文档内容
1.2 直角三角形
课堂知识梳理
1.直角三角形的性质
（1）直角三角形的两个锐角互余。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
2.勾股定理及其逆定理
定理：直角三角形的两条直角边的 平方和 等于 斜边 的平方．
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 直角三
角形 ．
3.命题与定理
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这
两个命题成为互逆命题，其中一个命题是另一个命题的逆命题。
一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题经过证明是真命
题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
4.直角三角形全等
斜边及一直角边对应 相等的两个直角三角形全等（HL）
要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边
的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平
方”．
②直角三角形的全等判定方法，HL还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法．
课后培优练
级练
培优第一阶——基础过关练
1．（湖北武汉市东湖高新区2022--2023学年七年级上学期数学期末考试）将两个三角板
按如图所示的位置摆放，已知∠α=36°，则∠β=（ ）
A．69° B．36° C．54° D．121°
【答案】B
【分析】根据余角的性质：等角的余角相等即可求解．
【详解】解：∵∠1+∠α=∠1+∠β=90°，
1∴∠α=∠β=36°．
故选：B．
【点睛】本题考查了余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．
即其中一个角是另一个角的余角．
2．（2022秋·河北石家庄·八年级石家庄市第二十二中学校考期末）两个直角三角形中：①
一锐角和斜边对应相等；②斜边和一直角边对应相等；③有两条边相等；④两个锐角对应
相等．能使这两个直角三角形全等的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据直角三角形全等的判定可进行排除选项．
【详解】解：①一锐角和斜边对应相等，可根据“AAS”或“ASA”判定这两个直角三角形
全等，故符合题意；
②斜边和一直角边对应相等，可根据“HL”判定这两个直角三角形全等，故符合题意；
③有两条边相等，分当这两边分别是斜边和一条直角边时，可根据“HL”判定全等，当这
两条边为直角边时，可根据“SAS”判定全等，故符合题意；
④两个锐角对应相等，没有边的相等，故不能判定全等；
故选C．
【点睛】本题主要考查直角三角形的全等，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键．
3．（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期中）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的
是（ ）
A．两个内角互余 B．∠B+∠A=∠C
C．∠A=2∠B=3∠C D．∠A:∠B:∠C=2:3:5
【答案】C
【分析】由直角三角形内角和为180°，求得三角形的每一个内角，即根据每一个选项给出
的比例关系，从而求解出四个选项中所给的每个三角形的内角度数，最后根据直角三角形
进行判断即可．
【详解】A：∵两个内角互余，∴另一个角为90°，∴△ABC是直角三角形，故A选项不
符合题意；
B：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B+∠A=∠C，∴2∠C=180°，∴∠C=90°，∴
△ABC是直角三角形，故B选项不符合题意；
C：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=2∠B=3∠C，∴∠A≠90°，∴△ABC不是直角
三角形，故C选项符合题意；
2D：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A:∠B:∠C=2:3:5，∴∠A=36°，∠B=54°，
∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故D选项符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查三角形内角和定理以及直角的判定条件，熟记三角形的内角和为180°以
及直角三角形的判定条件是有一个角为90°是解本题的关键．
4．（2022秋·安徽·八年级统考期末）下列命题中，假命题是（ ）
A．全等三角形对应角相等 B．对顶角相等
C．同位角相等 D．有两边对应相等的直角三角形全等
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质与判定即可判断A、D；根据对顶角的性质即可判断B；根
据平行线的性质即可判断C．
【详解】解：A、全等三角形对应角相等，是真命题，不符合题意；
B、对顶角相等，是真命题，不符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，是假命题，符合题意；
D、有两边对应相等的直角三角形全等，是真命题，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了判断命题真假，熟知平行线的性质，全等三角形的性质与判定，
对顶角的性质是解题的关键．
5．（2023春·八年级单元测试）如图，已知∠A=90°，AC=AB=3，CD=√2，
BD=2√5，则点C到BD的距离为（ ）．
2√5 3√5 3√3 4√3
A． B． C． D．
5 5 5 5
【答案】B
【分析】先根据勾股定理求出BC，再根据勾股定理的逆定理可得△BCD是直角三角形，
再根据三角形的面积相等即可求解．
【详解】解：∵∠A=90°，AC=AB=3，
∴BC=√AC2+AB2=√32+32=3√2，
∵CD=√2，BD=2√5，
3(√2)
2+(3√2) 2=(2√5) 2
，
∴△BCD是直角三角形，且∠DCB=90°，
CD×BC √2×3√2 3√5
∴点C到BD的距离为 = = ．
BD 2√5 5
故答案为：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟悉勾股定理，勾股定理的逆定理的
计算是解题的关键．
6．（2023春·八年级单元测试）如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，
CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为（ ）m2．
A．92m2 B．93m2 C．96m2 D．90m2
【答案】C
【分析】连接AC，先利用勾股定理求出AC，再根据勾股定理的逆定理判定△ABC是直角
三角形，再由△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积，即可．
【详解】解：如图，连接AC．
在△ACD中，∵∠ADC=90°,AD=12m,CD=9m，
∴AC=√AD2+CD2=15m，
又∵AC2+BC2=152+202=252=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
1 1
∴这块地的面积=S −S = ×15×20− ×9×12=96m2 ．
△ABC △ACD 2 2
故答案为：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，根据勾股定理逆定理得到△ABC是
直角三角形是解题的关键．
7．（2019春·山东东营·七年级统考期末）如图，在4×4方格中作以AB为一边的RtΔABC，
要求点C也在格点上，这样RtΔABC的能做出（ ）
4A．3个 B．4个 C．5 个 D．6个
【答案】D
【分析】可以分A、B、C分别是直角顶点三种情况进行讨论即可解决．
【详解】解：当AB是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D，E，
H四个；
当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；
当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．
因而共有6个满足条件的顶点．
故选D．
【点睛】正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键．
8．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）有下列说法：
①一个直角三角形的两条直角边长分别为1，√3，则它的斜边长是2；
②一个直角三角形的两边长分别是3，4，则它的第三条边长是5；
③“一个三角形的三条边长分别是2，3，4．因为22+32≠42，所以这个三角形不是直角三
角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理．其中，正确的个数是 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】根据勾股定理及其逆定理一一判断，即可得到答案．
【详解】解：①∵12+(√3) 2=22，
∴一个直角三角形的两条直角边长分别为1，√3，则它的斜边长是2，正确；
②∵一个直角三角形的两边长分别是3，4，
∴它的第三条边长为√32+42=5或√42−32=√7，错误；
③“一个三角形的三条边长分别是2，3，4．因为22+32≠42，所以这个三角形不是直角三
角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理，正确，
∴正确的个数是2，
故选B．
5【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理得逆定理，并能计算推论是
解题关键．
9．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D为AB上一
点，连接CD，BD=5，DC=12，BC=13，则AB=________．
【答案】16.9
【分析】根据勾股定理的逆定理可得CD⊥AB，然后设AB=AC=x，则AD=x−5，在
Rt△ACD中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵BD=5，DC=12，BC=13，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，
设AB=AC=x，则AD=x−5，
在Rt△ACD中，AD2+CD2=AC2，
∴(x−5) 2+122=x2，
解得：x=16.9，
即AB=16.9．
故答案为：16.9
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，根据题意得到CD⊥AB是解题的关键．
10．（2022秋·北京石景山·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB⊥AC，∠C=55°，
点E为BA延长线上一点，点F为BC边上一点，若∠E=30°，则∠CFE的度数为 __．
【答案】65°##65度
【分析】根据直角三角形的性质求出，再根据三角形的外角性质求出。
【详解】解：在RtΔABC中，∠BAC=90°，∠C=55°，
则∠B=90°−∠C=35°，
∵∠CFE是△BEF的外角，
6∴∠CFE=∠B+∠E=35°+30°=65°，
故答案为：65°．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的外角性质，掌握直角三角形的两锐角
互余是解题关键。
11．（2022秋·广东佛山·八年级大沥中学校考阶段练习）若a、b、c为△ABC的三边长，
且满足(a−12) 2+√b−13+|c−5|=0，则△ABC是______三角形．
【答案】直角
【分析】首先根据(a−12) 2+√b−13+|c−5|=0求出a，b，c的值，然后根据勾股定理的
逆定理求解即可．
【详解】∵(a−12) 2+√b−13+|c−5|=0
∴a−12=0,b−13=0,c−5=0
∴解得a=12,b=13,c=5
∵a2+c2=122+52=169，b2=132=169
∴a2+c2=b2
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角．
【点睛】本题考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理．明确非负数的性质：如果一组非
负数的和为0时，则每一个非负数都等于0．
12．（2022秋·北京东城·八年级东直门中学校考期中）如图，将长方形ABCD沿对角线
BD折叠，使点C恰好落在点C 的位置，若∠DBC=20°，则∠ADC = _______°．
1 1
【答案】50
【分析】依据长方形的性质可知∠ADC=∠C=90°，AD∥BC，证明
∠ADB=∠CBD=20°，由折叠的性质可知∠C DB=∠CDB=70°，故此可求得问题的
1
答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴∠ADC=∠C=90°，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD=20°，
∵∠DBC=20°，
∴∠CDB=90°−20°=70°，
由折叠可得：∠C DB=∠CDB=70°，
1
∴∠ADC =∠BDC −∠ADB=70°−20°=50°，
1 1
7故答案为：50．
【点睛】本题主要考查的是长方形的性质、平行线的性质，翻折的性质，直角三角形的性
质，依据翻折的性质求得∠C DB=∠CDB=70°是解题的关键．
1
13．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，
△ABC各顶点均在网格的格点上，CD⊥AB于点D，则CD的长为_____．
【答案】2
【分析】由勾股定理可求AC,BC,AB的长，由勾股定理的逆定理可证∠ACB=90°，由
面积法可求解．
【详解】解：由题意可得：AC=√12+22=√5，BC=√22+42=2√5，AB=√32+42=5，
∵AC2+BC2=25,AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
1 1
∵S = ×AB⋅CD= ×AC⋅BC，
△ABC 2 2
∴√5×2√5=5CD，
∴CD=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理，三角形的面积公式，证明∠ACB=90°
是解题的关键．
14．（2022秋·广西河池·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠C=60°，△ABC的高
AD，BE相交于点F．则∠AFB的度数是__________．
【答案】120°##120度
【分析】由三角形的高的定义可知∠ADC=∠AEF=90°，从而可求出∠CAD=30°，再
由三角形外角的定义和性质即可求出∠AFB=∠AEF+∠CAD=120°．
【详解】解：∵△ABC的高AD，BE相交于点F，
8∴∠ADC=∠AEF=90°，
∴∠CAD=90°−∠C=90°−60°=30°，
∴∠AFB=∠AEF+∠CAD=90°+30°=120°．
故答案为：120°．
【点睛】本题考查三角形的高的定义，直角三角形的两个锐角互余，三角形外角的定义和
性质．掌握三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和是解题关键．
15．（2022秋·福建南平·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中
∠C=90°,AC=12cm,BC=6cm，一条线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且
垂直于AC射线AX上运动使△ABC和△QPA全等，则AP=_______．
【答案】6cm或12cm
【分析】分两种情况讨论：当AP=CB时，当P运动到与C点重合时，AP=AC，结合全
等三角形的性质，即可求解．
【详解】解：当AP=CB时，
∵∠C=∠QAP=90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
¿，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，
即AP=BC=6cm；
②当P运动到与C点重合时，AP=AC，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
¿，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，
即AP=AC=12cm，
∴当点P与点C重合时，△ABC和△QPA全等．
综上所述，AP=6cm或12cm．
故答案为：6cm或12cm．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
16．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形 ABCD 中，AB=3，
BC=13，CD=12，AD=4且 ∠A=90∘，则四边形 ABCD 的面积是___________．
9【答案】36
【分析】连接BD，在Rt△ABD中由勾股定理即可求出BD，证明△BDC是直角三角形，
再根据三角形公式即可得到答案．
【详解】解：连接BD，
在Rt△ABD中由勾股定理即可得，BD=√32+42=5 ，
∴BD2+DC2=BC2
∴△BCD是直角三角形
∴S =S +S
四边形ABCD ΔABD ΔBCD
1 1
= ×AB×AD+ ×BD×DC
2 2
1 1
= ×3×4+ ×5×12
2 2
=36 ，
故答案为：36．
【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理，解题关键是将四边形面积转化成两个三角形
面积之和．
17．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考期中）在△ABC的三边分别是a、b、c，且
a=n2−1,b=2n,c=n2+1，判断△ABC的形状，证明你的结论．
【答案】直角三角形，理由见解析
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】解：∵a=n2−1,b=2n,c=n2+1
∴a2=(n2−1) 2 =n4−2n2+1，
b2=(2n) 2=4n2，
c2=(n2+1) 2 =n4+2n2+1，
∴a2+b2=c2，
故△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式，会利用勾股定理的逆定理判定三
角形是否为直角三角形是解答的关键．
18．（2022秋·辽宁·八年级校考期末）在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有
10两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为
方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条
路CD，测得CB=13千米，CD=12千米，BD=5千米．求原来的路线AC的长．
【答案】AC=16.9千米
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明∠CDB=90°，得出∠CDA=90°，再利用勾股定
理列出方程，解方程即可求出AC的长度．
【详解】解：∵CB=13千米，CD=12千米，BD=5千米，即52+122=132，
∴CB2=BD2+CD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠CDB=90°，
∴∠CDA=90°，
∴AC2=AD2+CD2，
设AB=AC=x，
∴AD=AB−BD=x−5，
∴x2=(x−5) 2+122，即10x=169，
解得：x=16.9，
答：原来的路线AC的长为16.9千米．
【点睛】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、勾股定理及其逆定理的应
用，掌握勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．
19．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）如图所示，已知△ABC中，CD⊥AB于
D，AC=2，BC=1.5，DB=0.9．
(1)求CD的长；
(2)判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】(1)1.2；(2)直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据垂直定义可得∠CDA=∠CDB=90°，然后在Rt△BCD中，利用勾股
定理进行计算即可解答；
（2）先在Rt△CDA中，利用勾股定理可求出AD的长，从而求出BA的长，然后利用勾股
11定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，即可解答．
【详解】（1）解：∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠CDB=90°，
∵BC=1.5，DB=0.9，
∴CD=√BC2−DB2=√1.52−0.92=1.2，
∴CD的长为1.2；
（2）ΔABC是直角三角形，
理由：在Rt△CDA中，AC=2，CD=1.2，
∴AD=√AC2−CD2=√22−1.22=1.6，
∴AB=AD+BD=2.5，
∵AC2+BC2=4+2.25=6.25，AB2=6.25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的
逆定理是解题的关键．
培优第二阶——拓展培优练
20．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，点D在AC边
上，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，如果AD=DE，且∠BDE=2∠ABC，那么
∠CDE的度数是________．
【答案】36°##36度
【分析】根据HL证明△ABD≌△EBD，可得∠ABD=∠EBD，∠ADB=∠EDB，根据
∠BDE=2∠ABC求出∠ADE，进而可求出∠CDE的度数．
【详解】解：DE⊥BC，
∴∠BED=90°．
在△ABD和△EBD中
¿，
12∴△ABD≌△EBD(HL)，
∴∠ABD=∠EBD，∠ADB=∠EDB．
∵∠BDE=2∠ABC，
∴∠ADE=4∠ABC，
∵∠ADE+∠ABC=360°−90°×2=180°，
∴∠ADE=144°，
∴∠CDE=180°−144°=36°．
故答案为：36°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，四边形内角和等知识，证明
△ABD≌△EBD是解答本题的关键．
21．（2022秋·广西钦州·八年级校考期中）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，
AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，F是AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度
为________．
【答案】4
【分析】首先证明AD=BD，求出AC，再证明∠1=∠2，再加上条件
∠BDA=∠ADC=90°，可证明△BFD≌△ACD，即可得DF=CD=4．
【详解】∵AD⊥BC，∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴AD=BD，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∵∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
13∠ADC=∠BDF=90°
∴△BFD≌△ACD，
∴DF=CD=4
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，解题的关键
是熟练掌握全等三角形的判定
22．（2022秋·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一
点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E．若AE=6cm，则DE的长为 __cm．
【答案】6
【分析】连接BE，根据已知条件，先证明△DBE≌△ABE，再根据全等三角形的性质，
求得DE的长度即可．
【详解】解：如图，连接BE．
∵D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，
∴∠A=∠BDE=90°，
∴在Rt△DBE和Rt△ABE中，
¿，
∴Rt△DBE≌Rt△ABE（HL），
∴AE=ED，
又∵AE=6cm，
∴ED=6cm．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定（HL）以及全等三角形的性质，连接BE
构建全等三角形是解决本题的关键．
23．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，
AB=AD=2√2，CD=3，BC=5，则∠ADC的度数为___________．
14【答案】135°
【分析】由等腰直角三角形得到∠ADB=45°，根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理
的逆定理判断∠CDB=90°，计算即可．
【详解】解：∵AB⊥AD，AB=AD=2√2，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ADB=45°，
在Rt△ADB中，BD=√AD2+AB2=√8+8=4，
∵32+42=52，即CD2+BD2=BC2，
∴△BDC是直角三角形，∠CDB=90°，
∴∠ADC=∠ADB+∠CDB=135°．
故答案为：135°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是证
明△BDC是直角三角形．
24．（2022秋·江苏徐州·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，若
∠B=55°，过点A作AD⊥BC于点D，在CD上取一点B'，使BD=B'D，则∠CAB'=
___________°．
【答案】20
【分析】先根据题意证明△ADB≌△ADB'得∠AB'D=∠B=55°，结合直角三角形的两
个锐角互余进行求解即可．
【详解】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADB'=90°，
在△ADB和△ADB'中，
¿，
∴△ADB≌△ADB' (SAS)，
∴∠AB'D=∠B=55°，
15∴∠DAB'=90°−∠AB'D=90°−55°=35°，∠C=90°−∠B=90°−55°=35°
∴∠DAC=90°−∠C=90°−35°=55°，
∴∠CAB'=∠DAC−∠DAB'=55°−35°=20°，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质和直角三角形的性质，证明
△ADB≌△ADB'是解决本题的关键．
25．（2022秋·广东揭阳·八年级校考阶段练习）在直线上依次摆着七个正方形（如图），
已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是
S ，S ，S ，S ，则S +S −S −S = _________．
1 2 3 4 1 2 3 4
【答案】−2
【分析】如图，易证△ABC≌△BED(AAS)，即得出BC=ED，再结合勾股定理可知，每
两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
【详解】如图，
由题意可知AB=BE，∠ACB=∠BDE=∠ABE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，
∴△ABC≌△BED(AAS)，
∴BC=ED．
∵AB2=AC2+BC2，
∴AB2=AC2+ED2=S +S ，
1 2
∴S +S =1．
1 2
同理可求S +S =3，
3 4
∴S +S −S −S =S +S −(S +S )=1−3=−2．
1 2 3 4 1 2 3 4
故答案为：−2．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答此题的关键是注意发现
两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积．
1626．（2021春·江西吉安·八年级统考期末）如图，在▱ABCD中，∠B=60°，AB=4，
BC=4√3，点P在▱ABCD的边上，则当△PBC为直角三角形时，BP的长为______．
【答案】4或2√6或2√15
【分析】分三种情况： ①当∠BPC=90°时，点P在AB上，作AM⊥BC于M，求出
1
BM= AB=2，AM=√3BM=2√3，再由勾股定理求出AC的长度，由勾股定理的逆定
2
理证明△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，得出点P与A重合；②当∠BPC=90°，点
P在AD上时，假设BP=PC，先求出BP的长，再运用面积法证明
S =S +S +S 即可求解；③当∠BCP=90°时，CP=2√3，由勾股定理
▱ABCD △APB △DPC △BCP
求出BP的长．
【详解】解：分三种情况：
①当∠BPC=90°时，点P在AB上，作AM⊥BC于M，如图1所示，
∵AM⊥BC，
∴∠AMB=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∵AB=4，
1
∴在Rt△ABM中，BM= AB=2，AM=√3BM=2√3，
2
∴CM=BC−BM=4√3−2√3=2√3，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC=90°，
∴当点P与A重合时，∠BPC=∠BAC=90°，
∴BP=BA=4；
②当∠BPC=90°，点P在AD上时，假设BP=PC，如图2所示，
17∵BC=4√3，∠BPC=90°，BP=PC，
∴△BPC为等腰直角三角形，
4√3
∴BP=PC= =2√6，
√2
∵S =4√3×2√3=24，
▱ABCD
又∵S +S +S
△APB △DPC △BCP
1 1 1
= ×2√3AP+ ×2√3DP+ ×2√3×4√3
2 2 2
=√3(AP+DP)+12
=√3×4√3+12
=24=S ，
▱ABCD
∴BP=PC=2√6
③当∠BCP=90°时，如图3所示，
则由①可得CP=2√3，
∴BP=√BC2+CP2=√(4√3) 2+(2√3) 2=2√15，
综上所述，当△PBC为直角三角形时，BP的长为4或或2√15，
故答案为：4或2√6或2√15．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理的应用、含30°直角三角形的性质和等
腰直角三角形的判定和性质和勾股定理的逆定理，解决本题的关键是运用分类讨论的思想．
27．（2022秋·江西南昌·八年级校考阶段练习）△ABC中，AB=AC，点D在射线BA上，
且AD=BC，连接CD，若∠BDC=30°，则∠BAC=______．
【答案】20°或60°或140°
【分析】分三种情形：①当D在线段BA上时，当D在BA的延长线上时，当∠BAC是钝
角时，D在BA的延长线上时，利用全等三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：①如图1中，当D在线段BA上时，作AE⊥DC于E，AF⊥BC于F．
18∵∠BDC=30°，
1
∴AE= AD，
2
∵AB=AC，AF⊥BC，
1
∴BF=CF= BC，
2
∵AD=BC，
∴AE=CF，
又∵∠AEC=∠CFA=90°，AC=CA，
∴Rt△AEC≌Rt△CFA(HL)，
∴∠ACE=∠CAF=∠BAF，
∵∠BDC=∠DAC+∠ACD=30°，
∴∠BAC=20°；
②如图2中，当D在BA的延长线上时，作AE⊥DC于E，AF⊥BC于F．
同法可证Rt△AEC≌Rt△CFA(HL)，
∴∠ACE=∠CAF=∠BAF，
∴AF∥CD，
19∴∠BAF=∠D=30°，
∴∠BAC=2∠BAF=60°；
③如图3中，当∠BAC是钝角时，D在BA的延长线上时，作AE⊥DC于E，AF⊥BC
于F．
同法可证Rt△AEC≌Rt△CFA(HL)，
∴∠ACE=∠CAF=∠BAF，设∠ACE=∠CAF=∠BAF=x，
∵∠ACE=∠CAD+∠D，
∴x=180°−2x+30°，
∴x=70°，
∴∠BAC=140°，
故答案为：20°或60°或140°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟
练掌握基本现在是，属于中考填空题中的压轴题．
28．（2021春·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期中）如图，在△ABC中，AB=CB，
∠BAC=∠BCA，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)求证：AE⊥CF．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【分析】（1）利用HL证明Rt△ABE≌Rt△CBF即可；
（2）延长AE交CF于点H，利用全等三角形的性质，以及对顶角相等，得到
∠AEB+∠BAE=∠CEH+∠BCF，得到∠CHE=90°，即可得证．
【详解】（1）证明：∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=180°−∠ABC=90°，
∴∠CBF=∠ABC=90°，
∵AB=CB，AE=CF，
20∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
（2）证明：延长AE交CF于点H，则：∠AEB=∠CEH，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BAE=∠BCF，
∴∠AEB+∠BAE=∠CEH+∠BCF=180°−∠ABC=90°，
∴∠CHE=90°，
∴AE⊥CF．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角
形全等是解题的关键．
29．（2021春·湖南郴州·八年级统考期末）阅读下列材料，然后回答问题．
已知平面内两点M(x ,y ),N(x ,y )，则这两点间的距离可用下列公式计算：
1 1 2 2
MN=√(x −x ) 2+(y −y ) 2．
1 2 1 2
例如：已知P(5,1)、Q(3,−2)，则这两点间的距离为PQ=√(5−3) 2+(1+2) 2=√13， 特
别地，如果两点M(x ,y ),N(x ,y )所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于
1 1 2 2
坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为MN=|x −x |或MN=|y −y |．
1 2 1 2
(1)已知A(1,4)、B(−2,3)，求A、B两点间的距离；
(2)已知A、B两点在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为6，点B的纵坐标为−1，
求A、B两点间的距离；
(3)已知△ABC的顶点坐标分别为A(0,4)、B(−1,2)、C(4,2)，你能判定△ABC的形状
吗？请说明理由．
【答案】(1)√10；(2)7；(3)直角三角形，理由见解析
【分析】（1）直接利用两点间的距离公式计算；
（2）由于横坐标相同，所以A、B两点间的距离等于纵坐标差的绝对值；
（3）先根据两点间的距离公式计算出AB、BC、AC，然后根据勾股定理的逆定理进行判
断．
【详解】（1）解：∵A(1,4)、B(−2,3)，
∴AB=√(1+2) 2+(4−3) 2=√10；
（2）∵A、B在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为6，点B的纵坐标为−1，
∴AB=|6−(−1)|=7；
（3）△ABC是直角三角形．
21理由：∵ AB=√(0+1) 2+(4−2) 2=√5，
BC=√(−1−4) 2+(2−2) 2=5，
AC=√(0−4) 2+(4−2) 2=√20，
∴ AB2+AC2=(√5) 2+(√20) 2=25，BC2=52=25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，
已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
30．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）如图，AD⊥BC，垂足为D，且AD=4，
BD=8．点E从B点沿射线BC向右以2个单位/秒的速度匀速运动，F为BE的中点，连接
AE、AF，设点E运动的时间为t．
(1)当t为何值时，AE=AF；
(2)当t=5时，判断△ABE的形状，并说明理由．
16
【答案】(1)当t= 时，AE=AF；(2)△ABE是直角三角形，理由见解析
3
1
【分析】（1）根据题意可得：BE=2t，再根据线段中点的定义可得BF=EF= BE=t，
2
从而可得DF=8−t，DE=2t−8，由等腰三角形的性质得DE=DF，则建立方程即可解
答；
（2）当t=5时，BE=2t=10，DE=2，然后分别在Rt△ADB和Rt△ADE中，利用勾股
定理求出AB2和AE2，最后利用勾股定理的逆定理证明△ABE是直角三角形，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：BE=2t，
∵F为BE的中点，
1
∴BF=EF= BE=t，
2
∵AD=4，BD=8，
∴DF=BD−BF=8−t，DE=BE−BD=2t−8，
∵AD⊥BC，AE=AF，
∴DE=DF，
即2t−8=8−t，
2216
解得：t= ，
3
16
∴当t= 时，AE=AF；
3
（2）解：△ABE是直角三角形，
理由：当t=5时，BE=2t=10，
∴DE=BE−BD=10−8=2，
在Rt△ADB中，AB2=AD2+BD2=42+82=80，
在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2=42+22=20，
∵AB2+AE2=100，BE2=102=100，
∴AB2+AE2=BE2，
∴△ABE是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定
理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
31．（2023春·八年级单元测试）在△ABC中，∠ACB=90°，D为△ABC内一点，连接
BD，DC，延长DC到点E，使得CE=DC．
(1)如图1，延长BC到点F，使得CF=BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：
BD⊥AF；
(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2=AE2+BD2，
求证：AB2=AH2+BH2．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【分析】（1）证明△BCD≌△FCE(SAS)，由全等三角形的性质得出∠DBC=∠EFC，
证出BD∥EF，则可得出结论；
（2）由题意画出图形，延长BC到F，使CF=BC，连接AF，EF，由（1）可知
BD∥EF，BD=EF，证出∠AEF=90°，得出∠AHB=90°，由勾股定理可得出结论．
【详解】（1）证明：（1）在△BCD和△FCE中，
¿，
∴△BCD≌△FCE(SAS)，
∴∠DBC=∠EFC，
23∴BD∥EF，
∵AF⊥EF，
∴BD⊥AF；
（2）由题意补全图形如下：
延长BC到F，使CF=BC，连接AF，EF，
∵AC⊥BF，BC=CF，
∴AB=AF，
由（1）可知BD∥EF，BD=EF，
∵AB2=AE2+BD2，
∴AF2=AE2+EF2，
∴∠AEF=90°，
∴AE⊥EF，
∴BD⊥AE，
∴∠AHB=90°，
∴AB2=AH2+BH2．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性
质，勾股定理的逆定理，证明△BCD≌△FCE是解题的关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
32．（2022·上海·统考中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题
【答案】A
【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即
可得出答案．
【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；
B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶
24角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意；
D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角
相等，它是真命题，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把
一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真
命题，错误的命题叫假命题．
33．（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）在△ABC中，AD为边BC上的高，
∠ABC=30°，∠CAD=20°，则∠BAC是___________度．
【答案】40或80##80或40
【分析】根据题意，由于△ABC类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角
形边上和高在三角形外部讨论求解．
【详解】解：根据题意，分三种情况讨论：
①高在三角形内部，如图所示：
∵在ΔABD中，AD为边BC上的高，∠ABC=30°，
∴∠BAD=90°−∠ABC=90°−30°=60°，
∵ ∠CAD=20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°；
②高在三角形边上，如图所示：
可知∠CAD=0°，
∵ ∠CAD=20°，
故此种情况不存在，舍弃；
③高在三角形外部，如图所示：
25∵在ΔABD中，AD为边BC上的高，∠ABC=30°，
∴∠BAD=90°−∠ABC=90°−30°=60°，
∵ ∠CAD=20°，
∴∠BAC=∠BAD−∠CAD=60°−20°=40°；
综上所述：∠BAC=80°或40°，
故答案为：40或80．
【点睛】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根
据题意分情况讨论是解决问题的关键．
34．（2020·贵州贵阳·统考中考真题）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫
做格点，以格点为项点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）画一个边长为3,4,5的三角形即可；
（2）利用勾股定理，找长为2√2、2√2和4的线段，画三角形即可；
（3）利用勾股定理，找长为√2、2√2和√10的线段，画三角形即可；
【详解】解：（答案不唯一）
26（1）图① （2）图② （3）图③
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确的理解勾股定理公式和构造直角三角形是
解题的关键．
35．（2019·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的
边分别为a、b、c．
（1）若a＝6,b＝8,c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；
（2）求证：△ABC的内角和等于180°；
1
(a+b+c)
（3）若 a 2 ，求证：△ABC是直角三角形．
=
a−b+c c
【答案】（1）∠A+∠B＜∠C；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【分析】（1）根据三角形中大角对大边，即可得到结论；
（2）画出图形，写出已知，求证；过点A作直线MN∥BC，根据平行线性质得出
∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，代入∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°即可求出答案；
（3）化简等式即可得到a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理即可得到结论
【详解】（1）∵在△ABC中，a＝6，b＝8，c＝12，
∴∠A+∠B＜90°＜∠C
∴∠A+∠B＜∠C；
（2）如图，过点A作MN//BC，
27∵MN//BC，
∴∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C（两直线平行，内错角相等），
∵∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°（平角的定义），
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°（等量代换），
即：三角形三个内角的和等于180°；
1
(a+b+c)
（3） a 2 ，
∵ =
a−b+c c
1 1
∴ac＝ （a+b+c）(a﹣b+c)＝ [（a2+2ac+c2）−b2] ，
2 2
∴2ac＝a2+2ac+c2﹣b2，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，根据证明过程运用转化思想是
解题的关键．
28
