文档内容
1 .1 等腰三角形
课堂知识梳理
一、全等三角形的判定及性质
1性质：全等三角形对应 边 相等、对应 角 相等
2判定： 三边 分别相等的两个三角形全等（SSS);
两边及其夹角 分别相等的两个三角形全等(SAS)
两角及其夹边 分别相等的两个三角形全等(ASA) 新 课 标 第 一
网
④ 有两角及其中一边的对边分别 相等的两个三角形全等(AAS)
二. 等腰三角形
1. 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
2. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）．
3. 推论：等腰三角形 顶角的平分线 、 底边上的中线 、 底边上的高 互
相重合（即“ 三线合一 ”）．
4. 等边三角形的性质及判定定理
性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 6 0 度 ；
等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴.
判定定理：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.
5.反证法：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定
理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法
（reduction to absurdity）.
6. 含30°的直角三角形的边的性质
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么 它所对的直角边 等于
斜边 的一半.
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
1．（2022春·吉林·八年级期末）如图， ， ，添加下列一个条件后，不能
使 的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
A、添加 ，可利用 判定 ，故此选项不合题意；
B、添加 ，不能判定 ，故此选项符合题意；
C、添加 ，可利用 判定 ，故此选项不合题意；
D、添加 ，可利用 判定 ，故此选项不合题意；
故选：B．
2．（2022春·安徽阜阳·八年级校考阶段练习）如图， ， ，
， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴
在 和 中，
，
∴
∴
∵∴ ，
故选：B．
3．（2022春·四川绵阳·八年级阶段练习）如图，将一个等边三角形剪去一个角后，
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质以及三角形外角的性质求解即可．
【详解】解： 等边三角形的各个内角都是 ，
根据三角形的外角的性质，得 ，
，
故选：C．
4．（2021春·陕西渭南·八年级统考期末）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（ ）
A．腰上的中线 B．腰上的高所在的直线
C．顶角的平分线所在的直线 D．过顶点的直线
【答案】C
【详解】解；等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的中线所在的直线或顶角的
角平分线所在的直线或底边上的高所在的直线，
故选C．
5．（2021春·北京西城·八年级校考期中）如果等腰三角形的一个内角等于 ，则它的底
角是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】分顶角为 和底角为 两种情况，结合三角形内角和定理可求得底角．
【详解】解：当顶角为 时，则底角 ；
当底角为 时，则顶角为 ，符合题意；
综上，它的底角是 或 ，
故选：D．
6．（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在 中， ， 平分 ．
若 ， ，则 的周长为（ ）A．11 B．14 C．16 D．18
【答案】D
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得到 ，即可求出答案．
【详解】解：∵ ， 平分 ．
∴ ，
∴ 的周长为 ，
故选：D．
7．（2022春·吉林·八年级期末）若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则这个等腰三角
形的周长为_____．
【答案】12
【分析】分2是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【详解】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、5，
∵ ，
∴此时不能组成三角形，
②2是底边长时，三角形的三边分别为2、5、5，
此时能组成三角形，
∴周长 ．
综上所述，这个等腰三角形的周长是12．
故答案为：12．
8．（2022春·全国·八年级期中）如图，已知 ，点D在 上，且 ，
则 的度数为_____．
【答案】 ##36度
【分析】设 ，根据等边对等角可得 ，再根据三角形外角的性质
可得 ，根据 可得 ，根据 可得
，最后利用三角形内角和定理可得 ，由此可解．
【详解】解：设 ，
，，
根据三角形的外角性质， ，
，
，
，
，
在 中， ，
即 ，
解得 ，
即 ．
故答案为： ．
9．（2022春·安徽合肥·八年级校联考阶段练习）在 中， ，若使 为正
三角形，请你再添一个条件：___________．
【答案】 答案不唯一
【分析】根据等边三角形的判定定理解答即可．
【详解】解：添加的条件是： 答案不唯一 ．
故答案为： 答案不唯一 ．
10．（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在等边三角形 的边 各取一
点D，E，连接 交于点F，使 ，若 ，则 长度为
_____．
【答案】3
【分析】由等边三角形的性质得出 ，证明 ，由
全等三角形的性质得出 ，则可以得出结论．
【详解】解：∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
11．（2022春·湖北黄冈·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， 是角平
分线，点E、F是 上的两点， ， ，则图中阴影部分的面积之和为
_____ ．
【答案】30
【分析】根据等腰三角形的性质可得 ， ，进一步即可求出阴影部分的面
积．
【详解】解：∵ ， 是角平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴阴影部分的面积 ．
故答案为：30．
12．（2022春·上海虹口·八年级校考期中）如图，在 中， ，
平分 ，交 于D， ，则 是____________三角形．
【答案】等腰
【分析】根据等腰三角形的性质可得 ，根据角平分线的性质可得
，再根据等腰三角形两底角相等得 ，最后根据外角的性质即可求
解．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
故答案为：等腰．
13．（2022春·北京西城·八年级校考期中）如图，在等边三角形 中， ， 是
边上的高，延长 至点E，使 ，则 的长为______．
【答案】9
【分析】根据等边三角形三线合一的性质得到 ，再根据 得到
．
【详解】证明：∵ 是等边三角形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为9．
14．（2022春·北京西城·八年级校考期中）如图， 中， ， 于
点D，点E、F分别在 上运动，若 的面积为6，则 的最小值为
______．
