文档内容
第二十六章 反比例函数
本章内容属于“数与代数”领域，是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础
上，再一次进入函数范畴，让学生进一步理解函数的内涵，并感受现实世界中存在各种函数，
掌握如何应用函数知识解决实际问题．反比例函数是最基本的函数之一，是学习后续各类函
数的基础．
本章的主要内容是反比例函数，教材中从几个学生熟悉的实际问题出发，引入反比例函
数的概念，使学生逐步从对具体函数的感性认识上升到对抽象的反比例函数概念的理性认
识．
第一节的内容是反比例函数的概念以及反比例函数的图象和性质．反比例函数y＝(k为
常数，k≠0)的图象分布在两个象限，当k>0时，图象分布在第一、三象限，y随x的增大(减小)
而减小(增大)；当k<0时，图象分布在第二、四象限，y随x的增大(减小)而增大(减小)．第二节
的内容是如何利用反比例函数解决现实世界中的实际问题以及如何用反比例函数解释现实
世界中的一些现象．
教学中要注重数学思想的渗透，注意做好与已学内容的衔接，还要加强反比例函数与正
比例函数的对比．
本章的重点是反比例函数的概念、图象和性质，图象是直观地描述和研究函数的重要工
具．教材中给出了大量的具体的反比例函数的例子，用以加深学生对所学知识的理解和融会
贯通．本章的难点是对反比例函数及其图象和性质的理解和掌握，教学时在这方面要投入更
多的精力．
1．理解并掌握反比例函数的概念．
2．掌握反比例函数的图象和性质．
3．能灵活运用反比例函数知识解决实际问题．
本章教学约需4课时，具体分配如下：
26．1 反比例函数3课时
26．2 实际问题与反比例函数1课时
26．1 反比例函数
26．1.1 反比例函数知识与技能
1．使学生理解并掌握反比例函数的概念．
2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式．
过程与方法
能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的建模思想．
情感、态度与价值观
经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念，体
会数学学习的重要性，培养学生学习数学的兴趣．
重点
理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式．
难点
理解反比例函数的概念．
一、创设情境，讲授新课
活动1.问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有
什么共同特点？
(1)京沪线铁路全程为1 463 km，乘坐某次列车所用时间t(单位：h)随该列车平均速度
v(单位：km/h)的变化而变化；
(2)某住宅小区要种植一个面积为1 000 m2的矩形草坪，草坪的长y随宽x的变化而变
化；
(3)已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有土地面积S(单位：平方千米/人)
随全市人口n(单位：人)的变化而变化．
解：(1)t＝；
(2)y＝；
(3)S＝.
其中，v是自变量，t是v的函数；
x是自变量，y是x的函数；
n是自变量，S是n的函数．
上面的函数关系式，都具有y＝的形式，其中k是非零常数．活动2.下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？
(1)一个游泳池的容积为2 000 m3，注满游泳池所用的时间t随注水速度v的变化而变化；
(2)某立方体的体积为1 000 cm3，立方体的高h随底面积S的变化而变化．
解：(1)t＝； (2)h＝.
概念：如果两个变量x，y之间的关系可以表示成y＝的形式，那么y是x的反比例函数，
反比例函数的自变量x不能为零．
活动3.问题1：下列哪个等式中的y是x的反比例函数？
y＝4x，＝3，y＝6x＋1，xy＝123.
问题2：已知y是x的反比例函数，当x＝2时，y＝6.写出y关于x的函数关系式．求当x
＝4时，y的值．
师生行为：学生独立思考，然后小组合作交流．教师巡视，查看学生完成的情况，并给予
及时引导．
1．解：只有xy＝123是反比例函数．
2．分析：因为y是x的反比例函数，所以可设y＝，再把x＝2和y＝6代入上式就可求出
常数k的值．
解：设y＝，因为x＝2时，y＝6，
所以有6＝，
解得k＝12，
因此y＝，
把x＝4代入y＝，得y＝＝3.
二、例题讲解
例1 下列等式中，哪些是反比例函数？
(1)y＝；(2)y＝－；(3)xy＝21；(4)y＝；(5)y＝－；(6)y＝＋3；(7)y＝x－4.
解：(2)(3)(5)是反比例函数．
例2 函数y＝－中，自变量x的取值范围是________．
解：x≠－2.
例3 当m取什么值时，函数y＝(m－2)x3－m2是反比例函数？
分析：反比例函数y＝(k≠0)的另一种表达式是y＝kx－1(k≠0)，这种写法中x的次数是
－1，因此m的取值必须满足两个条件，即m－2≠0且3－m2＝－1，特别注意不要遗漏k≠0
这一条件，也要防止出现3－m2＝1的错误．
解：由题意可知解得m＝－2.
三、巩固练习
1．已知y是x的反比例函数，并且当x＝3时，y＝－8.
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)当y＝2时，求x的值．
答案 (1)y＝－ (2)x＝－12
四、课堂小结
反比例函数概念形成的过程中，大家充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问
题中变量之间的关系及变化规律，逐步加深理解．在概念的形成过程中，从感性认识提升到
理性认识，建立概念，摆脱其原型成为数学对象．反比例函数具有丰富的数学含义．通过举例、
说理、讨论等活动用数学眼光审视某些实际现象．
例题非常简单，在例题的处理上注重培养学生形成写出规范的解题步骤的能力，同时拓
宽学生的思路．在题目的设计和教学设计上注重了由浅入深的梯度，同时充分调动学生的积
极性，发挥学生的主体作用．
26．1.2 反比例函数的图象和性质
第1课时 反比例函数的图象和性质(1)
知识与技能
1．会用描点法画反比例函数的图象．
2．结合图象分析并掌握反比例函数的性质．
过程与方法
体会分类讨论思想、数形结合思想的运用．
情感、态度与价值观
1．体会函数的表示方法，领会数形结合的思想方法．
2．在动手作图的过程中体会其中的乐趣，养成勤于动手、乐于探索的习惯．
重点
理解并掌握反比例函数的图象和性质．
难点正确画出图象，通过观察、分析归纳出反比例函数的性质．
一、复习回顾，引入新课
1．画出函数y＝3x＋1的图象．
2．求函数y＝3x＋1的图象与x轴、y轴的交点的坐标．
这个过程由学生独立思考、操作、交流、回答，教师可与学生讨论交流，提问学生．
问：什么叫做反比例函数？
学生：如果两个变量x，y之间的关系可以表示成y＝(k为常数，且k≠0)的形式，那么y
是x的反比例函数．反比例函数的自变量x不能为零．
让学生猜想反比例函数的图象是什么样的，让学生自己尝试作反比例函数y＝，y＝，y＝
－，y＝－的图象．
二、例题讲解
例1 画出反比例函数y＝与y＝－的图象．
反比例函数是我们第一次遇到的非直线函数图象，而且反比例函数的图象是由断开的
两支曲线组成的，我们从描出的点的变化趋势可以看出，切记不能用直线连接．
师生共析：用平滑的曲线按自变量从小到大的顺序把描出的点连接起来，就可得到下图．
问：观察画出的图象，思考y＝与y＝－的图象有什么共同的特征？它们之间有什么关
系？(教师在学生思考、回答后指出反比例函数的图象是双曲线，是轴对称图形，各有两条对
称轴，它们都不会经过原点)
反比例函数y＝的图象是由两支曲线组成的，当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象
限内；当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限．
例2 已知反比例函数y＝(m－1)xm2－3的图象在第二、四象限，求m的值，并指出在每
个象限内y随x的变化情况．
分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即y＝kx－1(k≠0)中自变量x的指
数是－1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k＜0，则m－1＜0，不要
忽视这个条件．
解：∵y＝(m－1)xm2－3是反比例函数，∴m2－3＝－1，且m－1≠0.又∵图象在第二、四象限，∴m－1＜0.
解得m＝±，且m＜1，则m＝－.
在每个象限内，y随x的增大而增大．
反比例函数y＝的图象，当k＞0时，在每一个象限内，y的值随x值的增大而减小；当k
＜0时，在每一个象限内，y的值随x值的增大而增大．
例3 如图，过反比例函数y＝(x＞0)的图象上任意两点A，B分别作x轴的垂线，垂足分
别为C，D，连接OA，OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S，S，比较它们的大小，可得(
1 2
)
A．S＞S
1 2
B．S＝S
1 2
C．S＜S
1 2
D．大小关系不能确定
分析：从反比例函数y＝(k≠0)的图象上任一点P(x，y)分别向x轴、y轴作垂线段，与x
轴、y轴所围成的矩形面积S＝|xy|＝|k|，由此可得S＝S＝|k|，故选B.
1 2
三、巩固练习
1．若函数y＝(2m－1)x与y＝的图象交于第一、三象限，则m的取值范围是________．
答案 ＜m＜3
2．反比例函数y＝－，当x＝－2时，y＝________；当x＜－2时，y的取值范围是
________；当－2＜x＜0时，y的取值范围是________．
答案 1 y＜1 y＞1
四、课堂小结
师：你对本节知识有哪些认识？
教师可让学生随意说出一个反比例函数，然后由一个学生说出它的性质．
在活动中，教师应重点关注：
1．不同层次的学生对本节课知识的认识程度．
2．学生独立面对困难和克服困难的能力．
“反比例函数的图象与性质”是反比例函数的教学重点，学生需要在理解的基础上熟练运用．在本节课的教学中，有意识地加强反比例函数与正比例函数之间的对比．
借助计算机的动态演示比较两函数的图象，使学生更直观、更清楚地看清两函数的区别，
从而使学生加深对两函数性质的理解．
观察反比例函数的图象，获取函数相关性质的信息有较大空间，考查学生能否对信息做
出灵敏反应，应用时，能否善于分析和决策，灵活运用知识有效地解决问题，关注并追踪这些
活动所引起的学生的持久变化．
第2课时 反比例函数的图象和性质(2)
知识与技能
1．使学生进一步理解并掌握反比例函数的图象与性质．
2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题．
过程与方法
体会函数不同表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合，逐步提高从函数图象中
获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的性质．
情感、态度与价值观
体会分类讨论思想、数形结合思想的运用，在动手作图的过程中体会其中的乐趣，养成
勤于动手、乐于探索的习惯．
重点
理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题．
难点
学会从图象上分析、解决问题．
一、复习导入
首先复习上节课所学的内容：
1．什么是反比例函数？
2．反比例函数的图象是什么？有什么性质？
3．作函数图象的步骤：列表、描点、连线．
4．反比例函数的图象和性质：
(1)反比例函数的图象是由两支曲线组成的(通常称为双曲线)；(2)当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k＜0时，两支曲线分别位于第二、
四象限内；
(3)反比例函数的图象与坐标轴不相交，它们都不过原点；
(4)反比例函数的图象关于原点对称，是中心对称图形，也是轴对称图形．
(5)反比例函数y＝的图象，当k＞0时，在每一个象限内，y的值随x的增大而减小；当k
＜0时，在每一个象限内，y的值随x的增大而增大．
二、例题讲解
例1 已知反比例函数的图象经过点A(2，6)．
(1)这个函数的图象分布在哪些象限？随自变量的增大如何变化？
(2)点B(3，4)，C(－2，－4)和D(2，5)是否在这个函数的图象上？
解：(1)设这个反比例函数的解析式为y＝，因为它经过点A，把点A的坐标(2，6)代入函
数解析式，得6＝，
解得k＝12，
即这个反比例函数的表达式为y＝.因为k>0，所以这个函数的图象在第一、三象限内，y
随x的增大而减小．
(2)把点B，C和D的坐标代入y＝，可知点B、点C的坐标满足函数关系式，点D的坐标
不满足函数关系式，所以点B、点C在函数y＝的图象上，点D不在该函数的图象上．
例2 如图是反比例函数y＝的图象的一支．
根据图象回答下列问题：
(1)图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？
(2)在上图的图象上任取点A(a，b)和点B(a′，b′)，如果a>a′，那么b和b′有怎样的
大小关系？
师生活动：让学生先观察图象，然后结合反比例函数的图象完成此题．教师应给学生提
供充分的交流时间和空间．
解：(1)反比例函数的图象的分布只有两种可能，分布在第一、三象限或者分布在第二、四
象限，这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限．
因此这个函数的图象分布在第一、三象限，所以m－5>0，解得m>5.
(2)由函数的图象可知，在双曲线的一支上，y随x的增大而减小，因为a>a′，所以b＜b′.
三、巩固练习
1．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则函数y＝的图象在( )
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第三、四象限 D．第一、二象限
答案 B
2．已知点(－1，y)，(2，y)，(π，y)在双曲线y＝－上，则下列关系式正确的是( )
1 2 3
A．y＞y＞y B．y＞y＞y
1 2 3 1 3 2
C．y＞y＞y D．y＞y＞y
2 1 3 3 1 2
答案 B
四、课堂小结
1．进一步掌握了反比例函数的作图方法．
2．学会了利用反比例函数的性质画出反比例函数的图象．
本节课通过学习情境的创设改变了学生的学习方法，学生的学习能力、思维品质、探究
意识及其态度、情感价值观等有了不同的发展．在这节课的教学中，我比较成功地实施了诱
思探究教学，学生的积极性得到充分的调动．在教学过程中，注意引导学生仔细观察反比例
函数图象的特征，根据其对称性列表、描点、连线，作图就会画得又快又美观，注意控制时间，
充分理解教学意图，敢于放手．
26．2 实际问题与反比例函数
知识与技能
1．能灵活运用反比例函数解决一些实际问题．
2．分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．
过程与方法
会用反比例函数知识分析、解决实际问题．
情感、态度与价值观
渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力．
重点会用反比例函数知识分析、解决实际问题．
难点
分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式．
一、复习导入，教授新课
问题：
市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室．
(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系？
(2)公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向下挖进多深？
(3)当施工队按(2)中的计划挖进到地下15 m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，
公司临时改变计划把储存室的深改为15 m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足
需要？(保留两位小数)
我们知道圆柱的容积是底面积×高，而现在容积一定为104 m3，所以S·d＝104.
变形就可得到底面积S与其深度d的函数关系式，即S＝，所以储存室的底面积S是其
深度d的反比例函数．
根据函数S＝，我们知道给出一个d的值就有唯一的S的值和它相对应，反过来，知道S
的一个值，也可求出d的值．
根据S＝，得500＝，解得d＝20，即施工队施工时应该向下挖进20米．
根据S＝，把d＝15代入此式，得
S＝≈666.67(m2)．
当储存室的深为15 m时，储存室的底面积应改为666. 67 m2才能满足需要．
二、例题讲解
例1 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．
(1)轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数t之间有怎样
的函数关系？
(2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载
多少吨？
解：(1)设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得
k＝30×8＝240，
所以v关于t的函数解析式为v＝.
(2)把t＝5代入v＝，得
v＝＝48(吨)．
从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸载完，那么平均每天卸载48吨．对于函数
v＝，当t>0时，t越小，v越大．这样若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸载48吨．
例2 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1 200 N和0.5 m.
(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大
的力？
(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？
解：(1)根据“杠杆原理”，得
Fl＝1 200×0.5，
所以F关于l的函数解析式为
F＝.
当l＝1.5 m时，
F＝＝400(N)．
对于函数F＝，当l＝1.5 m时，F＝400 N，此时杠杆平衡，因此，撬动石头至少需要400
N的力．
(2)对于函数F＝，F随l的增大而减小．因此，只要求出F＝200 N时对应的l的值，就能
确定动力臂l至少应加长的量．
当F＝400×＝200时，由200＝得
l＝＝3(m)，
3－1.5＝1.5(m)．
对于函数F＝，当l>0时，l越大，F越小．因此，若想用力不超过400 N的一半，则动力臂
至少要加长1.5 m.
例3 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110 Ω～220 Ω.已知电压为220 V，这个
用电器的电路图如图所示．
(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系？
(2)这个用电器功率的范围是多少？解：(1)根据电学知识，当U＝220时，得
P＝. ①
(2)根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小．把电阻的最小值R＝110代入①式，
得到功率的最大值
P＝＝440(W)；
把电阻的最大值R＝220代入①式，得到功率的最小值
P＝＝220(W)．
因此用电器功率的范围为220W～440W.
三、巩固练习
1．京沈高速公路全长658 km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程
所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间的函数关系式为________．
答案 t＝
2．一定质量的氧气，它的密度ρ(kg/m3)是它的体积V(m3)的反比例函数．当V＝10 m3时，
ρ＝1.43 kg/m3.(1)求ρ与V的函数关系式；(2)求当V＝2 m3时氧气的密度ρ.
答案 (1)ρ＝，当V＝10 m3时，ρ＝1.43 kg/m3，所以m＝ρV＝10×1.4＝14.3，所以ρ＝；
(2)当V＝2 m3时，ρ＝＝7.15(kg/m3)．
四、课堂小结
本节课是用函数的观点处理实际问题，并且是蕴含着体积、面积这样的实际问题，而解
决这些问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置
于已有的知识背景之中，抽象出数学模型，逐步形成解决实际问题的能力，在解决问题时，应
充分利用函数的图象帮助分析问题，渗透数形结合的思想．
本节体现了反比例函数是解决实际问题的有效的数学模型的思想．创设问题情境，激发
学生探究实际问题的兴趣，引发学生思考，体验数学知识的实用性，让学生经历“问题情境
→建立模型→拓展应用”的过程，培养学生善于发现问题、积极参与学习的能力，培养学生
的数学应用意识，充分激发学生的潜能．第二十七章 相 似
本章主要学习图形的相似．
首先，教材中从生活实例入手，得到相似图形的概念，进一步得到相似多边形，研究了相
似多边形的定义和有关性质，为研究相似三角形做了铺垫．
其次，从相似多边形引入相似三角形，反映了知识间的一种联系，同时也揭示了相似三
角形所要研究的本质就是两个三角形边、角之间的关系．本部分内容的学习，应突出一种对
应关系，即找两个相似三角形的对应边和对应角，关键是先找到其对应顶点．相似三角形的
性质及其判定定理是否能正确地运用也是本节课的一个重点．教材中首先让学生选择合适
的方法进行探索和归纳，然后运用相似三角形的性质，通过计算给出证明，并推导得到相似
三角形的周长的比、面积的比与相似比的关系．
最后，教材中介绍了图形的位似．位似的两个图形具有一种特殊的位置关系，这种关系
是通过位似中心来联系的，位似中心的位置决定了两个位似图形的位置，其关键是抓住对应
点的连线都经过位似中心；而相似图形只研究它们的形状和大小，与这两个图形的位置无关．
本节的位似只要求学生理解位似图形，利用位似将一个图形放大或缩小．
1．能够判断线段是否成比例，理解并掌握比例的几个性质以及平行线分线段成比例定
理．
2．通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等、
对应边成比例．
3．了解两个相似三角形的概念，探索两个三角形相似的条件、相似三角形对应高的比、
对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比、面积的比与相似比的关系．
4．了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小．
5．通过典型实例观察并认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问
题．
本章教学约需11课时，具体分配如下：
27．1 图形的相似2课时
27．2 相似三角形7课时
27．3 位似2课时
27．1 图形的相似第1课时 图形的相似(1)
知识与技能
从生活中形状相同的图形的实例中认识成比例的线段，理解成比例线段的概念．
过程与方法
在成比例线段的探究过程中，让学生运用“观察—比较—猜想”的方法分析问题．
情感、态度与价值观
在探究成比例线段的过程中，培养学生与他人交流、合作的意识．
重点
认识成比例的线段．
难点
理解成比例线段的概念．
一、问题引入
活动1.观察图片，体会形状相同的图形．(多媒体出示)
师：同学们，请观察下列几幅图片，你能发现什么？你能对观察到的图片特点进行归纳
吗？
生：这些图形的形状相同，而大小不同．
二、新课教授
活动2.思考：如图是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们的形状相同吗？生：形状不同．
师：我们把形状相同，大小不同的图形叫做相似图形．
形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”
得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的．在这个过程中，两个图形上
的相应线段也被“放大”或“缩小”，因此，对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以
用相应线段长度的比来描述它们的大小关系．
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的
比就是它们长度的比，即AB∶CD＝m∶n或写成＝.其中，线段AB、CD分别叫做这个线段
比的前项和后项．如果把表示成比值k，那么＝k或AB＝k·CD，两条线段的比实际上就是两
个数的比．
活动3.如果把老师手中的教鞭与铅笔分别看成是两条线段AB和CD，那么这两条线段
的长度比是多少？
师生活动．
1．两条线段的比，就是两条线段长度的比．
2．成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相
等，如＝(即ad＝bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
注意：(1)两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，但在计算时要注意统一单位；
(2)线段的比是一个没有单位的正数；
(3)四条线段a，b，c，d成比例，记作：＝或a∶b＝c∶d；
(4)若四条线段满足＝，则有ad＝bc；
(5)如果ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么＝.
三、例题讲解
例1 如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形形状相同的是( )解：C
例2 一张桌面长a＝1.25 m，宽b＝0.75 m，那么长与宽的比是多少？
(1)如果a＝125 cm，b＝75 cm，那么长与宽的比是多少？
(2)如果a＝1 250 mm，b＝750 mm，那么长与宽的比是多少？
解：＝
小结：上面分别采用m，cm，mm三种不同的长度单位，求得的的值是相等的，所以说，两
条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致．
四、课堂小结
1．图形相似的定义：形状相同的图形叫做相似图形．
2．成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相
等，如＝(即ad＝bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
本节课在学习过程中应该注意从生活中形状相同的图形的实例中认识相似图形以及成
比例的线段，理解成比例线段的概念．在相似图形的探究过程中，让学生运用“观察——比
较——猜想”的方法分析问题，让学生经历探究过程．以学生的自主探究为主线，让学生经
历实验操作、探究发现、证明论证获得知识．教师只在关键处进行点拨，不足处进行补充．鼓
励学生大胆猜测、大胆验证，让学生在研究过程中渗透数学思想，有意识地培养学生的解题
能力．
第2课时 图形的相似(2)
知识与技能
知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等．掌握判断两个多边形是否相似
的方法——“如果两个多边形满足对应角相等、对应边的比相等，那么这两个多边形相似”．
过程与方法
经历从生活中的事物中抽象出几何图形的过程，体会由特殊到一般的思想方法，感受图
形世界的丰富多彩．
情感、态度与价值观
在探索中培养学生与他人交流、合作的意识和品质．
重点知道相似图形的对应角相等、对应边的比相等．
难点
能运用相似图形的性质解决问题．
一、问题引入
1．若线段a＝6 cm，b＝4 cm，c＝3.6 cm，d＝2.4 cm，那么线段a，b，c，d会成比例吗？
2．两张相似的地图中的对应线段有什么关系？(都成比例)
二、探究新知
1．观察图片，体会相似图形的性质．
(1)下图(1)中的△AB C 是由正△ABC放大后得到的，观察这两个图形，它们的对应角
1 1 1
有什么关系？对应边又有什么关系呢？
(2)对于图(2)中两个形状相同、大小不同的正六边形，是否也能得到类似的结论？
学生细心观察，认真思考，小组讨论后回答问题，最后得出：
它们的对应角相等，对应边的比相等．
∠A＝∠A，∠B＝∠B ，∠C＝∠C .
1 1 1
＝＝.
师：上图中的△ABC，△AB C 是形状相同的三角形，其中∠A与∠A，∠B与∠B ，∠C
1 1 1 1 1
与∠C 分别相等，称为对应角，AB与AB ，BC与B C ，AC与AC 的比都相等，称为对应边，
1 1 1 1 1 1 1
各角相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形．
2．探究．
如图(1)中是两个相似三角形，它们的对应角有什么关系？对应边的比是否相等？
对于图(2)中两个相似四边形，它们的对应角、对应边是否也有同样的结论？
师生总结：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
(1)如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．(2)相似多边形的对应边的比称为相似比．
三、例题讲解
例 如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α和∠β的大小以及EH的长度x.
学生通过运用相似多边形的性质正确解答出∠α和∠β的大小以及EH的长度x.
解：四边形ABCD和四边形EFGH相似，它们的对应角相等．由此可得
∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°，
在四边形ABCD中，
∠β＝360°－(78°＋83°＋118°) ＝81°.
四边形ABCD和四边形EFGH相似，它们的对应边成比例．由此可得
＝，即＝.
解得x＝28 cm.
四、巩固练习
1．在比例尺为1∶10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 cm，求两地的实
际距离．
答案 3 000 km
2．如图所示的两个直角三角形相似吗？为什么？
答案 相似，因为它们的对应角相等，对应边的比相等．
3．如图所示的两个五边形相似，求未知边a，b，c，d的长度．
答案 a＝3，b＝，c＝4，d＝6.
五、课堂小结
1．相似多边形的定义：如果两个多边形的对应角相等、对应边的比相等，那么这两个多
边形相似．2．相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
本节课在前一节课学习的基础上，进一步加深对相似图形的认识．在相似图形的探究过
程中，继续让学生运用“观察——比较——猜想”的方法分析问题，让学生经历探究过程．
以学生自主探究为主线，让学生经历实验操作、探究发现、证明论证获得知识．教师只在关键
处进行点拨，不足处进行补充．鼓励学生大胆猜测、大胆验证．让学生在研究过程中渗透数学
思想，有意识地培养学生的解题能力．
27．2 相似三角形
27．2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例
知识与技能
使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用．
过程与方法
通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，通
过应用锻炼识图能力和推理论证能力．
情感、态度与价值观
通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学图形的对称
美，激发学习数学的兴趣．
重点
平行线分线段成比例定理和推论及其应用．
难点
平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用．
一、复习导入
师：什么是相似多边形？
生：对应角分别相等，对应边成比例的两个多边形．
教师用多媒体展示：
如图，在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，＝＝＝k.
师：这样的两个三角形有什么关系呢？
生：△ABC和△A′B′C′相似．
师：对，两个三角形相似记作△ABC∽△A′B′C′，“∽”读作“相似于”．
师：上面的两个三角形的相似比为k，假如k＝1，这两个三角形有怎样的关系？
生：当k＝1时，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，△ABC≌△A′B′C′.
师：所以全等是相似的特殊情况．
师：既然全等有很多种判定方法，我们可以类比全等的判定方法找到两个三角形相似的
方法吗？在这之前，我们先来探究下面的问题．
二、共同探究，获取新知
师：我们知道两条平行线之间的距离是相等的．如果有三条直线l∥l∥l，任意两直线l
3 4 5 1
和l 与它们相交且截得的线段AB＝BC.
2
我们会得到DE＝EF，
即＝＝1.
你们知道为什么吗？
生：学生思考、讨论，得出结论．
平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，
那么在另一条上截得的线段也相等．
师：如果≠1，那么和还相等吗？
师：引导学生按要求画图，测量．
生：操作后，讨论．
可以发现，当l∥l∥l 时，总有＝，＝，＝等．
3 4 5
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
师：把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现什么样的情况呢？
生：思考、画图．
图(1)中把l 看成平行于△ABC的边BC的直线，图(2)中把l 看成平行于△ABC的边BC
4 3
的直线，可以得到结论：
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．
三、例题讲解
例 如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC.
(1)如果AE＝7，EB＝5，FC＝4，那么AF的长是多少？
(2)如果AB＝10，AE＝6，AF＝5，那么FC的长是多少？
解：(1)∵EF∥BC，
∴＝.
∵AE＝7，EB＝5，FC＝4，
∴AF＝＝＝.
(2)∵EF∥ BC，
∴＝.
∵AB＝10，AE＝6，AF＝5，
∴AC＝＝＝，
∴FC＝AC－AF＝－5＝.
四、巩固练习
1．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( )A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
答案 A
2．如图，DE∥BC，AB∶DB＝3∶1，则AE∶AC＝________．
答案 2∶3
五、课堂小结
师：今天你学习了哪些定理？
学生口述定理．
在思考中，学生总结出当求证的两个比例式的线段不在同一基本型的时候应该怎样解
题，并且掌握中间比的找法．对于添加辅助线的证明比例式问题，需要“透析”题目中的条
件和证明方法．从课堂练习和作业反馈上体现出学生对知识的接受还比较理想，这堂课还是
比较成功的．
第2课时 相似三角形的判定(1)
知识与技能
掌握“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”
的判定方法；能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
过程与方法
经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．
情感、态度与价值观培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神．
重点
三角形相似的判定方法1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形
与原三角形相似．
难点
三角形相似的判定方法1的运用．
一、创设情境，引入新课
师：根据相似三角形的定义，三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．
那么，两个三角形至少要满足哪些条件就相似呢？能否类比两个三角形全等的条件寻找判
定两个三角形相似的条件呢？今天这节课我们就一起来探索三角形相似的条件．
二、探究新知
问题 平行于三角形一边的直线与其他两边相交所构成的三角形，与原三角形相似吗？
师生活动：
如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，△ADE与△ABC有什么
关系？
直觉告诉我们，△ADE与△ABC相似，我们通过相似的定义证明它，即证明∠A＝∠A，
∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，＝＝.由前面的结论可得，＝.而中的DE不在△ABC的边BC上，
不能直接利用前面的结论．但从要证的＝可以看出，除DE外，AE，AC，BC都在△ABC的边
上，因此只需将DE平移到BC边上去，使得BF＝DE，再证明＝就可以了．只要过点E作
EF∥AB，交BC于点F，BF就是平移DE所得的线段．
先证明两个三角形的角分别相等．
如图，在△ADE与△ABC中，∠A＝∠A.∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
再证明两个三角形的边成比例．
过点E作EF∥AB，交BC于点F.
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴＝，＝.
∵四边形DBFE是平行四边形，
∴DE＝BF，
∴＝，
∴＝＝.
这样，我们证明了△ADE和△ABC的角分别相等，边成比例，所以△ADE∽△ABC，因
此，我们有如下判定三角形相似的定理．
三角形相似的判定方法1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形
与原三角形相似．(定理的证明由学生独立完成)
三、例题讲解
例 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，AB＝7，AD＝5，DE＝10，
求BC的长．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴BC＝＝＝14.
四、课堂小结本节课学习了：
三角形相似的判定方法1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形
与原三角形相似．
本节课主要是探究相似三角形的判定方法1，本课教学力求使探究途径多元化，把学生
利用刻度尺、量角器等作图工具做静态探究与应用“几何画板”等计算机软件做动态探究
有机结合起来，让学生充分感受探究的全面性，丰富探究的内涵．另外小组合作学习的开展
不仅提高了数学实验的效率，而且培养了学生的合作能力．
第3课时 相似三角形的判定(2)
知识与技能
理解并掌握相似三角形的判定方法2，3.
过程与方法
培养学生的观察、发现、比较、归纳的能力，感受两个三角形全等的两种判定方法SSS和
SAS与三角形相似定理的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系．
情感、态度与价值观
让学生经历从试验探究到归纳证明的过程，发展学生合理的推理能力．
重点
两个三角形相似的判定方法2，3及其应用．
难点
探究两个三角形相似的判定方法2，3的过程．
一、问题引入
1．我们学习过哪些判定三角形相似的方法？
(三角形相似的定理 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原
三角形相似)
2．全等三角形与相似三角形有怎样的关系？(全等三角形是特殊的相似三角形，相似比k＝1)
3．如果要判定△ABC与△A′B′C′相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和
对应边的关系？
(不需要)
二、新课教授
由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三
条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？
探究1：
任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度
量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否
有同样的结论．
学生动手画图、测量，独立研究后再小组讨论．
三角形相似的判定方法2：三边成比例的两个三角形相似．
探究2：
利用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′，使∠A＝∠A′，和都等于给定的值k，
量出它们的第三组对应边BC和B′C′的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与
∠B′，∠C与∠C′是否相等？
改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？
学生动手画图、测量，独立研究．
三角形相似的判定方法3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
三、例题讲解
例1 根据下列条件，判断△ABC与△AB C 是否相似，并说明理由．
1 1 1
(1)∠A＝120°，AB＝7 cm，AC＝14 cm，∠A＝120°，AB ＝3 cm，AC ＝6 cm；
1 1 1 1 1
(2)∠B＝120°，AB＝2 cm，AC＝6 cm，∠B ＝120°，AB ＝8 cm，AC ＝24 cm.
1 1 1 1 1
解：(1)＝＝，∠A＝∠A＝120°⇒△ABC∽△AB C ；
1 1 1 1
(2)＝＝，∠B＝∠B ＝120°，但∠B与∠B 不是AB与AC，AB 与AC 的夹角，所以
1 1 1 1 1 1
△ABC与△AB C 不相似．
1 1 1
例2 如图，在△ABC和△ADE中，＝＝，∠BAD＝20°，求∠CAE的度数．解：∵＝＝，
∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似)，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即 ∠BAD＝∠CAE.
∵∠BAD＝20°，
∴∠CAE＝20°.
四、巩固练习
1．根据下列条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．
(1)∠A＝40°，AB＝8 cm，AC＝15 cm，
∠A′＝40°，A′B′＝16 cm，A′C′＝30 cm；
(2)AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝16 cm，
A′B′＝20 cm，B′C′＝16 cm，A′C′＝32 cm.
答案 (1)相似，两组对应边的比相等，且夹角相等． (2)相似，三组对应边的比相等．
2．图中的两个三角形是否相似？
答案 (1)相似． (2)不相似．
五、课堂小结
师：通过本节课的学习，同学们有什么体会与收获？可以与大家分享一下吗？
学生发言，说说自己的体会与收获，教师根据学生的发言予以点评．
本节课主要是探究相似三角形的判定方法2和判定方法3，由于上节课已经学习了探究
两个三角形相似的判定方法1，而本节课内容在探究方法上与上节课又具有一定的相似性，
因此本课教学设计注意方法上的“新旧联系”，以帮助学生形成认知上的正迁移．此外，由于
判定方法3的条件“相应的夹角相等”在应用中容易被学生忽视，所以教学中教师要强调，
以加深学生的印象．第4课时 相似三角形的判定(3)
知识与技能
使学生了解三角形相似的判定方法4及直角三角形相似定理的证明方法并会运用．
过程与方法
1．类比证明三角形全等的方法(AAS，ASA，HL)，继续渗透和培养学生对类比思想的认识
和理解．
2．通过了解定理的证明方法培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力．
情感、态度与价值观
通过学习培养学生类比的意识，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点．
重点
两个判定定理的应用
难点
了解两个判定定理的证明方法与思路
一、复习引入
师：判定两个三角形全等的方法有哪几种？
生：SAS，ASA(AAS)，SSS，HL
师：三角形相似的判定方法2和3是类比三角形全等的判定方法“SAS”，“SSS”得出的，
那我们能否类比“ASA(AAS)”，“HL”用同样的方法得出新的三角形相似的判定方法呢？
二、共同探究，获取新知
推理证明
探究1：
师：由于“ASA(AAS)”中只有一条边，是不能写出对应边的比的，那么就剩下两个角了，
即两角分别相等的两个三角形相似吗？
教师用多媒体出示：
如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，判断△ABC和
△A′B′C′是否相似，为什么？教师引导学生在稿纸上按要求画图．
学生动手画图、测量、独立研究．
三角形相似的判定方法4：两角分别相等的两个三角形相似．
探究2：
师：判定两个直角三角形是否全等时，除了用那些一般的方法外还可以用“HL”的方法，
那么判定两个直角三角形相似是否也有类似的方法呢？
教师多媒体课件出示：
如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，＝.判断Rt△ABC与
Rt△A′B′C′是否相似，为什么？
师：已知一个直角三角形的斜边、一条直角边与另一个直角三角形的斜边、一条直角边
对应成比例，你能判断这两个直角三角形是否相似吗？
学生思考、讨论后回答．
生：设＝＝k，则AB＝kA′B′，AC＝kA′C′，根据勾股定理BC可以用含AB，AC的
式子表示，进而可以用含 A′B′，A′C′的式子表示，再用勾股定理就得到 BC＝
kB′C′，所以就得到了三边对应成比例，这两个三角形相似．
师：你回答得太好了！现在请同学们写出具体的步骤，然后与课本上的对照，将不完善
的地方改正．
学生证明并修改．
证明：设＝＝k，则AB＝kA′B′，AC＝kA′C′.
∵BC＝＝＝k＝kB′C′，
∴＝＝＝k，
∴△ABC∽△A′B′C′.
师：所以我们得到了判定两个直角三角形相似的一个定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对
应成比例，那么这两个直角三角形相似．
三、练习新知
1．如图，锐角△ABC的边AB，AC上的高CE，BF相交于点D，请写出图中的两对相似
三角形．
生甲：△ABF和△ACE.
生乙：△EDB和△FDC.
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是边AB上的高，求证：(1)CD2＝AD·BD；
(2)BC2＝AB·BD，AC2＝AB·AD.
证明：(1)∵△ADC和△ACB是直角三角形，
∴∠A＋∠ACD＝90°，∠BCD＋∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
又∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴△ADC∽△CDB.
∴＝.
∴CD2＝AD·BD.
(2)∵∠B＝∠B，
∠ACB＝∠CDB，
∴△ABC∽△CBD.
∴＝.
∴BC2＝AB·BD.
同理可证△ABC∽△ACD.
∴＝.
∴AC2＝AB·AD.
四、课堂小结本节课主要学习了三角形相似的另一个判定定理：两角对应相等的两个三角形相似．除
了前面讲过的针对任意三角形相似的判定方法外，还有斜边和直角边分别对应成比例的两
个直角三角形相似这一判定定理．在做题时要灵活运用，选取合适的方法．
前面已经学习了几种三角形相似的判定方法，所以这节课以学生为主导，教师加以提示、
纠正、鼓励学生自己探索，讨论得出新的判定定理，培养学生的动手能力，勇于探索的精神．
27．2.2 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形的性质(1)
知识与技能
理解并掌握相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)之间的关系，掌握定理的证明方
法，并能灵活运用相似三角形的判定定理和性质，提高分析和推理能力．
过程与方法
在对性质定理的探究中，学生经历“观察—猜想—论证—归纳”的过程，培养学生主动
探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度，并在其中体会类比的数学思想，培养学生大胆猜
想、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力．
情感、态度与价值观
1．在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律．
2．通过学生之间的合作交流使学生体验到成功的喜悦，树立学好数学的自信心．
重点
相似三角形性质定理的探究及应用．
难点
综合应用相似三角形的性质与判定定理，探索相似三角形中对应线段之间的关系．
一、复习回顾
师：相似三角形的判定方法有哪些？
学生回答．
师：相似三角形有哪些性质？
生：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．师：三角形有哪些相关的线段？
生：中线、高和角平分线．
二、共同探究，获取新知
教师多媒体课件出示：
已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD，A′D′是对应高．求证：
＝＝k.
师：这个题目中已知了哪些条件？
生：△ABC和△A′B′C′相似，这两个三角形的相似比是k，AD，A′D′分别是它们
的高．
师：我们要证的是什么？
生：它们的高的比等于它们对应边的比，等于这两个三角形的相似比．
师：你是怎样证明的呢？
生：证明△ABD和△A′B′D′相似，然后由相似三角形的对应边成比例得到＝.
师：你怎样证明△ABD和△A′B′D′相似呢？
学生思考后回答：因为△ABC和△A′B′C′相似，由相似三角形的对应角相等，所以
∠B＝∠B′，∠ADB＝∠A′D′B′＝90°.根据两角对应相等的两个三角形相似得到
△ABD和△A′B′D′相似．
学生写出证明过程．
活动1.已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD，A′D′是对应的中
线．
求证：＝＝k.
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B′，＝＝k.
又∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，∴BD＝BC，B′D′＝B′C′，＝＝＝k，
∴△ABD∽△A′B′D′(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)，
∴＝＝k.
活动2.已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD，A′D′分别是
∠BAC和∠B′A′C′的平分线．
求证：＝＝k.
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′.
又∵AD和A′D′分别是∠BAC和∠B′A′C′的平分线，
∴∠BAD＝∠BAC，
∠B′A′D′＝∠B′A′C′，
∠BAD＝∠B′A′D′，
∴△BAD∽△B′A′D′(两角对应相等的两个三角形相似)，
∴＝＝k.
师：于是我们就得到了相似三角形的一个性质定理．
定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
三、例题讲解，应用新知
例 如图，AD是△ABC的高，AD＝h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂
足为E.
当SR＝BC时，求DE的长．如果SR＝BC呢？
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，
∴SR∥BC，
∴∠ASR＝∠B，∠ARS＝∠C，∴△ASR∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)，
∴＝(相似三角形对应高的比等于相似比)，
即＝.
当SR＝BC时，得＝，解得DE＝h.
当SR＝BC时，得＝，解得DE＝h.
四、课堂小结
师：今天你又学习了什么内容？
学生回答．
在本节课的教学过程中，先让学生回顾了相似三角形的性质即对应角相等，对应边成比
例，为后面的证明做了铺垫．在已有知识的基础上用类比化归的思想去探究新知，让学生充
分体会数学知识之间的内在联系，以此激发学生的学习兴趣，能够使整个课堂气氛由沉闷变
得活跃，尤其是让学生板演使学生有机会展示他们的学习所得，做到了将课堂回归给学生，
学生的主体地位得到了很好的体现．
第2课时 相似三角形的性质(2)
知识与技能
理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决
简单的问题．
过程与方法
探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想．
情感、态度与价值观
经历探索相似三角形性质的过程，并在探究过程中发展学生积极的情感、态度与价值观，
体验解决问题策略的多样性．
重点
理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方．
难点
探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方．一、复习引入
1．回顾相似三角形的概念及判定方法．
2．复习相似多边形的定义及相似多边形的对应边、对应角的性质．
二、新课教授
探究1：如果两个三角形相似，它们的周长之间是什么关系？如果是两个相似多边形呢？
学生小组自由讨论、交流，达成共识．
设△ABC∽△AB C ，相似比为k，
1 1 1
那么＝＝＝k
⇒AB＝kAB ，BC＝kB C ，CA＝kC A
1 1 1 1 1 1
⇒
＝＝k.
由此我们可以得到：
相似三角形的性质2：相似三角形周长的比等于相似比．
用类似的方法，还可以得出：
相似多边形的性质1：相似多边形周长的比等于相似比．
探究2：
(1)如图(1)，△ABC∽△AB C ，相似比为k，它们的对应高的比是多少？它们的面积比
1 1 1 1
是多少？
通过上节课的学习，我们得到了相似三角形的性质1：相似三角形对应高的比等于相似
比．
∴＝＝k.
1
由上述结论，我们有：
＝＝＝k2.
1
相似三角形的性质3：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
(2)如图(2)，四边形ABCD相似于四边形AB C D，相似比为k，它们的面积比是多少？
1 1 1 1 2
分析：∵＝＝k2，
2
∴＝＝k2.
2相似多边形的性质2：相似多边形面积的比等于相似比的平方．
三、例题讲解
例 如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是
24，面积是12，求△DEF的周长和面积．
解：△ABC和△DEF中，
∵AB＝2DE，AC＝2DF，
∴＝＝.
又∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEF，相似比为.
∴△DEF的周长＝×24＝12，
面积＝()2×12＝3.
四、巩固练习
填空：
(1)如果两个相似三角形对应边的比为3∶5，那么它们的相似比为________，周长的比为
________，面积的比为________；
(2)如果两个相似三角形面积的比为3∶5，那么它们的相似比为________，周长的比为
________；
(3)连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于
________，面积比等于________；
(4)两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm和18 cm，若较大三角形的周长是42
cm，面积是12 cm2，则较小三角形的周长为________cm，面积为________cm2.
答案 (1) (2) (3) (4)14
五、课堂小结
相似三角形的性质：
性质2.相似三角形周长的比等于相似比．
性质3.相似三角形面积的比等于相似比的平方．
相似多边形的性质1：相似多边形周长的比等于相似比．
相似多边形的性质2：相似多边形面积的比等于相似比的平方．本节课主要是让学生理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比
的平方，通过探索相似多边形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方让学生体验
化归思想，学会应用相似三角形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方来解决简
单的问题．因此本课的教学设计突出了“相似比⇒相似三角形周长的比⇒相似多边形周长的
比”，“相似比⇒相似三角形面积的比⇒相似多边形面积的比”等一系列从特殊到一般的过
程，让学生深刻体验到有限数学归纳法的魅力．27.2.3 相似三角形应用举例
知识与技能
进一步巩固相似三角形的知识；能够运用三角形相似的知识解决不能直接测量的物体
的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题)等一些实际问题．
过程与方法
通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型进一步了解数学建模的思想，培养
学生分析问题、解决问题的能力．
情感、态度与价值观
体会数学在生活中的作用，增强学习数学的兴趣，树立学好数学的信心．
重点
运用三角形相似的知识计算不能直接测量的物体的长度和高度．
难点
灵活运用三角形相似的知识解决实际问题，即如何把实际问题抽象为数学问题．
一、新课教授
例1 (测量金字塔高度的问题)根据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似
三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形来测量
金字塔的高度．
如图，木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度．
分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物
体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定定理和性质，根据已知
条件求出金字塔的高度．
解法一：∵BA∥DE，
∴∠BAO＝∠EDF.又∵∠AOB＝∠DFE＝90°，
∴△ABO∽△DEF，
∴＝，
∴BO＝＝＝134.
答：此金字塔的高度为134 m.
问：你还可以用什么方法来测量金字塔的高度？(如用身高等)
解法二：用镜面反射．(如图，点A是个小镜子，根据光的反射定律：由入射角等于反射角
构造相似三角形，解法略)
例2 (测量河宽的问题)如图，为了估算河的宽度，我们可在河对岸选定一个目标点P，
在近岸处取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与岸垂直，接着在过点S且与PS垂直的直
线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直于PS的直线b交于点R，测得QS＝45 m，
ST＝90 m，QR＝60 m．求河的宽度PQ.
分析：设河宽PQ长为x m，由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得到相
似三角形，因此有＝，即＝.再解x的方程可求出河宽．
解法一：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，
∴△PQR∽△PST，
∴＝，
即＝，即＝，
∴PQ×90＝(PQ＋45) ×60，
解得PQ＝90，
因此河的宽度PQ为90 m.
问：你还可以用什么方法来测量河的宽度？
解法二：如图，构造相似三角形．(解法略)例3 (盲区问题)如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8 m和CD＝12 m，两树
根部的距离BD＝5 m．一个身高1.6 m的人沿着正对这两棵树的一条水平直线l从左向右前
进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C?
解：如图所示，假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的位置点F与两棵树的顶端
点A，C恰好在一条直线上．
由题意可知，AB⊥l，CD⊥l，
∴AB∥CD，△AFH∽△CFK，
∴＝，
即＝＝，
解得FH＝8.
由此可知，如果观察者继续前进，即他与左边的树的距离小于8 m时，由于这棵树的遮
挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到它．
二、巩固练习
1．如图，身高1.6 m的小华站在距路灯杆5 m的C点处，测得她在灯光下的影长CD为
2.5 m，则路灯的高度AB为________．
答案 4.8 m
2．在同一时刻，物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1.8米的
竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？
答案 36 m三、课堂小结
本节课主要让学生了解：利用三角形的相似可以解决一些不能直接测量的物体的高度
和长度的问题．指导思想是利用相似三角形对应边的比相等，如果四条对应边中已知三条，
则可求得第四条，具体研究了如何测量金字塔高度的问题、测量河宽的问题、盲区问题．通过
具体事例加强有关相似三角形知识的应用．
本节课主要是让学生学会运用两个三角形相似的知识解决实际问题，在解决实际问题
的过程中经历从实际问题到建立数学模型的过程，培养学生的抽象概括能力．因此在教学设
计中突出了“审题⇒画示意图⇒明确数量关系⇒解决问题”的数学建模过程，学生可以从中
锻炼把生活中的实际问题转化为数学问题的能力．27．3 位 似
第1课时 位 似(1)
知识与技能
1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．
2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将—个图形放大或缩小．
过程与方法
经历位似图形的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．
情感、态度与价值观
培养学生动手操作的能力，体验学习的乐趣．
重点
位似图形的有关概念、性质与作图．
难点
利用位似将一个图形放大或缩小．
一、问题引入
1．生活中我们经常把照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真
实的．
2．问：如图，多边形ABCDE，把它放大为原来的2倍，即新图与原图的相似比为2.应该
怎样做？你能说出画相似图形的一种方法吗？
二、新课教授
活动1：观察下图，图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么共同的特征？学生通过观察了解到有一类相似的图形，除具备相似的所有性质外，还有其他特性，学
生自己归纳出位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线相交
于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的
相似比又称为位似比．每对位似对应点与位似中心共线(位似中心可在形上、形外、形内)；不
经过位似中心的对应线段平行．利用位似可以将一个图形放大或缩小．
活动2：把图中的四边形ABCD缩小到原来的.
师生活动：
教师提出问题，要注意引导学生能够用不同的方法画出所要求作的图形，要让学生通过
作图理解符合要求的图形不唯一，这和所作的图形与所确定的位似中心的位置有关(如位似
中心O可能选在四边形ABCD外，可能选在四边形ABCD内，可能选在四边形ABCD的一
条边上，可能选在四边形ABCD的一个顶点上)，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合
要求的图形，因此，位似中心的确定是关键．
分析：把图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对
应顶点到位似中心的距离之比为1∶2.
作法一：如图．
(1)在四边形ABCD外任取一点O；
(2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
(3)分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使得＝＝＝＝；
(4)顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，所得四边形A′B′C′D′就是所要求作的图形．
作法二：如图．
(1)在四边形ABCD外任取一点O；
(2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
(3)分别在射线OA，OB，OC，OD的反向延长线上取点A′，B′，C′，D′，使得＝＝＝
＝；
(4)顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，所得四边形A′B′C′D′就是所要
求作的图形．
作法三：如图．
(1)在四边形ABCD内任取一点O；
(2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
(3)分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使得＝＝＝＝；
(4)顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，所得四边形A′B′C′D′就是所要
求作的图形．
三、例题讲解
例1 如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位
似中心．
解：图(1)、(2)和(4)三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图(1)中的点A，图(2)中的点P和图(4)中的点O.(图(3)中的点O不是对应点连线的交点，故图(3)不是位似
图形，图(5)也不是位似图形)
例2 画出所给图形的位似中心．
答案
四、课堂小结
1．位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线相交于一点，
对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．
2．位似的作用：利用位似可以将一个图形放大或缩小．
3．位似图形的画法．
位似是相似的延伸和深化．位似图形在实际生产和生活中有着广泛的应用，如利用位似
把图形放大或缩小；放电影时，胶片与屏幕的画面也是位似图形．本章编排的素材不仅丰富
了教材的内容，加强了数学与自然、社会及其他学科的联系，同时体现了学生的数学学习内
容是现实的、有意义的、富有挑战性的，更突出地反映了数学的价值．
第2课时 位似(2)
知识与技能
1．巩固位似图形及其有关概念．
2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定比例放大或
缩小后，点的坐标变化的规律．
3．了解四种变换(平移、轴对称、旋转和位似)的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．
过程与方法
会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定比例放大或缩
小，体会数形结合的思想．情感、态度与价值观
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
重点
用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．
难点
把一个图形按一定比例放大或缩小后，掌握点的坐标变化的规律．
一、问题引入
1．什么是位似图形？
(如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，
那么这样的两个图形叫做位似图形．)
2．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的两倍．
二、新课教授
在前面，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转(中
心对称)等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似(如位似)也可以用图形坐标的变
化来表示．下面我们来研究如何表示．
活动1：(1)如图(1)，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)．以原点O为位似中心，
相似比为，把线段AB缩小，观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？
(2)如图(2)，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，3)，B(2，1)，C(6，2)，以点O为位似中心，
相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？学生小组讨论，共同交流，回答问题．
解：可以看出，图(1)中把AB缩小后，A，B两点的对应点分别为A′(2，1)，B′(2，0)；
A″(－2，－1)，B″(－2，0)．
图(2)中，作图略．将△ABC放大后，A，B，C对应的点分别为A′(4，6)，B′(4，2)，
C′(12，4)；A″(－4，－6)，B″(－4，－2)，C″(－12，－4)．
归纳位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原
点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k.
活动2：如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，3)，B(2，1)，C(6，2)．
①将△ABC向左平移三个单位得到△AB C ，写出A，B ，C 三点的坐标；
1 1 1 1 1 1
②写出△ABC关于x轴对称的△AB C 的三个顶点A，B ，C 的坐标；
2 2 2 2 2 2
③将△ABC绕点O旋转180°得到△AB C ，写出A，B ，C 三点的坐标．
3 3 3 3 3 3
①将△ABC向左平移三个单位得到△AB C ，则A(－1，3)，B (－1，1)，C (3，2)；
1 1 1 1 1 1
②△ABC关于x轴对称的△AB C 三个顶点坐标分别为A(2，－3)，B (2，－1)，C (6，
2 2 2 2 2 2
－2) ；
③将△ABC绕点O旋转180°得到△AB C ，则A(－2，－3)，B (－2，－1)，C (－6，－2)．
3 3 3 3 3 3
三、例题讲解
例 如图，四边形ABCD四个顶点的坐标分别为A(－6，6)，B(－8，2)，C(－4，0)，D(－
2，4)．画出它的—个以原点O为位似中心、相似比为的位似图形．解法一：如上图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律，分别取点A′(－3，3)，B′
(－4，1)，C′(－2，0)，D′(－1，2)．依次连接点A′，B′，C′，D′，四边形A′B′C′D′
就是要求作的四边形ABCD的位似图形．
解法二：点A的对应点A″的坐标为(－6×(－)，6×(－))，即A″(3，－3)．类似地，可以
确定其他顶点的坐标．(具体解法与作图略)
四、巩固练习
1．在平面直角坐标系中，已知点A(3，4)，B(－4，3)，以原点O为位似中心，相似比为2，
将△OAB放大为△OA′B′，则对应点A′，B′的坐标分别为________．
答案 A′(6，8)，B′(－8，6)或A′(－6，－8)，B′(8，－6)．
2．如图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE
对应边的比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为( )
A．(0，0)，2 B．(2，2)，
C．(2，2)，2 D．(2，2)，3
答案 C
五、课堂小结
本节课首先巩固位似图形及其有关概念方面的知识，要求学生会用图形坐标的变化来
表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律；了
解四种变换(平移、轴对称、旋转和位似)的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．
关于位似图形的概念，教学中应注意解释：几何变换、相似变换、位似变换三者之间的关
系．相似变换是特殊的几何变换，位似变换又是特殊的相似变换，位似图形是具有特殊位置
关系的相似图形．四种变换中，平移、轴对称、旋转都是保距变换，变换前后图形全等．而相似
变换(包括位似变换)前后得到的图形不一定全等，是保角变换．第二十八章 锐角三角函数
直角三角形是一种特殊的三角形，在应用中有较一般三角形优良的特点，例如面积比较
好计算等，且其他三角形通过增补、分割等可以转化为直角三角形，从而简化计算，所以对直
角三角形进行专门的研究很有必要．本章将学习直角三角形中边与角之间的关系，并运用这
些关系解决一些测量等方面的问题．
本章第一节学习锐角的三角函数，教材中首先从学生熟悉的问题情境——“汽车爬
坡”引出如何描述坡面的倾斜程度，引出了直角三角形中两直角边的比即坡比，还引出了正
切、坡角等概念．教材中通过学生熟悉的一副三角板引出．对于这一部分，由于学生已经学习
了在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，因此可让学生计算得到这些特殊
角的三角函数值，教材最后介绍了用计算器求三角函数值．第二节主要是应用直角三角形知
识解决一些简单的实际问题．
带领学生探索直角三角形中锐角三角函数值与三边的关系，同时经历观察、操作、归纳
等学习数学的过程，感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性，养成科学认真的学习态度．
让学生了解锐角三角函数的概念，能够正确应用三角函数．让学生掌握30°，45°，60°等特殊
角的三角函数值，并学会用计算器求锐角的三角函数值，经历操作、归纳等学习数学的过程，
感受数学思考过程的合理性，养成科学、严谨的学习态度．
本章教学约需5课时，具体分配如下：
28．1 锐角三角函数3课时
28．2 解直角三角形及其应用2课时
28．1 锐角三角函数
第1课时 锐角三角函数
知识与技能
了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA，cosA，tanA表示直角三角形中两边的比．
过程与方法
通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在
解决实际问题中的应用．情感、态度与价值观
1．通过学习培养学生的合作意识．
2．通过探究提高学生学习数学的兴趣．
重点
锐角三角函数的概念．
难点
锐角三角函数概念的理解．
一、问题引入
问题：操场上有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度．(演示学校操场上的国旗图片)小
明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34°，并已知目高为1
米，然后他很快就算出旗杆的高度了．
你想知道小明是怎样算出的吗？
师：通过前面的学习，我们知道利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度，实
际上我们还可以像小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高
度．这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法．下
面我们一起来学习锐角三角函数．
二、新课教授
问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修
建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水
口的高度为35 m，那么需要准备多长的水管？
分析：问题转化为在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35 m，求AB.
根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即＝＝，
可得AB＝2BC＝70 m，即需要准备70 m长的水管．
思考1：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？
学生按与上面相似的过程，自主解决．
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个
角的对边与斜边的比值都等于.
思考2：如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的
比，能得到什么结论？
分析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由
勾股定理得
AB 2＝AC 2＋BC 2＝2BC 2，
AB＝BC，
＝＝＝.
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么不管三角形的大小如何，这个
角的对边与斜边的比值都等于.
从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A
的对边与斜边的比都等于，是一个固定值．当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也
是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对
边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，那
么与有什么关系？你能解释一下吗？
分析：由于∠C＝∠C＝90°，∠A＝∠A′＝α，
所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，则
＝.
结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，∠A的对
边与斜边的比都是一个固定值．
正弦的概念：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作
sinA，即
sinA＝＝.
例如，当∠A＝30°时，sinA＝sin30°＝；
当∠A＝45°时，sinA＝sin45°＝.
注意：
1．sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体．
2．正弦的三种表示方式：sinA，sin56°，sin∠DEF.
3．sinA是线段之间的一个比值，sinA没有单位．
提问：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪
些边？
sinB＝＝.
思考3：一般地，当∠A取一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究：如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，那
么与有什么关系？
教师用类比的方法引导学生思考、讨论．
结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，∠A的邻
边与斜边的比是一个固定值．
余弦的概念：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即
cosA＝＝.
思考4：当∠A取一定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个固定值？
学生自立探究，得出结论，教师给出新的概念．
正切的概念：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b分别是∠A的对边和邻边．我们把∠A的对边与邻
边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即
tanA＝＝.
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
三、举例应用，巩固新知
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
解：如图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得
AB＝＝＝5.
因此sinA＝＝，
sinB＝＝.
如图(2)，在Rt△ABC中，由勾股定理得
AC＝＝＝12.
因此sinA＝＝，
sinB＝＝.
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．
解：由勾股定理得
AC＝＝＝8，
因此 sinA＝＝＝，
cosA＝＝＝，
tanA＝＝＝.
四、练习新知为测量如图所示的上山坡道的倾斜度，小明测得数据如图所示，则该坡道倾斜角α的正
切值是( )
A. B．4 C. D.
答案 C
五、课堂小结
锐角三角函数概念及表示方法：
sinA＝，cosA＝，
tanA＝.
本节课采用问题引入法，从探究性问题入手，让学生主动参与学习活动，用特殊值探究
锐角的三角函数时，学生们表现得非常积极，从作图、找边角、计算各个方面进行探究，学生
发现：特殊角的三角函数值可以用勾股定理求出，然后探究：三角函数与直角三角形的边、角
有什么关系？三角函数与三角形的形状有关系吗？整节课都在紧张而愉快的气氛中进行．
学生非常活跃，大部分人都能积极动脑、积极参与．
第2课时 30°，45°，60°角的三角函数值
知识与技能
熟记30°，45°，60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数．
过程与方法
1．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．
2．培养学生观察、比较、分析、概括的能力．
情感、态度与价值观
经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性，感受数学说理的
必要性、说理过程的严谨性，养成科学、严谨的学习态度．
重点
30°，45°，60°角的三角函数值．
难点与特殊角的三角函数值有关的计算．
一、复习巩固
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)a，b，c三者之间的关系是________；
(2)sinA＝________，cosA＝________，tanA＝________；
sinB＝________，cosB＝________，tanB＝________．
(3)若∠A＝30°，则＝________．
二、共同探究，获取新知
(1)探索30°，45°，60°角的三角函数值．
师：观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？
生：一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°，60°，45°，45°.
师：sin30°等于多少呢？你是怎样得到的？与同伴交流．
生：sin30°＝.sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大
小无关．我们不妨设30°角所对的边长为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边
等于斜边的一半”的性质，则斜边长等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边长为a，所以
sin30°＝＝.
师：cos30°等于多少？tan30°呢？
生：cos30°＝＝.tan30°＝＝＝.
师：我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°，60°，它们的三角函
数值分别是多少？你是如何得到的？
生：求60°角的三角函数值可以利用求30°角的三角函数值的三角形．因为30°角的对边
和邻边分别是60°角的邻边和对边，利用上图，很容易求得sin60°＝＝，cos60°＝＝，tan60°＝
＝.师生共同分析：我们一起来求45°角的三角函数值．含45°角的直角三角形是等腰直角三
角形．如图，设其中一条直角边为a，则另一条直角边也为a，斜边为a.由此可求得
sin45°＝＝＝，cos45°＝＝＝，
tan45°＝＝1.
教师多媒体课件出示：
三角函数
角度α sinα cosα tanα
30°
45° 1
60°
师：这个表格中的30°，45°，60°角的三角函数值需要熟记．另一方面，要能够根据
30°，45°，60°角的三角函数值说出相应的锐角的大小．
第一列，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大．
第二列，余弦值随角度的增大而减小．
师：第三列呢？
生：第三列是30°，45°，60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所
以tan45°＝1比较特殊．随着角度的增大，正切值也在增大．
(2)进一步探究锐角的三角函数值．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
∵sinA＝，cosA＝，
sinB＝，cosB＝，
∴sinA＝cosB，cosA＝sinB.∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠B＝90°－∠A，
即sinA＝cosB＝cos(90°－∠A)，
cosA＝sinB＝sin(90°－∠A)．
任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值．
三、例题讲解，巩固新知
例1 计算：
(1)sin30°＋cos45°；(2)sin260°＋cos260°－tan45°.
解：(1)sin30°＋cos45°＝＋＝；
(2)sin260°＋cos260°－tan45°
＝()2＋()2－1
＝＋－1
＝0.
例2 (1)如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝，求∠A的度数；
(2)如图(2)，AO是圆锥的高，OB是底面半径，AO＝OB，求α的度数．
解：(1)在图(1)中，
∵sinA＝＝＝，
∴∠A＝45°.
(2)在图(2)中，
∵tanα＝＝＝，
∴α＝60°.
四、随堂练习
1．计算4sin60°－3tan30°的值为( )
A. B．2 C．3 D．0
答案 A
2．计算sin245°＋cos245°的值为( )
A．2 B．1 C．0 D．3答案 B
五、课堂小结
1．探索30°，45°，60°角的三角函数值．
sin30°＝ ，sin45°＝，sin60°＝；
cos30°＝ ，cos45°＝，cos60°＝；
tan30°＝ ，tan45°＝1，tan60°＝.
2．能进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算．
3．能根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应锐角的大小．
本节课的教学中，课堂环节设置齐全，能很好地贯彻执行教育理念，对理解教育的教育
模式把控较好；课堂中学生分组很好，能给学生构建一个宽松、和谐的学习环境和氛围；课件
制作很好，能很好地配合指导自学书的使用，提高了课堂的效率；学生积极参与，学习积极性
较高；课堂习题的设置有梯度，题目能面向全体学生．
第3课时 一般锐角的三角函数值
知识与技能
1．会使用计算器求锐角的三角函数值．
2．会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角．
过程与方法
在做题、计算的过程中，逐步熟悉计算器的使用方法．
情感、态度与价值观
经历计算器的使用过程，熟悉其按键顺序．
重点
利用计算器求锐角三角函数的值．
难点
计算器的按键顺序．
一、复习回顾
教师多媒体课件出示：1.
三角函数
角度α sinα cosα tanα
30°
45°
60°
2.已知2sin(90°－α)－＝0，求锐角α的度数．
二、讲解新知
师：上节课我们学习了几个特殊角的三角函数值，但如果是任意的一个锐角，如何求它
的三角函数值呢？比如让你求sin18°的值．
生：作一个有一个锐角为18°的直角三角形，量出它的对边和斜边长，求它的比值．
学生作图、测量、计算．
生：约等于0.309 016 994.
师：对！用这种方法确实可以求出任意一个锐角三角函数的近似值，古代的数学家、天
文学家也采用过这样的方法，只是误差较大．经过许多数学家不断的改进，不同角的三角函
数值被制成了常用表，三角函数表大大改进了三角函数值的应用．今天，三角函数表又被带
有、和功能键的计算器所取代．
教师拿出计算器．
师：我们学习这种计算器的使用方法．请同学们拿出自己的计算器．
学生拿出自己的计算器．
师：先按键，再按有关三角函数的键．
教师板书：
1．求已知锐角的三角函数值．
例1 求sin40°的值．(精确到0.000 1)
师：比如我们求sin40°的值，依次按、、、、这几个键．
师：因为要求精确到万分位，我们将得到的数字四舍五入到万分位即可，你得到四舍五
入后的值是多少？
生：0.642 8.
例2 求cos54°38′的值．(精确到0.000 1)
师：我们依次按、、、、、、、这几个键．
学生操作后回答．
2．由锐角三角函数值求锐角．例3 已知sinA＝0.508 6，求锐角A.
师：你有没有注意到计算器上有个键？
生：注意到了．
师：这个键叫做第二功能键，我们用这个可以转换键盘上的功能键的作用．我们依次
按、、、、、、、.
师：这样我们得到的是多少度，要化成度分秒的形式，我们按那个第二功能键和度分秒
键.
学生操作后回答结果．
三、巩固提高
1．sinα＝0.231 6，cosβ＝0.231 6，则锐角α与锐角β之间的关系是( )
A．α＝β B．α＋β＝180°
C．α＋β＝90° D．α－β＝90°
答案 C
2．使用计算器计算：sin52°18′≈________．(精确到0.001)
答案 0.791
3．已知cosβ＝0.741 6，利用计算器求出β的值约为________．(精确到1°)
答案 42°
四、课堂小结
1．用计算器求一个锐角的三角函数值．
2．学习了已知一个函数值，求它对应的锐角的大小．
如何让学生体会用计算器的好处，我设计一个正弦值难于直接得到的sin18°的值让学生
计算．在没有提示的情况下，学生有的用笔算，通过作图测量用正弦的定义计算，我肯定了学
生的这种探索式作法，同时提出了使用计算器的简便性，在较短的时间内能正确计算，也显
示了其较强的计算能力．
28．2 解直角三角形及其应用
28．2.1 解直角三角形
知识与技能
在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上，会运用勾股定理、
直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．过程与方法
通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步
培养学生分析问题、解决问题的能力．
情感、态度与价值观
在探究学习的过程中，培养学生合作交流的意识，使学生认识到数与形相结合的意义与
作用，体会到学好数学知识的作用，并提高学生将数学知识应用于实际的意识，从而体验
“从实践中来，到实践中去”的辩证唯物主义思想，激发学生学习数学的兴趣．让学生在学
习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习的激情，增强学好数学的信心．
重点
直角三角形的解法．
难点
灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
一、复习回顾
师：你还记得勾股定理的内容吗？
学生叙述勾股定理的内容．
师：直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？
生：两锐角互余．
师：直角三角形中，30°的角所对的直角边与斜边有什么关系？
生：30°的角所对的直角边等于斜边的一半．
二、共同探究，获取新知
1．概念．
师：由sinA＝，你能得到哪些公式？
生甲：a＝c·sinA.
生乙：c＝.
师：我们还学习了余弦函数和正切函数，也能得到这些式子的变形．我们知道，在直角三
角形中有三个角、三条边共六个元素，能否从已知的元素求出未知的元素呢？
教师板书：
在直角三角形中，由已知的边角关系，求出未知的边与角，叫做解直角三角形．
2．练习．教师多媒体课件出示：
(1)如图(1)和(2)，根据图中的数据解直角三角形．
(1) (2)
师：图(1)中是已知一角和一条直角边解直角三角形的类型，你怎样解决这个问题呢？
生1：根据cos60°＝，得到AB＝，然后把AC边的长和60°角的余弦值代入，求出AB边
的长，再用勾股定理求出BC边的长，∠B的度数根据直角三角形两锐角互余即可得到．
生2：先用直角三角形两锐角互余得到∠B为30°，然后根据30°的角所对的直角边等于
斜边的一半，求出AB的值，再由sin60°＝得到BC＝AB·sin60°，从而得到BC边的长．
师：同学们说出的这几种做法都是对的．下面请同学们看图(2)，并解这个直角三角形．
学生思考，计算．
三、例题讲解
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，解这个直角三角形．
解：∵tanA＝＝＝，
∴∠A＝60°，
∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，
AB＝2AC＝2.
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b＝20，解这个直角三角形．(结果保留
小数点后一位)
解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°.
∵tanB＝，
∴a＝＝≈28.6.∵sinB＝，
∴c＝＝≈34.9.
四、巩固练习
1．在△ABC中，∠C＝90°，下列各式中不正确的是( )
A．b＝a·tanB B．a＝b·cosA
C．c＝ D．c＝
答案 B
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，b＝5，则∠A＝________，S ＝________．
△ABC
答案 30°
五、课堂小结
师：本节课，我们学习了什么内容？
学生回答．
师：你还有什么不懂的地方吗？
学生提问，老师解答．
本节课在教学过程中，能灵活处理教材，敢于放手让学生通过自主学习、合作探究达到
理解并掌握知识的目的，并能运用知识解决问题．在本章开头，我带领学生复习了与解直角
三角形有关的知识点，使学生在解决问题时能想到并能熟练运用．在解有特殊角的三角形时
有不止一种解法，我鼓励学生勇于发言，给了他们展示自我的机会，锻炼他们表达自己想法
的能力，并且增强了他们的自信心．
28．2.2 应用举例
知识与技能
使学生掌握仰角、俯角的概念，并会正确运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些
实际问题．
过程与方法
让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途．
情感、态度与价值观
使学生感知本节课与现实生活的密切联系，进一步认识到将数学知识运用于实践的意
义．重点
将实际问题转化为解直角三角形问题．
难点
将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解．
一、新知讲授
1．讲解．
师：在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、
铅垂线就构成了直角三角形．
教师在黑板上作图．
师：当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；在水
平线下方的角叫做俯角．
注意：(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角；
(2)仰角和俯角都是锐角．
师：测量仰角、俯角有专门的工具，是测角仪．
2．练习新知．
教师多媒体课件出示：
如图，∠C＝∠DEB＝90°，FB∥AC，从A看D的仰角是________；从B看D的俯角是
________；从A看B的________角是________；从D看B的________角是________；从B看
A的________角是________．
答案：从A看D的仰角是∠2，从B看D的俯角是∠FBD，从A看B的仰角是∠BAC，从D看B的仰角是∠3，从B看A的俯角是∠1.
二、例题讲解
例1 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功
实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上
运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的
点在什么位置？最远点与P点的距离是多少？(地球半径约为6 400 km，π取3.142，结果取
整数)
分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点．
如图，本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的⊙O的有关问题：其中点F
是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点，PQ的长就是
地球表面上P，Q两点间的距离．为计算PQ的长需先求出∠POQ(即α)的度数．
解：设∠POQ＝α，在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
∵cosα＝＝≈0.9491.
∴α≈18.36°，
∴PQ的长为×6 400≈×6 400≈2 051(km)．
由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051
km.
例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角
为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高？(结果取整数)
解：如图，α＝30°，β＝60°，AD＝120.∵tanα＝，tanβ＝，
∴BD＝AD·tanα＝120×tan30°＝120×＝40，
CD＝AD·tanβ＝120×tan60°＝120×＝120.
∴BC＝BD＋CD＝40＋120＝160≈277(m)．
因此，这栋楼高约为277 m.
例3 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿
正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，B处距离灯塔
P有多远？(结果取整数)
解：如图，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos(90°－65°)
＝80×cos25°
≈72.505.
在Rt△BPC中，∠B＝34°，
∵sinB＝，
∴PB＝＝≈130(n mile)．
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130 n mile.
三、巩固提高
1．如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，现测得有一水塔(图中点A
处)在她家北偏东60°方向500 m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB长是( )
A．250 m B．250 m
C. m D．250 m答案 A
2．王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°，已知水平距离
BD＝10 m，楼高AB＝24 m，则树CD的高度为( )
A．(24－)m B．(24－10) m
C．(24－5) m D．9 m
答案 B
四、课堂小结
师：本节课，我们学习了什么内容？
学生回答．
师：你还有什么不懂的地方吗？
学生提问，教师解答．
解直角三角形的内容是初中阶段数学教学中的重点之一，使学生对所学知识有了更好
的巩固，同时让学生体会到数学与实际生活的联系，例题设置具有一定坡度，由浅入深，步步
深入．第二十九章 投影与视图
本章的主要内容包括：
1．投影的基础知识，包括投影、平行投影、中心投影、正投影等概念以及正投影的成像规
律．
2．视图、三视图等概念，三视图的位置和度量规定，一些基本几何体的三视图，简单立体
图形(包括相应的表面展开图)与它的三视图的相互转化．
全章共包括三节：29.1投影；29.2三视图；29.3课题学习 制作立体模型．
第一节首先从物体在日光或灯光下的影子说起，引出投影、平行投影、中心投影、正投影
等概念；然后讨论当直线和平面多边形与投影面成三种不同的位置关系时的正投影，归纳出
其中蕴涵的正投影的一般规律；最后以正方体为例，讨论立体图形与投影面成不同的位置关
系时的正投影．可以发现，整个讨论过程是按照一维、二维和三维的顺序发展的．
第二节讨论的重点是三视图，其中包括三视图的成像原理、三视图的位置和度量规定、
一些基本几何体的三视图等，最后通过例题讨论简单立体图形(包括相应的表面展开图)与它
的三视图的相互转化．这一节是全章的重点内容，它不仅包括了有关三视图的基本概念和规
律，而且包括了反映立体图形和平面图形的联系与转化的内容，与培养空间想象能力有直接
的关系．
第三节安排了观察、想象、制作相结合的实践活动——“课题学习 制作立体模型”，这
是结合实际，动脑与动手并重的学习内容，进行这个课题学习既可以采用独立完成的形式，
也可以采用合作学习的方式．应该把这个课题学习看作是对前面学习的内容是否切实理解
并掌握以及能否灵活运用的一次联系实际的检验．
本章内容与其他章有较为明显的区别，它与直观图形的关系密切，需要在图形形状方面
进行想象和判断，要完成的题目多是识图、画图、制作模型等类型的问题，而很少涉及定量的
计算．
1．以分析实际例子为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质．
2．通过讨论简单立体图形(包括相应的表面展开图)与它的三视图的相互转化使学生经
历画图、识图等过程，分析立体图形和平面图形之间的联系，提高空间想象能力．
3．通过制作立体模型的课题学习，在实际动手的过程中进一步加深对投影和视图知识的认识，加强在实践活动中手脑结合的能力．
本章教学约需5课时，具体分配如下：
29．1 投影2课时
29．2 三视图2课时
29．3 课题学习 制作立体模型1课时29．1 投影
第1课时 投影(1)
知识与技能
1．经历实践探索，了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念．
2．了解平行投影和中心投影的区别．
过程与方法
使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识．
情感、态度与价值观
理解现实生活中影子的现象，学会用数学知识解答．
重点
理解平行投影和中心投影的特征．
难点
在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影．
一、问题引入
你看过皮影戏吗？皮影戏是用兽皮或纸板做成的人物剪影来表演故事的戏曲，表演时，
用灯光把剪影照射在银幕上，艺人在幕后一边操纵剪影，一边演唱，并配以音乐．你知道皮影
戏所用的原理吗？
二、新课教授
问题1.如图所示的图片是物体在生活中的几个图片，请同学们考虑它们是怎样得到的．
教师出示图片，引导学生观察图片的形成，让学生感受在日常生活中的一些投影现象．
师生共同总结，一起感受．物体在日光或灯光的照射下，会在地面、墙壁等处形成影子，
它既与物体的形状有关，也与光线的照射方式有关．
问题2.通过观察和自己的认识，你是怎样理解图片的含义的？师生共同总结：一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做
物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．
问题3.请同学们观察下图的投影过程，它们的投影过程有什么不同？
师生活动：
教师引导学生从两个方面考虑，第一，观察光线的特点；第二，观察照射的方式．
结论：图(1)中的投影线集中于一点，由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心
投影．例如，物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影．
图(2)、(3)中，投影线是互相平行的射线，由平行光线形成的投影是平行投影．例如，物体
在太阳光的照射下形成的影子(简称日影)就是平行投影．
问题4.请观察问题3中的图，说说平行投影和中心投影有什么相同点与不同点？
教师出示表格，要求学生完成．
平行投影与中心投影的区别与联系：
区别
光线 物体与投影面
平行时的投影 联系
平行
投影 平行的
投影线 全等
中心
投影 从一点发出
都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影
的投影线 放大
子．(即都是投影)
三、例题讲解
例 (1)地面上直立一根标杆AB，如图，杆长为2 cm.
①当阳光垂直照射地面时，标杆在地面上的投影是什么图形？
②当阳光与地面的倾斜角为60°时，标杆在地面上的投影是什么图形？画出投影示意图．(2)一个正方形纸板ABCD和投影面平行(如图)，投影线和投影面垂直，点C在投影面的
对应点为C′，请画出正方形纸板的投影示意图．
(3)下面两幅图表示两根标杆在同一时刻的投影，请在图中画出形成投影的光线．它们是
平行投影还是中心投影？说明理由．
解：(1)①一点 ②线段(图略)
(2)图略
(3)分别连接标杆的顶端与投影上的对应点，很明显，图(1)的投影线互相平行，是平行投
影．图(2)的投影线相交于一点，是中心投影．
四、巩固练习
1．圆形的物体在太阳光的投影下是( )
A．圆形
B．椭圆形
C．线段
D．以上都有可能
答案 D
2．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下( )
A．小明的影子比小强的影子长
B．小明的影子比小强的影子短
C．小明的影子和小强的影子一样长
D．无法判断谁的影子长
答案 D
五、课堂小结
1．物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影．
2．由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影．3．太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影．
4．物体在太阳光下形成的影子随着物体与投影面的位置关系的改变而改变．
本节课我让学生通过实践、观察、探索了解平行投影、中心投影的含义，学会辨别光源是
太阳光线还是灯光光线，学会进行中心投影条件下的物体与其投影之间的相互转化，感悟灯
光与影子在现实生活中的应用价值．
第2课时 投影(2)
知识与技能
了解正投影的概念；能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影．
过程与方法
培养动手实践能力及空间想象能力．
情感、态度与价值观
学会观察，理解原理，增强自信心．
重点
理解正投影的含义并能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影．
难点
归纳出正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影．
一、复习引入
1．回忆复习平行投影、中心投影的概念．
由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影；太阳光线可以看成平行光线，
像这样的光线所形成的投影称为平行投影．
2．下图表示一块三角尺在光线照射下形成的投影，其中哪个是平行投影，哪个是中心投
影？
图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)、(3)中，投影线互相平行，形成平行投影．
二、新课教授
问题1.图(2)、(3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别？
教师出示图片，引导学生观察图片的特征．
结论：图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着
投影面)．
指出：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影；如果投射
线不垂直于投影面，那么这种投影就称为斜投影．
问题2.通过学习，我们对投影应如何分类？
物体――→投影
探究1.
如图，把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不同的位置：
(1)铁丝平行于投影面；
(2)铁丝倾斜于投影面；
(3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点)．
三种情形下，铁丝的正投影各是什么形状？
通过观察，我们可以发现：
(1)当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段AB ，线段与它的投影的大小关系
1 1
为AB＝AB ；
1 1
(2)当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段AB ，线段与它的投影的大小关系
2 2
为AB>AB ；
2 2
(3)当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点A.
3
探究2.
如图，把一块正方形硬纸板P(例如正方形ABCD)放在三个不同位置：
(1)纸板平行于投影面；
(2)纸板倾斜于投影面；
(3)纸板垂直于投影面．结论：
(1)当纸板P平行于投影面Q时，P的正投影与P的形状、大小一样；
(2)当纸板P倾斜于投影面Q时，P的正投影与P的形状、大小发生变化；
(3)当纸板P垂直于投影面Q时，P的正投影成为一条线段．
归纳：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相
同．
三、例题讲解
例 画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影．
(1)正方体的一个面ABCD平行于投影面P，如图(1)；
(2)正方体的一个面ABCD倾斜于投影面P，上底面ADEF垂直于投影面P，并且上底面
的对角线AE垂直于投影面P，如图(2)．
解：(1)如图，正方体的正投影为正方形A′B′C′D′，它与正方体的一个面是全等关
系；
(2)如图，正方体的正投影为矩形F′G′C′D′，这个矩形的长等于正方体的底面对角
线的长，矩形的宽等于正方体的棱长．矩形上、下两边中点的连线A′B′是正方体侧棱即它
所对的另一条侧棱AB的投影．
四、巩固练习
1．(1)在一天中，从早晨到傍晚物体的影子由正西向________、________、________和正
东方向移动；
(2)如图是小明在学校时上午、下午看到的学校操场上的旗杆的影子的俯视图，将它们按
时间顺序进行排列为________．答案 (1)西北 正北 东北 (2)C，D，B，A
2．如图所示，右面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图
是( )
答案 D
五、课堂小结
1．在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影；如果投射线
不垂直于投影面，那么这种投影就称为斜投影．
2．当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．
3．投影的分类：
物体――→投影
本节课首先探究正投影的概念，然后以铁丝和正方形纸板的影子为例，讨论当直线和平
面多边形与投影面成三种不同的位置关系时的正投影，归纳出其中蕴涵的正投影的一般规
律．最后以正方体为例，讨论立体图形与投影面成不同位置关系时的正投影．可以发现，整个
讨论过程是按照一维、二维和三维的顺序发展的.29.2 三视图
第1课时 三视图(1)
知识与技能
会从投影的角度理解视图的概念，进一步明确正投影与三视图的关系．
过程与方法
培养动手实践能力及空间想象能力．
情感、态度与价值观
经历探索简单立体图形的三视图的画法的过程，能识别物体的三视图．重点
简单立体图形的三视图的画法．
难点
三视图中三个位置关系的理解．
一、问题引入
如图所示，直三棱柱的侧棱与水平投影面垂直，请与同伴一起探讨下面的问题：
1．以水平投影面为投影面，在正投影下这个直三棱柱的三条侧棱的投影是什么图形？
2．画出直三棱柱在水平投影面上的正投影，得到的投影是什么图形？它与直三棱柱的
底面有什么关系？
这个水平投影能完全反映这个物体的形状和大小吗？如果不能，那么还需哪些投影面？
(物体的正投影从一个方向反映了物体的形状和大小，为了全面地反映一个物体的形状
和大小，我们常常再选择正面和侧面两个投影面，画出物体的正投影．)
二、新课教授
如图(1)，我们用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对着我们的面叫做正面，正面
下方的面叫做水平面，右边的面叫做侧面．一个物体(例如一个长方体)在三个投影面内同时
进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由
上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视
图．
如图(2)，将三个投影面展开在一个平面内，得到这一物体的一张三视图(由主视图、俯视图和左视图组成)．三视图中的各视图，分别从不同方向表示物体，三者结合起来就能够较全
面地反映物体的形状．三视图中，主视图与俯视图表示同一物体的长，主视图与左视图表示
同一物体的高，左视图与俯视图表示同一物体的宽，因此三个视图的大小是互相联系的．画
三视图时，三个视图要放在正确的位置，并且使主视图与俯视图的长对正、主视图与左视图
的高平齐、左视图与俯视图的宽相等．
师：通过以上的学习，你有什么发现？
物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影．正投影面上的正投影就是主视
图，水平投影面上的正投影就是俯视图，侧投影面上的正投影就是左视图．
三、例题讲解
例1 画出下图所示的一些基本几何体的三视图．
分析：画这些基本几何体的三视图时，要注意从三个方面观察它们．具体画法为：
1．确定主视图的位置，画出主视图．
2．在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”．
3．在主视图正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”．
解：
例2 画出如图所示的支架(一种小零件)的三视图．
解：如图是支架的三视图：四、巩固练习
一个正六棱柱高2 cm，底面是边长为1.5 cm的正六边形，先说说它在正面、水平面、侧
面三个方向的正投影分别是什么图形，然后画出它的三视图．
答案
五、课堂小结
1．画一个立体图形的三视图时要考虑从某一个方向看物体获得的平面图形的形状和大
小，不要受到该方向的物体结构的干扰．
2．在画三视图时，三个视图不要随意乱放，应做到俯视图在主视图的下方、左视图在主
视图的右边，三个视图之间保持：长对正，高平齐，宽相等．
本节课的教学设计，力求突出具体、生动、直观，因此，学生多以操作、观察实物模型和图
片等活动为主，比如正方体在不同位置时的正投影．归纳出物体三视图的概念，并能根据此
规律画出简单的立体几何图形的三视图．在介绍三视图时，若条件允许，可采用试验的方法
进行实例的观察，这样不仅直观而且富有真实感．
第2课时 三视图(2)知识与技能
学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型．
过程与方法
经历探索简单的几何体的三视图的还原过程，进一步发展空间想象能力．
情感、态度与价值观
了解将三视图转换成立体图在生活中的作用，使学生体会到所学的知识有重要的实用
价值．
重点
根据三视图描述基本几何体和实物原型及三视图在生活中的作用．
难点
根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型．
一、问题引入
1．画一个立体图形的三视图时要注意什么？
(三个视图要放在正确的位置，并且使主视图与俯视图的长对正、主视图与左视图的高平
齐、左视图与俯视图的宽相等．)
2．做一做：画出下面几何体的三视图．
二、新课教授
例1 根据下面的三视图说出立体图形的名称．
分析：由三视图想象立体图形时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形
的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形．
解：(1)从三个方向看立体图形，图像都是矩形，可以想象出：整体是长方体，如图(a)所示；(2)从正面、侧面看立体图形，图像都是等腰三角形；从上面看，图像是圆，可以想象出：
整体是圆锥，如图(b)所示．
例2 根据物体的三视图(如图)描述物体的形状．
分析：由主视图可知，物体的正面是正五边形，由俯视图可知，由上向下看物体是矩形的，
且有一条棱(中间的实线)可见到，两条棱(虚线)被遮挡，由左视图知，物体的侧面是矩形的，
且有一条棱(中间的实线)可见到，综合各视图可知，物体是五棱柱形状的．
解：物体是五棱柱形状的，如下图所示．
例3 某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图(如下图)，请你按照三视
图确定制作每个密封罐所需钢板的面积．
分析：对于某些立体图形，若沿其中一些线(例如棱柱的棱)剪开，可以把立体图形的表面
展开成一个平面图形，即展开图．在实际的生产中，三视图和展开图往往结合在一起使用．解决本题的思路是，由视图想象出密封罐的立体形状，再进一步画出展开图，从而计算面积．
解：由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱．(如图(左))．
密封罐的高为50 mm，底面正六边形的直径为100 mm，边长为50 mm，右图是它的展
开图．
由展开图可知，制作一个密封罐所需钢板的面积为
6×50×50＋2×6××50×50×
＝6×502×(1＋)
≈27 990(mm2)．
三、巩固练习
如图所示的图形是一个多面体的三视图，请根据视图说出该多面体的具体名称．
答案 正四棱锥
四、课堂小结
1．一个视图不能确定物体的空间形状，根据三视图要描述几何体或实物原型时，必须将
各视图对照起来看．
2．一个摆好的几何体的视图是唯一的，但从视图反过来考虑几何体时，它有多种可能性．
例如：正方体的主视图是正方形，但主视图是正方形的几何体有直三棱柱、长方体、圆柱等．
3．对于较复杂的物体，由三视图想象出物体的原型，应理解并掌握三个视图之间的前后、
左右、上下的对应关系．
本节课的教学，以课程标准为指南，结合学生的已有知识和经验而设计．重点讲解由三
视图判断几何体的结构特征，也就是画三视图时尺寸不作严格要求．教学设计时使用了大量
的图片，建议在实际应用时尽量使用信息技术，如画法几何，让学生从动态过程中获得三视
图的感性认识，以便从整体上把握三视图的画法．29．3 课题学习 制作立体模型
知识与技能
1．通过实际动手进一步加深对投影和视图知识的认识．
2．加强在实践活动中手脑结合的能力．
3．体会用三视图表示立体图形的作用，进一步感受立体图形与平面图形之间的联系．
过程与方法
1．通过创设情境让学生自主探索立体图形的制作过程．
2．通过自主探索、合作研究讨论使学生加深对投影和视图的认识．
3．制作模型，体会由平面图形转化为立体图形的过程与乐趣．
情感、态度与价值观
1．通过创设问题情境使学生感受平面图形与立体图形的关系．
2．通过参与数学实践培养合作探索的精神和尊重理解他人想法的学习品质．
3．通过动手实践活动培养学生的创新意识与创造发明的意识．
重点
让学生亲自经历规律的发现、深入研究、应用的过程．
难点
学生通过手工制作实现理论与实践的结合；在探索解决实际问题的过程中，养成科学的
研究态度．
一、问题引入
请学生回答下列两个问题：
1．主视图反映物体的________和________，俯视图反映物体的________和________，左
视图反映物体的________和________．
答案 长 高 长 宽 宽 高
2．下面是一个立体图形的三视图，请在括号内填上立体图形的名称( )答案 圆柱体
二、新课教授
活动一：根据三视图制作原实物．
师：以硬纸板为主要原材料，分别做出下面的两组视图所表示的立体模型．
师：用硬纸板制作各面，围成立体图形．
说明：教师要给学生提供充分的时间和空间，让学生自己动手去做，最后展示学生的作
品，让学生感受到成功的喜悦，激发他们继续学习的兴趣．
活动二：根据三视图制作实物模型．
师：按照下面给出的两组视图，用马铃薯(或萝卜)制作相应的实物模型．
生：学生动手制作，实际动手制作立体物品有利于培养学生的空间想象能力．
师：(1)是圆锥，(2)是直五棱柱，它的底面五边形中有三个直角．
说明：教师要给学生提供充分的时间和空间，让学生自己动手去做，最后展示学生的作
品，让学生感受到成功的喜悦，激发学习的兴趣．
活动三：根据平面图形制作相应的实物图．师：下面的每一组平面图形都是由四个等边三角形组成的．
(1)指出其中哪些可以叠成多面体．把上面的图形描在纸上，剪下来，叠一叠，验证你的答
案；
(2)画出由上面的图形能叠成的多面体的三视图，并指出三视图中是怎样体现“长对正，
高平齐，宽相等”的；
(3)如果图中小三角形的边长为1，那么对应的多面体的体积和表面积各是多少？
(1) (2) (3)
师：(1)和(3)可折叠成正四面体，正四面体的体积为，表面积为.
活动四：课题拓广．
三视图和展开图都是与立体图形有关的平面图形，利用课余时间去观察了解或者上网
查询了解，结合我们的生活实际和具体的事例，写一篇短文介绍三视图及展开图的应用以及
你的感受．
三、巩固练习
1．小明从正面观察下图所示的两个物体，看到的是( )
答案 C
2．如图，一平面经过圆锥的顶点截圆锥所得到的截面形状是( )答案 B
3．如图是一个正方体的平面展开图，当把它折成一个正方体时，与空白面相对的字应该
是( )
A．北 B．京 C．欢 D．迎
答案 C
四、课堂小结
从技能上说，认识平面图形与立体图形的联系，有助于根据需要实现它们之间的相互转
化，即学会画三视图和由三视图得出立体图形．从能力上说，认识平面图形与立体图形的联
系，对于培养空间想象能力是非常重要的．
本节是结合实际问题动手与动脑并重的学习内容．“观察、想象、制作、交流”相结合是
本节中的主要实践活动．设计这个课题学习的目的是：(1)在具体问题中，对是否切实理解掌
握前面学习的三视图的内容以及能否灵活运用知识的一次检验；(2)是采用独立完成与合作
学习相结合的方式，使同学之间相互讨论、互助互学，增强协作能力，增进感情．
