文档内容
1 .1 等腰三角形
课堂知识梳理
一、全等三角形的判定及性质
1性质：全等三角形对应 边 相等、对应 角 相等
2判定： 三边 分别相等的两个三角形全等（SSS);
两边及其夹角 分别相等的两个三角形全等(SAS)
两角及其夹边 分别相等的两个三角形全等(ASA) 新 课 标 第 一
网
④ 有两角及其中一边的对边分别 相等的两个三角形全等(AAS)
二. 等腰三角形
1. 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
2. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）．
3. 推论：等腰三角形 顶角的平分线 、 底边上的中线 、 底边上的高 互
相重合（即“ 三线合一 ”）．
4. 等边三角形的性质及判定定理
性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 6 0 度 ；
等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴.
判定定理：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.
5.反证法：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定
理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法
（reduction to absurdity）.
6. 含30°的直角三角形的边的性质
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么 它所对的直角边 等于
斜边 的一半.
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
1．（2022春·吉林·八年级期末）如图， ， ，添加下列一个条件后，不能
使 的是（ ）A． B． C． D．
2．（2022春·安徽阜阳·八年级校考阶段练习）如图， ， ，
， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·四川绵阳·八年级阶段练习）如图，将一个等边三角形剪去一个角后，
等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2021春·陕西渭南·八年级统考期末）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（ ）
A．腰上的中线 B．腰上的高所在的直线
C．顶角的平分线所在的直线 D．过顶点的直线
5．（2021春·北京西城·八年级校考期中）如果等腰三角形的一个内角等于 ，则它的底
角是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
6．（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在 中， ， 平分 ．
若 ， ，则 的周长为（ ）A．11 B．14 C．16 D．18
7．（2022春·吉林·八年级期末）若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则这个等腰三角
形的周长为_____．
8．（2022春·全国·八年级期中）如图，已知 ，点D在 上，且 ，
则 的度数为_____．
9．（2022春·安徽合肥·八年级校联考阶段练习）在 中， ，若使 为正
三角形，请你再添一个条件：___________．
10．（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在等边三角形 的边 各取一
点D，E，连接 交于点F，使 ，若 ，则 长度为
_____．
11．（2022春·湖北黄冈·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， 是角平
分线，点E、F是 上的两点， ， ，则图中阴影部分的面积之和为
_____ ．
12．（2022春·上海虹口·八年级校考期中）如图，在 中， ，
平分 ，交 于D， ，则 是____________三角形．
13．（2022春·北京西城·八年级校考期中）如图，在等边三角形 中， ， 是
边上的高，延长 至点E，使 ，则 的长为______．14．（2022春·北京西城·八年级校考期中）如图， 中， ， 于
点D，点E、F分别在 上运动，若 的面积为6，则 的最小值为
______．
15．（2021春·四川乐山·八年级统考期末）如图， 与 是等边三角形，连接 、
，有以下结论
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）无论
如何改变 的度数， 与 始终全等．其中正确结论的序号为_____
16．（2022春·江苏南京·八年级南京市第一中学阶段练习）如图，在 中， 平分
，且 ，垂足为D．(1)求证： ．
(2)若 ，求 边上的高．
17．（2022春·北京海淀·八年级北京二十中校考阶段练习）如图：在 中， ，
D为 边的中点，过点D作 于点E， 于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的周长．
18．（2021春·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在锐角 中，点E是 边上一点，
， 于点D， 与 交于点G．
求证：(1) ；
(2) 是等腰三角形．
19．（2022·广东东莞·八年级东莞市寮步镇香市中学校考期中）如图， 是等边三角形，
点 、 、 分别在 、 、 上；若 ， ，求证：
(1) ；
(2) 是等边三角形．
培优第二阶——拓展培优练
20．（2022春·江苏南京·八年级南京市第一中学阶段练习）如图， 是等边三角形，
D，E分别是 上的点，若 ，则 _____ ．
21．（2022春·全国·八年级期中）如图，已知 ，
…，以此类推，若 ，则 ______．22．（2022春·山东临沂·八年级统考期中）如图，等边三角形 的边长为 ， 、 、
三点在一条直线上，且 ．若 为线段 上一动点，则 的最小
值是______．
23．（2022春·河南鹤壁·八年级校考期中）如图，在长方形 的对角线 上有一动
点 ，连接 ，过点 作 交射线 于点 ， ，当 为等腰三
角形时， 的度数是______．
24．（2022春·吉林·八年级期末）如图， 是等边三角形， 是等腰三角形，且
， ，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交 ， 边于M，
N两点，连接 ，延长 至E，使 ，连接 ．
(1)请在横线上写出角的度数，补充 的证明过程．
证明：∵ 是等边三角形，∴ _____ ．
∵ ， ，∴ _____ ．
∴ ， _____ ．
