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29.1 投影
第2课时 正投影
1．理解正投影的概念；(重点)
2．归纳正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影．(难点)
一、情境导入
观察下图，这三个图分别表示同一块三角尺在阳光照射下形成的投影，其中图①与图
②③的投影线有什么区别？图②③的投影线与投影面的位置关系有什么区别？
二、合作探究
探究点：正投影
【类型一】 确定正投影的形状
如图所示，左面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影
图是( )
解析：依题意，光线是垂直照下的，故只有D符合．故选D.
方法总结：当投影面垂直于入射光线时，球体的投影是圆形，否则为椭圆形．若投影面不
是平面，则投影形状要复杂得多．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题
【类型二】 物体与其正投影的关系
木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定( )
A．大于1.2m B．小于1.2m
C．等于1.2m D．小于或等于1.2m
解析：正投影的长度与木棒的摆放角度有关，但无论怎样摆都不会超过1.2 m．故选D.
方法总结：当线段平行于投影面时的正投影与原线段相等，当线段不平行于投影面时的
正投影小于原线段．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型三】 画投影面上的正投影
画出下列立体图形投影线从上方射向下方的正投影．
第 1 页 共 3 页解析：第一个图投影线从上方射向下方的正投影是长方形，第二个图投影线从上方射向
下方的正投影也是长方形，第三个图投影线从上方射向下方的正投影是圆且有圆心．
解：如图所示：
方法总结：在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成
实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
探究点二：正投影的综合应用
【类型一】 正投影与勾股定理的综合
一个长8cm的木棒AB，已知AB平行于投影面α，投影线垂直于α.
(1)求影子AB 的长度(如图①)；
1 1
(2)若将木棒绕其端点A逆时针旋转30°，求旋转后木棒的影长AB(如图②)．
2 2
解析：根据平行投影和正投影的定义解答即可．
解：如图①，AB＝AB＝8cm；
1 1
如图③，作AE⊥BB 于E，则四边形AABE是矩形，∴AB＝AE，△ABE是直角三角形．
2 2 2 2 2
∵AB＝8cm，∠BAE＝30°，∴BE＝4cm，AE＝＝4cm，∴AB＝4cm.
2 2
方法总结：当线段平行于投影面时的正投影与原线段相等，当线段不平行于投影
面时的正投影小于原线段，可以用解直角三角形求得投影的长度．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型二】 正投影与相似三角形的综合
在长、宽都为4m，高为3m的房间正中央的天花板上悬挂着一只白炽灯泡，为了集
中光线，加上了灯罩(如图所示)．已知灯罩深AN＝8cm，灯泡离地面2m，为了使光线恰好照
在相对的墙角D、E处，灯罩的直径BC应为多少？(结果保留两位小数，≈1.414)
第 2 页 共 3 页解析：根据题意画出图形，则AN＝0.08m，AM＝2m，由房间的地面为边长为4m的正方
形可计算出DE的长，再根据△ABC∽△ADE利用相似三角形对应边成比例解答．
解：如图，光线恰好照在墙角D、E处，AN＝0.08m，AM＝2m，由于房间的地面为边长为
4m的正方形，则DE＝4m.∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴＝，即＝，∴BC≈0.23(m)．
答：灯罩的直径BC约为0.23m.
方法总结：解决问题的关键是画出图形，根据图形相似的性质和判定解题．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
三、板书设计
1．正投影的概念及性质；
2．正投影的综合应用．
本节课的学案设计，力求具体、生动、直观．因此，学生多以操作、观察实物模型和图片等
活动为主．比如通过观察铁丝、圆柱、圆锥等图形在不同位置时的正投影特征，归纳出物体正
投影的一般规律，并能根据此规律画出简单平面图形的正投影．在介绍投影概念时，借助太
阳光线进行投影实例的观察，这样不仅直观而且富有真实感，能激发学生学习兴趣.
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