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专题 05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型
相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈
现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再
遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.对角互补模型（相似模型）
【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向
两边做垂线，从而证明两个三角形相似.
【常见模型及结论】
1）对角互补相似1
条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点，
辅助线：过点O作OD⊥AC，垂足为D，过点O作OH⊥BC，垂足为H，
结论：①△ODE∼△OHF；② （思路提示： ）.
2）对角互补相似 2
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝ .
辅助线：作法1：如图1，过点C作CF⊥OA，垂足为F，过点C作CG⊥OB，垂足为G；
结论：①△ECG∼△DCF；② CE＝CD· .（思路提示： ，CF=OG，在 Rt△COG 中，
）辅助线：作法2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；
结论：①△CFE∼△COD；②CE＝CD· .（思路提示： ，在Rt△OCF中，
）
3）对角互补相似3
条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°
辅助线：过点D作DE⊥BA，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F；
结论：①△DAE∼△DCF；②ABCD四点共圆。
例1．（2023·重庆·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，
∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝________．
【答案】3
【分析】如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，可得PQ=2PR=2BQ，由PQ∥BC，可得
AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即可
解决问题．
【详解】解：如图作PQ⊥AB于点Q，PR⊥BC于点R．∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四边形PQBR是矩形，
∴∠QPR＝90°＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPF，∴ ，
， ，∵PQ//BC，
设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，∴2x＋3x＝3∴ ，∴AP＝5x＝3．故答案为3．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添
加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
例2．（2023·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角 中， ， ，过
点 作射线 ， 为射线 上一点， 在边 上（不与 重合）且 ， 与
交于点 ．（1）求证： ；（2）求证： ；（3）如果 ，求证：
．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据题意先由等腰直角△ABC得到∠BAC=∠B=45°，从而结合∠DAE=45°得到
∠DAC=∠EAB，再由平行线的性质得到∠ACP=∠BAC=∠B=45°，从而得到△ADC∽△AEB；
（2）根据题意由相似三角形的性质得到AD：AE=AC：AB，转化为AD：AC=AE：AB，结合
∠DAE=∠CAB=45°得证结果；（3）根据题意结合∠ACD=45°和∠ACB=90°，由CD=CE得到
∠CDE=∠CED=22.5°，从而得到∠DAC=22.5°，然后得到△OCD∽△DCA，最后即可求证．【详解】解：（1）证明：∵ 是等腰直角三角形，∴ ，
∵ ， ，∴ ， ，∴ ；
（2）证明：∵ ∴ ，即 ，
∵ ，∴ ；
（3）∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，∴
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过线段的比例关
系得到三角形相似．
例3．（2023·广东深圳·校考一模）综合与实践
问题情境：在 中， ， ， ．直角三角板 中 ，将三角板
的直角顶点 放在 斜边 的中点处，并将三角板绕点 旋转，三角板的两边 ， 分别与
边 ， 交于点M，N．
猜想证明：(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边 的中点时，试判断四边形 的形状，并
说明理由；
问题解决：(2)如图②，在三角板旋转过程中，当 时，请直接写出 的长；
(3)如图③，在三角板旋转过程中，当 时，请求出线段 的长．
【答案】(1)四边形 是矩形，理由见解析(2) (3)
【分析】（1）由三角形中位线定理可得 ，可证 ，即可求解；
（2）由勾股定理可求 的长，由中点的性质可得 的长，由锐角三角函数可求解；（3）通过证明点 ，
点 ，点 ，点 四点共圆，可得 ，由直角三角形的性质可求 的长，即可求解．
【详解】（1）解：四边形 是矩形，理由如下：点 是 的中点，点 是 的中点， ， ，
， ，
， 四边形 是矩形；
（2）如图2，过点 作 于 ，
， ， ， ， 点 是 的中点， ，
， ， ， ， ，
又 ， ， ， ， ；
（3）如图③，连接 ， ，过点 作 于 ，
， ， ，
， 点 ，点 ，点 ，点 四点共圆， ，
， ， ，
， ， ， ，
， ，
， ， ，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
例4．（2023年江西省南昌市月考）如图，两个全等的四边形 和 ，其中四边形 的顶
点O位于四边形 的对角线交点O．
(1)如图1，若四边形 和 都是正方形，则下列说法正确的有_______．（填序号）
① ；②重叠部分的面积始终等于四边形 的 ；③ ．
(2)应用提升:如图2，若四边形 和 都是矩形， ，写出 与 之间的数量关
系，并证明．
(3)类比拓展:如图3，若四边形 和 都是菱形， ，判断（1）中的结论是否依然成立；
如不成立，请写出你认为正确的结论（可用 表示），并选取你所写结论中的一个说明理由．
【答案】(1)①②③(2)关系为 ，证明见解析
(3)①成立，②③不成立，正确结论②重叠部分的面积始终等于四边形 的 ；③
．证明①的过程见解析
【详解】（1）如图，在图1中，过点O作 于点H, 于点G
于点H, 于点G
∵ ∴四边形 和 都是正方形
∵ ∴ ∴
,
∵ ∴
在 和 中 故①正确
∴ ∴
故②正确
∵ ∴ ∴
四边形 是正方形
∵ ∴
故③正确
∴
（2）关系为 ，证明如下：如图，在图2中，过点O作 于点H, 于点G
于点H, 于点G
∵四边形 和 都是矩形 ∴
∵ , ∴
∵ ∴
在 和 中
∴ ∴
（3）（1）中结论，①成立，②③不成立，正确结论②重叠部分的面积始终等于四边形 的
；③ ．现证明①如下：
如图，在图3中，过点O作 于点H, 于点G
于点H, 于点G
∵ ∴四边形 和 都是菱形
∵ ∴ ∴
,
∵ ∴
在 和 中
∴ ∴
例5．（2023.辽宁中考模拟）如图，在Rt ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不
与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋
转90°，交射线CB于点N．（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；
（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且 ＜ ，请直接写出 的值（用
含k的式子表示）．
【答案】（1）OM＝ON，见解析；（2）ON＝k•OM，见解析；（3）
【分析】（1）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM≌△EON；（2）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明
△DOM∽△EON；（3）设AC＝BC＝a，解Rt△EON和斜△AOM，用含 的代数式分别表示 再利
用比例的性质可得答案．
【详解】解：（1）OM＝ON，如图1，作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E，∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，∴∠DOE＝90°，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°，
在Rt△AOD中， ，同理：OE＝ OB，
∵OA＝OB，∴OD＝OE，∵∠DOE＝90°，∴∠DOM＋∠MOE＝90°，
∵∠MON＝90°，∴∠EON＋∠MOE＝90°，∴∠DOM＝∠EON，
在Rt△DOM和Rt△EON中， ，∴△DOM≌△EON（ASA），∴OM＝ON．
（2）如图2，作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E，由（1）知：OD＝ OA，OE＝ OB，
∴ ，由（1）知：∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，
∴△DOM∽△EON，∴ ，∴ON＝k•OM．
（3）如图3，设AC＝BC＝a，∴AB＝ a，
∵OB＝k•OA，∴OB＝ • a，OA＝ • a，∴OE＝ OB＝ a，
∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，∴EN＝ ＝ OE＝ • a，
∵CE＝OD＝ OA＝ a，∴NC＝CE＋EN＝ a＋ • a，
由（2）知： ，△DOM∽△EON，∴∠AMO＝∠N＝30°∵ ，∴ ，∴△PON∽△AOM，∴∠P＝∠A＝45°，
∴PE＝OE＝ a，∴PN＝PE＋EN＝ a＋ • a，
设AD＝OD＝x，∴DM＝ ，由AD＋DM＝AC＋CM得，（ ＋1）x＝AC＋CM，
∴x＝ （AC＋CM）＜ （AC＋ AC）＝ AC，∴k＞1
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解决问题的关键是作OD⊥AC，OE⊥BC；本
题的难点是条件 得出k＞1．
例6．（2023浙江中考二模）（1）特例感知：如图1，已知在Rt ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC
边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF；
（2）探索发现：如图2，已知在Rt ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，
点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长；
（3）类比迁移：如图3，已知在 ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点
E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点
F，当AE＝4AF时，求AF的长．
【答案】（1）见解析；（2）4；（3） 或 或
【分析】（1）证明△BDE≌△ADF（ASA），根据全等三角形的性质即可得到BE＝AF；（2）方法同（1），利用全等三角形的性质解决问题；
（3）证明△EBD∽△DCF，推出 ，设AF＝m，则AE＝4m，分三种情形，分别构建方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图1中，
∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是高，
∴BD＝CD＝AD BC，∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD ∠BAC＝45°，
∵DF⊥DE，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°﹣∠ADE，
在 BDE和 ADF中， ，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；
△ △
（2）解：如图2中，
由（1）知，BD＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°+∠ADE，
在 BDE和 ADF中， ，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF，
△ △
∵AB＝3，AE＝1，∴BE＝AB+AE＝4，∴AF＝4；
（3）解：如图3中，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD ∠BAC＝60°，∴BD＝CD＝AB•sin60°＝2 ，
∵AE＝4AF，∴可以假设AF＝m，则AE＝4m，BE＝4﹣4m，CF＝4﹣m，
∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B＝30°，
∴∠FDC＝∠BED，∵∠B＝∠C，∴△EBD∽△DCF，∴ ，
∴ ，整理得，m2﹣5m+1＝0，解得m 或 （舍弃），
经检验，m 是分式方程的解．
当点F在CA的延长线上时，CF＝4+m，由 EBD∽△DCF，可得 ，
△
∴ ，解得，m 或 （舍弃），经检验，m 是分式方程的解．
当点E在射线BA上时，BE＝4+4m，
∵△EBD∽△DCF，∴ ，∴
解得，m 或 （舍弃），
经检验，m 是分式方程的解．
综上所述，满足条件的AF的值为 或 或 ．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，等腰直
角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，
学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．课后专项训练
1．（2023广东九年级期中）如图， 中， ， 平分 ， ，连接 ，
并延长分别交 ， 于点 和点 ，若 ， ，则 的长为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．16
【答案】C
【分析】由 四点共圆，得到 ，再证明 ，得到 与 的比，延长 到 ，
使 ，得到 为等边三角形，在证明出 ，证出 与 ，利用 即可求出 ．
【详解】解： ， ， 、 、 、 四点共圆，
平分 ， ， ，
， ，
， ， ，如图，延长 到 ，使 ，
， 为等边三角形， ，
， ，设每一份为 ，
， ， ， ，
．故选：C．
【点睛】本题考查了三角形相似的性质、等边三角形的性质等知识点的应用，四点共圆的应用及相似比的
转化是解题关键．
2．（2023·山西临汾·统考二模）在菱形 中， ，对角线 交于点 ，
分别是 边上的点，且 与 交于点 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】由菱形的性质及 可证 ，得 ， ；由
得 ， ，于是 ，可得 ，进而求得答案．
【详解】∵
∴ ∴
∵四边形 是菱形，∴ ，
∴ ∴ ∴ ，又∵ ∴ ． ，
∵ ∴ ，
∴ ．
设 ， 则 ， ，
；故答案为： ．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用全等及相似得
到线段间的数量关系是解题的关键．
3．（2023·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知 ABC是等边三角形,D是AC的中点,F为AB边上一
△
点,且AF=2BF,E为射线BC上一点,∠EDF=120°,则 = .
【答案】
【分析】过D作DG∥BC交AB于G，则DG为 ABC的中位线，根据等边三角形的性质得∠ACB＝∠ABC＝
60°，由DG∥BC，得∠FGD＝120°，∠GDC＝12△0°， AGD为等边三角形，而∠EDF＝120°，得∠GDF＝
∠CDE，易证得 GDF∽△CDE，所以FG：CE＝DG：△DC，即CE：DC＝FG：DG＝FG：AG，设BF＝x，AF＝2x，
则AB＝3x，AG＝△1.5x，FG＝1.5x−x＝0.5x，即可得到CE：CD的比值．
【详解】解：过D作DG∥BC交AB于G，如图，∵D是AC的中点，∴DG为 ABC的中位线，
∵△ABC是等边三角形，∴∠△ACB＝∠ABC＝60°，∴∠DCE＝120°，
又∵DG∥BC，∴∠FGD＝120°，∠GDC＝120°， AGD为等边三角形，
∵∠EDF＝120°，∴∠GDF＝∠CDE，∴△GDF∽△△CDE，
∴FG：CE＝DG：CD，即CE：CD＝FG：DG，而DG＝AG＝BG，AF＝2BF，
设BF＝x，AF＝2x，则AB＝3x，AG＝1.5x，FG＝1.5x−x＝0.5x，
∴CE：CD＝FG：DG＝FG：AG＝0.5x：1.5x＝1：3．故答案为 ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形三边相等；三个角都等于60°；也考查了相似三角形
的判定与性质，熟练应用各性质进行推理计算是解题关键．
4．（2023·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知 ABC是等边三角形,D是AC的中点,F为AB边上一
△
点,且AF=2BF,E为射线BC上一点,∠EDF=120°,则 = .
【答案】
【分析】过D作DG∥BC交AB于G，则DG为 ABC的中位线，根据等边三角形的性质得∠ACB＝∠ABC＝
60°，由DG∥BC，得∠FGD＝120°，∠GDC＝12△0°， AGD为等边三角形，而∠EDF＝120°，得∠GDF＝
∠CDE，易证得 GDF∽△CDE，所以FG：CE＝DG：△DC，即CE：DC＝FG：DG＝FG：AG，设BF＝x，AF＝2x，
则AB＝3x，AG＝△1.5x，FG＝1.5x−x＝0.5x，即可得到CE：CD的比值．
【详解】解：过D作DG∥BC交AB于G，如图，
∵D是AC的中点，∴DG为 ABC的中位线，
△∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠DCE＝120°，
又∵DG∥BC，∴∠FGD＝120°，∠GDC＝120°， AGD为等边三角形，
∵∠EDF＝120°，∴∠GDF＝∠CDE，∴△GDF∽△△CDE，
∴FG：CE＝DG：CD，即CE：CD＝FG：DG，而DG＝AG＝BG，AF＝2BF，
设BF＝x，AF＝2x，则AB＝3x，AG＝1.5x，FG＝1.5x−x＝0.5x，
∴CE：CD＝FG：DG＝FG：AG＝0.5x：1.5x＝1：3．故答案为 ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形三边相等；三个角都等于60°；也考查了相似三角形
的判定与性质，熟练应用各性质进行推理计算是解题关键．
5．（2023青岛版九年级月考）如图，在 中， ， ，直角 的顶点
在 上， 、 分别交 、 于点 、 ， 绕点 任意旋转．当 时， 的值为
；当 时， 为 ．（用含 的式子表示）
【答案】 ,
【详解】如图，过点O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，由条件可以表示出HO、GO的值，通过证明
△PHO∽△QGO由相似三角形的性质就可以求出结论．
解答：解：过点O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，∴∠OHP=∠OGQ=90°．
∵∠ACB=90°，∴四边形HCGO为矩形，∴∠HOG=90°，∴∠HOP=∠GOQ，∴△PHO∽△QGO，∴ ．
∵ ，设OA=x，则OB=2x，且∠ABC=30°，∴AH= x，OG=x．
在Rt△AHO中，由勾股定理，得OH= x，∴ ，∴ = ．故答案为 ．
6．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考阶段练习）已知一块含 的直角三角板ABC按图1放置，其中 ，
点B与原点O重合， ， ．现将点A沿y轴向下滑动，同时点B沿x轴向右滑动，当
点A滑动至与原点O重合时停止． 当四边形 为矩形时（如图2），点C的坐标为 ；当
点A滑动到原点O时，点C经过的路径长为 ．
【答案】 2
【分析】在 中，求得 ， 的长度，再根据矩形的性质，即可求解；确定出点 的运动轨迹，
即可求解．
【详解】解：由题意可得： 在 中， ，
∴ ，
∴当四边形 为矩形， ， ∴ 点的坐标为 ；
作 ， 轴，连接 ，如下图：∵ ， ，
∴四边形 为矩形， ，
∵ ∴ ∴
∴ ，即
因此点 在直线 上运动，且当四边形 为矩形时，点 运动到最高点，点 移动到 时，
运动到最低点，可作图如下，点 运动路径为 ， 三点共线，
∵四边形 为矩形，∴ ，
∵ ，∴ ．故答案为： ， ．
【点睛】此题考查了坐标与图形，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，含 直角三角形的性质，解
题的关键是熟练掌握相关基础性质，通过作辅助线确定出点 的运动轨迹．
7．（2023年河南省周口市一模数学试题）如图，在菱形 中， ， ，对角线 ，
交于点 ， ， 分别是 ， 边上的点，且 ， ， 与 交于点 ，则
的值为 ．【答案】 或1
【分析】先证 ，接着在 中利用勾股定理求出所需线段的长度，最后利用正切的定
义求解．
【详解】解：在菱形 中， ，∴ 为等边三角形，
∴ ， .
∵ ， ，
∴ ，∴ .
如图，过点 作 于点 .在 中， ，
∴ ，∴ .
设 ，则 ， .
在 中， ，即 ，解得 ， .
当 时， ， ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴ ，∴ .当 时， ，
，即 ，解得 ，
∴ ，∴ 综上可知， 的值为 或1.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、正切的定义等．综合性较强，需要学生
具有较强的几何推理能力．
8．（2023.广东九年级期中）如图，在 中， ， ， ， ，
，点 在 上， 交 于点 ， 交 于点 ，当 时， ．
【答案】3
【分析】如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，推出 = =2，可得PQ=2PR=2BQ，由
PQ∥BC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得
2x+3x=3，求出x即可解决问题．
【详解】如图，作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR=90°=∠MPN，∴∠QPE=∠RPF，
∴△QPE∽△RPF，∴ = =2，∴PQ=2PR=2BQ．
∵PQ∥BC，∴AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，∴2x+3x=3，
∴x= ，∴AP=5x=3．故答案为3．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会
添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．（2023年福建泉州中考数学模拟试卷）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=12，AC=16，点D为边BC
的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ=90°．
（1）求ED、EC的长；（2）若BP=2，求CQ的长；（3）若线段PQ与线段DE的交点为F，当△PDF为等腰
三角形时，求BP的长．
【答案】（1）DE= ，CE= ；（2）CQ的长为11或14；（3）BP= 或 ．
【详解】分析：（1）先根据勾股定理求得BC的长，再结合点D为BC的中点可得CD的长，然后证得
△ABC∽△DEC，根据相似三角形的性质即可求得结果；（2）分点P在AB边上和点P在AB的延长线上两种
情况求解即可；（3）先证得△PDF∽△CDQ，因△PDF为等腰三角形 可得△CDQ为等腰三角形，再分
CQ=CD、QC=QD和DC=DQ三种情况，根据等腰三角形的性质求解即可.
详解：（1）∵∠A=90°，AB=12，AC=16，
∴根据勾股定理得到，BC= =20，∴CD= BC=10，
∵DE⊥BC，∴∠A=∠CDE=90°，∠C=∠C，∴△CDE∽△CAB，
∴DE：AB=CE：CB=CD：CA，即DE：12=CE：20=10：16，∴DE= ，CE= ；
（2）分两种情况考虑：如图，∵△CDE∽△CAB，∴∠B=∠DEC，
∵∠PDQ=90°，∴∠QDC+∠PDB=90°，
∵∠QDC+∠EDQ=90°，∴∠EDQ=∠PDB，∴△PBD∽△QED，∴ = ，即 = ，∴EQ= ，∴CQ=CE﹣EQ= ﹣ =11；如图2，
∵∠B=DEC，∴∠PBD=∠QED，∵∠PDQ=90°∴∠BPD+∠QDB=90°，
∵∠QDE+∠QDB=90°，∴∠BDP=∠QDE，∴△PBD∽△QED，
∴ = ，即 = ，∴EQ= ，∴CQ= + =14，则CQ的长为11或14；
（3）∵线段PQ与线段DE的交点为点FF，∴点P在边AB上，
∵△BPD∽△EQD，∴ = = = = ，若设BP=x，则EQ= x，CQ= ﹣ x，
∵cot∠QPD= = ，cotC= = = ，∴∠QPD=∠C，
∵∠PDE=∠CDQ，∴△PDF∽△CDQ，∵△PDF为等腰三角形，∴△CDQ为等腰三角形，
①当CQ=CD时，可得： ﹣ x=10，解得：x= ；
②当QC=QD时，过点Q作QM⊥CB于M，如图3所示，∴CM= CD=5，
∵cos∠C= = = = ，∴CQ= ，∴ ﹣ x= ，解得：x= ；
③当DC=DQ时，过点D作DN⊥CQ于N，如图4所示，∴CQ=2CN，∵cos∠C= = = ，∴CN=8，∴CQ=16，∴ ﹣ x=16，解得：x=﹣ （舍去），
∴综上所述，BP= 或 ．
点睛：本题考查了直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，分类讨
论思想在解实际问题的运用，等腰三角形的性质的运用，三角函数值的运用，解答时运用三角函数值求证
三角形的角相等是难点，证明三角形相似是关键．
10．（2022春·四川达州·九年级专题练习）已知，在 中， ．
（1）如图1，已知点D在 边上， ，连结 ．试探究 与 的关系；
（2）如图2，已知点D在 下方， ，连结 ．若 ， ，
， 交 于点F，求 的长；（3）如图3，已知点D在 下方，连结 、 、 ．若
， ， ， ，求 的值．
【答案】（1） ，理由见详解；（2） ；（3）
【分析】（1）由题意易得 ，则易证 ，然后根据全等三角形的性质可求解；
（2）过点A作AH⊥BC于点H，由题意易得 ， ，然后可得 ，
进而根据勾股定理可得 ，设 ，则 ，易得 ，则有
，所以 ，最后问题可求解；
（3）将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，过点A作AP⊥BC于点P，作DT⊥BC于点T，分别过点
G作GM⊥BC，GN⊥AP，交BC的延长线于点M，交AP于点N，由题意易得 ，，则有 ，然后可得 ，设
， ，进而根据勾股定理可求解x的值，然后根据
三角函数可进行求解．
【详解】解：（1） ，理由如下：
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ；
（2）过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
∵ ，∴△BAC是等腰直角三角形，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
设 ，则 ，∴ ，
∴ ，∴ ，解得： ，∴AF=5；
（3）将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，过点A作AP⊥BC于点P，作DT⊥BC于点T，分别过点
G作GM⊥BC，GN⊥AP，交BC的延长线于点M，交AP于点N，如图所示：∵ ， ，∴△BAC是等腰直角三角形，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，由旋转的性质可得 ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵GM⊥BC，GN⊥AP，AP⊥BC，∴四边形GMPN是矩形，
∴ ，设 ，
∴ ，
在Rt△ANG中， ，
∵ ，∴ ，
化简得： ，解得： ，
∵ ，∴当 时，易知与 相矛盾，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴在Rt△DTC中， ，∴ ．
【点睛】本题主要考查三角函数、相似三角形的性质与判定、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握三角函数、
相似三角形的性质与判定、旋转的性质及勾股定理是解题的关键．
11．（2023辽宁铁岭市中考模拟）如图， 中， ，DE垂直平分AB，交线段BC于点E（点E
与点C不重合），点F为AC上一点，点G为AB上一点（点G与点A不重合），且 ．（1）如图1，当 时，线段AG和CF的数量关系是 ．
（2）如图2，当 时，猜想线段AG和CF的数量关系，并加以证明．
（3）若 ， ， ，请直接写出CF的长．
【答案】（1） ；（2） ，理由见解析；（3）2.5或5
【分析】（1）如图1，连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到 ，根据等腰直角三角形的性质
得到 ， ， ，根据全等三角形的性质即可得到结
论；
（2）如图2，连接AE，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到 ，根据线段垂直平分
线的性质得到 ，求得 ，根据相似三角形的性质得到 ，解直角三角形即
可得到 ；（3）①当G在DA上时，如图3，连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到
， ，由三角函数的定义得到 ，根据相似三角形的性质得到
，过A作 于点H由三角函数的定义即可得到结论．②当点G在BD上，如图4，方法
同（1）．
【详解】解：（1）相等，理由：如图1，连接AE，
∵DE垂直平分AB， ， ， ，
， ， ，
， ，
， ，
， ， ；故答案为 ；（2） ，理由：如图2，连接AE， ， ， ，
∵DE垂直平分AB， ， ， ， ，
， ，
， ， ，
，在 中， ， ， ， ；
（3）①当G在DA上时，如图3，连接AE，∵DE垂直平分AB， ， ，
， ， ， ，
， ， ，
， ，
， ， ，
，过A作 于点H， ， ，
， ， ， ，
， ， ；
②当点G在BD上，如图4，同（1）可得， ， ，
， ， ，
综上所述，CF的长为2.5或5．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形
的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
12．（2023西南交通大学附属中学九年级月考）在 中， ， ， ，点 为边
的中点， 交边 于点 ，点 为直线 上的一动点，点 为直线 上的一动点，且
．（1）求 、 的长．（2）若 ，求 的长．（3）记线段 与线段 的交点为点 ，若
为等腰三角形，求 的长．
【答案】（1） ， ；（2） 或 ；（3） 或
【分析】（1）由勾股定理求得BC=10．通过“两角法”证得△CDE∽△CAB，则对应边成比例DE：AB=CE：
CB=CD：CA，由此可以求得DE、CE的值；（2）如图2，当P点在AB上时，由∠PDQ=90°就可以得出
∠2=∠4，就可以证明△PBD∽△QED，就可以EQ的值，从而求得CQ的值；如图2-1，当P点在AB的延长线
上时，证明△PBD∽△QED，由相似三角形的性质就可以求出结论；
（3）如图3，4，5由条件可以求出△BPD∽△EQD，就有 ，设BP=x，则EQ= ，CQ=
，由三角函数值可以得出△PDF∽△CDQ．由△PDF为等腰三角形就可以得出△CDQ为等腰三角形，
根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论就可以求出结论．
【详解】解：（1）如图，∵ ， ， ，
∴根据勾股定理得到， ∴ ．
∵ ．∴ ，
∴ ∴ ，
即 ∴ ， ．（2）如图，∵ ，∴ ．
∵ ∴ ．∵ ∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ．
如图，∵ ，∴ ．∵ ∴ ．
∵ ∴ ，∴
∴ ，∴ ，∴ ，∴ 故 或 ．
（3）∵线段 与线段 的交点为点 ，∴点 在边 上
∵ ∴ ．
若设 ，则 ， ．
∵ ， ，∴
∵ ，∴ ．
∵ 为等腰三角形，∴ 为等腰三角形．
①当 时，可得： ，解得： ．
②当 时，过点 作 于 ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．∴ 解得：
③当 时，过点 作 于 ，∴ ．∵ ∴ ，
∴ ，∴ ，∴ 解得： （舍去）．∴综上所述， 或 ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，分类
讨论思想在解实际问题的运用，等腰三角形的性质的运用，三角函数值的运用，解答时运用三角函数值求
证三角形的角相等是难点，证明三角形相似是关键．
13．（2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）综合与实践
问题情境：在 中， ．点 在 斜边 上运动，过点 作射线
，分别与边 交于点 ．
猜想证明：（1）当点 在 斜边 的中点处时，
①如图（1），在 旋转过程中，当点 时， 与 的数量关系是______， _______．
②当 旋转到如图②所示的位置时， 的值是否发生变化？若不变，请证明；若变化，请说明理由．
③如图③，在 旋转过程中，当 时，直接写出线段 的长_______；
类比探究（2）当点 在 斜边 上运动时，
①如图④，当点 运动到 时， _______；
②如图⑤，连接 ，当 是等腰三角形时，求 的长．
【答案】（1）① ， ；②不变化，证明见解析；③ ；（2）① ；②
【分析】（1）①证明四边形 是矩形，求出 ，然后根据平行线分线段成比例定理可得
，进而可得答案；
②如图②，过点D作 ，证明 ，结合（1）的结论即可解答；③如图③，过点D作 ，同理可证： ，设 ，然后根据相似三
角形的性质结合①②列出方程求解即可；
（2）①如图④，过点D作 ，利用三角函数求出 ，证明 ，再根
据相似三角形的性质即可求出答案；
②当 是等腰三角形时，由于 ，故只有 ，如图⑤，过点D作
，证明 ，得出 ，然后设 ，利用三角函数分
别用含x的代数式表示出 ，进而可得关于x的方程，求解x即可解决问题．
【详解】解：（1）①如图①，在 中，∵ ，∴ ，
∵点 在 斜边 的中点，∴ ，
∵ ， ， ，∴四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ，故答案为： ， ；
② 的值不发生变化， ；
证明：如图②，过点D作 ，垂足分别为点G、H，则 ，
同①的证明可得： ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ；
③如图③，过点D作 ，垂足分别为点G、H，同理可证： ，∴ ，设 ，
由①的结论可得： ，
∴ ，∴ ，解得： ，即 ；
（2）①如图④，过点D作 ，垂足分别为点G、H，
当 时，即 ，
∵ ， ∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ；
②当 是等腰三角形时，由于 ，∴只有 ，
如图⑤，过点D作 ，垂足分别为点G、H，则 ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，设 ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，解得 ，∴ ．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了勾股定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、全
等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，具有一定的综合性，熟练掌握相关图形的性质定理、正
确添加辅助线是解题的关键．
14．（2023秋·山西忻州·九年级校考期末）综合与实践
问题情境：在学习了三角形的相似后，同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究．猜想推理：
（1）如图1，在等边 中，D为 边上一点，E为 边上一点， ， ， ，
则 ______．
问题解决：（2）如图2， 是等边三角形，D是 的中点，射线 ， 分别交 ， 于点E，
F，且 ，求证： ．
（3）如图3， ， ， ，D是 的中点，射线 ， 分别交 ， 于点E，
F，且 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）
【分析】（1）首先求出 ，证明 ，得到 ，即可求出结果；
（2）连接 ，过D作 于M，作 于N，根据 证明 ，再根据全等三
角形的性质可得 ；
（3）过点 分别作 于 ， 于 ，根据勾股定理及中位线的性质可得 ，
，根据矩形的性质可得 ，最后由相似三角形的判定与性质可得答案．
【详解】解：（1）∵在等边 中， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，即 ，∴ ；
（2）如图，连接 ，过D作 于M，作 于N，
∵ 是等边三角形，D为 的中点，
∴ 是 的平分线， ，∴ ， ，
又∵ ，∴ ，∴ ，∴在 与 中， ，∴ ，∴ ；
（3）过点 分别作 于 ， 于 ，
在 中， ， 是 的中点， ，
， ， ， ， ，
是 的中点， 是 的中位线， 是 的中位线， ， ，
四边形 为矩形， ， ，
， ，
， ， ．
【点睛】本题考查了三角形综合题．需要掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形
的判定和性质，关键是找到图中关键的相似和全等三角形，比较典型，但有点难度．
15．（2023广东深圳三模试题）（1）【探究发现】如图1，正方形 的对角线相交于点 ，在正方
形 绕点 旋转的过程中，边 与边 交于点 ，边 与边 交于点 ．证明：
；（2）【类比迁移】如图2，矩形 的对角线相交于点 ，且 ， ．在矩形 绕点
旋转的过程中，边 与边 交于点 ，边 与边 交于点 ．若 ，求 的长；
（3）【拓展应用】如图3，四边形 和四边形 都是平行四边形，且 ， ，
， 是直角三角形．在 绕点 旋转的过程中，边 与边 交于点 ，边
与边 交于点 ．当 与 重叠部分的面积是 的面积的 时，请直接写出 的
长．
【答案】（1）见解析（2） （3）【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的性质，找相等的边和角证全等即可；
（2）过点 作 的平行线交 于点 、交 于点 ，过点 作 垂线交 于点 ，构造相似三角
形 和 ，列比例式求解算出 ，最后根据 计算即可；
（3）过点 作 的垂线交 于点 ，根据勾股定理算出 ，根据已知条件观察推理出 ，
，结合 与 重叠部分的面积是 的面积的 ，设 列方程求出
，最后根据勾股定理求出 即可．
【详解】（1） 正方形 的对角线相交于点 ，在正方形 绕点 旋转的过程中，边 与边
交于点 ，边 与边 交于点
， ， ，
，即 ，
在 和 中 ， ；
（2）如图，过点 作 的平行线交 于点 、交 于点 ，过点 作 垂线交 于点 ，
四边形 和四边形 都是矩形， ， ， ，
， ， ，
，
， ，
， ， ，即 ， ，
；（3）如图，过点 作 的垂线交 于点 ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
， ， ，
又 ， ，
， ，四边形 和四边形 都是平行四边形， 是直角三角形
∴ ， (有公共角且都有直角)，
，∴ ，∵ ，即 ，
∴ ， ，设 ，则 ，
∵ ，即 ，∴ ，
与 重叠部分的面积是 的面积的 ，平行四边形对角线平分平行四边形的面积，
，即 ，
∴ ，即 ，∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的证明、勾股定理、特殊四边形（平行四边形、矩形、正方形）的性
质、相似三角形，综合性强，熟练掌握相关知识、结合图象分析是解题的关键．
