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专题 3.1 三角函数的图像与性质
一、单选题
1．(2020届山东省潍坊市高三上期中) ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为 .
故选：B.
2、(2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期期中考试数学试题)
( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
.
故选：D.
3、(2020年全国1卷)设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为(
)A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由图可得：函数图象过点 ，将它代入函数 可得： 又
是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
所以 ，解得： 所以函数 的最小正周期为
故选：C
4、(2020·浙江温州中学高三3月月考)函数 的最小正周期为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
的最小正周期为： ；函数 的最小正周期为： ，
与 的最小公倍数为： ，
所以函数 的最小正周期为： ．
故选：B．
5、(2020年天津卷)已知函数 ．给出下列结论：
① 的最小正周期为 ；
② 是 的最大值；
③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象．
其中所有正确结论的序号是
A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】B
【解析】因为 ，所以周期 ，故①正确；
，故②不正确；
将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象，
故③正确.
故选：B.
6、(2020届山东省潍坊市高三上期末)已知 ， ，则 ( )A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
，
.
故选：A
7、(2020届山东省济宁市高三上期末)函数 ， 的图象大致为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，
∴函数 为偶函数.故排除选项A，D.，
∵ ，
∴当 时， 取得最大值 ；当 时， 取得最小值0.故排除C.
故选：B.
8、(2020届山东师范大学附中高三月考)为了得函数 的图象，只需把函数 的图
象( )
A．向左平移 个单位 B．向左平移 单位
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】A
【解析】不妨设函数 的图象沿横轴所在直线平移 个单位后得到函数 的图象．
于是，函数 平移 个单位后得到函数， ，即 ，
所以有 ， ，取 ， ．答案为A．
9、(2020届山东实验中学高三上期中)已知函数 的图象关于直线 对称，
若 ，则 的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 的图象关于直线 对称，，
即 ， ，
则 ，
， ， 或 ， ，
即 ， 一个为最大值，一个为最小值，
则 的最小值为 ， ，
的最小值为 ，即 的最小值为 .
故选： ．
10、(2020·武邑县教育局教研室高三上期末(理))已知 ，且 ，
则 的值为( )
A．-7 B．7 C．1 D．-1
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，即 ，
又 ，
则 ，
解得 = 7，故选B.
11、(2020届山东省潍坊市高三上期中)已知函数 ，则( )
A． 的最小正周期为 B． 图象的一条对称轴方程为
C． 的最小值为 D． 的 上为增函数
【答案】B
【解析】 ，
对A， 的最小正周期为 ，故A错误；
对B， ， 图象的一条对称轴方程为 ，故B正确；
对C， 的最小值为 ，故C错误；
对D，由 ，得 ，则 在 上先增后减，故D错误．
故选：B．
12、(2020届山东省滨州市三校高三上学期联考)若 ，则 ( )．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
．故选 ．
13、(2020届山东省临沂市高三上期末)已知函数 的图象关于直线
对称，则 的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ，
又因为 的图象关于 对称，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 的最小值为 .
故选：A.
14、(2020年全国3卷)关于函数f(x)= 有如下四个命题：
①f(x)的图像关于y轴对称．
②f(x)的图像关于原点对称．
③f(x)的图像关于直线x= 对称．
④f(x)的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
【解析】对于命题①， ， ，则 ，所以，函数 的图象不关于 轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
，
所以，函数 的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③， ，
，则 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，命题③正确；
对于命题④，当 时， ，则 ，
命题④错误.
故答案为：②③.
15、(2020届山东省滨州市高三上期末)已知函数 的图象过点 ，则( )
A．把 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象
B．函数 在区间 上单调递减
C．函数 在区间 内有五个零点
D．函数 在区间 上的最小值为1
【答案】D【解析】因为函数 的图象过点 ，
所以 ，因此 ，
所以 ，
因此 ；
A选项，把 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，故A错；
B选项，由 得 ，即函数
的单调递减区间是： ，故B错；
C选项，由 得 ，即 ，
因此 ，所以 ，共四个零点，故C错；
D选项，因为 ，所以 ，因此 ，所以
，即 的最小值为1，故D正确；
故选：D.
二、多选题16、(2020年山东卷)下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= ( )
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】由函数图像可知： ，则 ，所以不选A,
当 时， ，
解得： ，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
17、(2020届山东省滨州市三校高三上学期联考)设函数 ，则下列结论正确的是( )
A． 是 的一个周期 B． 的图像可由 的图像向右平移 得到
C． 的一个零点为 D． 的图像关于直线 对称
【答案】ACD【解析】 的最小正周期为 ，故 也是其周期，故A正确；
的图像可由 的图像向右平移 得到，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选：ACD
18、(2020届山东省枣庄市高三上学期统考)将函数 的图象向右平移 个单位长度得
到 图象，则下列判断正确的是( )
A．函数 在区间 上单调递增
B．函数 图象关于直线 对称
C．函数 在区间 上单调递减
D．函数 图象关于点 对称
【答案】ABD
【解析】函数 的图像向右平移 个单位长度得到
.由于 ，故 是 的对称轴，B选项正确.
由于 ，故 是 的对称中心，D选项正确.
由 ，解得 ，即 在区间 上递增，故A选项正确、C选项错误.
故选：ABD.
19、(2020届山东省济宁市高三上期末)将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的
图象,则函数 具有性质( )
A．在 上单调递增,为偶函数 B．最大值为1,图象关于直线 对称
C．在 上单调递增,为奇函数 D．周期为 ,图象关于点 对称
【答案】ABD
【解析】
则 ， 单调递增，为偶函数， 正确 错误；
最大值为 ，当 时 ，为对称轴， 正确；
，取 ，当 时满足，图像关于点 对称， 正确；
故选：20、(2020届山东省烟台市高三上期末)已知函数 的图象关于直线
对称，则( )
A．函数 为奇函数
B．函数 在 上单调递增
C．若 ，则 的最小值为
D．函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象
【答案】AC
【解析】因为直线 是 的对称轴,
所以 ,则 ,
当 时, ,则 ,
对于选项A, ,因为 ,所以 为奇函
数,故A正确；
对于选项B, ,即 ,当 时,在 当单调递增,故B错误；
对于选项C,若 ,则 最小为半个周期,即 ,故C正确；
对于选项D,函数 的图象向右平移 个单位长度,即 ,故
D错误
故选：AC
21、(2020·山东省淄博实验中学高三上期末)已知函数 ， 是 的导函数，则
下列结论中正确的是( )
A．函数 的值域与 的值域不相同
B．把函数 的图象向右平移 个单位长度，就可以得到函数 的图象
C．函数 和 在区间 上都是增函数
D．若 是函数 的极值点，则 是函数 的零点
【答案】CD
【解析】∵函数f(x)＝sinx﹣cosx sin(x )
∴g(x)＝f'(x)＝cosx+sinx sin(x )，
故函数函数f(x)的值域与g(x)的值域相同，
且把函数f(x)的图象向左平移 个单位，就可以得到函数g(x)的图象，存在x= ，使得函数f(x)在x 处取得极值且 是函数 的零点，
0 0
函数f(x)在 上为增函数，g(x)在 上也为增函数，∴单调性一致，
故选：CD．
三、填空题
22、(2020年江苏卷)将函数y= 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的
对称轴的方程是____.
【答案】
【解析】
当 时
故答案为：
23、(2020年全国1卷).已知 ，且 ，则 ______．
【答案】
【解析】 ，得 ，
即 ，解得 或 (舍去)，又 .
24、(2020年浙江卷)已知 ，则 ________； ______．
【答案】 (1). (2).
【解析】 ，
，
故答案为：
25、(2020年江苏卷)】已知 = ，则 的值是____.
【答案】
【解析】
故答案为：
26、(2019年高考江苏卷)已知 ，则 的值是 .【答案】
【解析】由 ，得 ，
解得 ，或 .
，
当 时，上式
当 时，上式=
综上，
四、解答题
27、(2020届山东省滨州市三校高三上学期联考)已知函数 ，其中 ， ，
， ，且 的最小值为-2， 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ， 的图象过点 .
(1)求函数 的解析式和单调递增区间；
(2)若 函数 的最大值和最小值.
【解析】(1)∵函数 的最小值是-2，∴ ，
∵ 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，∴ ，解得：
又∵ 的图象过点 ，
∴ ， ﹐解得： ， ，
又∵ ，解得： .
可得：
因为 ，
∴ ，
所以 的递增区间为： ， .
(2)∵
∴ ，∴
∴
所以 的最大值为2，最小值为-1.
28、(2020届山东师范大学附中高三月考)设函数 .
(1)设方程 在 内有两个零点 ，求 的值；
(2)若把函数 的图象向左平移 个单位，再向下平移2个单位，得函数 图象，求函数
在 上的最值.
【解析】(1)由题设知 ，
或
得 或 ，
(2) 图像向左平移 个单位，得再向下平移2个单位得
当 时， ，
在 的最大值为 ，最小值为 .
29、(2020届山东省济宁市高三上期末)已知 .
(1)若 ,求 的值;
(2)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别 ,若有 ,求角B的大小以及 的取
值范围.
【解析】 (1)
因为 ,所以
所以
(2)因为 ,由正弦定理得:
所以 ,
即 ,
因为 , 所以 ,,所以 ,
所以 的取值范围是
30、(2020届山东实验中学高三上期中)己知函数 的最大
值为1.
(1)求实数 的值；
(2)若将 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，求函数 在区间 上的最大值
和最小值.
【解析】(1)
，
(2) 将 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，
，
当 时， ， 取最大值 ，当 时， ， 取最小值 .
31、(2020·浙江温州中学3月高考模拟)已知 ( )过点 ，
且当 时，函数 取得最大值1.
(1)将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 ，求函数 的表达式；
(2)在(1)的条件下，函数 ，求 在 上的值域.
【解析】 (1)由函数 取得最大值1，可得 ,函数过 得 ，
，∵ ，∴
， .
(2) ，
，
，值域为 .
