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第一章 三角形的证明
第二节 直角三角形
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022秋·河南郑州·八年级统考期中）满足下列条件的 不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D． ， ，
【答案】A
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，逐一进行判断即可．
，
不是直角三角形，故A符合题意；
B. ，
，
是直角三角形，故B不符合题意；
C. ，
，
，
，
是直角三角形，故C不符合题意；
D. ， ， ，
，
，
是直角三角形，故D不符合题意；
故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内
角和定理是解题的关键．
2．（2022秋·安徽·八年级统考期末）下列命题中，假命题是（ ）
A．全等三角形对应角相等 B．对顶角相等
C．同位角相等 D．有两边对应相等的直角三角形全等
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质与判定即可判断A、D；根据对顶角的性质即可判断B；根据平行线的性质
即可判断C．
【详解】解：A、全等三角形对应角相等，是真命题，不符合题意；
B、对顶角相等，是真命题，不符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，是假命题，符合题意；
D、有两边对应相等的直角三角形全等，是真命题，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了判断命题真假，熟知平行线的性质，全等三角形的性质与判定，对顶角的性质是
解题的关键．
3．（2022秋·河北石家庄·八年级石家庄市第二十二中学校考期末）两个直角三角形中：①一锐角和斜边对
应相等；②斜边和一直角边对应相等；③有两条边相等；④两个锐角对应相等．能使这两个直角三角形全
等的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据直角三角形全等的判定可进行排除选项．
【详解】解：①一锐角和斜边对应相等，可根据“AAS”或“ASA”判定这两个直角三角形全等，故符合题意；
②斜边和一直角边对应相等，可根据“HL”判定这两个直角三角形全等，故符合题意；
③有两条边相等，分当这两边分别是斜边和一条直角边时，可根据“HL”判定全等，当这两条边为直角边
时，可根据“SAS”判定全等，故符合题意；
④两个锐角对应相等，没有边的相等，故不能判定全等；
故选C．
【点睛】本题主要考查直角三角形的全等，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键．
4．（2022秋·湖北武汉·七年级统考期末）将两个三角板按如图所示的位置摆放，已知 ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据余角的性质：等角的余角相等即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了余角：如果两个角的和等于 （直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是
另一个角的余角．
5．（2021春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）如图，在 中， ，
， 平分 交 于 ， 于 ，下列结论不正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出 ，根据含30度直角三角形的性质得到
，再根据角平分线的定义得到 ，即可证明 从而判断A、B；再根据
即可判断C、D．
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故B不符合题意
∴ ，故A不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故C符合题意，D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形两锐
角互余，灵活运用所学知识是解题的关键．
6．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中） 的三边为 ， ， ，下列条件不能确保 为直角三角
形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
即 为直角三角形，故A选项不符合题意；
设 ，
∴ ，
即 不为直角三角形，故B选项符合题意；
∵ ，∴ ，
即 为直角三角形，故C选项不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 为直角三角形，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，三角形内
角和定理是解题的关键．
二、填空题
7．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）直角三角形中两个锐角的差为60°，则较小的锐角度数是______．
【答案】15°##15度
【分析】根据直角三角形中两个锐角互余，且差为60°，即可得到结果．
【详解】解：设其中较小的一个锐角是 ，则另一个锐角是 ，
直角三角形中两个锐角互余，
，
解得： ，
较小的一个锐角是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了直角三角形两个锐角互余，根据题意列出方程是解题的关键．
8．（2022秋·吉林松原·八年级统考期中）如图，在 中， ， 平分 ，若 ，
，则 _____．【答案】 ##30度
【分析】由 平分 ，可得角相等，由 ， ，可求得 的度数，在直角三角形
中利用两锐角互余即可求解．
【详解】解：∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为直角三角形，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查三角形的角平分线和高，直角三角形两锐角互余等知识点．理解和掌握三角形的角平分
线和高的定义是解题的关键．
9．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，在 中， ，点 为 上一点，连接 ，
， ， ，则 ________．
【答案】
【分析】根据勾股定理的逆定理可得 ，然后设 ，则 ，在 中，根
据勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，∴ ，即 ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
即 ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，根据题意得到 是解题的关键．
10．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在 中， ， ，以 为边在
的左侧作等边 ，连接 ，则 ______°．
【答案】30
【分析】根据等腰三角形和直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵ ， ，以 为边在 的左侧作等边 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了等腰三角形和直角三角形的性质，掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解题的关键．
三、解答题
11．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期末）已知：如图， ， ， 、 相交于
点O．求证： 是等腰三角形．【答案】证明见解析
【分析】首先根据全等三角形的判定定理 ，即可证得 ，可得 ，再根
据等角对等边，即可证得结论．
【详解】证明：在 和 中， ，
，
，
，
是等腰三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，证得 是解决本题的关
键．
12．（2021春·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）如图， ， 是 上的一点，
且 ， ．
(1) 与 全等吗？并说明理由．
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1) ，理由见解析
(2) ．
【分析】（1）根据 证明 和 全等解答即可；
（2）根据全等三角形的性质及平角的定义证明 是等腰直角三角形，即可求解．【详解】（1）解： ，
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
在 和 中， ，
∴ ；
（2）解：由（1）得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ 是等腰直角三角形．
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，根据 证明
是解题的关键．
提升篇
一、填空题
1．（2022秋·湖南株洲·八年级校考期中）等腰三角形一条腰上的高与另一条腰所成的角为25°，那么这个
等腰三角形顶角的度数为_____．
【答案】65°或115°
【分析】分类讨论：①当该等腰三角形为锐角三角形时，②当该等腰三角形为钝角三角形时，结合题意，
即可求出其顶角的大小．
【详解】解：分类讨论：①如图，当该等腰三角形为锐角三角形时，由题意可知 ， ，
；
②如图，当该等腰三角形为钝角三角形时，
由题意可知 ， ，
．
故答案为： 或
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，注意掌握分类讨论思想和数形结合思想的应用是解题的关键．
2．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，在 中， ，点 在 边上，过点 作
，垂足为点 ，如果 ，且 ，那么 的度数是________．
【答案】 ##36度
【分析】根据 证明 ，可得 ， ，根据 求
出 ，进而可求出 的度数．
【详解】解： ，∴ ．
在 和 中
，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，四边形内角和等知识，证明 是解答本题的
关键．
3．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第十六中学校考期末）如图，在四边形 中，
， 为对角线 的中点，连接 ， ， ，若 ，则
___________ ．
【答案】
【分析】根据已知条件可以判断 ，根据三角形外角定理可得到：
，同理 ，
，在等腰三角形 中，已知顶角，即可求出底角 的度
数．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ， ,在 中， ，
同理可得到： ，
，
在等腰三角形 中， ；
故答案是 ．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线定理和三角形外角定理的运用，掌握基本定理是解题的关键．
4．（2022秋·广东阳江·八年级统考期中）如图，在 中， ，D为 的中点，
，点P为 边上的动点，点E为 边上的动点，则 的最小值为 _____．
【答案】
【分析】根据勾股定理的逆定理得到 ，得到点B，点C关于直线 对称，当 交
于P时 的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】连接 ,
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵D为 的中点， ，
∴ 垂直平分 ， ，
∴点B，点C关于直线 对称，
∴
∴当点C、P、E三点共线时， 最小
当 时， 最小，即 的值最小，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的逆定理，两点这间线段最短，线段垂直平分线的性
质，三角形的面积公式，利用两点之间线段最短来解答本题．
5．（2022秋·四川资阳·七年级统考期末）如图，在长方形 中，E点在 上，并且 ，分
别以 、 为折痕进行折叠压平，如图，若图中 ，则 的度数为___________．
【答案】
【分析】求 的大小只需根据折叠规律、平角知识和角的和差求出 大小即可．
【详解】解：折叠后的图形如下：∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题综合考查了两角互余的性质，图形的折叠特性、平角及角的和等知识为背景的角的计算，同
时也可以用平角建立等量关系，方程的思想求解更简单．
二、解答题
6．（2022秋·北京东城·七年级景山学校校考期末）如图，已知 、 是 的边 、 上的高，P
是 上的一点，且 ，Q是 的延长线上的一点，且 ，求证： 且 ．
【答案】见解析【分析】先利用 定理证出 ，再根据全等三角形的性质可得 ， ，
然后根据直角三角形的两个锐角互余、等量代换即可得．
【详解】证明： 、 是 的边 、 上的高，
， ，
，
．
在 和 中，
，
．
， ．
又 ，
，
，即 ，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余，正确找出两个全等三角形是
解题关键．
7．（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图，在 中， ， ， 为 的中
线，D在 上， ，垂足为H，连接 ．求证：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析【分析】（1）先证 ，又 得 ，从而即可证明
；
（2）作 交 延长线于点F，先证 得 ，再证
得 ，从而即可得证．
【详解】（1）证明：∵ ，垂足为H，
∴ ，
∴ ，
又
∴ ，
∴ ．
（2）证明：作 交 延长线于点F，
∴ ，
又
∴
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
又 为 的中线，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴
∴
∴
∴
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、中线定义以及直角三角形的两锐
角互余，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
8．（2022秋·河南驻马店·八年级校联考期中）在一条东西走向河的一侧有一村庄 ，河边原有两个取水点
， ，其中 ，由于某种原因，由 到 的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新
建一个取水点 （ 、 、 在一条直线上），并新修一条路 ，测得 千米， 千米，
千米．
(1)问 是否为从村庄 到河边的最近路？请通过计算加以说明；
(2)求 的长．
【答案】(1)是，理由见解析
(2) 千米
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）是，理由如下：
在 中，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是从村庄 到河边的最近路
（2）设 ，则 ，
∴ ，
在Rt 中
，
∴ ，
解得：
即 的长为 千米．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和勾股定理逆定理的内容是解题的关键．
