)连接AC，则 的值为__________；
AC
(3)连接AF，设AF与CD交于点H，连接EH，探究BE，EH，DH之间的关系．
【答案】(1)见解析
1
(2)
2
(3)EH=BE+DH，理由见解析
【分析】（1）取AB的中点M，并连接ME，通过正方形和等腰直角三角形的基本性质，证明
△AME≌△ECF，即可得出结论；
（2）连接AC后，由点M，E分别为AB，BC的中点，推出ME为△ABC的中位线，再结合全等三角形的
性质转换边长，根据中位线定理求解即可；
（3）结合（1）的结论，可得到∠EAF=45°，从而考虑运用“半角”模型，因此延长CB至点N，使得
BN=DH，连接AN，运用两次基础全等证明即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图所示，取AB的中点M，并连接ME，
∴AM=BM，
∵E是边BC的中点，
∴BE=CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AM=BM=BE=CE，
∵∠AEF=90°，∠B=90°，
∴∠MAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠MAE=∠CEB，∵BM=BE，∠B=90°
∴∠BME=45°，∠AME=135°，
∵正方形外角的平分线为CF，
∴∠ECF=90°+45°=135°，
∴∠AME=∠ECF，
在△AME和△ECF中，
¿
∴△AME≌△ECF(ASA)，
∴AE=EF；
（2）解：如图所示，连接AC，
∵点M，E分别为AB，BC的中点，
∴ME为△ABC的中位线，
∴AC=2ME，
由（1）得△AME≌△ECF，
∴ME=CF，
∴AC=2CF，
CF 1
∴ = ，
AC 2
1
故答案为： ；
2
（3）解：EH=BE+DH，理由如下：
如图所示，延长CB至点N，使得BN=DH，连接AN，
由正方形基本性质得：∠ABN=∠ADH=90°，AB=AD，∴△ABN≌△ADH(SAS)，
∴AN=AH，∠DAH=∠BAN，
由（1）知，AE=EF，且∠AEF=90°，
∴∠EAF=∠EFA=45°，
∴∠DAH+∠BAE=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠NAE=∠BAN+∠BAE=45°，即：∠NAE=∠HAE=45°，
在△NAE和△HAE中，
¿
∴△NAE≌△HAE(SAS)，
∴EN=EH，
∵EN=BE+BN，BN=DH，
∴EN=BE+DH，
∴EH=BE+DH．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理等
知识点，在证明第一小问时要合理作出辅助线，才能为后面的问题做良好的铺垫，掌握基本图形的性质，
熟练运用基本定理是解题关键．
【变式5-1】（23-24八年级·湖北十堰·期末）如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点
D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】如图，在CA上截取CN=CB, 连接DN,证明△CBD≌△CND,利用全等三角形的性质证明
BD=ND, 求解CN=9,AN=7, 再证明DN=AN, 从而可得答案．
【详解】解：如图，在CA上截取CN=CB, 连接DN,∵CD平分∠ACB,
∴∠BCD=∠NCD,
∵CD=CD,
∴△CBD≌△CND(SAS),
∴BD=ND,∠B=∠CND,CB=CN,
∵BC=9,AC=16,
∴CN=9,AN=AC-CN=7,
∵∠CND=∠NDA+∠A,
∴∠B=∠NDA+∠A,
∵∠B=2∠A,
∴∠A=∠NDA,
∴ND=NA,
∴BD=AN=7.
故选：B.
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
【变式5-2】（23-24八年级·江西景德镇·期末）如图，在 ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平
分线，求证：AE+BE=BC． △
【答案】见解析
【分析】延长BE到F，使BF=BC，连接FC，由AB=AC，∠A=100°，得到∠ABC=∠ACB=40°，由于BE平
分∠ABC，于是得到∠ABE=∠EBC=20°，通过 FCE≌△F′CE，得到EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，证得
ABE≌△F′BE，于是得到AE=EF′，于是得到结△论．
△【详解】解：如图，延长BE到F，使BF=BC，连接FC，∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=∠ACB=40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=20°，
∵BF=BC，
∴∠F=∠BCF=80°，
∴∠FCE=∠ACB=40°，
在BC上取CF′=CF，连接EF′，
在△FCE与△F′CE中，¿，
∴△FCE≌△F′CE（SAS），
∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，
∴∠BF′E=100°，
∴∠A=∠BF′E，
在△ABE与△F′BE中，¿，
∴△ABE≌△F′BE（AAS），
∴AE=EF′，
∴AE=EF，
∴AE+BE=BE+EF=BC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，作辅助线构建全等
三角形是解题的关键．
【变式5-3】（23-24八年级·四川南充·期末）(1)阅读理解：
问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．求证：DA=DC．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长BA到点N，使得BN=BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．(2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC，当∠DAC=60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数
量关系，并说明理由；
(3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为
点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）AB+BC=BD，见解析；（3）BC-AB=2CE，见解析
【分析】（1）方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，证明△ABD≌△MBD(SAS)，得出
∠A=∠BMD，AD=MD，进而得出∠C=∠CMD，则DM=DC，等量代换即可得证；方法2：延长
AB到N，使BN=BC，连接DN，证明△NBD≌△CBD(SAS)，得出∠BND=∠C，ND=CD，进而得
出∠BND=∠NAD，则DN=DA，等量代换即可得证
（2）AB，BC，BD之间的数量关系为AB+BC=BD．方法1：在BD上截取BF=AB，连接AF，由(1)
知∠BAD+∠BCD=180°，得出△ABF，△ADC为等边三角形，证明△ABC≌△AFD(SAS)，得出
DF=BC，进而即可得证；方法2：延长CB到P，使BP=BA，连接AP，由(1)知AD=CD，则△ADC，
△ABP是等边三角形，证明△PAC≌△BAD(SAS)，得出PC=BD，进而即可得证；
（3）线段AB、CE、BC之间的数量关系为BC-AB=2CE，连接BD，过点D作DF⊥AB于点F，证明
△DFA≌△DEC(AAS)，Rt△BDF≌和Rt△BDE(HL)，得出BF=BE，进而即可得证．
【详解】解：（1）方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△MBD中，
¿，∴△ABD≌△MBD(SAS)，
∴∠A=∠BMD，AD=MD，
∵∠BMD+∠CMD=180°，∠C+∠A=180°，
∴∠C=∠CMD，
∴DM=DC，
∴DA=DC；
方法2：延长AB到N，使BN=BC，连接DN，
∵BD ∠ABC
平分 ，
∴∠NBD=∠CBD，
在△NBD和△CBD中，
¿，
∴△NBD≌△CBD(SAS)，
∴∠BND=∠C，ND=CD，
∵∠NAD+∠BAD=180°，∠C+∠BAD=180°，
∴∠BND=∠NAD，
∴DN=DA，
∴DA=DC；
（2）AB，BC，BD之间的数量关系为AB+BC=BD．
方法1：理由如下：
如图2，在BD上截取BF=AB，连接AF，
由(1)知∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠DAC=180°，∵∠DAC=60°，
∴∠ABC=120°，
∴∠ABD=∠DBC=60°，
∴△ABF为等边三角形，
∴AB=AF=BF，∠BAF=60°，
∵AD=DC，
∴△ADC为等边三角形，
∴AD=AC，∠DAC=60°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴△ABC≌△AFD(SAS)，
∴DF=BC，
∴BD=BF+DF=AB+BC．
方法2：理由：延长CB到P，使BP=BA，连接AP，
由(1)知AD=CD，
∵∠DAC=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴AC=AD，∠ADC=60°，
∵∠BCD+∠BAD=180°，
∴∠ABC=360°-180°-60°=120°，
∴∠PBA=180°-∠ABC=60°，
∵BP=BA，
∴△ABP为等边三角形，
∴∠PAB=60°，AB=AP，
∵∠DAC=60°，
∴∠PAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，
即∠PAC=∠BAD，在△PAC和△BAD中，
¿，
∴△PAC≌△BAD(SAS)，
∴PC=BD，
∵PC=BP+BC=AB+BC，
∴AB+BC=BD；
（3）线段AB、CE、BC之间的数量关系为BC-AB=2CE．
连接BD，过点D作DF⊥AB于点F，
∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠FAD=180°，
∴∠FAD=∠C，
在△DFA和△DEC中，
¿，
∴△DFA≌△DEC(AAS)，
∴DF=DE，AF=CE，
在Rt△BDF和Rt△BDE中，
¿，
∴Rt△BDF≌Rt△BDE(HL)，
∴BF=BE，
∴BC=BE+CE=BA+AF+CE=BA+2CE，
∴BC-BA=2CE，
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
【题型6 补全图形构造全等】
【例6】（23-24八年级·山东泰安·期末）已知，如图ΔABC中，AB=AC，∠A=90°，∠ACB的平分线
CD交AB于点E，∠BDC=90°，
求证：CE=2BD.【答案】见解析.
【分析】延长BD交CA的延长线于F，先证得△ACE≌△ABF，得出CE=BF；再证△CBD≌△CFD，得出
BD=DF；由此得出结论即可．
【详解】证明：如图，
延长BD交CA的延长线于F，
∵∠BAC=90°
∴∠BAF=∠BAC=90° ,∠ACE+∠AEC=90°
∵∠BDC=90°
∴∠BDC=∠FDC=90°
∴∠ABF+∠BED=90°
∵∠AEC=∠BED
∴∠ACE=∠ABF
∵AB=AC
∴ΔACE≌ΔABF(ASA)
∴CE=BF
∵CD平分∠ACB
∴∠ACD=∠BCD
∵CD=CD
∴ΔCBD≌ΔCFD(ASA)
1
∴BD=FD= BF
2
1
∴BD= CE
2∴CE=2BD
【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，根据已知条件，作出辅助线是解决问题的
关键．
【变式6-1】（23-24八年级·福建漳州·期末）求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直
角边等于斜边的一半．要求：
(1)根据给出的线段AB及∠B，以线段AB为直角边，在给出的图形上用尺规作出Rt△ABC的斜边AC，使
得∠A=30°，保留作图痕迹，不写作法；
(2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）根据图形和命题的已知事项写出已知，根据命题的未知事项写出求证，再写出证明过程即可．
【详解】（1）解：如图所示，线段AC为所求作的线段；
（2）已知：如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，∠A=30°．
1
求证：BC= AC．
2
解法一：如图，在AC上截取一点D，使得CD=CB，连接DB．∵∠ABC=90°，∠A=30°，∴∠ACB=60°．
∵CD=CB，∴△BCD是等边三角形．
∴BC=CD=BD，∠CBD=60°．
∵∠ABC=90°，∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=30°．
∴∠ABD=∠A．∴DA=DB．
1
∵BC=CD=DB，∴BC= AC．
2
解法二：如图，延长CB至点D，使CB=BD，连接AD．
∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，
∴∠ABD=90°，∠ACB=60°，
∵AB=AB，BC=BD，∠ABC=∠ABD，
∴△ABC≌△ABD(SAS)．∴AC=AD．
∴△ACD是等边三角形．
∴AC=CD．
1 1
∵BC= CD，∴BC= AC．
2 2
【点睛】本题主要考查了用尺规作一个角等于已知角及命题的证明过程的书写格式，掌握相关内容是解题
的关键．
【变式6-2】（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交
BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接
BG．（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断△BEG的形状，并说明理由．
1
【答案】（1）BE＝ AD，见解析；（2）△BEG是等腰直角三角形，见解析
2
1
【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明 BAE≌△HAE，得BE＝HE＝ BH，再证明 BCH≌△ACD，
2
△ △
1
得BH＝AD，则BE＝ AD；
2
（2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于
是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明 BEG是等腰直角三角形．
1 △
【详解】证：（1）BE＝ AD，理由如下：
2
如图，延长BE、AC交于点H，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在 BAE和 HAE中，
¿，△ △
∴△BAE≌△HAE（ASA），
1
∴BE＝HE＝ BH，
2
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
在 BCH和 ACD中，
△ △¿，
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
1
∴BE＝ AD．
2
（2） BEG是等腰直角三角形，理由如下：
∵AC＝△BC，AF＝BF，
∴CF⊥AB，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
1
∴∠GAB＝ ∠CAB＝22.5°，
2
∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，
∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，
∵∠BEG＝90°，
∴∠EBG＝∠EGB＝45°，
∴EG＝EB，
∴△BEG是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基
本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键．
【变式6-3】（23-24·北京海淀·八年级期末）在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到
线段CD，旋转角为α，且0∘<α<180∘，连接AD、BD．
（1）如图1，当∠BAC=100°，α=60∘时，∠CBD 的大小为_________；
（2）如图2，当∠BAC=100°，α=20∘时，求∠CBD的大小；（3）已知∠BAC的大小为m（60∘
