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专题01 旋转中的三种全等模型之手拉手、半角、对角互补模型
本专题重点分析旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中
的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高
数学的综合解题能力。
.........................................................................................................................................1
模型来源.............................................................................................................................................................1
真题现模型.........................................................................................................................................................2
提炼模型.............................................................................................................................................................6
模型运用...........................................................................................................................................................11
模型1.旋转中的手拉手模型.........................................................................................................................11
模型2.旋转中的半角模型.............................................................................................................................17
模型3.旋转中的对角互补模型.....................................................................................................................24
..................................................................................................................................................28
首先阿基米德则通过物体旋转时的力学规律研究，为旋转几何提供物理背景；随着引入坐标系描述旋
转后点的位置变化，并深入研究旋转对称性，推动旋转问题的量化分析；直到近代大三 核心旋转模型逐渐
的形成。这一方法从早期经验认知，历经阿拉伯数学家的理论发展，至近现代形成系统模型，最终成为几
何证明的标准化工具。
手拉手模型 ：公共顶点旋转使两三角形完全重合，基于SAS全等准则，用于证明线段或角的等量关系。
半角模型 ：90°含45°、120°含60°等特殊旋转，通过截长补短构造全等三角形，解决角度和线段问题。
对角互补模型：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰 中， ， ，点 ， 分别在 ，
上， ，连接 ， ，取 中点 ，连接 ．
(1)求证： ， ；(2)将 绕点 顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出 与 的位置关系：___________________；②求证： ．
【答案】(1)见解析(2)① ；②见解析
【详解】（1）证明：在 和 中， ， ， ，
， ， ． 是 斜边 的中点，
， ， ， ． ，
， ． ；
（2）解：① ；理由如下：延长 到点 ，使 ，连接 ，延长 到 ，使 ，
连接 并延长交 于点 ． ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， ．
， ．在 和 中， ， ， ，， ． 是 中点， 是 中点， 是 中位线，
． ， ， ．
， ．故答案为： ；
②证明： ∵ ， ， ， ．
（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知 是等腰三角形， ， ，
在 的内部，点M、N在 上，点M在点N的左侧，探究线段 之间的数量关系．
（1）如图①，当 时，探究如下：由 ， 可知，将 绕点A顺时针旋转
，得到 ，则 且 ，连接 ，易证 ，可得 ，在
中， ，则有 ．
（2）当 时，如图②：当 时，如图③，分别写出线段 之间的数量关
系，并选择图②或图③进行证明．
【答案】图②的结论是： ；图③的结论是： ；证
明见解析
【详解】解：图②的结论是：
证明：∵ ∴ 是等边三角形，∴ ，
以点B为顶点在 外作 ，在 上截取 ，连接 ，过点Q作 ，
垂足为H， ， ， ，
又 即
又 ， ， ；∵ ∴ ，∴
， ∴ ，在 中,可得： 即
整理得
图③的结论是：
证明：以点B为顶点在 外作 ，在 上截取 ，连接 ，过点Q作
，垂足为H ， ， ，
又 即
又 ， ， 在 中， ，
， ； ，
在 中,可得： 即
整理得
（2022·辽宁朝阳·中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB
＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．(1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝
180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明 ADE≌ ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的
证明过程．(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想
BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝
90°，AB＝AD＝ ，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的
长．
【答案】(1)AC=BC+CD；理由见详解；(2)CB+CD= AC；理由见详解；(3) 或
【详解】（1）证明：如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．
∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠B+∠ADC=180°，∵∠ADE+∠ADC=180°∴∠B=∠ADE，
在 ADE和 ABC中， ，∴△ADE≌△ABC（SAS），∴∠DAE=∠BAC，AE=AC，
△ △
∴∠CAE=∠BAD=60°，∴△ACE的等边三角形，∴CE=AC，∵CE=DE+CD，∴AC=BC+CD；
（2）解：结论：CB+CD= AC．
理由：如图2中，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥CB交CB的延长线于点N．
∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠CDA+∠CBA=180°，∵∠ABN+∠ABC=180°，∴∠D=∠ABN，
∵∠AMD=∠N=90°，AD=AB，∴△AMD≌△ANB（AAS），∴DM=BN，AM=AN，
∵AM⊥CD，AN⊥CN，∴∠ACD=∠ACB=45°，∴AC= CM，
∵AC=AC．AM=AN，∴Rt ACM≌Rt ACN（HL），∴CM=CN，∴CB+CD=CN BN+CM+DM=2CM= AC；
△ △
（3）解：如图3-1中，当∠CDA=75°时，过点O作OP⊥CB于点P，CQ⊥CD于点Q．∵∠CDA=75°，∠ADB=45°，∴∠CDB=30°，∵∠DCB=90°，∴CD= CB，
∵∠DCO=∠BCO=45°，OP⊥CB，OQ⊥CD，∴OP=OQ，∴ ，∴ ，
∵AB=AD= ，∠DAB=90°，∴BD= AD=2 ，∴OD= ．
如图3-2中，当∠CBD=75°时，同法可证 ， ，
综上所述，满足条件的OD的长为 或 ．
1）手拉手模型
条件：如图1， ABC和 DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。(双等边型）
结论：①△ACD△ ≌△BCE；△②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
证明： ∵ ABC和 DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°
∴∠BCA+∠△ACE=∠△ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
图1 图2 图3 图4
条件：如图2， ABC和 DCE为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。（双等腰直角
型） △ △结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。
证明： ∵ ABC和 DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°
∴∠BCA+∠△ACE=∠△ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
条件：如图3，BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。（双等腰型）
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。
证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。（双正方形型 ）
结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。
证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°
∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°，
过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP
（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
2）半角模型
条件：如图1，四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；（正方形型）
结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④ AEF的周长=2AB；
⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG，
∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG；
∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。
∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°，
∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF，
∴ AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°，
∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE，
∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。图1 图2
条件：如图2， ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；（等腰直角型）
结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；
证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG，
∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG；
∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，
∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2；
条件：如图3， ABC是等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；（等边型120-60）
结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④ AEF的周长=2AB；
⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。
证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG，
∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG；
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF，
∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF，
∴ AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB，
过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°，
∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF，
∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BFD=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。
图3 图4 图5
条件：如图4， ABC是等边三角形，∠EAD=30°；（等边型60-30）
结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝( BD＋EC)2+ ；证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF，
∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF；
∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°，
过点F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH= CF= BD，FH= CF= BD，
∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝( BD＋EC)2+( BD)2；
条件：如图5，∠BAC= ，AB=AC，∠DAE= ；（任意型）
结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°- 。
证明：将△ABD绕点A逆时针 °至△ACF，即△BAD≌△CAF，
∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°- ，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°- 。
∵∠BAC= ，∠DAE= ，∴∠BAD+∠EAC= ，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE= ，∴∠DAE=∠FAE= ，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。
3）对角互补模型
（1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝ OC，③ .
证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，
根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON，
又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON= OC，
∵△MCD≌△NCE，∴S =S ，∴
△MCD △NCE
（2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）
条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
[来源:学科网ZXXK]
结论：①CD＝CE，②OE－OD＝ OC，③ .
证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，
∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON= OC，
∵△MCD≌△NCE，∴S =S ， .
△MCD △NCE
（3）“等边三角形对120°模型”（1）
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③ .
证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，
∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，
∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM= OC，NC=MC= OC。
又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC，
△MCD≌△NCE，∴S =S ，∴ 。
△MCD △NCE
∵
4）“等边三角形对120°模型”（2）
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D，
结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③ .
证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60°
∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，
∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM= OC，NC=MC= OC。
又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC，
∵△MCD≌△NCE，∴S =S ，∴
△MCD △NCE
。
5）“120°等腰三角形对60°模型”条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。 结论：PB+PC= PA；
证明：将△PAC绕点A顺时针旋转120°至△QAB，即△PAC≌△QAB，
∴∠ACP=∠ABQ，∠CAP=∠BAQ，AP＝AQ，PC＝QB；
∵∠BAC=120°，∠BPC=60°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ABQ+∠ABP=180°，故P、B、Q共线。
又∵∠BPC=60°，PA平分∠BPC，∴∠APQ=60°，∵AP＝AQ，∴∠AQP=60°，
根据勾股定理易证：PQ= PA，又∵PQ=PB+QB=PB+PC，∴PB+PC= PA。
模型1.旋转中的手拉手模型
例1（24-25八年级上·浙江杭州·期中）定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，
那么称此图形为“手拉手全等模型”．例如，如图①， 与 都是等腰三角形，其中
，则 ．
(1)如图②， 与 都是等腰三角形， ， ，且 ，求证： ．
(2)如图③若 和 均为等腰直角三角形， ，点A，D，E在同一条直线上，
为 中 上的高，连接 ，求 的度数以及线段 ， ， 之间的数量关系，并说
明理由．(3)如图④，在四边形 中， ， ， ，求 的长．【答案】(1)见解析(2) ， ，理由见解析(3)
【详解】（1）证明： ， ，即 ，
， ， ， ；
（2）解： ， ；理由如下：设 交 于 ，如图：
， ，即 ，
， ， ， ， ，
， ，
，即 ； 为等腰直角 中 边上的高， ，
， ；
（3）解：作 ，且 ，连接 ， ，如图，
， ， ，
，即 ，
， ， ， ，
， ，在 中， ， ，
， ， ．
例2（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在
相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的
腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．
【模型探究】（1）如图1，若 和 均为等边三角形， ， ，
， ，点A、D、E在同一条直线上，连接 ，
则 __________；线段 __________；则 的度数为__________；
【探究证明】（2）如图2，已知 ，分别以 为直角边向 两侧作等腰直角 和等腰直角 ，其中 ， ， ，连接 ，线段 和 交于点O．
请判断线段 和 的关系，并说明理由；
【模型应用】（3）如图3，在 中， ， ，将线段 绕着点C逆时针旋转 至
线段 ，连接 ，则 的面积为____________________．
【拓展提高】（4）如图4，在 中， ， ，点E为 外一点，点D为 中
点， ， ，请直接写出 的度数．
【答案】（1） ， ， （2） ， ，理由见解析（3） （4） ．
【详解】（1）解：∵ 和 均为等边三角形，
∴ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ，
，
又 ，∴ ；故答案为： ， ， ；
（2）解： ， ；理由如下：∵ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ， ，又 ，∴ ，∴ ， ；
（3）解：如图所示，作 交 于E点，连接 ，
∵ ，∴ 为等腰直角三角形，∴ ， ， ，
由旋转的性质可知， ， ，∴ ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，
∴ 的面积为 ，故答案为： ；
（4）解：设 ，作 ，使 ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，
连接 并延长至点 ，使 ，连接 ， ， ，
∵ ， ，∴ ，∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，∵ ， ，∴ ，∴
，∵ ， ，∴ 是线段 的垂直平分线，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ．
例3（23-24八年级下·山东青岛·期中）【模型定义】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在
相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三
角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．【模型探究】（1）如图1，若 和 均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接 ，
易证 ，则 的度数为 ；
【模型应用】（2）如图2，P为等边 内一点，且 ，以 为边构造等边 ，
这样就有两个等边三角形共顶点B，然后连接 的度数是 ；如果 ，则 ；
（3）如图3，点P是等腰直角 中内一点， ，且 ， ，以 为直
角边构造等腰直角 ，点C为直角顶点，则 的度数是是 ； 的长为是 ；
【深化模型】（4）如图4，C为线段 上一动点（不与A、E重合），在 同侧分别作等边 和等
边 ， 与 交于点O， 与 交于点P， 与 交于点Q，连接 ，以下五个结论：①
；② ；③ ；④ ；⑤ ⑥ 平分 ，恒成立的结论有
．
【拓展提高】（5）如图5，在 中， ， ， 若点 是 内一点，则
的最小值为 ．
（6）如图6， ， ，则BD的长为 ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ， ；（4）①②③⑤；（5） ；（6）
【详解】解：（1）∵ 和 均为等边三角形，∴ ．∴ ．
在 和 中， ，∴ ．∴ ．，
∵ 为等边三角形，∴ ．
∵点A，D，E在同一直线上，∴ ．∴ ．
∴ ．故答案为： ．
（2）∵ 与 都是等边三角形，∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ 是直角三角形，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，且 ，∴ ∴
作 交 于点 ∵ 是等边三角形，∴
∴ ∴
∴ ；故答案为： ；
（3）如图，连接 ，∵ ，∴ ，在 与 中， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，
∴ ，∴点P，点B，点D共线，
∵ ，∴ ，∴ ，故答案为： ，
；
（4）解：∵ 和 是等边三角形，∴ ，
∴ ，即 ．
在 和 中， ，∴ ，∴ ，故①正确；
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴
，
在 与 中， ，∴ ，∴ ，故③正确；
∵ ，∴ 是等边三角形，∴ ，
∴ ，∴ ，故②正确；没有条件证出 ，④错误；
∵ ，∴ ，∴ ，
∴结论⑤正确．过点C作 于H， 于G，∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ 平分 ，故⑥错误，符合题意；综上所述，正确的结论有①②③⑤，．
（5）解：以点A为旋转中心，顺时针旋转 到 ，旋转角是 ，连接 、PP′，如图所示，
则 ，∴ 是等边三角形，∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ 的最小值就是 的值，即 的最小值就是 的值，
∵ ，∴ ，
又 ∴ ，∴ ，故答案为： ．
（6）过点A作 ，且 ，连接 ，如图所示：
则 是等腰直角三角形， ，∴ ，
∵ ，∴ ，在 中， ，
∵ ，∴ ，∵ ，即
，
在 和 中， ，∴ ，∴ ．故答案为：
模型2.旋转中的半角模型
例1（2025·江苏·二模）【模型建立】如图1，四边形 是正方形，点M，N分别在边 上，且
，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图1，
将 绕点A顺时针旋转 ，点D与点B重合，得到 ，连接 ．
（1）试判断 之间的数量关系，并写出证明过程；
【模型应用】（2）如图2，点M，N分别在正方形 的边 的延长线上， ，连接
，请写出 之间的数量关系，并写出证明过程；
【模型迁移】（3）如图3，在四边形 中， ， ， ，点N，M分
别在边 上， ，请直接写出线段 之间的数量关系．【答案】（1） ，证明见解析；（2） ，证明见解析；（3）
．
【详解】解：（1） ．证明如下：
由旋转的性质，得 ， ， ， ，∴点E，B，C共线．
∵ ，∴ ．
在 和 中 ∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ．
（2） ，证明如下：如图1，在 上取 ，连接 ．
∵ ， ，∴ ，∴ ， ．
∴ ，
∵ ，∴ ．
在 和 中 ∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ．
（3）如图2，将 绕点A逆时针旋转 得 ，∴ ， ， ，
∵ ，∴ ，∴点E，D，C共线．
由（1）同理可得 ，∴ ，∵ ，∴ ．例2（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）【问题显现】某同学在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：
如图①，点E、F分别是正方形 的 边上的动点，连接 和 ， ．若
．试求 的长度．
【问题解决】该同学的思路是：如图②，将 绕点A逆时针旋转 ，可以得出 和 全等，
然后再证明 ，从而得到 ．请你帮助该同学完成余下的解题过程．
是 绕点A逆时针旋转 得到的，
．
四边形 是正方形， ．……
【方法应用】如图③， 中， ．点D、E在边 上，且 ．若
， ，则线段 的长为__________．
【拓展提升】如图④，在 中， ． 于点D．若 ，则 的面积
为__________．
【答案】[问题解决]5；[方法应用] ；[拓展提升]15
【详解】[问题解决]：解：∵四边形 是正方形，∴ ，将 绕点A逆时针旋转 ，得 ，则 ，
∴ ，∴ 、D、F在同一直线上，
∵正方形 中， ， ，∴ ，
∴ 又∵ ∴ ，
∴ ，∴ ；
[方法应用]解：∵ ，∴ ，
∴将 绕点C逆时针旋转 ，得 ，连接 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
在 和 中 ∴ ，∴ ，
在 中，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，故答案为： ；
[拓展提升]解：∵ ，∴ ，
如图， 绕点A逆时针旋转 ，得 ，延长 ，交于点E，连接 ，
由旋转可得， ，∴
，
∴四边形 为矩形，∵ ，∴四边形 为正方形，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
又∵ ∴ ，∴在 和 中 ∴ ∴ ，
设 ，则 在 中，
∴ 解得 （舍去），∴ ，∴ 的面积
．
例3（2025·广东深圳·三模）【综合与实践】【问题背景】阅读以下材料，并按要求解决问题：
从正方形的一个顶点引出夹角为 的两条射线，与正方形两个边的交点构成的基本平面几何模型称为半
角模型．半角模型可以利用旋转得出多个几何结论，例如：
如图1，在正方形 中，以 为顶点的 与 边分别交于 两点，若
（ 为常数）．易证： ，则可以得到 ，之间的数量关系
是： ．
证明：如图2，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，由 可得 三点共线，
，可证明 ，故 ，进而得到 ．
【方法转化】若把背景中正方形换成特殊顶角的等腰三角形，同学们可以利用上述问题背景得到多个结论．
【问题解决】在半角模型中可以利用旋转的方法解决问题．（1）如图3，在等腰 中，以 为顶点
的 ， 、 与 边分别交于 、E两点，将 绕点 逆时针旋转 ，如图4，得到
，易证 ，则可以得到 之间的数量关系．
①若 ，则可得 ___________
②若 ， ， ，则a，b，c之间的数量关系是：___________
（2）如图5，在等边 中，以 为顶点的 ， 、 与 边分别交于 、 两点．若
，则 之间的数量关系是：___________（3）如图6，在等腰 中，顶角 ，以 为顶点的 ， 与 边分别交
于 、 两点，则可以得到 之间的数量关系．①若 ，则可得
___________
②若 ， ， ，则a，b，c之间的数量关系是：___________
【实践应用】（4）在第（3）问第①小问基础上，把 绕点 逆时针旋转 得 ，如图7，如
果线段 与边 交于点G，则线段 ___________
【答案】（1） 5； ；（2） ；（3） ； ；（4）
① ② ① ②
【详解】（1）①∵将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，等腰 ，
∴ ， , ,∴ ∴
∵ ∴ 故答案为：5；
②同①可知 ，故答案为： ；
（2）将 绕点 逆时针旋 ，如图，得到 ，连接 ，作 交 延长线于G，
∴ ， ，
∵ ∴ ∴ ，
∵ ，∴ ， ，由勾股定理可得
∴ 整理得 故答案为： ；（3）①将 绕点 逆时针旋转 ，如图，得到 ，连接 ，作 交 于G，
∴ ， ，
∵ ∴ ∴ ，
∵ ，∴ ， ，∴
由勾股定理可得 ∴ 故答案为： ；
②同①可得 ， ， ， ，
∵ ∴ 整理得 故答案为： ；
（4）如图，作 交 于M， 交 于N， 交 于H，
由（3）可知， ，由题意可知 ，
∴ ， ， ∴ ，解得
例4（24-25九年级上·广东韶关·期中）【阅读理解】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，
且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构
成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题，
【初步探究如图1，在正方形 中，点 分别在边 上，连接 ．若 ，将
绕点 顺时针旋转 ，点 与点 重合，得到 ．易证： ．
（1）根据以上信息，填空：① _______°；②线段 之间满足的数量关系为_______；
【迁移探究】（2）如图2，在正方形 中，若点 在射线 上，点 在射线 上， ，
猜想线段 之间的数量关系，请证明你的结论；
【拓展探索】（3）如图3，已知正方形 的边长为 ，连接 分别交 于点，若点 恰好为线段 的三等分点，且 ，求线段 的长．
【答案】（1）①45；② ；（2） ．证明见解析；（3）
【详解】解：（1）∵四边形 是正方形，∴ ， ，
将 绕点 顺时针旋转 ，点 与点 重合，得到 ．
则 ， ， ， ，∴G、B、E共线，
，∴ ，
在 和 中， ， ， ，
，∴ ，故答案为：①45 ；② ；
（2）解： ．
证明如下：如图2，在 上截取 ，连接 ，
在 和 中， ， ， ，
，即 ，
， ，在 和 中， ，
， ， ，∴ ，（3）将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，
∵四边形 是正方形， ， ，
，
由旋转可得， ， ，
， ，
又 ， ， ，
设 ，则 ，在 中， ，
，解得 ， ．
模型3.旋转中的对角互补模型
例1（24-25八年级上·河北邯郸·期中）【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法：如图1，
是一个任意角，在边 ， 上分别取 ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 ，
重合，即 ．过角尺顶点 的射线 便是 的平分线，已知角尺的夹角 ．
【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理；
【变式判断】张明同学认为当 时，工人师傅就不需要先在边 ， 上分别取 ，直
接移动角尺，使角尺的两边分别与 ， 相交于点 ， ，且满足 ，如图2所示，便可以得
到 平分 ，你觉得张明的观点对吗？并说明理由；
【拓展探究】如图3， ， 平分 ， 是射线 上的一点，点 在射线 上运动，过
点 作 ，与直线 交于点 ，过点 作 于点 .若 ， ，请直接写出 的
长．
【答案】[初步思考]见解析；[变式判断]正确，见解析；[拓展探究]5或7【详解】[初步思考]，解：在 和 中 ，
，即 平分 ；
[变式判断]，解：张明的观点正确，理由如下，过点 作 于点 ，作 于点 ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ， ∴ ，∵ ∴ ，∴ ,
∵ ， ，∴ 平分 ，∴张明的观点正确；
[拓展探究]解：当点D在点O右侧时，过点P作 于点F，如图
∵ ， 平分 ，∴ ， ，同上可得，
，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ；
当点D在点O左侧时，过点P作 于点F，如图
∵ ， 平分 ，∴ ， ，同上可得，
，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，综上： 长为5或7．
例2（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如果问题中有“ ， ”角度出现，
一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考察．
(1)【问题解决】如图①， ， 平分 ，小明同学从P点分别向 ， 作垂
线 ， ，由此得到正方形 ，与 全等的三角形是________；
(2)【问题探究】如图②，若 ， ， 平分 ， ， ，求 的
长；
(3)【拓展延伸】如图③，点P是正方形 外一点， ， ，对角线 ， 交
于点O，连接 ，且 ，求正方形 的面积．
【答案】(1) (2)3(3)16
【详解】（1）解： ， ，且 平分 ，
， ， 四边形 是正方形， ，
， ， ，
在 和 中， ， ；故答案为： ．
（2）如图，过点P作 于M， 于N，如图：
平分 ， ． ， ． ．
在四边形 中， ，且 ， ，． ， ．
又 ． ．
， ，设 ，则 ， ．
，解得， ． ．
在 中， ， ， ．
（3）如图，延长 到 ，使 ，连接 ．如图：
在四边形 中， ，且 ．
四边形 是正方形， ， ． ．
又 ， ． ． ，
． ， ．
是等腰直角三角形．由勾股定理， ．
在 中， ，设 ，由勾股定理， ，
． ．
． ． ．
例3（2024湖南一模）如图，已知 ，在 的角平分线 上有一点 ，将一个 角的
顶点与点 重合，它的两条边分别与射线 相交于点 .
（1）如图1，当 绕点 旋转到 与 垂直时，请猜想 与 的数量关系，并说明理由；
（2）当 绕点 旋转到 与 不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理
由；（3）如图3，当 绕点 旋转到点 位于 的反向延长线上时，求线段 与 之间又有怎
样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.
【答案】（1） ，见解析；（2）结论仍然成立，见解析；（3）
【详解】解：（1） 是 的角平分线
在 中， ，同理：
（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点 作 于 ， 于
由（1）知，
，且点 是 的平分线 上一点
（3）结论为： .理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°，
∵∠AOB＝60°，∴∠FCG＝120°，同（1）的方法得，OF＝ OC，OG＝ OC，∴OF＋OG＝ OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，
∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，∴∠DCF＝∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，∴DF＝EG，∴OF＝DF−OD＝EG−OD，OG＝OE−EG，
∴OF＋OG＝EG−OD＋OE−EG＝OE−OD，∴OE−OD＝ OC．1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在 中， ，点D，E都在边 上，
．若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：将 绕点A逆时针旋转 得到 ，取 的中点G，连接 、 ，如图所示：
过点A作 于点N，如图，∵ ， ，∴ ， ．
在 中， ， ，∴ ，
∴ ，∴ ．∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ 为等边三角形，∴ ，
∴ ，∴ 为直角三角形．
∵ ，∴ ，∴ ．
在 和 中， ，∴ ，∴ ．设 ，则 ，
在 中， ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，故选：B．
2．（2025·四川凉山·中考真题）如图， ，点E在 上， ，
则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵ ，∴ ，即 ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ；
如图所示，设 交于O，
∵ ， ， ，∴
，
∵ ， ，∴ ，
故选：C．
3．（2023·宁夏·中考真题）如图，在 中， ， ， ．点 在 上，且
．连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ， ．则 的面
积是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵ ， ，∴ ， ，
∵将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，∴ ， ，∴
，在 和 中， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ 的面积等于 ；故选B．
4．（24-25八年级上·山东东营·期中）如图，P是 平分线上一点， ， ，在绕点P
旋转的过程中始终保持 不变，其两边和 ， 分别相交于M，N，下列结论：① 是
等边三角形；② ；③ 的值不变；④四边形 面积随着点M、N的位置的变化而变化．
其中正确结论的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C【详解】解：作 于E， 于F，如图所示： ， ，
， ， ，
平分 ， 于E， 于F，
， ，∴ ，
在 和 中， ， ， ，
在 和 中， ， ， ， ，
，
， 是等边三角形，故 正确；
， 定值，故 错误；
，故②正确；
M，N的位置变化， 的长度是变化的，故③错误；综上所述：正确的结论是①②．故选：C．
5．（2023·湖北·中考真题）如图， 和 都是等腰直角三角形，
，点 在 内， ，连接 交 于点 交 于点 ，连
接 ．给出下面四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中所
有正确结论的序号是 ．【答案】①③④
【详解】解：∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，故①正确；∴ ，
∴ ， ，故③正确；
∵ ， ， ，
∴ ， ；故②错误；∴ ，
∵ ，∴四边形 是平行四边形，∴ ，故④正确；故答案为①③④．
6．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，以 的边 、 为腰分别向外作等腰直角 、 ，
连结 、 、 ，过点 的直线 分别交线段 、 于点 、 ，以下说法：①当
时， ；② ；③若 ， ， ，则 ；④当直线 时，点
为线段 的中点．正确的有 ．(填序号)
【答案】①②④
【详解】解：①当 时， 是等边三角形，∴ ∴
∵等腰直角 、 ，∴ ∴∴ ；故①正确；
②∵等腰直角 、 ，∴ ，
∴ ∴ ∴ ；故②正确；
④如图所示，作直线 于点 ， 过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∵ ， ∴ ，又 ，∴
又∵ ，∴ 同理得， ，
∴ ， ， ，
∵ ， ，，∴ ，
∴ ，即 是 的中点，故④正确，∴ ，
设 ，则 在 中，
在 中， ∴
∴ 解得： ∴ ，∴ ，
∴ ∴
在 中， ∴ ,故③错误
故答案为：①②④．
7．（2024·河南周口·模拟预测）综合与实践课上，李老师与学生一起探究了如下与“中点”有关的问题．(1)如图1，在 中， ， ，D是 的中点，E，F分别在 上，且
，连接 ．若 ，则 ______
(2)如图2，在 中， ，D是 的中点．E，F分别在 上，连接 ．当
，请写出线段 之间的数量关系，并证明．
(3)如图3，在 中， ， ，D是 的中点．E为直线 上一动点，连接
．过点D作 ，交直线 于点F．请直接写出当 时线段 的长．
【答案】(1) (2) ，证明见解析(3)
【详解】（1）解：如图，连接 ，
， ，D是 的中点 ，
， ， ，
， ， ， ，
又 ， ， ，故答案为： ；
（2）解： ，证明：如图，延长 到点G，使 ，连接 ， ，
， ， 垂直平分 ， ；
D是 的中点， ，在 和 中， ，
， ， ，
， ， ，是直角三角形， ， ；
（3）解：如图，延长 到点G，使 ，连接 ， ， ，
， ， 垂直平分 ， ，
D是 的中点， ，在 和 中，
， ， ， ，
， ， ，
是直角三角形， ，
， ， ，
在 中， ， ， ，
设 ，则 ， ， ，
，解得 ， ．
8．（23-24广东八年级期末）提出问题：如图1，已知OC平分∠AOB，点D、E分别在OA，OB上．若
∠ODC＝∠OEC＝90°，求证：CD＝CE．
思路梳理：(1)请根据思路梳理的过程填空．
证法1：由OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC，OC＝OC，可得 ≌ ，则CD＝CE．
证法2：由OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC＝90°，则CD＝CE，其理论依据是 ．
类比探究：(2)如图2，已知OC平分∠AOB，点D、E分别在OA，OB上．若∠ODC＋∠OEC＝180°，求证：
CD＝CE．
拓展迁移：(3)如图3，已知OC平分∠AOB，点D在OA的反向延长线上，点E在OB上，且∠ODC＝
∠OEC，若OC＝4，CE＝5，点C到OB的距离是3，则OD＋OE的值是 ．（直接写出结果，不
说明理由）
【答案】(1) ；角平分线上的点到角的两边距离相等(2)证明见解析(3)【解析】（1）证法1：如图1中，∵OC平分∠AOB，∴∠COD＝∠COE，
在△COD和△COE中， ，∴△COD≌△COE（AAS），∴CD＝CE．
故答案为：△COD，△COE；
证法2：∵OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC＝90°，∴CD＝CE（角平分线上的点到角的两边距离相等），
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等；
（2）证明：如图2，过点C作CQ⊥OA于点Q，CP⊥OB于点P，
∵∠ODC+∠OEC＝180°，∴∠DOE+∠DCE＝180°
∵∠OQC＝∠EPC＝90°，∴∠AOB+∠PCQ＝180°，∴∠PCQ＝∠DCE，∴∠DCQ＝∠ECP，
∵点C是∠AOB的平分线上，且CQ⊥OA，CP⊥OB，∴CQ＝CP，
∵∠OQC＝∠EPC＝90°，∴△CQD≌△CPE（ASA），∴CD＝CE；
（3）解：如图3，过点C作CQ⊥OA于点Q，CP⊥OB于点P，
∴∠OQC＝∠EPC＝90°，∴∠AOB+∠PCQ＝180°，∵∠ODC＝∠CEO，∴∠DOE＝∠DCE，
∵∠DOE+∠AOB＝180°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠PCQ＝∠DCE，∴∠DCQ＝∠ECP，
∵点C是∠AOB的平分线上，且CQ⊥OA，CP⊥OB，∴CQ＝CP，
∵∠OQC＝∠EPC＝90°，∴△CQD≌△CPE（ASA），∴DQ＝PE，
∵OD＝DQ﹣OQ，OE＝OP+PE，∴OE+OD＝OP+PE+（DQ﹣OQ）＝PE+DQ＝2PE，
∵EC＝5，CP＝3，∴PE＝ ，∴OE+OD＝8．故答案为：8．
9．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，
， 平分 ，求证： ．
①如图2，小强同学从角平分线性质的角度出发给出如下解题思路：过点C分别作 ， ，
垂足分别为M，N．以此来证明阴影部分的三角形全等得到 ．②如图3，小颖同学从平分 的条件出发给出另一种解题思路：过C作 ，交 于点F．以此来
证明阴影部分的三角形全等得到 ．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】 （2）张老师发现两名同学都运用了作垂线的方法造的全等三角形，为了帮助学生更好地感
悟，张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．如图4， ， 平分
，求证： ．
【学以致用】（3）如图5，在 中， ， ，D是 边的中点， ，
与 边相交于点E， 与 边相交于点F．请直接写出线段 ， 和 的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【详解】（1）①选择小强同学，证明：如图2，过点 作 于 ， 于 ，
平分 ， ， ， ，
， ，
在 与 中 ， ， ；
②选择小颖同学，证明：如图3，过点 作 ，交 于点 ，则 ，
， 平分 ， ，且 ，， ， ， ，
在 和 中， ， ， ．
（2）如图，过点 作 ， ，垂足分别为 ， ，
，又 平分 ， ，
， ，
在四边形 中， ，
又 ， ，
又 ， ，且 ， ，
， ；
（3）取 中点 ，连接 ，
点 、 分别是 、 边上的中点， ，
是等边三角形， ，
， ，
， ， ，
，
10．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在 中， ，点 在 边上，连接 ，将
绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ．(1)求证： ；(2)若 时，求 的
长；
(3)点 在 上运动时，试探究 的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存
在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2) (3)存在，
【详解】（1）解：由题意，可知 ， ， ．
．即 ． ．
（2） 在 中， ， ．
．
， ， ． ．
． 在 中， ．
（3）由（2）可知， ．
当 最小时，有 的值最小，此时 ．
为等腰直角三角形， ． ．
即 的最小值为 ．
11．（2023·江苏南通·中考真题）正方形 中，点 在边 ， 上运动（不与正方形顶点重合）．
作射线 ，将射线 绕点 逆时针旋转45°，交射线 于点 ．
(1)如图，点 在边 上， ，则图中与线段 相等的线段是___________；
(2)过点 作 ，垂足为 ，连接 ，求 的度数；(3)在（2）的条件下，当点 在边 延长线上且 时，求 的值．
【答案】(1) (2) 的度数为 或 (3)
【分析】（1）根据正方形的性质和已知条件得到 ，即可得到答案；
（2）当点 在边 上时，过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，证明
，得到 ，推出 为等腰直角三角形，得到答案；
当点 在边 上时，过点 作 ，垂足为 ，延长 交 延长线于点 ，则四边形
是矩形，同理得到 ，得到 为等腰直角三角形得到答案；
（3）由平行的性质得到分线段成比例 ．
【详解】（1） ． 正方形 ， ，
， ， ．
（2）解：①当点 在边 上时（如图），过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ．
，四边形 是矩形． ．
， ， ， 为等腰直角三角形， ．
． ． ． ， ．
为等腰直角三角形， ． ．
②当点 在边 上时（如图），过点 作 ，垂足为 ，延长 交 延长线于点 ，则四边
形 是矩形，同理， ． ．
为等腰直角三角形， ． ．综上， 的度数为45°或
135°．
（3）解：当点 在边 延长线上时，点 在边 上（如图），
设 ，则 ． ． ．， ．
12．（2022·贵州黔西·中考真题）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与
点B，C重合），且 ．
(1)当 时，求证： ；(2)猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图2，连接AC，G是CB延长线上一点， ，垂足为K，交AC于点H且 ．若
， ，请用含a，b的代数式表示EF的长．
【答案】(1)见解析(2) ，见解析(3)
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴ ， ．
在 和 中 ，∴ ，∴ ；
（2）解：BE，EF，DF存在的数量关系为 ．
理由如下：延长CB至M，使 ，连接AM，则 ．
在 和 中 ，∴ ，∴ ， ．
∵ ，∴ ．∴∠MAE=∠FAE，
在 和 中 ，∴ ，∴EM=EF，
∵EM=BE+BM，∴ ；（3）解：过点H作 于点N，则 ．
∵ ，∴ ，∴ ．
在 和 中 ，∴ ，∴ ．
∵ ， ，∴ ，由（2）知， ．
13．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角
顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现：如图1，若 和 是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证： ；
(2)解决问题：如图2，若 和 均为等腰直角三角形， ，点A，D，E在同
一条直线上，CM为 中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的
数量关系并说明理由.
图1 图2
【答案】(1)见解析(2) ；
【详解】（1）证明：∵ 和 是顶角相等的等腰三角形，
∴ ， ， ，∴ ，∴ ．在 和 中， ，∴ ，∴ ．
（2）解： ， ，理由如下：由（1）的方法得， ，
∴ ， ，∵ 是等腰直角三角形，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ．
∵ ， ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．∴ ．
14．（24-25九年级上·山东济宁·期中）半角模型探究：如图，正方形 的边长为3，E、F分别是 、
边上的点，且 ．将 绕点D逆时针旋转 ，得到 ．
(1)求证： ；(2)当 时，求 的长．(3)探究延伸：如图，在四边形 中， ，
， ．E、F分别是边 、 上的点，且 ．求 的周长．
【答案】(1)见详解(2) (3)8
【详解】（1）证明： 逆时针旋转 得到 ， ， ，
、 、 三点共线， ， ， ， ，
，
在 和 中， ， ， ， ；
（2）解：设 ， ， ， ，
， ，
在 中，由勾股定理得， 即 ，解得 ，则 ．∴ ；
（3）解：如图②，将 绕点 顺时针旋转角度为 的度数，得到 ，
由旋转可得， ， ， ， ，
， ， ，
， 点 、 、 三点共线，
在 和 中， ， ， ，
， ；∵ ∴
则 ∴ ∴ 则 的周长为 ．
15．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）问题探究：如图1，在 中， ， ，
D、E在 上， ，为了探究 、 、 之间的等量关系，现将 绕A顺时针旋转
得 ，连接 ，经探究，得到的 、 、 之间的等量关系是 ；
问题迁移：如图2，在 中， ， ，D、E在线段 上， ，若
，求 的度数．
问题拓展：如图3，直线上从左至右依次有B，E，C，D四点，且 ，以 为边作等边 ，
若 ， ，则 的长是 ．【答案】问题探究： ；问题迁移： ；问题拓展：
【详解】解：问题探究： ，
理由：将 绕A顺时针旋转 得 ，连接 ，
∴ ，∴ ， ， ， ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
又 ， ，∴ ，∴ ，∴ ；
问题迁移：将 绕A顺时针旋转 得 ，连接 ，取 中点G，连接 ，
∴ ，∴ ， ， ， ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴设 ，则 ，∴ ∴ 是等边三角形，
∴ ， ，∴ ，∴
∵ ，∴ ，∴ ，
又 ， ，∴ ，∴ ；
问题拓展：在等边 中， ， ，∴ ，
将 绕A顺时针旋转 得 ，连接 ，取 中点G，连接 ，
∴ ，∴ ， ， ， ，
∴ ，∵ ，∴设 ，则 ， ，∴ ，∴ 是等边三角形，∴ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴
，
又 ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ；故答案为： ．
16．（2025·贵州贵阳·模拟预测）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们
称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角
形，相当于构造出两个三角形全等．
【问题初探】（1）如图1，在四边形 中， ， 、 分别是
、 边上的点，且 ，求出图中线段 之间的数量关系．
如图1，从条件出发：将 绕着点 逆时针旋转 到 位置，根据“旋转的性质”分析 与
之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论．
【类比分析】（2）如图2，在四边形 中， ， ， ，且
， ， ，求 的长．
【学以致用】（3）如图3，在四边形 中， ， 与 互补，点 、 分别在射线
、 上，且 ．当 时，求出 的周长．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】解：（1） ，理由如下：
∵将 绕点D逆时针旋转 得到 ，∴ ，∴ 三点共线，
∵ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，
∴ ，∴ ；
（2）如图 在 上取一点G，使得 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，设 ，则 ，
在 中， ，∴ ，解得： ，∴ ．
（3）在 上截取 ，∵ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ；
∵ ，∴ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ；
∵ ，∴ ，
∴ 的周长 ．
17．（24-25八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形 中，， ， ，点E，F分别是 上的点，且 ，连接 ，
探究线段 之间的数量关系．
(1)探究发现：小明同学的方法是延长 到点G．使 ．连结 ，先证明 ，再证
明 ，从而得出结论：_____________；
(2)拓展延伸：如图2，在四边形 中， ， ，E、F分别是边 上的点，
且 ，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．
(3)尝试应用：如图3，在四边形 中， ， ，E、F分别是边 延长线
上的点，且 ，请探究线段 具有怎样的数量关系，并证明．
【答案】(1) (2)成立，理由见解析(3) ，证明见解析
【详解】（1）解： ．延长 到点G．使 ．连接 ，
∵ ，∴ ．∴ ．
∴ ．∴ ．
又∵ ，∴ ．∴ ．
∵ ．∴ ．故答案为： ；
（2）解：（1）中的结论 仍然成立．证明：如图②中，延长 至M，使 ，连接 ．
∵ ，∴ ，
在 与 中， ，∴ ．∴ ．
∵ ，∴ ．∴ ，即 ．
在 与 中， ，∴ ．
∴ ，即 ，∴ ；
（3）解：结论： ．证明：如图③中，在 上截取 ，使 ，连接 ．
∵ ，∴ ．
在 与 中， ，∴ ．∴ ．
∴ ．∴ ．
∵ ，∴ ， ∴ ，∵ ，∴ ．
18．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动
点的几何问题．若四边形 是正方形，M，N分别在边 上，且 ，我们称之为“半
角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图1，将 绕点A顺时针旋转 ，点D与点B重合，得到 ，连接 ．用等式写出线段 的数量关系______．
(2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形 的边 的
延长线上， ，连接 ，用等式写出线段 的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形 中， ， ，
，点N，M分别在边 上， ，用等式写出线段 的数量关系，
并说明理由．
【答案】(1) ；理由见解析(2) ；理由见解析(3) ；理由见解析
【详解】（1）解： ．理由如下：
由旋转的性质，可知 ， ， ， ，
∴ ，∴E，B，C三线共线．
∵ ，∴ ．
在 和 中， ， ∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ．
（2）解： ．理由如下：如图，在 上取 ，连接 ．
∵ ， ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．
在 和 中， ， ∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ．（3）解： ．理由如下： 如图，将 绕点A逆时针旋转 得 ，
∴ ．
∵ ，∴ ，∴E，D，C三点共线．
由（1）同理可得 ，∴ ．
19.（24-25八年级上·四川遂宁·期末）小王在探究等边三角形“手拉手”问题，得出以下四个结论．
如图 ，已知 ， 均为等边三角形，点 在线段 上，且不与点 、点 重合，连接 ，
则 ； 已知条件同 ，则 ； 如图 ，已知 ， 均为等边三角形，
点 在 内部，连接 、 ，则 、 、 三点共线；
如图 ，已知 为等边三角形，点 在 外，并且与点 位于线段 的异侧，连接 、 ．
若 ，则 ．以上结论正确的是 ．
【答案】
【详解】解： ， 均为等边三角形，
， ， ， ，
，即 ，
在 和 中， ， ，故 正确；
由 知 ， ， ，
， ，故 正确； ， 均为等边三角形，
， ， ， ，
，即 ，
在 和 中， ， ，
， ，
若 ，则 ， 、 、 三点共线，缺少 ， 无法证明，故 错误；如图，在 上取一点 ，使得 ，设 交 于点
，
为等边三角形， ， ， ， ，
， ，在 和 中， ，
， ， ， ，
是等边三角形， ， ，故 正确；故答案为： ．
20．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）【问题提出】如图1， 、 都是等边三角形，求证：
．
【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即
．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就
类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它
的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题．
【方法应用】(1)等边三角形 中， 是边 上一定点， 是直线 上一动点，以 为一边作等边：
等边三角形 ，连接 ．①如图2，若点 在边 上，线段 、 、 之间的关系为
__________（直接写出结论）．
②如图3，若点 在边 的延长线上， 试证明线段 、 、 之间的关系．
(2)如图4，等腰 中， ， ， ，且交 于点 ，以 为边作等
边 ，直线 交直线 于点 ，连接 交 于点 ，写出 、 、 之间的数量关系，并
加以说明．(3)如图5，在 中， ， ，点 是 的中点，点 是 边上的一
个动点，连接 ，以 为边在 的下方作等边三角形 ，连接 ，则 是否有最小值，如有，
求出它的最小值，没有，请说明理由．【答案】(1)① ；② ；(2) (3)有最小值，最小值为2
【详解】（1）①结论： .
证明：过点E作 ， 交 与点G，
∵ 是等边三角形， ，∴ ，
∴ 是等边三角形，∴ ，∵ 是等边三角形，∴
，
∴ ，即 ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，故答案为： ；
②结论： 证明：过点E作 ， 交 与点G，
∵ 是等边三角形， ，∴ ，∴ 是等边三角形，∴ ，
∵ 是等边三角形，∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ；
（2）解： ，理由如下：∵ ， 是等边三角形，
∴ ， ， ，∴ ，
在 中， ，∴
，
∵ ， ∴ 垂直平分 ，∴ ，
∴ ，∴ ，在 上截取 ，
∵ ， ，∴ 是等边三角形，∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ．
（3）解：有最小值，最小值为2 以 为边，在 下方构造等边三角形 ，连接 ，
∵ ，点D为 中点，∴ ，∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，在 和 中， ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵点Q在直线 上，∴当 时， 取最小值，此时， ．
