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第二十九章 投影与视图
29.1 投影
目标导航
知识精讲
课程标准 课标解读
通过丰富的实例，了解中心投影和平行投
影的概念。
1.理解和掌握平行投影、中心投影以及正投影的概
念，能够正确区分它们的区别与联系。
2.能够利用投影的相关知识，进行有关计算。能力拓展
考法01 平行投影的应用
【典例1】如图所示，一电线杆AB的影子落在地面和墙壁上，同一时刻，小明在地面上竖立一根1米高的
标杆(PQ)，量得其影长(QR)为0.5米，此时他又量得电线杆AB落在地面上的影子BD长为3米，墙壁上的
影子CD高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高为( )
A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
【答案】D
【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．
【详解】解：如图：假设没有墙CD，则影子落在点E，
∵杆高与影长成正比例，
∴CD：DE=1：0.5，
∴DE=1米，
∴AB：BE=1：0.5，
∵BE=BD+DE=4，
∴ ，
∴AB=8米．
故选：D．
考法02 中心投影的应用【典例2】如图，树 在路灯O的照射下形成投影 ，已知树的高度 ，树影 ，树
与路灯O的水平距离 ，则路灯高 的长是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定与性质直接求解即可．
【详解】解： 根据题意可知 ，
， ，
，
，即 ，解得 m，
路灯高 的长是 m，
故选：C．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，小红晚上在一条笔直的小路上由 处径直走到 处，小路的正中间有一盏路灯，那么小红在灯
光照射下的影长l与她行走的路程 之间的变化关系用图象刻画出来大致是( )A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据中心投影的性质得出小红在灯下走的过程中应长随路程之间的变化，进而得出符合要求的图
象．
【详解】∵小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路
程s之间的变化关系，
应为当小红走到灯下以前为：l随s的增大而减小，当小红走到灯下以后再往前走时，l随s的增大而增大，
∴用图象刻画出来应为C．
故选：C．
2．太阳发出的光照在物体上是( )，路灯发出的光照在物体上是( )
A．平行投影，中心投影 B．中心投影，平行投影
C．平行投影，平行投影 D．中心投影，中心投影
【答案】A
【分析】根据平行投影与中心投影的定义判断即可．
【详解】解：太阳发出的光照在物体上是平行投影，路灯发出的光照在物体上是中心投影．
故选：A．
3．下列各种现象属于中心投影的是( )
A．晚上人走在路灯下的影子 B．中午用来乘凉的树影
C．上午人走在路上的影子 D．阳光下旗杆的影子
【答案】A
【分析】根据中心投影的性质，找到光源是灯光即可得．
【详解】解：A、晚上人走在路灯下的影子，光源是灯光，是中心投影，则此项符合题意；
B、中午用来乘凉的树影，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
C、上午人走在路上的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
D、阳光下旗杆的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；故选：A．
4．如图是某学校操场上单杠(图中实线部分)在地面上的影子(图中虚线部分)，可判断形成该影子的光线为(
)
A．该影子实际不可能存在 B．可能是太阳光线也可能是灯光光线
C．太阳光线 D．灯光光线
【答案】D
【分析】根据平行投影和中心投影的特点分析判断即可．
【详解】解：若影子是由太阳光照射形成的，则两条直线一定平行；若影子是由灯光照射形成的，则两条
直线一定相交．据此可判断形成该影子的光线为灯光光线．
故选：D．
5．在某一时刻，测得一根长为2米的标杆的影长为4米，同时测得一根旗杆的影长为10米，那么这根旗
杆的高度为________米．
【答案】5
【分析】利用物高与影长成正比例，列出方程求解，即可得出结论．
【详解】解：设旗杆的高度为x米，根据题意得，
，
解得： ．
则旗杆的高度为5米，
故答案为：5．
6．夜晚路灯下同样高的旗杆，离路灯越近，它的影子越______(填“长”或“短”)．
【答案】短
【分析】连接路灯和旗杆的顶端并延长交平面于一点，这点到旗杆的底端的距离是就是旗杆的影长，画出
相应图形，比较即可．
【详解】解：由图易得AB＜CD，那么离路灯越近，它的影子越短，故答案为：短．
7．如图，日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，晷针在晷面上所形成的投影属于______投影．
【答案】平行
【分析】根据太阳光是平行光线可以判定晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影．
【详解】解：因为太阳光属于平行光线，而日晷利用日影测定时刻，所以晷针在晷面上所形成的投影属于
平行投影．
故答案为：平行．
8．小华家客厅有一张直径为 高为 的圆桌 有一盏灯 到地面垂直距离 为 圆桌的影子
为 ，则点 到点 的距离为_______．
【答案】4
【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴ = .
∵AB=1.2，∴CD=2.
又∵FC=2,
∴DF=CD+FC=2+2=4．
故答案为：4．
9．如图，身高1.6m的小王晚上沿箭头方向散步至一路灯下，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，
具体做法如下；先从路灯底部向东走20步到M处，发现自己的影子端点刚好在两盏路灯的中间点P处，
继续沿刚才自己的影子走5步到P处，此时影子的端点在Q处．
(1)根据题意画图，找出路灯的位置．
(2)求路灯的高和影长 ．
【答案】(1)见解析
(2)路灯高8米，影长 为 步
【分析】(1)连接 ，并延长相交于点 ，即为路灯的位置；
(2)由 ， ，可分别得 ， ，根据三角形相似的性质，得到
对应边成比例，列出比例式，代入数值计算即可．
【详解】(1)解：如图，点O为路灯的位置；
(2)解：作 垂直地面，如图， 步， 步， ，
，
∴ ，
∴ ，即 ，解得 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得
答：路灯高为8米，影长 为 步．
10．如图，阳光下，小亮的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段BC所示，线段DE表
示旗杆的高，线段FG表示一堵高墙
(1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子的示意图；
(2)如果小亮的身高 ，他的影子 ，旗杆的高 ，旗杆与高墙的距离 ，
请求出旗杆的影子落在墙上的长度．
【答案】(1)见解析
(2)旗杆的影子落在墙上的长度为
【分析】(1)连接 ，过 点作 的平行线即可；
(2)过 作 于 ，利用相似三角形列出比例式求出旗杆的高度即可．
【详解】(1)解：如图：线段 和 就表示旗杆在阳光下形成的影子．(2)过 作 于 ，
设旗杆的影子落在墙上的长度为 ，由题意得： ，
∴ ，
又∵ ， ，
，
∴ ，
解得： ，
答：旗杆的影子落在墙上的长度为 米．
题组B 能力提升练
1．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于 处，木杆 两端的坐标分别为 ， ．则木杆
在 轴上的影长 为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】利用中心投影，过点P作PE⊥CD于点E交AB于点M，证明 ，然后利用相似比可
求出CD的长．
【详解】解：如图，过点P作PE⊥CD于点E交AB于点M，
根据题意得： ，∴ ，
∵ ，A ，B ．
∴PE=2，AB=3，ME=1，
∴PM=1，
∴ ，即 ，
解得：CD=6，．
故选：B
2．下列结论正确的有( )
①同一时刻，同一公园内的物体在阳光照射下，影子的方向是相同的
②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的
③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关
④物体在点光源照射下，影子的长短仅与物体的长短有关
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】利用平行投影和中心投影的特点进行逐项分析即可．
【详解】解：①由于太阳光线是平行光线，所以物体在阳光照射下，影子的方向是相同的，故正确；
②物体在太阳光线照射下影子的方向都是相同的，在灯光的照射下影子的方向与物体的位置有关，故错误；
③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关，故正确；
④物体在点光源的照射下，影子的长短与物体的长短和光源的位置有关，故错误．
所以正确的只有2个．
故选：B．
3．如果在同一盏路灯下，小明与小强的影子一样长，下列说法正确的是( )
A．小明比小强的个子高 B．小强比小明的个子高
C．两个人的个子一样高 D．无法判断谁的个子高
【答案】D
【分析】在同一路灯下由于位置不确定，根据中心投影的特点判断得出答案即可．
【详解】解：在同一路灯下由于小明与小强位置不确定，虽然影子一样长，但无法判断谁的个子高．
故选：D．
4．如图，在平面直角坐标系中，点(2，2)是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为(0，1)，(3，1)．则木杆
AB在x轴上的投影A′B′长为( )A． B． C．5 D．6
【答案】D
【分析】利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，证明
△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A'B'的长．
【详解】解：延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，
∵P(2，2)，A(0，1)，B(3，1)．
∴PD=1，PE=2，AB=3，
∵AB∥A′B′，
∴△PAB∽△PA′B′，
∴ ，即 ，
∴A′B′=6，
答：木杆AB在x轴上的投影A'B'的长为6．
故选：D．
5．如图，一棵树 的高度为 米，下午某一个时刻它在水平地面上形成的树影长 为 米，现在小
明想要站这棵树下乘凉，他的身高为 米，那么他最多离开树干______米才可以不被阳光晒到？【答案】
【分析】设小明这个时刻在水平地面上形成的影长为 米，利用同一时刻物体的高度与影长成正比得到
，解得 ，然后计算两影长的差即可．
【详解】解：设小明这个时刻在水平地面上形成的影长为 米，
根据题意，得 ，
解得 ，
即小明这个时刻在水平地面上形成的影长为 米，
因为 米 ，
所以他最多离开树干 米才可以不被阳光晒到．
故答案为 ．
6．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于 处，木杆 两端的坐标分别为 ．则木杆
在x轴上的影长 为_________．
【答案】8
【分析】根据坐标与图形的性质得到 轴于D，求得 ，再利用中
心投影，证明 ，然后利用相似比可求出CD的长．
【详解】解：∵ ， ，∴ 轴于D，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：8．
7．在平坦的操场上，某一时刻阳光照射下，身高 的小明影长 ，同一时刻附近旗杆影长为 ，
则旗杆高度为_______m．
【答案】15
【分析】根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．
【详解】解：设旗杆高度为 ，
由题意得， ，
解得 ，
即旗杆高度为 ，
故答案为：15．
8．一块直角三角板 如图所示放置， ， ， ，测得 边在平面的中心
投影 长为 ，则 长为________ ， 的面积是________ ．
【答案】 192【分析】根据直角三角形 ，可先求出 的长，再根据△ 和 是相似的，得到 的长，
再由面积比等于相似比的平方，算出 的面积即可；
【详解】∵ ， ，
∴AB=
又∵ 是 的投影
∴
∴
∴
∴
故答案为： ； ．
9．数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前一棵小树的高度，课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是
0.8m，同一时刻，她发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙上，她先测得留在墙壁
上的影高为1.3m，又测得地面上的影长为2.4m，请你帮她计算一下树的高度是多少？
【答案】 m
【分析】利用同一时刻不同物体的物高与影长的比相等，求出影长为2.4m的树高，再加上墙上的影高即
为所求．
【详解】解：设影长为2.4m的树高为 m：
由题意得： ，解得： ，
∴树高为： m．
10．如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC=3m．
(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影;
(2)在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，计算DE的长
【答案】(1)见解析
(2)10m
【分析】(1)根据平行投影的性质可先连接AC，再过点D作DF∥AC交地面与点F，DF即为所求；
(2)根据平行的性质可知△ABC∽△DEF，利用相似三角形对应边成比例即可求出DE的长．
【详解】(1)解：DE在阳光下的投影是EF如图所示；
(2)在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，
∵△ABC∽△DEF，AB＝5m，BC＝3m，EF＝6m，
∴ ，
∴ ，
∴DE＝10(m)，
答：DE的长为10m．
题组C 培优拔尖练1．如图， 是线段AB在投影面P上的正投影， ， ，则投影 的长为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点A作 于点C，根据解直角三角形即可求得．
【详解】解：过点A作 于点C，
四边形 是矩形，
，
在 中， ，
，
故选：A．
2．如图，竖直放置的杆AB，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡CD的D处，而此时1米的杆影长恰好
为1米，现量得BC为10米，CD为8米，斜坡CD与地面成30°角，则杆AB的高度为( )A． 米 B． 米 C．8米 D．10米
【答案】A
【分析】如图，延长AB交DT的延长线于E．首先证明AE=DE，然后在Rt△CDT中，求出DT和CT，再
根据AB＝AE﹣BE，即可得出结论，
【详解】解：如图，延长AB交DT的延长线于E．
∵1米的杆影长恰好为1米，
∴AE＝DE，
易得四边形BCTE是矩形，
∴BC＝ET＝10米，BE＝CT，
在Rt△CDT中，∵∠CTD＝90°，CD＝8米，∠CDT＝30°，
∴DT＝CD•cos30°＝8× ＝4 (米)，CT＝ CD＝4(米)，
∴AE＝DE＝ET+DT＝ (米)，BE＝CT＝4(米)，
∴AB＝AE﹣BE＝ ﹣4＝ (米)，
故选：A．
3．如图，在直角坐标系中，点 是一个光源．木杆 两端的坐标分别为 ．则木杆 在x
轴上的投影长为( )A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【分析】延长PA、PB交x轴于E、C，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于F，由A、B、P的坐标求出AB，
PD，PF的长，证明△PEC∽△PAB，得到 ，代入数值求出结果．
【详解】解：延长PA、PB交x轴于E、C，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于F，
∵ 的坐标分别为 ．
∴AB=6-0=6， 轴，
∵ ，
∴PD=6，PF=6-2=4，
∵ 轴，
∴△PEC∽△PAB，
∴
∴ ，
∴EC=9，
故选：B．
．
4．如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯(看作一个点)与这条对角线所确定的平面垂
直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是( )A． B． C． D．
【答案】D
【分析】因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找到
符合题意的选项
【详解】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，
则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，则上方的边长影子会更长一些，
故选D
5．如图，在A时测得某树的影长为4m，B时又测得该树的影长为16m，若两次日照的光线互相垂直，则
树的高度为______．【答案】8m
【分析】根据题意，画出示意图，易得： ，进而可得 ；即 ，
代入数据可得答案．
【详解】解：如图：过点C作 ，
由题意得：△EFC是直角三角形， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；即 ，
由题意得： ，
∴ ，
(负值舍去)，
故答案为：8m．
6．在同一时刻两根垂直于水平地面的木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿 ，它的影子
，木竿 的影子有一部分落在了墙上 ，则木竿 的长度为
__________．
【答案】3m
【分析】过N点作ND⊥PQ于D，根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长，再根据此影长列出比
例式求解即可．
【详解】解：如图：过N点作ND⊥PQ于D，
∴四边形DPMN是矩形∴DN=PM,PD=MN
∴ ，
又∵AB=2.5，BC=2，DN=PM=1.6，NM=1，
∴QD= = =2(m)，
∴PQ=QD+DP=QD+NM=2+1=3(m)．
故答案为3m．
7．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一
时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片 ，此时各叶片影子在点M右侧成线段 ，测得
，垂直于地面的木棒 与影子 的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于
___________米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于___________米．
【答案】 10
【分析】过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ，
垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，求出CH的长度，根据 ，求出OM的长度，证明
，得出 ， ，求出IJ、BI、OI的长度，用勾股定理求出OB的长，即可算出所求长度．
【详解】如图，过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作
BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，
由题意可知，点O是AB的中点，
∵ ，
∴点H是CD的中点，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵由题意可知： ，
∴ ，解得 ，
∴点O、M之间的距离等于 ，
∵BI⊥OJ，
∴ ，
∵由题意可知： ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形IHDJ是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∵在 中，由勾股定理得： ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴叶片外端离地面的最大高度等于 ，
故答案为：10， ．
8．在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树AB的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼5 m，大
树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子CD长为2 m，已知此时高1.4
m的竹竿在水平地面上的影子长1 m，那么这棵大树高________m．
【答案】9
【分析】过点D作DE⊥AB于E，则四边形BCDE是矩形，得BE=CD=2m，DE=BC=5m，再根据同一时刻，
物高与影长成正比，可得 ，代入DE，即可求出AE长，即可由AB=AE+BE求解．【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
由题意，得AB⊥BC，DC⊥BC，
∵DE⊥AB，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BE=CD=2m，DE=BC=5m，
由题意，得 ，
∴ ，
∴AE=7
∴AB=AE+BE=7+2=9(m)，
答：这棵大树高为9m，
故答案为：9．
9．如图，身高 的小王晚上在路灯灯柱 下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具
体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在P处，作记号后，继续沿刚
才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，
且小王每步的间距相同．
(1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．(2)估计路灯 的高，并求影长 合计的步数．
【答案】(1)答案见详解；
(2)9米； 步．
【分析】(1)如图所示，小王在M处的头顶位置为点N，在P处的头顶位置为点B，延长 交路灯灯柱
于点O，再连接 并延长交 延长线于点Q即可；
(2)先证明 ，利用相似三角形对应边成比例可求出 ，同理证 ，求出 ．
【详解】(1)解：如图所示，路灯O和影子端点Q为所求；
(2)解：根据题意知： ， 步， 步， ，
，
，
即 ，
解得 ；
，
，
即 ，
解得 (步)；
答：估计路灯 的高为9米，影长 为 步．
10．某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图
2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ
在斜坡上的影长QR为2米．
(1)直接写出∠BAD＝ ；
(2)求旗杆的高度.(结果精确到0.1米)．(参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08)
【答案】(1)18°；(2)13.8
【分析】(1)过点D作DE⊥AB于点E，由光线与水平面的夹角为72°，即可求解；
(2)如图作CM AB交AD于M，MN⊥AB于N，根据 ，求出CM，在 中利用
，求出AN即可解决问题．
【详解】(1)如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵光线与水平面的夹角为72°，
∴∠ADE=72°，
∵DE⊥AB，
∴ ；
(2)如图，作CM AB交AD于M，MN⊥AB于N．
由题意 ，即 ，(米)，
在 中，
∵∠ANM＝90°，MN＝BC＝4，∠AMN＝72°，
∴ ，
∴AN≈12.32(米)，
∵MN BC，AB CM，
∴四边形MNBC是平行四边形，
∴BN＝CM＝ (米)，
∴AB＝AN＋BN＝12.32＋1.5≈13.8(米)．
11．如图，在安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PQ高 ，身高 的红英MN站在距离
C点15米的路面上．在路灯的照射下，路基CP留在地面上的影长EP为0.4米，
(1)画出红英MN在地面的影子NF；
(2)若红英留在路面上的影长NF为3m，求路灯AB的高度．
【答案】(1)见解析；(2)9米
【分析】(1)根据相似即可画出影子NF；
(2)如图，设AB=x m，CB=y m．构建方程组解决问题即可．【详解】(1)解：如图所示：
(2)解：设 ，
∵ ， ，
∴
∴解得 ，
经检验 是分式方程的解，
∴ ，
答：灯AB的高度为 米．
12．如图1所示的是一户外遮阳伞支架张开的状态，图1可抽象成图2，在图2中，点A可在BD上滑动，
当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在 处，点C落在 处， ， ，
．(1)BD的长为______．
(2)如图2，当 时．
①求 的度数；(参考数据： ， ， ， )
②求伞能遮雨的面积(伞的正投影可以看作一个圆)．
【答案】(1)250cm
(2)①35°；②
【分析】(1)根据题意可得 ，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在 处，点C落在
处，可得 ，代入数据求解即可；
(2)①过点 作 ，根据 ，可得 ，根据 ，
，即可求解；
②根据题意可知 ，则 ，根据 求得 ，根据勾股定理可得
，根据正投影是一个圆，根据圆的面积公式求解即可．
【详解】(1)解：∵ 当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在 处，点C落在 处，可
得
∴ cm
(2)①如图，过点 作
cm，
cm，
②如图，连接 ，过点 作 ，根据题意可知
伞能遮雨的面积为
