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第四章 图形的相似
4.7 相似三角形的性质
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2021·山东·冠县育才双语学校九年级阶段练习）在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图
中的6cm变成了2cm，则缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比计算，得到答案．
【详解】解：∵三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，
∴原三角形与缩印出的三角形是相似比为3：1，
∴原三角形与缩印出的三角形的周长比为3：1，
∴缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
2．（2021·贵州·铜仁学院附属中学九年级阶段练习）如图，已知E、F分别是△ABC中AB、AC边上的点，
，且AE：AB＝3：5，那么 为（ ）
A．3：5 B．3：25 C．9：25 D．9：16【答案】D
【分析】根据 ，可得△AEF∽△ABC，再相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ＝
∴ ＝9：16．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
3．（2021·浙江·湖州市第四中学教育集团九年级阶段练习）如图，在 ABC中，点D，E分别在边AB，
△
AC上，且 ，则三角形ADE周长与三角形ABC的周长比是（ ）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定定理得到 ADE∽△ACB，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．
△
【详解】解：∵ ，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴三角形ADE周长与三角形ABC的周长比= ．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
4．（2022·广东·深圳实验学校九年级阶段练习）在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的
2cm增加了4cm，则复印出的三角形的周长是原图中三角形周长的（ ）A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．12倍
【答案】A
【分析】复印前后的三角形按照比例放大与缩小，因此它们是相似三角形，本题按照相似三角形的性质求
解．
【详解】解：由题意可知，相似三角形的边长之比＝相似比＝2：（4+2）＝1：3，
所以周长之比＝相似比＝1：3，
所以复印出的三角形的周长是原图中三角形周长的3倍．
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相
似比的平方，熟记相似三角形的性质是解题的关键．
5．（2021·江苏·宜兴外国语学校九年级阶段练习）如图， ，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则
AE：EC的值为（ ）
A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2
【答案】C
【分析】根据 ，可得 ，进而得出 ＝ ＝ ， ＝ ，求出AG＝ BD，
CD＝ BD，再求出 即可．
【详解】解：∵ ，
∴
∴ ＝ ，
∵AF：BF＝2：5，
∴ ＝ ，
即AG＝ BD，∵BC：CD＝4：1，BC+CD＝BD，
∴CD＝ BD，
∴ ＝ ＝ ，
∵ ，
，
∴ ＝ ＝ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
6．（2022·江苏·苏州高新区第一初级中学校八年级期末）已知 ∽ ， 和 是它们的对
应角平分线，若 ， ，则 与 的面积比是（ ）
A． ： B． ： C． ： D． ：
【答案】B
【分析】根据相似三角形的性质：对应角平分线的比等于相似比，根据面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】 ∽ ， 和 是它们的对应角平分线， ， ，
两三角形的相似比为： ： ： ，
则 与 的面积比是： ： ．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答此题的关键．
二、填空题
7．（2021·山东·莘县甘泉学校九年级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且
AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则 等于_____．【答案】
【分析】根据平行四边形的性质 ，可得△DEF∽△BCF，再由AE＝2ED，可得BC=3DE，再由相
似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD＝BC
∵AE＝2DE
∴AD=BC＝3DE
∵AD∥BC
∴△DEF∽△BCF
∴ ＝ ，
故答案为: ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性
质，平行四边形的性质定理是解题的关键．
8．（2021·贵州·铜仁学院附属中学九年级阶段练习）若△ABC∽ ，且 ，若 ABC的面积为
，则 的面积为_____．
【答案】 ##48平方厘米
【分析】由△ABC∽ ，且 ，根据相似三角形的面积比是相似比的平方，可得△ABC与
的面积比，进而可求得答案
【详解】解：∵△ABC∽ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
9．（2022·吉林吉林·九年级期末）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，∠ADE=∠C，四边
形DBCE的面积是△ADE面积的3倍．若DE=3，则BC的长为_______．
【答案】6
【分析】证明△ADE∽△ACB，可得 ，即可求解．
【详解】解：∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACB，
∴ ，
∵四边形DBCE的面积是△ADE面积的3倍．
∴ ，
∴ ，
∵DE=3，
∴BC=6．
故答案为：6
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解
题的关键．
10．（2022·福建·厦门市松柏中学七年级期末）如图，点O是△ABC的重心，AD过点O交BC于D，BE
是△ABD的中线，若△ABE的面积是2，则△ABC的面积是_____【答案】8
【分析】先根据BE是△ABD的中线得出 ，即可得出 ，求出 ，根
据点O是△ABC的重心，得出 ，同理可以得出 ，即可得出结论．
【详解】解：∵BE是△ABD的中线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点O是△ABC的重心，
∴ 是△ABC的中线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即△ABC的面积是8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了与三角形中线有关的三角形的面积问题，熟练掌握等底同高的三角形面积相等，
是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·山东·聊城江北水城旅游度假区北大培文学校九年级阶段练习）小军想出了一个测量建筑物高
度的方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后向后退去，直至站在点D处恰好
看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图）．设小军的眼睛距地面1.65m，BC、
CD的长分别为60m、3m，求这座建筑物的高度．【答案】33米
【分析】利用相似三角形的判定与性质得出 ，进而得出AB的长．
【详解】解：由题意可得：∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
，
∵小军的眼睛距地面1.65m，BC、CD的长分别为60m、3m，
∴ ，
解得：AB＝33，
答：这座建筑物的高度为33m．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质的应用．结合平面镜成像的特点证明两个三角形相似是解题的
关键．
12．（2022·河南·南阳市第十九中学九年级阶段练习）如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接
BE，交AC于点O，交AD于点F．求证： ．
【答案】见解析
【分析】由AB CD得△AOB∽△COE，有OE：OB=OC：OA；由AD BC得△AOF∽△COB，有OB：
OF=OC：OA，进而得出 ．
【详解】证明：∵AB CD，
∴△AOB∽△COE．
∴OE：OB=OC：OA；∵AD BC，
∴△AOF∽△COB．
∴OB：OF=OC：OA．
∴OB：OF=OE：OB，即 ．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握证线段的乘积相等，通常转化为比例式
形式，再证明所在的三角形相似，属于中考常考题型．
提升篇
一、填空题
1．（2022·浙江·九年级单元测试） 中， ， ， 是 上的一点，且 ，设
是 某边上的一点，如果 截得的三角形与原三角形相似，且它们的面积比是 ，则 的长为
___________．
【答案】2或7.5
【分析】分两种情况：（1）Q在AC边上时，如图1，作辅助线构建高线，先根据高线平行，利用相似三
角形的性质求出 ，利用面积比是1：4列式，可得出AQ的长；（2）Q在AB边上时，如图
2，同理可得出AQ的长．
【详解】解：分两种情况：
（1） 在 边上时，如图1，过 作 于 ，过 作 于 ，
则 ， ，∵ ，
，
，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2） 在 边上时，如图2，过 作 于 ，过 作 于 ，
则 ， ，
，
，
，
∴
，
，，
，
综上所述： 的长为2或7.5．
故答案为：2或7.5
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据Q是△ABC某边上的一点，说明点Q不确定在AB或
AC上，所以采用分类讨论的思想，作高线，根据三角形面积公式与面积比相结合，列式得出结论．
2．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 ，
则图中阴影部分的面积等于______．
【答案】
【分析】在网格图中取点A、B、C、D、E、F、G，利用平行线分线段成比例即可求出DE， ：
： ，即有 ： ： ，则问题得解．
【详解】在网格图中取点A、B、C、D、E、F、G，如图，
结合网格图，∵ ，
∴
∴ ： ： ，
∴ ： ： ，∴ ， ，
∵ ，
∴
∴ ： ： ： ，
∴ ： ： ，
∴ ： ： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关
键．
3．（2022·吉林·测试·编辑教研五九年级阶段练习）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网（网高
1m），而且落在离网4m位置上，则根据图中的数据可知，球拍击球的高度h为 _____m．
【答案】2
【分析】根据题意化简图形后可知球网所在的线段是三角形的中位线，即可求出答案；
【详解】由题意简化图片如下：
其中DE=4m，BD=4m，CD=1m，AB=h
∵CD⊥BE，AB⊥BE∴CD//AB
∴
∵DE=DB
∴
∴
故答案为：2；
【点睛】本题考查了相似三角形，掌握相关知识并熟练使用，同时注意在解题过程中需注意的问题是本题
的解题关键．
4．（2021·贵州·铜仁学院附属中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AB＝
10cm，点P从点B出发沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移
动，P，Q两点同时出发，同时停止，经过 _____秒，以C，P，Q为顶点的三角形恰与△ABC相似．
【答案】 或
【分析】设经过y秒后相似，由于没有说明对应角的关系，所以共有两种情况：△CPQ∽△CBA与
△CPQ∽△CAB．
【详解】解：∵∠C＝90°，BC＝8cm，AB＝10cm，
∴AC＝ ＝6（cm），
设经过y秒后，△CPQ∽△CBA，此时BP=2y，CQ=y．
∵CP=BC-BP=8-2y，CB=8，CQ=y，CA=6．
∵△CPQ∽△CBA，
∴ ，
∴ ，
∴y= ．设经过y秒后，△CPQ∽△CAB，此时BP=2y，CQ=y．
∴CP=BC-BP=8-2y．
∵△CPQ∽△CAB，
∴ ，
∴ ，
∴y= ．
所以，经过 秒或者经过 秒后两个三角形都相似，
故答案是： 或 ．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想、分类讨论思
想与方程思想的应用．熟练掌握相似三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
5．（2022·浙江·九年级单元测试）如图，已知点 是 的重心，过 作 的平行线 ，分别交
于点 、交 于点 ；作 ，交 于点 ，若 的面积为18，则 的面积为_______．
【答案】8
【分析】根据点 是 的重心，得出 ，根据 得出 ， ，
由 ，，得出 ， ，根据相似三角形的性质求得 ， ，进而根
据 ，即可求解．
【详解】解：如图，延长 交 于 ．点 是 的重心，
，
，
， ，
， ，
， ，
， ，
， ，
．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，三角形重心的性质，掌握相似三角
形的性质与判定是解题的关键．
二、解答题
6．如图，AD是∠BAC的角平分线，交 ABC的边BC于点D，BH⊥AD，CK⊥AD，垂足分别为H、K，
试证明AB·DK=AC·DH． △
【答案】见解析
【分析】由题意，易证得 ABH∽△ACK， BHD∽△CKD，根据相似三角形的对应边成比例，则有
△ △， ，即可得 ，即可得出结论．
【详解】证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAK=∠BAH，
∵BH⊥AD，CK⊥AD，
∴∠H=∠AKC=90°，CK∥BH，
∴△ABH∽△ACK， BHD∽△CKD，
△
∴ ， ，
∴ ，
∴AB•DK=AC•DH．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
7．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在 ▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝
BE，连接AC，DF．
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝2，求 ．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF＝90°即可；
（2）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
（1）证明：∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC．
即 EF＝BC．
在 ABCD中， 且AD＝BC，
▱
∴ 且AD＝EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°．
∴四边形AEFD是矩形；
（2）
解：∵四边形AEFD是矩形，
∴∠AEC＝∠DFC＝90°，AE＝DF＝4，
∴∠EAC+∠ECA＝90°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ECA+∠DCF＝90°，
∴∠EAC＝∠DCF，
∴△AEC∽△CFD，
∴ ，
∴EC＝2DF＝8，
解法一：∴ ．
解法二：∴ ．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
8．（2022·浙江·九年级单元测试）如图，已知正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，
点 在 边上，点 在 延长线上，点 为 上的点，连接 ， ．(1)当 时，求证： ．
(2)若点 为 的中点，在（1）的条件下，求出 与 满足的关系式．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用同角的余角相等可知 ，再结合 可得
；
（2）由 可得 ，用a，b表示这四条线段，再化简可得．
（1）
证明：连接DF，
四边形 ， 都是正方形，
， ，
，
，
又 ，
，
，
，∵ ，
．
（2）
点 为 的中点，
，
， ，
，
由（1）可知 ，
，
，
，
即 与 满足的关系式为 ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握AA判定三角形的相似是解题的关键．涉及的模型是一
线三直角的相似模型，记住常见的几何模型有助于快速找到思路．
