文档内容
第二十四章 圆
专题16 垂径定理重难点题型专训（八大题型）
【题型目录】
题型一 利用垂径定理求值
题型二 利用垂径定理求平行弦问题
题型三 利用垂径定理求同心圆问题
题型四 利用垂径定理求解其他问题
题型五 垂径定理的推论
题型六 垂径定理的实际应用
题型七 利用弧、弦、圆心角的关系求解
题型八 利用弧、弦、圆心角的关系求证
【知识梳理】
知识点一、圆的对称性
（1）对称中心
圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。
将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周绕圆
心旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。
1. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
2. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量
都分别相等。
3. 将整个圆分为 等份，每一份的弧对应 的圆心角，我们也称这样的弧为 的弧。圆心角的度数和
它所对的弧的度数相等．
（2）对称轴
经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，
任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。
（3）垂径定理
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
几何语言：垂径定理的几个基本图形：
垂径定理在基本图形中的应用：
2．其它正确结论：
⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等．
3．知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三．
注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径．
4．常见辅助线做法：
⑴过圆心，作垂线，连半径，造 ，用勾股，求长度；
⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．
知识点二、确定圆的条件
1．过已知点作圆
条件 过不在同一条直
过一点作圆 过两点作圆
类别 线上的三点作圆
经过平面内一个点 作圆 经过平面内的两个点 ， 经过不在同一条直线上的三点 ，
理论
时，只要以点 以外任意 作圆，由于圆心到这两 ， 作圆，圆心到这三个点的距离相
依据
一点为圆心，以这点到点 个点的距离相等，所以圆 等。因此，圆心是线段 ， 的垂直平分线的交点 ，以点 为圆
心在线段 的垂直平分
的距离为半径就能作出
线上，这样的圆心有无数 心，以 （或 ， ）为半径
一个圆，这样的圆能作出
多个，这样的圆能作无数 可作出经过 ， ， 三点的圆，这
无数多个
多个
样的圆只有一个
A
O
1 A
圆形
A O
O O O
1 2 3
O 3 O 2 B B C
结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆
2．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；
⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．
3．三角形的外接圆
⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做
三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
⑵三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无
数个，这些三角形的外心重合.
⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角
形外接
圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.
A A A
B C
O B O C O
B C
图1 图2 图3
【经典例题一 利用垂径定理求值】
1．（2023·陕西渭南·统考一模）如图， 是 的外接圆，过点 作 于点 ， 于
点 ，连接 ，若 ，则 的长为（ ）A．3 B．4 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据 ， ，由垂径定理可得 ， ，即可得到 是 的中
位线，即可得到答案．
【详解】解： ， ，
， ∵ ，
∴即 是 的中位线，
，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查圆和三角形结合题，熟练掌握圆的垂径定理及中位线的性质是解题的关键．
2．（2023春·辽宁鞍山·九年级统考阶段练习）如图， 的半径 垂直于弦 ，垂足为点 ，连接
并延长交 于点 ，连接 ， ．若 ， ，则 的面积为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
【答案】A
【分析】设 ，根据垂径定理可得出 ，用勾股定理可得出关于x的一元二次方程，解方程求出
x的值, 进而得出 的长度，再根据三角形的中位线的性质以及三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：设 ，则 ，
∵ ，∴ ，
在 中， ，即 ，
解得： ，即 ，
∵ 为 的中位线，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理、三角形的中位线以及三角形的面积，解题的关键是求出 的长度属于基
础题，难度不大，解决该题型题目时，根据勾股定理找出方程是关键．
3．（2023秋·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，把一个宽度为 的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度
尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位： ），那么光
盘的半径是 ．
【答案】5
【分析】设光盘的圆心为O，过点O作 垂直直尺于点A，连接 ，再设 ，利用勾股定理求出x
的值即可．
【详解】解：设光盘的圆心为O，如图所示：
过点O作 垂直直尺于点A，连接 ，再设 ，
∵一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”，∴ ，
∵刻度尺宽 ，
∴ ，
在 中，
，即 ，
解得： ．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关
键．
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，将半径为 的 折叠，弧 恰好经过与 垂直的半径
的中点D，已知弦 的长为 ，则 ．
【答案】8
【分析】延长 交 于E点，交 于点F，连接 ，由 与 垂直，根据垂径定理得到E为
的中点，然后利用D是 的中点和对称即可求出 的长，从而求出 ，然后由 的
长，根据勾股定理求出 的长，进而得出半径 的长．
【详解】解：延长 交 于E点，交 于点F，连接 ，∵ ，
∴E为 的中点，
∵ ，
∴ ，
∵D是 的中点， ，
∴ ， ，
根据对称的性质可得：
，
，
在 中，根据勾股定理可得： 即
∴ （负值舍去）
故答案为：8．
【点睛】此题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，在遇到直径与弦垂直时，常常利用垂径定理得
出直径平分弦，进而由圆的半径，弦心距及弦的一半构造直角三角形来解决问题，故延长 并连接 作
辅助线是本题的突破点．
5．（2023·江苏·九年级假期作业）如图， ， 交 于点 ， ， 是半径，且 于
点F．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)5【分析】（1）由垂径定理得到 ，由等腰三角形的性质得到 ，从而证明 ；
（2）设 的半径是 ，由勾股定理，垂径定理列出关于 的方程，即可求出 的半径．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
，
；
（2）解：连接 ，
设 的半径是 ，
，
，
，
的半径是5．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于半径
的方程．
6．（2023·江苏·九年级假期作业）在同心圆中，大圆的弦 交小圆于C，D两点．
(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7， ，则 的长为 ___________．
(2)如图②，大圆的另一条弦EF交小圆于G，H两点，若 ，求证 ．
【答案】(1)4(2)见解析
【分析】（1）连接 ， ，过 点作 ，则 为 ， 的中点，得出 ，
，根据勾股定理即可求出 的长；
（2）过 作 ，作 ，垂足分别为 、 ，得出 ， ， ，
，连接 、 、 、 ，通过证明 和 ，即可得
证 ．
【详解】（1）连接 ， ，过 点作 ，则 为 ， 的中点，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
（2）过 作 ，作 ，垂足分别为 、 ，
∴ ， ， ， ，又∵ ，
∴ ，
连接 、 、 、 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解此类题
的关键．
【经典例题二 利用垂径定理求平行弦问题】
1．（2023秋·天津和平·九年级校考期末） 半径为5，弦 ， ， ，则 与 间
的距离为（ ）
A．1 B．7 C．1或7 D．3或4
【答案】C
【分析】过 点作 ， 为垂足，交 与 ，连 ， ，由 ，得到 ，根据
垂径定理得 ， ，再在 中和在 中分别利用勾股定理求出 ， ，然后讨论：当圆 点在 、 之间， 与 之间的距离 ；当圆 点不在 、 之间， 与
之间的距离 ．
【详解】解：过 点作 ， 为垂足，交 与 ，连 ， ，如图，
，
，
， ，
而 ， ，
， ，
在 中， ， ；
在 中， ， ；
当圆 点在 、 之间， 与 之间的距离 ；
当圆 点不在 、 之间， 与 之间的距离 ；
所以 与 之间的距离为7或1．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及
分类讨论的思想的运用．
2（2023秋·广东广州·九年级校考期末）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接
BE，若AB=2 ，CD=1，则BE的长是
A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B
【分析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：∵半径OC垂直于弦AB，
∴AD=DB= AB=
在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+( )2，
解得，OA=4
∴OD=OC-CD=3，
∵AO=OE,AD=DB,
∴BE=2OD=6
故选B
【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）在半径为4cm的 中，弦CD平行于弦AB， ，
，则AB与CD之间的距离是 cm．
【答案】 或
【分析】根据题意，分析两种AB的位置情况进行求解即可；
【详解】解：①如图，AB//CD，过点O作
在 中
∵ ，
∴
∴
∵∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵AB//CD
∴AB与CD之间的距离即GH
∴AB与CD之间的距离为
②如图，作 ，连接AD
则有四边形PEFD是矩形，
∴EF=PD
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵∴
∴
故答案为： 或
【点睛】本题主要圆的的性质、三角形的全等，勾股定理，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键．
4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知⊙ 的直径为26cm，AB、CD是⊙ 的两条弦， ，
AB=24cm，CD=10cm，则 、 之间的距离为 cm．
【答案】7或17/17或7
【分析】首先分先AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，画出图形，过圆心O作两弦的垂线，利用
垂径定理可分别求出圆心到两弦的距离，从而可求出两弦间的距离．
【详解】①当弦AB、CD在圆心的同侧时，如图1
过点O作OF⊥CD交AB于点E，连接OA，OC
∵
∴OE⊥AB
∵AB=24，CD=10
∴AE=12，CF=5
又∵⊙ 的直径为26
∴OA=OC=13
∴ ，
∴EF=OF-OE=7
②当弦AB、CD在圆心的异侧时，如图2
过点O作OF⊥CD，延长FO交AB于点E，连接OA，OC
∵
∴OE⊥AB
∵AB=24，CD=10
∴AE=12，CF=5
又∵⊙ 的直径为26
∴OA=OC=13
∴ ，∴EF=OF+OE=17
故答案为：7或17．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，解题是要注意分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论．
5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求
AB、CD间的距离．
【答案】14cm或2cm
【分析】在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心
距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离，不过本题要按平行线与圆间的位置关系分类
讨论．
【详解】（1）如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于
N点．分别连结AO、CO．
∵AB∥CD，
∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距．
∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，
∴ ，
=8+6=14（cm）
图1 图2
（2）如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间（即弦AB、CD在圆心O的同侧）时，
同理可得：MN=OM-ON=8-6=2（cm）∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm．
【点评】本题考查了垂径定理，解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系分类讨论，千万别丢解．
6．（2023·浙江·九年级假期作业）如图， 的两条弦 （AB不是直径），点E为AB中点，连接
EC，ED．
（1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由；
（2）求证： ．
【答案】（1）直线EO与AB垂直．理由见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论；
（2）易证 ，由垂径定理可得结论.
【详解】解：（1）直线EO与AB垂直．理由如下：
如图，连接EO，并延长交CD于F．
∵ EO过点O，E为AB的中点，
．
（2） ， ，
．
∵ EF过点O，
，
垂直平分CD，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键.【经典例题三 利用垂径定理求同心圆问题】
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过 ， ，O三
点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【答案】B
【分析】根据图形作线段 和 的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可．
【详解】解：如图
作线段 和 的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用．
2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在
桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底
有水面AB的宽度是（ ）cm.A．6 B． C． D．
【答案】C
【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后
运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC= ，
∴AB=2AC= .
故答案为C.
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.
3．（2019·浙江杭州·九年级）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形 的边 和 分别是两
圆的弦，则矩形 面积的最大值是 ．【答案】16
【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之
间的关系得出S = S = S ，从而得出S 最大时，S 也最大，过点D作AO边上
AOD 矩形APND 矩形ABCD 矩形ABCD AOD
△ △
的高h，根据垂线段最短可得h≤OD，利用三角形的面积公式即可求出S 的最大值，从而求出结论．
AOD
△
【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD
∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD，
∴OM=AP
根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点，
∴S = S
矩形APND 矩形ABCD
∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长
∴S = S = S
AOD 矩形APND 矩形ABCD
△
∴S 最大时，S 也最大
矩形ABCD AOD
△
过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号）
∴S = AO·h≤ AO·OD= ×2×4=4
AOD
△
故S 的最大值为4
AOD
△
∴S 的最大值为4÷ =16
矩形ABCD
故答案为：16．
【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的
关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键．
4．（2019秋·浙江台州·九年级统考期末） 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直
线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm
【答案】134
【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方
程即可解答．
【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32，
∵OE⊥AB，
∴AE=EB=100cm，
在RT OAE中 ，
△
在RT OCE中， ，
△
则
解得：r=134．
故答案为：134．
【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
5．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在两个同心圆 中，大圆的弦 与小圆相交于
C，D两点．
(1)求证： ．(2)若 ，大圆的半径 ，求小圆的半径r．
【答案】(1)证明见解析
(2)小圆的半径r为
【分析】（1）过O作 于点E，由垂径定理可知E为 和 的中点，则可证得结论；
（2）连接 ，由条件可求得 的长，则可求得 和 的长，在 中，利用勾股定理可求
得 的长，在 中可求得 的长；
【详解】（1）证明：过O作 于点E，如图1，
由垂径定理可得
∴
∴
（2）解：连接 ，如图2，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理可得 ，
在 中，由勾股定理可得∴ ，即小圆的半径r为 ．
【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，
注意辅助线的作法．
6．（2021·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）（1）如图①， 为等边三角形，若 ，则
的面积为__________；
（2）如图②，在矩形 中， ．如果点P是 边上一点，且 ，那么 边上是否
存在一点Q，使得线段 将矩形 的面积平分？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，有一个平行四边形花园 米， 米， ，点E在 边上，且
．现需在花园内开辟四边形区域 种植一种红色花卉．根据设计要求，F为花园内（含边
界）一点，满足 ，同时过点F修建一条笔直的小路 （点G、H为该花园入口，其中点G、
H分别在平行四边形 的边 、 上），且使 平分该平行四边形花园 的面积．那么是否
存在这样的点F，使四边形 的面积最大且使 平分该平行四边形花园 的面积？若存在，请
求出此时四边形 的面积及线段 的长度；若不存在，请说明理由．（小路宽度忽略不计）
【答案】（1） ；（2）存在， ，证明见解析；（3）最大面积为 m2，PQ长为100米
【分析】（1）首先作出高线，根据三角形的三线合一，得出30° 的角，利用勾股定理求出高线的长，即
可求出面积；
（2）根据矩形是中心对称图形，经过矩形对角线交点的直线平分面积，连接AC与BD，交点为O，连接
PO延长至Q，证明全等，再构造直角三角形求出PQ即可；
（3）连接DE，四边形AEFD面积中△ADE为等边三角形，面积不变，即求出△DEF面积的最大值即可，而△DEF的边DE不动，F点在平行四边形内部（包含边界），所以求出当点F距到DE边的距离最大时，
面积最大；因为∠DFE角度不变，构造隐形圆，即可求出最大的高．
【详解】（1）过点C作CD⊥AB,垂足为D，
∵△ABC为等边三角形，CD⊥AB
∴AD=BD,∠ACD=∠BCD=30°，
∵AC=2,
∴AD= ,
在Rt△ADC中，
,
∴S△ABC= ;
（2）连接AC,BD交于点O，连接PO并延长，交于BC与点Q，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AO=CO,BO=DO,
又∵∠AOP=∠QOC，
∴△APO≌△CQO，
同理可得△POD≌△QOB，△AOB≌△COD,
∴ ,
即PQ平分矩形ABCD的面积；
过点P作PH⊥BC，交于BC于点H，
由上证明可知：AP=CQ=1,且AP=BH=1,
∴ ,在Rt△PHQ中， ．
（3）连接DE，作DE的垂直平分线，再作FE的垂直平分线，两垂直平分线交于一点O，过点O，以OE
为半径作圆，交于CD于一点G；当F位于G点时，四边形AEFD的面积最大，理由如下：
∵AD=AE,∠A=60°，
∴△ADE为等边三角形，面积为定值 ，
∴当△DEF面积最大时，四边形AEFD面积最大；
又∵△DEF的边DE为固定边，且∠DFE=60°，
∴点F为一个圆上的动点，点D，E为圆上的顶点，且∠AFE为圆周角，DE,EF,DF为圆的弦，
∴作任意两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，
∴作DE和EF的垂直平分线，交点O即为圆心，OD=OE=OF为半径，
∴当F运动到G点时，△DEF以DE为底，高最大，故面积最大，
如下图，此时四边形AEGD的面积为两个等边三角形面积，即为 ，
再连接对角线AC,BD,交于点P，连接GP，并延长，交于AB与点H，易得△EGH为等边三角形，所以
GH=100．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，隐形圆问题，难度较大，解题关
键在于掌握平行四边形的性质与隐形圆的特征．
【经典例题四 利用垂径定理求解其他问题】
1．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图， 是锐角三角形 的外接圆， ，
垂足分别为 ，连接 ．若 的周长为21，则 的长为（ ）
A．8 B．4 C．3.5 D．3
【答案】B
【分析】根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是 的中点，再由中位线的性质及三
角形的周长求解即可．
【详解】解：∵ 是锐角三角形 的外接圆， ，
∴点D、E、F分别是 的中点，
∴ ，
∵ 的周长为21，
∴ 即 ，
∴ ，故选：B．
【点睛】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是
解题关键．
2．（2023秋·浙江·九年级期中）如图， 是以 为直径的半圆 上一点，连接 ， ，分别以 ，
为边向外作正方形 ， ， ， ，弧 ，弧 的中点分别是 、 、 、 ，若
， ，则 （ ）
A． B． C．11 D．15
【答案】D
【分析】连接 ， ，根据 ， ，弧 ，弧 的中点分别是 、 、 、 ，得到 ，
，从而得到H、I分别是 、 的中点，利用中位线定理即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接 ， ，
∵ ， ，弧 ，弧 的中点分别是 、 、 、 ，
∴ ， ，
∴H、I分别是 、 的中点，
∴
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
故选D．
【点睛】本题考查了中位线定理，垂径定理，解题的关键是正确的作出辅助线，根据垂径定理得到
， ．
3．（2023春·江西南昌·九年级统考期末）如图， 是半圆O的弦， 过圆心O，过O作
于点D．若 ，则 cm．
【答案】3
【分析】由圆的性质可得 ，再根据垂径定理可得 ，则 是 的中位线，然后根据
中位线的性质即可解答．
【详解】解：∵ 过圆心O，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、三角形中位线的判定与性质等知识点，说明 是 的中位线成
为解答本题的关键．
4．（2023春·天津和平·九年级校考阶段练习）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点 ，点 ，
点 均在格点上，并且在同一个圆上，取格点 ，连接 并延长交圆于点 ．
（1）线段 的长为 ．（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画图：
①确定圆心 ；并求出四边形 外接圆的半径为 ；
②画出线段 ，使 平分 ，且点 在圆上并简要说明点 的位置是如何找到的（不要求证明）
．
【答案】 作出 的平分线 并延长交圆于点 ，连接 ， 即为所求
【分析】（1）根据网格的特征，利用勾股定理求解即可；
（2）根据格点的特征及勾股定理确定四边形 外接圆的圆心，从而求解半径；
（3）取格点 ， 连接 ，交 于点 ，连接 并延长交圆于点 ，连接 ，即可．
【详解】（1）根据网格的特征，
线段
故答案为： ．
（2）根据格点的特征，四边形 外接圆的圆心位于格点O的位置，连接 ， ， ， ，
由题意可得
故答案为： ．
（3）取格点 ， 连接 ，交 于点 ，连接 并延长交圆于点 ，连接 ，即可，
由格点特征可得四边形 为平行四边形，则有
点 为 中点，即 为 的中位线
点 为 中点
∴点 是 的中点∴
∴ 即为所求，
故答案为：取格点 ， 连接 ，交 于点 ，连接 并延长交圆于点 ，连接 ，即可.
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是理解题意，利用网格的结构特点构造平行四边形和
中位线．
5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）不过圆心的直线 交 于 、 两点， 是 的直径，
于 ， 于 ．
(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；
(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论 除外 不再标注其他字
母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；
(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据题意构造出垂径定理的基本图形，使得 于 ， 于 ．
（2）根据图形得出结论
（3）选择图①，过 作 于 ．由垂径定理知 ．进而得出 ，则 ．
【详解】（1）解：如图所示，
在图①中 、 延长线交于 外一点；
在图②中 、 交于 内一点；
在图③中 ．（2）在三个图形中均有结论：线段 ．
（3）证明：如图①，过 作 于 ．由垂径定理知 ．
于 ， 于 ，
，
∴ ，
为直径，
，
，
．
【点睛】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形.
6．（2023春·全国·九年级专题练习）在平衡直角坐标系 中，线段 ，点 ， 在线段 上，
且 ， 为 的中点，如果任取一点 ，将点 绕点 顺时针旋转 得到点 ，则称点 为点
关于线段 的“旋平点”．(1)如图1，已知 ， ， ，知果 为点 关于线段 的“旋平点”，画出示意图，
写出 的取值范围；
(2)如图 ， 的半径为 ，点 ， 在 上，点 ，如果在直线 上存在点 关于线段 的
“旋平点”，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据旋平点的定义，找到点 ，即可；
（2）当线段 轴时，存在点 关于线段 的“旋平点” ，即“旋平点” 与点 在 轴方向的
距离最长， ，以点 为圆心， 为半径画圆；以点 为圆心， 为半径画圆，分别以直线 ，
作 点的对称点 和 ，根据对称的性质，即可求出 的取值范围．
【详解】（1）设 ， ， 且 ，
∵点 、 在线段 上，且 ， ， ，∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵点 与点 关于点 对称，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的取值范围为： ．
（2）如图：
当线段 轴时，存在点 关于线段 的“旋平点”
即“旋平点” 与点 在 轴方向的距离最长，
∴ ，
以点 为圆心， 为半径画圆；以点 为圆心， 为半径画圆，∴直线 与半径为 的圆交点 ，直线 与半径为 的圆交点 ，
分别以直线 ， 作 点的对称点 和 ，
∵点 ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查新定义圆和对称的知识，解题的关键是理解旋平点的定义，根据定义，进行解题．
【经典例题五 垂径定理的推论】
【例5】（2022春·九年级课时练习）如图，在△ABC中， ，点D是AB的中点，将△ACD沿
CD对折得△A′CD．连接 ，连接AA′交CD于点E，若 ， ，则CE的长为（ ）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【答案】B
【分析】由折叠性质得AA′⊥CD，AD= A′D，根据直角三角形斜边上的中线性质可证得CD=AD=BD=
A′D，可证得A、C、A′、B共圆且AB为直径，利用垂径定理的推论和三角形的中位线性质证得DE=
A′B，进而可求解CE的长．
【详解】解：由折叠性质得AA′⊥CD，AD= A′D，
∵ ，点D是AB的中点，
∴CD=AD=BD= A′D= AB，
∴A、C、A′、B共圆且AB为直径，又A A′⊥CD，
∴AE= A′E，又AD=BD，
∴DE是△AB A′的中位线，
∴DE= A′B，
∵ ， ，
∴CD=7cm，DE=2cm，
∴CE=CD-DE=7-2=5cm，
故选B．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质、折叠性质、垂径定理的推论，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）如图，矩形 中， ， ， ， 分别是 ， 边上
的动点， ，以 为直径的 与 交于点 ， ．则 的最大值为（ ）．
A．48 B．45 C．42 D．40
【答案】A
【分析】过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，先利用勾股定理计算出BD=75，则利用面积法可计算
出AH=36，再证明点O在AH上时，OH最短，此时HM有最大值，最大值为24，然后根据垂径定理可判
断MN的最大值．
【详解】解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，
在Rt△ABD中，BD= ，
∵ ×AH×BD= ×AD×AB，
∴AH= =36，
∵⊙O的半径为 26，
∴点O在AH上时，OH最短，∵HM= ，
∴此时HM有最大值，最大值为：
24，
∵OH⊥MN，
∴MN=2MH，
∴MN的最大值为2×24=48．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了矩形的性
质和勾股定理．
2．（2021·浙江·九年级自主招生）如图，在 中， ，以该三角形的三条边为边向形外
作正方形，正方形的顶点E，F，G，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为 ， 面积为 ，则 的
值是 ．
【答案】
【分析】先设 的三边长为 ， ， ，其中 为斜边，设 的半径为 ，根据图形找出 ， ，
， 的关系，用含 的式子表示 和 ，即可求出比值．
【详解】如图：取 的中点为 ，取 的中点为 ，连接 ， ， ，设 ， ， 则 ①
取 的中点为 ，
是直角三角形
圆心在 和 的垂直平分线上
为圆心
连接 ， ，则 ， 为半径
的中点为 ， 的中点为
，
在 和 中，由勾股定理得：
②
由①②得
，
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形斜边中线等于斜边一半，即斜边的中点为圆的圆心，解
题关键在于找到圆心，用用含 的式子表示 和 ．
3．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校联考期中）如图， 是以 为直径的半圆 上一点，连结 ，
分别以 为直径作半圆，其中 分别是 为直径作半圆弧的中点，弧 ，弧 的中点分别是 ，若 ， ，则 的长是 ．
【答案】
【分析】先利用垂径定理及其推论得到 四点共线， 四点共线，再利用三角形中
位线定理等知识对线段之间的关系进行转化，即可求解．
【详解】解：连接 和 ，与 和 的交点分别记为点 和点 ，
∵弧 ，弧 的中点分别是 ，
∴ 垂直平分 ， 垂直平分 ，
∴点 和点 分别是 和 的中点，
∴ ， ，
∵ 分别是 为直径作半圆弧的中点，
∴ ， ，
∴ 四点共线， 四点共线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了垂径定理的推论、三角形的中位线定义与定理等知识，解题关键是得到
四点共线， 四点共线，然后利用线段的和差关系求解．
4．（2023秋·全国·九年级专题练习） ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是 ABC的外接圆．
△ △（1）如图①，求⊙O的半径；
（2）如图②，∠ABC的平分线交半径OA于点E，交⊙O于点D．求OE的长．
【答案】（1）⊙O的半径为 ；（2）OE
【分析】(1)过A点作AH⊥BC于H，如图①，利用等腰三角形的性质得BH=CH=3，根据垂径定理的推论
可判断点O在AH上，则利用勾股定理可计算出AH=4，连接OB，设⊙O的半径为r，在Rt△OBH中利用
勾股定理得到32+（4-r）2=r2，然后解方程即可；
(2)作EF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到EH=EF，利用面积法得到 ，所以EH
AH ，然后利用（1）得OH ,从而计算EH-OH得到OE的长．
【详解】解：（1）过A点作AH⊥BC于H，如图①，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BH＝CH BC＝3，
即AH垂直平分BC，
∴点O在AH上，在Rt ABH中，AH 4，
△
连接OB，设⊙O的半径为r，则OB＝r，OH＝AH﹣OA＝4﹣r，
在Rt OBH中，32+（4﹣r）2＝r2，解得r ，
△
即⊙O的半径为 ；
（2）作EF⊥AB于F，如图②
∵BD平分∠ABC，
∴EH＝EF，
∵S ABE BH•AE AB•EF，
△
∴ ，
∴EH AH 4 ，
由（1）得OH＝AH﹣OA＝4 ，
∴OE=EH-OH ．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点
和等腰三角形的性质是解题的关键．
5．（2021·上海·九年级专题练习）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的
⊙O交边DC于E、F两点，AD＝1，BC＝5，设⊙O的半径长为r．（1）联结OF，当OF∥BC时，求⊙O的半径长；
（2）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，设OH＝y，试用r的代数式表示y；
（3）设点G为DC的中点，联结OG、OD，△ODG是否能成为等腰三角形？如果能，试求出r的值；如
不能，试说明理由．
【答案】(1)3；(2)y= ；(3)△ODG能成为等腰三角形，r=2
【分析】(1)证OF为梯形ABCD的中位线，得出r=OF= (AD+BC)=3即可；
(2)联结OD、OC，过点D作DM⊥BC于M，则CM=BC﹣BM=4，由勾股定理得出DC=2 ，由四边
形ABCD的面积=△DOC的面积+△AOD的面积+△BOC的面积，进而得出答案；
(3)证OG是梯形ABCD的中位线，得出OG∥AD，OG=3，DG= CD= ，由勾股定理得OD=
，分三种情况，分别求解即可．
【详解】解：(1)∵OF∥BC，OA=OB，
∴OF为梯形ABCD的中位线，
∴OF= (AD+BC)= (1+5)=3，
即⊙O的半径长为3；
(2)联结OD、OC，过点D作DM⊥BC于M，如图1所示：∵AD∥BC，∠ABC=90°，且DM⊥BC，
∴四边形ABMD为矩形，
则BM=AD=1，
∴CM=BC﹣BM=4，
∴DC= ，
∵四边形ABCD的面积=△DOC的面积+△AOD的面积+△BOC的面积，
∴ (1+5)×2r= ×2 ×y+ r×1+ r×5，
整理得：y= ；
(3)△ODG能成为等腰三角形，理由如下：
∵点G为DC的中点，OA=OB，
∴OG是梯形ABCD的中位线，
∴OG∥AD，OG= (AD+BC)= (1+5)=3，
DG= CD= ，
由勾股定理得：OD= ，
分三种情况：
①DG=DO时，则 ，无解；
②OD=OG时，如图2所示：
，解得： ；
③GD=GO时，作OH⊥CD于H，如图3所示：
∠GOD=∠GDO，
∵OG∥AD，
∴∠ADO=∠GOD，
∴∠ADO=∠GDO，
∴DO是∠ADG的平分线，
由题意知：OA⊥AD，
又OH⊥CD，
∴OA=OH，
则此时圆O和CD相切，不合题意；
综上所述，△ODG能成为等腰三角形，r= ．
【点睛】本题考查了垂径定理、梯形中位线定理、勾股定理、角平分线的性质、等腰三角形的性质等知识；
熟练掌握垂径定理和梯形中位线定理是解题的关键．
【经典例题六 垂径定理的实际应用】
【例6】（2023·广西·统考中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱
桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为 ，拱高约为 ，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知， ， ，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到 ，再利用勾股
定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意可知， ， ，主桥拱半径R，
，
是半径，且 ，
，
在 中， ，
，
解得： ，
故选B
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键．
【变式训练】1．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）为了测量圆形工件的直径．
甲：如图1，在工作台上用边长相同的两个立方体小木块顶在圆形工件的两侧，测得两木块间的距离b和
小木块的边长a即可；
乙：如图2，把两个小木块换成两个相同的小圆柱，量得圆柱半径n和两个圆心之间的距离m即可．
下面的说法正确的是（ ）
A．甲对乙不对 B．甲不对乙对 C．两人都不对 D．两人都对
【答案】D
【分析】甲：如图1，连接 ， ， ，过O点作 于E点，交圆O点F，
根据图形可知： ， ，利用垂直定理以及勾股定理即可作答；乙：如图2，连接 ， ，
，过O点作 于E点，交圆O点F，
根据图形可知： ， ，同理利用垂直定理以及勾股定理即可作答．
【详解】
甲：如图1，连接 ， ， ，过O点作 于E点，交圆O点F，
根据图形可知： ， ，
∵ ，
∴ ，
设圆O的半径为r，
∴ ，
在 中，有： ，∴ ，
解方程即可求出r，即甲的说法正确；
乙：如图2，连接 ， ， ，过O点作 于E点，交圆O点F，
根据图形可知： ， ，
设圆O的半径为r，
同理可得： ，
解方程即可求出r，即乙的说法正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．
2．（2023秋·河北石家庄·九年级校联考期末）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，
“图上”太阳与海平线交于 ， 两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米， 厘米．若从日前太阳
所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为8分钟，则①现在“图上”太阳与海平线的位置关系是 ；
②“图上”太阳升起的平均速度为 厘米/分．
【答案】 相交 1
【分析】首先根据海平面与圆有两个交点可判断出直线与圆的位置关系，然后连接 ，过点O作
于D，由垂径定理求出 的长，再由勾股定理求出 的长，然后计算出太阳在海平线以下部分
的高度，即可求解．
【详解】解：∵海平面与圆有两个交点
∴现在“图上”太阳与海平线的位置关系是相交；
设“图上”圆的圆心为O，连接 ，过点O作 于D，如图所示：∵ 厘米，
∴ （厘米），
∵ 厘米，
∴ （厘米），
∴海平线以下部分的高度 （厘米），
∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为8分钟，
∴“图上”太阳升起的速度 （厘米/分），
故答案为：相交，1．
【点睛】本题考查的是垂径定理的运用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
3．（2022秋·浙江温州·九年级温州绣山中学校考期中）如图1是某学校食堂墙壁上“光盘行动，从我做
起”的长方形宣传画，画的左侧为一个圆盘上摆放一双筷子，画的下边缘为水平线，图2是其示意图，水
平线 上的点 在圆心 的正下方，筷子与 右下方交于 ， 两点，线段 ， 分别垂直 于点 ，
．测得 ， ，则圆盘 的半径为 ．
【答案】
【分析】连接 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，易证四边形 、 是矩形，从而
得出 ， ， ，设 ，则可求 ， ，根据勾股定理建立关于 的方程 ，即可求出 的值，最后在 中根据勾股定理即可
求出半径．
【详解】解：如图，连接 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，
，
∵线段 ， 分别垂直 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∵水平线 上的点 在圆心 的正下方，
∴ ，
∴四边形 、 都是矩形，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
在 中， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
即圆盘 的半径为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，添加合适的辅助线，构造直角三角形，运用勾股定理建
立关于 的方程 是解题的关键．
4．（2022秋·广西河池·九年级统考期末）将图中破损的轮子复原，已知点 ， ， 在弧 上．
(1)尺规作图：作出该轮子的圆心（不写作法，用黑色笔将作图痕迹加黑）；
(2)连接 ，若点 是弧 的中点， ，点 到 的距离是 ，求轮子的半径 ．
【答案】(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）根据垂径定理的推论，分别作弦 和 的垂直平分线，两垂直平分线交点即为所求；
（2）连接 ， ，利用垂径定理推论和勾股定理可求出圆片的半径 ．
【详解】（1）解：如图，分别作 垂直平分 、 垂直平分 ， 交 于点 ，
∴ 和 都经过弧 所在圆的圆心，
∴点 为该轮子的圆心．
则点 即为所作．（2）如图，连接 交 于 ，连接 ，
∵点 是 的中点， ，
∴ ， ，
∵点 到 的距离是 ，轮子的半径 ，
∴ ，
∵ ， ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴轮子的半径为 ．
【点睛】本题考查垂径定理的推论，可以把垂径定理的题设和结论叙述为：一条直线①过圆心，②垂直于
弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧，在应用垂径定理解题时，只要具备上述5条中任意2条，则其
他3条成立．掌握垂径定理的推论是解题的关键．
5．（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明
朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，
筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的 ．如图②， 始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当
时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时 ，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数
据， ）问题解决：
(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时， 的度数；
(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到 米）
【答案】(1) ；
(2)该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为 米．
【分析】（1）先求得该盛水筒的运动速度，再利用周角的定义即可求解；
（2）作 于点C，在 中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得 的长，
在 中，利用勾股定理求得 的长，据此即可求解．
【详解】（1）解：∵旋转一周用时120秒，
∴每秒旋转 ，
当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时， ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：作 于点C，设 与水平面交于点D，则 ，在 中， ， ，
∴ ， ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ (米)，
答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为 米．
【点睛】本题考查了圆的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，
找出所求问题需要的条件．
【经典例题七 利用弧、弦、圆心角的关系求解】
【例7】（2023·江苏·九年级假期作业）如图， 的顶点A、B、C均在 上，点A是 中点，则下
列结论正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系即可解答．
【详解】解：A、∵点A是 中点，
∴ ，
∴ ，
无法得出 ，故选项A错误；
B、如图：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故此选项正确；
C、∵ ，
∴ ，故选项C错误；
D、无法得出 ，故选项D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，正确把握相关定理是解题关键．
【变式训练】
1．（2023·江苏·模拟预测）将半径为5的 如图折叠，折痕 长为8，C为折叠后 的中点，则长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】延长 交 于点D，交 于点E，连接 、 、 、 ，根据圆心角、弧、弦、的关
系由 得到 ，可以判断 是 的垂直平分线，则 ，再利用勾股定理求出
，所以 ，然后利用点C和点D关于 对称得出 ，最后计算 即可得出答案．
【详解】解：延长 交 于点D，交 于点E，连接 、 、 、 ，如图，
∵C为折叠后 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
在 中， ,
∴ ，
∵ 沿 折叠得到 ， ，∴点C和点D关于 对称，
∴ ，
∴ ，
故选C
【点睛】本题主要考查了图形的折叠变换，圆的对称性，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及勾股定
理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的对称性及折叠前后的对应关系．
2．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在半圆O中半径为 ， ， 与
交于点D
（1） ＝ ；
（2）当点D恰好为 的中点时， ＝ ．
【答案】 60°
【分析】（1）根据 ， ，得 ，所以 ，由
为圆O的直径，得 ，所以 ；
（2）设 ，得 ， ， ，在 中，根据勾股定理得
，即可求出答案．
【详解】解：（1） , ，
，
，
，
为圆O的直径，
，
；故答案为： ；
（2）设 ，
∵点D恰好为 的中点，
，
在 中， ，
，
在 中，根据勾股定理得，
，
即 ，
解得 （舍去 ），
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系和勾股定理，解题的关键是正确利用勾股定理解决问题．
3．（2022春·山东烟台·九年级校联考期中）如图，以 的半径为半径，自 上的A点起，在圆上依次
画弧截取点B，C，D，E，F．正方形EFGH的中心为 ，连接FA， ，则 ．
【答案】75°/75度
【分析】连接OA，OF，OE，根据等边三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦关系，求得∠AFE=120°，
再根据正方形的性质求得∠OFE=45°，计算角的差即可解答；
1
【详解】解：如图，连接OA，OF，OE，∵FE=OF=OE，∴△OFE是等边三角形，∴∠OFE=60°，∴弧FE=60°，
由圆心角、弧、弦关系可得弧FE=弧ED=弧DC=弧CB=弧BA=60°，
∴弧AF=360°-60°×5=60°，∴∠AOF=60°，
∵OA=OF，∴△OAF是等边三角形，∴∠AFO=60°，
∴∠AFE=∠AFO+∠OFE=120°，
∵O 是正方形的中心，∴∠OFE=45°，
1 1
∴∠AFO =∠AFE-∠OFE=75°，
1 1
故答案为：75°；
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中
有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；等边三角形的判定和性质；正方形的性质；掌
握相关性质是解题关键．
4．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，在半圆O中半径为 ， ， ，
与 交于点D，
(1) __________；
(2)当点D恰好为 的中点时， __________．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 ， ，得 ，所以 ，由为圆O的直径，得 ，所以 ；
（2）设 ，得 ， ， ，在 中，根据勾股定理得
，即可求出答案．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为圆O的直径， ∴ ，
∴ ；
故答案为：60°；
（2）解：设 ，
∵点D恰好为 的中点，
∴ ，
在 中， ，
∴ ， ，
在 中，根据勾股定理得， ，
∵圆O半径为 ，则 ，
∴ ，
解得 （舍去 ），
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系和勾股定理，解题的关键是正确利用勾股定理解决问题．
5．（2023秋·湖北鄂州·九年级统考期末）请仔细阅读以下材料：
定理一：一般地，如图，四边形 中，如果连接两条对角线后形成的 ，则 四点共圆．
我们由定理可以进一步得出结论： ， ， ．
定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
温馨提示：下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己
更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分．
探究问题：如图，在 和 中，
， ， ，连接 交于点 ， 交 于点 ，连接 ．
(1)求证 ；
(2)请直接写出 ___________度， ___________度；
(3)若 ，求证 ．
【答案】(1)证明过程见详解
(2) ，
(3)证明过程见详解
【分析】（1）根据题意，证明 即可求证；
（2）由（1）可知 ，在 ， 中即可求解；根据定理一，可知 四点
共圆，由此即可求解；（3）根据定理二，如图所示（见详解）， ，证明 是等腰三角形， 即可求证．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
（2）解：由（1）可知， ，
∴ ，
在 ， ，
∴在 中， ，
∴ ；
∵ ，根据定理一，可知 四点共圆，如图所示，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，即 ，
∵ 是圆周角，且与圆周角 所对弧相同，
∴ ，
故答案为： ， ．
（3）解：如图所示，取 的中点 ，连接 ，由（2）可知， ， ，
∴在 中，点 是 的中点，
∴根据定理二，可知 ，即 ，
∴ 是等腰三角形，且 ，
∵ 是外角，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，即 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查圆、直角三角形、等腰三角形的综合，掌握圆的基础知识，定理一，定理二，等腰
三角形的性质是解题的关键．
【经典例题八 利用弧、弦、圆心角的关系求证】
【例8】．（2023·江苏·九年级假期作业）如图， 为 的直径，点 是 的中点，过点 作
于点 ，延长 交 于点 ．若 ， ，则 的直径长为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，首先证明 ，设 ,在 中，利用勾股定理构建方程即可解决
问题
【详解】解：如图，连接 ．
，
， ，
点D是弧 的中点，
，
，
，
，
设 ,
在 中，则有 ，
解得 ，
，
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程
解决问题，属于中考常考题型．
【变式训练】1．（2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习）已知锐角 ，观察下图中的作图痕迹，判断下列结
论错误的是（ ）
A．当 时， B．
C． 与 互相垂直平分 D．连接 、 ， 是等腰三角形
【答案】C
【分析】根据尺规作图可知所作的 平分 ，据此结合等腰三角形的判定、含 角的直角三角形
的性质、垂直平分线的判定即可作答．
【详解】根据尺规作图可知所作的 平分 ， ，
∴ ，
A项，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴在 中， ，即有 ，
∵ ，
∴ ，故该项正确，不符合题意；
B项，∵ ，
∴ ，故该项正确，不符合题意；
D项，连接 、 ，∵ 是等腰三角形， 平分 ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，故该项正确，不符合题意；
C项，根据图形只能证明 垂直平分 ，不能证明 垂直平分 ，
故该项不正确，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图，等腰三角形的判定，同圆中相等的圆心角所对应的弧也相等等
知识，掌握等腰三角形的判定，是解答本题的关键．
2．（2022秋·九年级单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）：
（1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等．
（2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等．
（3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等．
（4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等．
【答案】 真命题 假命题 真命题 假命题
【分析】根据圆的相关性质分别判断各命题的真假．
【详解】解：对于（1），在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等，原命题为真命题；
对于（2），在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧不一定相等，因为一条弦对应两条弧，原命题为
假命题；
对于（3），在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等，原命题为真命题；
对于（4），在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦有可能相等，如圆心角分别为 和 所对的
两条弧，其所对的弦相等，原命题为假命题．
故答案为：真命题，假命题，真命题，假命题．
【点睛】本题考查了同圆或等圆中圆心角，弧长，弦长的关系，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
3．（2023秋·北京·九年级清华附中校考期中）如图， 是 的直径，弦 ，分别过 、 作
的垂线，垂足为 、 ，以下结论
① ；② ；
③若四边形 是正方形，则 ；
④若 为弧 的中点，则 为 中点．
所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】先证明四边形 是矩形，再证明 ，可得结论①②正确，证明
，可得③错误；证明 是等边三角形，可得④正确，从而可得答案．
【详解】解：连接 、 ， 如图， 、 ，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，故②正确，
， ， ，故①正确，当四边形 是正方形时， ，
，
，
故③错误，
若 是 的中点，连接 ，而
，
，
是等边三角形，
，
，故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形全等的判定与性质，矩形的
判定与性质，正方形的性质，圆心角、弧、弦的关系；掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、
两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”是解题的关键．
4．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图 为圆O的直径， 为圆O的弦，C为O上一点， ，
，垂足为D．
(1)连接 ，判断 与 的位置关系，并证明；
(2)若 ， ，求圆O的半径；
【答案】(1) ，证明见详解
(2)5【分析】（1） ，理由如下：延长 交 于点 ，连接 ，再根据圆的基本性质及等腰三角
形的性质即可；
（2）由（1）中结论， ， ，先证明 ，再根据勾股定理即可．
【详解】（1）解： ，理由如下：
延长 交 于点 ，连接 ，
，
，
；
（2）解：由（1）中结论， ，
，
，
设 的半径为 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得： ，即 的半径为5．【点睛】本题考查圆的基本性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数
形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
5．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图 ， 和 是 的两条
弦（即折线 是弦 的一条折弦）， ， 是弧 的中点，则从 向 所作垂线的垂足
是折弦 的中点，即 ，下面是运用“截长法”证明 的部分证明过程
证明：如图2，在 上截取 ，连接 ， ， 和
是弧 的中点，
∴ ，
……
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)实践应用：如图3， 内接于 ， ， 是弧 的中点， 于点 ，依据
阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为______.
(3)如图4，等腰 内接于 ， ， 为弧 上一点，连接 ， ， ，
，求 的周长.
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）首先证明 ，进而得出 ，再利用等腰三角形的性质得出，即可证明结论；
（2）直接根据阿基米德折弦定理，即可证明结论；
（3）过点 作 ，根据阿基米德折弦定理，勾股定理求得 ，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图2，在 上截取 ，连接 ， ， 和 ．
是 的中点，
．
在 和 中
，
，
，
又 ，
，
．
（2）解：根据（1）中的结论可得图中某三条线段的等量关系为
故答案为： ．
（3）解：如图所示，过点 作 ，由阿基米德折弦定理得： ，
∵
∴
∴ ，
∴ 的周长为
【点睛】本题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，理解“截长
法”是解答本题的关键．
