2021年高考数学精选考点专项突破题集专题6.2椭圆的性质与应用（教师版含解析）_02高考数学_新高考复习资料_2023年新高考资料_一轮复习_2023新高考大一轮复习讲义+课件

专题 6.2 椭圆的性质与应用 一、单选题 1、(2019年高考北京卷理数)已知椭圆 (a＞b＞0)的离心率为 ，则( ) A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b 【答案】B 【解析】椭圆的离心率 ，化简得 ， 故选B. 2、(北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三第一学期12月月考) ABC的两个顶点坐标A(-4，0)， B(4，0)，它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是 ( ) △ A． B． (y≠0) C． D． (y≠0) 【答案】D 【解析】 所以定点 的轨迹为以A,B为焦点的椭圆，去掉A,B,C共线的情况，即 ，选D. 3、(2019年高考全国Ⅱ卷理数)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆 的一个焦点，则p=( ) A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【解析】因为抛物线 的焦点 是椭圆 的一个焦点，所以 ，解得 ，故选D． 4、(河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试)已知椭圆 和直线 ，若 过 的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆 的离心率为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线的斜率为 ，过 的左焦点和下顶点的直线与平行，所以 ，又 ，所以 ， 故选A. 5、(河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学(理)试题)如图，设椭圆 ： 的右顶点为 ，右焦点为 ， 为椭圆在第二象限上的点，直线 交椭圆 于点 ，若直线 平分 线段 于 ，则椭圆 的离心率是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为△ABC的中位线， 于是△OFM∽△AFB，且 ，即 = 可得e= = ．故答案为： ． 6、(2018年高考全国Ⅱ理数)已知 ， 是椭圆 的左、右焦点， 是 的左顶 点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 为等腰三角形， ，所以 ， 由 的斜率为 可得 ， 所以 ， ， 由正弦定理得 ，所以 ， 所以 ， ，故选D． 7、(2019年高考全国Ⅰ卷理数)已知椭圆C的焦点为 ，过F 的直线与C交于A，B两点． 2 若 ， ，则C的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设 ，则 ， 由椭圆的定义有 ． 在 中，由余弦定理推论得 ． 在 中，由余弦定理得 ，解得 ． 所求椭圆方程为 ，故选B．法二：由已知可设 ，则 ， 由椭圆的定义有 ． 在 和 中，由余弦定理得 ， 又 互补， ，两式消去 ，得 ，解得 ． 所求椭圆方程 为 ，故选B． 8、(2020届河北省衡水中学高三上学期五调考试)已知 ， 为椭圆 的两个焦点， 为椭圆短轴的一个端点， ，则椭圆的离心率的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆定义可知： ， ，则 ， 所以 ， 因为 ，即 ， ，即 . . 二、多选题 9、(2020届山东省临沂市高三上期末)已知P是椭圆C： 上的动点，Q是圆D： 上的动点，则( ) A．C的焦距为 B．C的离心率为 C．圆D在C的内部D． 的最小值为 【答案】BC 【解析】 ， ，则C的焦距为 ， . 设 ( )， 则 ， 所以圆D在C的内部，且 的最小值为 . 故选：BC. x2 y2 10、(2010栟茶中学期末)设椭圆C:  1的左、右焦点分别为F ，F ，点P为椭圆C上一动点，则 4 3 1 2 下列说法中正确的是( ) A．当点P不在x轴上时，△PFF 的周长是6 1 2 B．当点P不在x轴上时，△PFF 面积的最大值为 3 1 2 C．存在点P，使PF PF 1 2 D．PF 的取值范围是[1，3] 1 【答案】．ABD 【解析】：由椭圆方程可知， ，从而 ． a2,b 3 c a2 b2 1 据椭圆定义，PF PF 2a4，又FF 2c2， 1 2 1 2 所以△PFF 的周长是6，A项正确． 1 2 设点P(x ，y )(y 0)，因为FF 2， 0 0 0 1 2 1 则S  FF y  y ． PF1F2 2 1 2 0 0 因为 ，则△ 面积的最大值为 ， 项正确． 0 y�b 3 PFF 3 B 0 1 2由图可知，当点P为椭圆C短轴的一个端点时，FPF 为最大． 1 2 此时，PF PF a2，又FF 2， 1 2 1 2 则△PFF 为正三角形，FPF 60， 1 2 1 2 所以不存在点P，使PF PF ，C项错误． 1 2 由图可知，当点P为椭圆C的右顶点时，PF 取最大值，此时PF ac3； 1 1 当点P为椭圆C的左顶点时，PF 取最小值，此时PF ac1， 1 1 所以PF [1，3]，D项正确， 1 故选：ABD x2 11、(2019秋•漳州期末)设椭圆C:  y2 1的左右焦点为F ，F ，P是C上的动点，则下列结论正确的 2 1 2 是( ) A． |PF ||PF |2 2 1 2 6 B．离心率e 2 C．△PFF 面积的最大值为 2 1 2 D．以线段 为直径的圆与直线 相切 FF x y 2 0 1 2 【答案】AD x2 【解析】：由椭圆C:  y2 1可知，a 2，b1，c1， 2 所以左、右焦点为F(1,0)，F (1,0)， 1 2 根据椭圆的定义 ，故 正确； |PF ||PF |2a2 2 A 1 2 c 2 离心率e  ，故B错误； a 2 1 所以△PFF 面积的最大值为 2cbbc1，故C错误； 1 2 2 由原点 到直线 的距离 2 ， (0,0) x y 2 0 d  1c 12 12 所以以线段 为直径的圆与直线 相切，故 正确； FF x y 2 0 D 1 2 故选：AD．x2 y2 12、(2020•淄博一模)已知椭圆  1的左、右焦点分别为F 、E，直线xm(1m1)与椭圆相交 4 3 于点A、B，则( ) A．当m0时，FAB的面积为 3 B．不存在m使FAB为直角三角形 C．存在m使四边形FBEA面积最大 D．存在m，使FAB的周长最大 【答案】AC 【解析】：如图所示：， 1 对于A选项：当m0时，|AB|2 3，F(1,0)，FAB的面积为 2 31 3，故选项A正确； 2   对于B选项：当m0时，可以得出AFE ，当m1时，AFE ，根据椭圆的对称性，存在m使 3 4 FAB为直角三角形，故选项B错误； 对于C选项：根据椭圆的对称性可知，当m0时，四边形FBEA面积最大，故选项C正确； 对于D选项：由椭圆的定义得，FAB的周长  AB AF BF  AB(2aAE)(2aBE)4a ABAEBE ，  AEBE�AB，ABAEBE�0，当AB过点E时取等号， AB AF BF 4a ABAEAF�4a， 即直线xm过椭圆的右焦点E时，FAB的周长最大， 此时直线AB的方程为xmc1，但是1m1，所以不存在m，使FAB的周长最大，故选项D错 误； 故选：AC ．三、填空题 13、(2020届浙江省嘉兴市3月模拟)已知椭圆 的左、右焦点分别是 ， ，点 是椭圆上位于 轴上方的一点，若直线 的斜率为 ，且 ，则椭圆的离心率为________． 【答案】 ． 【解析】 设 ，由直线 的斜率为 ，知 ，且 ，即得 ， 由 及椭圆定义知 ， 由余弦定理即可得， ，即，化简得 ， 故 或3(舍) 即 ． 故答案为： 14、(2019年高考全国Ⅲ卷理数)设 为椭圆C: 的两个焦点，M为C上一点且在第一象限. 若 为等腰三角形，则M的坐标为___________. 【答案】 【解析】由已知可得 ， ，∴ ． 设点 的坐标为 ，则 ， 又 ，解得 ，，解得 ( 舍去)， 的坐标为 ． 15、(2020·浙江高三)如图，过椭圆 的左、右焦点F ，F 分别作斜率为 的直线交椭圆C 1 2 上半部分于A，B两点，记△AOF ，△BOF 的面积分别为S ，S ，若S ：S ＝7：5，则椭圆C离心率为_____． 1 2 1 2 1 2 【答案】 【解析】作点B关于原点的对称点B ，可得S ，则有 ， 1 所以 ． 将直线AB 方程 ，代入椭圆方程后， ， 1整理可得：(b2+8a2)y2﹣4 b2cy+8b4＝0， 由韦达定理解得 ， ， 三式联立，可解得离心率 ． 故答案为： ． 16、(2020届浙江省杭州市高三3月模拟)设 是椭圆 的两个焦点， 是C上一点，且满足 的面积为 则 的取值范围是____. 【答案】 【解析】 依题意， ，所以 ，则 ，而 ，所以 .由于 ， ，根据二次函数的性质 可知： ，所以 ，所以 ，解得 . 故答案为： 17、(2019年高考浙江卷)已知椭圆 的左焦点为 ，点 在椭圆上且在 轴的上方，若线段的中点在以原点 为圆心， 为半径的圆上，则直线 的斜率是___________． 【答案】 【解析】方法1：如图，设F 为椭圆右焦点.由题意可知 ， 1 由中位线定理可得 ，设 ，可得 ， 与方程 联立，可解得 (舍)， 又点 在椭圆上且在 轴的上方，求得 ，所以 . 方法2：(焦半径公式应用)由题意可知 ， 由中位线定理可得 ，即 ， 从而可求得 ，所以 .18、(2020届浙江省高中发展共同体高三上期末)已知椭圆 的内接 的顶点 为短轴的一个端点，右焦点 ，线段 中点为 ，且 ，则椭圆离心率的取值范围是 ___________. 【答案】 【解析】由题意可设 ， ，线段 中点为 ，且 ， 可得 为 的重心，设 ， ， 由重心坐标公式可得， ， ， 即有 的中点 ，可得 ， ， 由题意可得点 在椭圆内，可得 ， 由 ，可得 ，即有 . 故答案为： . 19、(2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟)双曲线 的左焦点为 ，过 的直 线交双曲线左支于 两点，且 ，延长 交双曲线右支于点 ，若 ，则该 双曲线的离心率为_________ 【答案】 【解析】取双曲线的右焦点 ,连接 ，延长交双曲线于 ，连接 ，(如图) 由 ， 可得四边形 为矩形， 设 ， 由对称性可得： ， ， 即有 ， 由双曲线的定义可得： ，① 在直角三角形 中， ， 可得 ，② 由①②可得 ，即 ， 代入①可得： ，化简可得： ， 即有 故答案为： 20、(2018 年高考浙江卷)已知点 P(0，1)，椭圆 +y2=m(m>1)上两点 A，B 满足 =2 ，则当 m=___________时，点B横坐标的绝对值最大． 【答案】 【解析】设 ， ， 由 得 ， ， 所以 ， 因为 ， 在椭圆上，所以 ， ， 所以 ， 所以 ， 与 对应相减得 ， ， 当且仅当 时取最大值． 四、解答题 21、(2020·浙江温州中学3月高考模拟)已知直线 与椭圆 恰有一个公共 点 ， 与圆 相交于 两点.(I)求 与 的关系式； (II)点 与点 关于坐标原点 对称.若当 时， 的面积取到最大值 ，求椭圆的离心率. 【解析】 (I)由 ，得 ， 则 化简整理，得 ； (Ⅱ)因点 与点 关于坐标原点 对称，故 的面积是 的面积的两倍. 所以当 时， 的面积取到最大值 ，此时 ， 从而原点 到直线 的距离 ， 又 ，故 . 再由(I)，得 ，则 . 又 ，故 ，即 ，从而 ，即 . 22、(2020年高考全国Ⅰ卷理数)已知A、B分别为椭圆E： (a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点， ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． (1)求E的方程； (2)证明：直线CD过定点. 【解析】(1)由题设得A(–a，0)，B(a，0)，G(0，1). 则 ， =(a，–1).由 =8得a2–1=8，即a=3. 所以E的方程为 +y2=1． (2)设C(x ，y )，D(x ，y )，P(6，t). 1 1 2 2 若t≠0，设直线CD的方程为x=my+n，由题意可知–3b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦点重合，C 的 1 2 1 中心与 C 的顶点重合．过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C 于 A，B 两点，交 C 于 C，D 两点，且 2 1 2 ． (1)求C 的离心率； 1 (2)设M是C 与C 的公共点，若|MF|=5，求C 与C 的标准方程． 1 2 1 2 【解析】(1)由已知可设 的方程为 ，其中 . 不妨设 在第一象限，由题设得 的纵坐标分别为 ， ； 的纵坐标分别为 ， ，故 ， . 由 得 ，即 ，解得 (舍去)， . 所以 的离心率为 . (2)由(1)知 ， ，故 ， 设 ，则 ， ，故 .① 由于 的准线为 ，所以 ，而 ，故 ，代入①得，即 ，解得 (舍去)， . 所以 的标准方程为 ， 的标准方程为 . 25、(2020年高考全国Ⅲ卷理数)已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为 的左、 右顶点． (1)求 的方程； (2)若点 在 上，点 在直线 上，且 ， ，求 的面积． 【解析】(1)由题设可得 ，得 ， 所以 的方程为 . (2)设 ，根据对称性可设 ，由题意知 ， 由已知可得 ，直线BP的方程为 ，所以 ， ， 因为 ，所以 ，将 代入 的方程，解得 或 . 由直线BP的方程得 或8. 所以点 的坐标分别为 . ，直线 的方程为 ，点 到直线 的距离为 ，故 的面积为 . ，直线 的方程为 ，点 到直线 的距离为 ，故 的 面积为 . 综上， 的面积为 . 26、(2020届山东省泰安市高三上期末)已知椭圆 的离心率e满足 ，右顶点为A，上顶点为B，点C(0，－2)，过点C作一条与y轴不重合的直线l，直线l 交椭圆E于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为 ． (1)求椭圆E的方程； (2)证明： 为定值． 【解析】 (1)由 解得 或 (舍去)，∴ ，又 ， ， 又 ， ， ， 椭圆E的方程为 ； (2)由题知，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ， 设 ， 由 得 ， ∴ ， = ， ∴ ， = ， 直线BP的方程为 ，令 解得 ，则 ，同理可得 ， = = = ， 为定值 ． 27、(2020届山东省烟台市高三上期末)已知椭圆 的离心率为 ， 是其右焦点， 直线 与椭圆交于 ， 两点， . (1)求椭圆的标准方程； (2)设 ，若 为锐角，求实数 的取值范围. 【解析】(1)设 为椭圆的左焦点,连接 ,由椭圆的对称性可知, , 所以 ,所以 , 又 , ,解得 , , 所以椭圆的标准方程为 (2)设点 ,则 , , 联立 ,得 ,所以 , , 因为 为锐角,所以 , 所以 , 解得 或