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第四章 图形的相似
4.3 相似多边形
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022·上海市民办文绮中学八年级阶段练习）下面一定相似的一组图形为（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个等边三角形 D．两个菱形．
【答案】C
【分析】根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案．
【详解】解：A. 两个等腰三角形不一定相似，因为没有指明相等的角或成比例的边；
B.两个矩形不一定相似，因为没有指明边的情况，虽然其四个角均相等，不符合相似的条件；
C.两个等边三角形一定相似；
D.任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似；
故选C．
【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是
解题的关键．
2．（2022·全国·九年级专题练习）下列图形中，不是相似图形的一组是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据相似图形的定义，对各选项进行一一分析，即可得出结论．
【详解】解：A.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
B.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；C.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
D.形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似图形的定义，掌握相似图形的定义并能结合具体图形进行准确判断是解题的关键．
3．（2022·四川宜宾·九年级期末）如图，四边形 四边形 ， ， ，
，则∠D的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】C
【分析】利用相似多边形的对应角相等求得答案即可．
【详解】解：∵四边形ABCD∽四边形 ， ，
∴ ．
∵四边形ABCD的内角和为 ， ， ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等．
4．（2022·河北邢台·九年级期末）国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一
面不符合标准，这面国旗是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件分别求出矩形的长与宽的比，即可得到结论．
【详解】解∶∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴B选项不符合标准，
故选∶B．
【点睛】本题考查了相似形的应用，熟练掌握相似形的判定定理是解题的关键．
5．（2022·江苏常州·八年级期末）下列事件中是确定事件的是（ ）
A．直角三角形都相似B．正方形都相似 C．等腰三角形都相似D．菱形都相似
【答案】B
【分析】根据随机事件，确定事件的定义一一判断即可．
【详解】A．任意直角三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不一定相似，故选项错误，不
符合题意；
B．任意正方形的对应角相等，对应边的比也相等，所以正方形都相似是确定事件，故选项正确，符合题
意；
C．任意等腰三角形的对应角不一定相等，不一定相似，故选项错误，不符合题意；
D．任意菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了随机事件，确定事件等知识，解题的关键是正确理解确定事件、随机事件的概念：确
定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定
条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．（2022·山东威海·八年级期末）下列说法中，不正确的是（ ）
A．等边三角形都相似 B．等腰直角三角形都相似
C．矩形都相似 D．正八边形都相似
【答案】C
【分析】根据两个图形相似的性质及判定方法，对应边的比相等，对应角相等，两个条件同时满足，来判断正误．
【详解】解：A、所有的等边三角形的角都为 ，都相似，不符合题意；
B、等腰直角三角形都相似，不符合题意；
C、矩形对应边不一定成比例，不一定都相似，符合题意；
D、正八边形都相似，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了相似图形的知识，熟练掌握各特殊图形的性质是解题的关键，难度一般．
二、填空题
7．（2022·全国·九年级课前预习）两个边数相同的多边形，如果它们的角分别_________，边成_________，
那么这两个多边形叫做_________．相似多边形对应边的比叫做_________．
由相似多边形的定义可知，相似多边形的对应角_________，对应边_________．
【答案】 相等 比例 相似多边形 相似比 相等 成
比例
【解析】略
8．（2021·吉林四平·九年级期中）如图，若四边形ABCD∽四边形EFGH，则 的度数为_______．
【答案】 ##70度
【分析】利用相似多边形的对应角相等及四边形内角和为360°求得答案即可．
【详解】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠G=152°
∴∠C=∠G=152°，
∵∠B=78°，∠A=60°，
∴ =360°-∠A-∠B-∠C=360°-60°-78°-152°=70°，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等．
9．（2022·吉林长春·模拟预测）有一块多边形的草坪，在市政建设设计图纸上的面积为100平方厘米，图纸上某条边的长度为5厘米.经测量，这条边的实际长度为20米，则这块草坪的实际面积为________平方
米.
【答案】160
【分析】首先设这块草坪的实际面积是xcm2，根据比例尺的性质，即可得方程 ，解此方程
即可求解．
【详解】解：设这块草坪的实际面积是xcm2．
根据题意得： ，
解得：x=1600000，
经检验，x=1600000是方程的根，且符合题意，
∴这块草坪的实际面积为：1600000cm2=160m2，
故答案为：160．
【点睛】此题考查了比例尺的性质，相似图形的性质．此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据题意
列方程，注意统一单位．
10．（2022·全国·九年级专题练习）小颖在一本书上看到一个风筝模型，形状如图所示，其中对角线
，并且两条对角线长分别为 和 ．现在小颖照着模型按照1：3的比例放大制作一个大风
筝，制作风筝需要彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁
剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是_________ ．
【答案】540
【分析】先求出风筝模型ABCD的面积，假设大风筝的四个顶点为A'，B'，C'，D'，可得四边形ABCD∽四
边形A'B'C' D'，可得到它们的面积比为1：9，A'C'=36cm，B'D'=30cm，再由从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积=矩形的面积-大风筝的面积，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴风筝模型ABCD的面积为 ，
假设大风筝的四个顶点为A'，B'，C'，D'，且分别为点A、B、C、D的对应点，
∵按照1：3的比例放大制作一个大风筝，
∴四边形ABCD∽四边形A'B'C' D'，
∴它们的对应边之比为1：3，
∴它们的面积比为1：9，A'C'=36cm，B'D'=30cm，
∴大风筝的面积为60×9=540cm2，矩形彩色纸的面积为36×30=1080 cm2，
∴从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积=矩形的面积-大风筝的面积
=1080-540
=540cm2．
故答案为：540
【点睛】本题主要考查了相似多边形的应用，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求角α、β的大小和EH的长度
x．
【答案】 ， ，
【分析】利用相似多边形的性质：对应边的成相等，对应角相等，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴α＝∠C＝83°，∠F＝∠B＝78°，EH：AD＝EF：AB，
∴x：21＝24：18，解得x＝28．
在四边形EFGH中，β＝360°﹣83°﹣78°﹣118°＝81°．
∴∠G＝∠C＝67°．
故x＝28．
【点睛】本题主要考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质是解题的关键．12．（2022·上海·九年级专题练习）已知四边形ABCD与四边形 相似，并且点A与点 、点B与
点 、点C与点 、点D与点 对应．
(1)已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠ ＝90°，求∠D的度数；
(2)已知AB＝9，CD＝15， ＝6， ＝4， ＝8，求四边形ABCD的周长．
【答案】(1)120°
(2)42
【分析】（1）根据相似多边形的对应角相等解决问题即可．
（2）根据相似多边形的对应边成比例，解决问题即可．
（1）
解：∵四边形ABCD∽四边形ABC D，
1 1 1 1
∴∠C＝∠C1＝90°，
∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣40°﹣110°﹣90°＝120°．
（2）
∵四边形ABCD∽四边形ABC D，
1 1 1 1
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴BC＝12，AD＝6，
∴四边形ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝9＋12＋15＋6＝42．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例．
提升篇
一、填空题
1．（2022·全国·九年级课时练习）将一张长方形纸片对折，若得到的小长方形与原长方形相似，则原长方
形的长与宽的比是_________．【答案】 ∶1
【分析】设AE＝ED＝a，AB＝b，根据每一个小长方形与原长方形相似，可知 ，再由a，b均为正
数可知b＝ a，由此即可得出结论．
【详解】解：设AE＝ED＝a，AB＝b，
∵每一个小长方形与原长方形相似，
∴ ，
∴b2＝2a2，
∵a，b均为正数，
∴b＝ a，
∴ ，
∴原长方形的长与宽之比为 ：1．
故答案为： ：1．
【点睛】本题考查的相似多边形的性质，即相似多边形对应边的比叫做相似比．利用相似比列出比例式是
解题的关键．
2．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）如图，用几个相同的含30°角的直角三角板，都按照如
图方式拼成一个封闭的多边形，中间围成的图形是正______边形，中间围成的图形和较长直角边围成的图
形面积之比是______．
【答案】 六【分析】先计算出外围封闭图形和中间围成的图形的每个内角的度数和边长即可得到答案
【详解】详解：如图，∵ ，三角板的摆法相同，
∴外周的封闭图形为正六边形，边长 ，
∵ ，
∴ ，
∴中间围成的图形也是正六边形，
故答案为：六；
∵边长 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴内部和外周的正六边形为相似图形，相似比为 ，
∴面积比为 ，
故答案为：
【点睛】本题考查了相似多边形的判定和性质，读懂图形和题意是解题的关键．
3．（2022·全国·九年级）已知四边形ABCD∽四边形 ，相似比为 ，其中四边形ABCD的周长
为18cm，则四边形 的周长为______cm．
【答案】24
【分析】直接根据相似多边形的周长比等于相似比进行解答即可．
【详解】解： 四边形ABCD∽四边形 ，相似比为 ，
它们的周长比 ，
四边形ABCD的周长为18cm，
四边形 的周长 cm，故答案是：24．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，解题的关键是熟知相似多边形的周长比等于相似比．
4．（2021·江苏无锡·中考真题）下列命题中，正确命题的个数为________．
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
【答案】1
【分析】根据多边形的判定方法对①进行判断；利用菱形的定义对②进行判断；根据菱形的性质对③进行
判断；根据矩形的性质和相似的定义可对④进行判断．
【详解】解：所有的正方形都相似，所以①正确；
所有的菱形不一定相似，所以②错误；
边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误；
对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误；
故答案是：1．
【点睛】本题考查了判断命题真假，熟练掌握图形相似的判定方法，菱形，正方形，矩形的性质，是解题
的关键．
5．（2021·广东·佛山市华英学校九年级期末）如图，一个矩形广场的长为90m，宽为60m，广场内有两横，
两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2m，那么每条纵向
小路的宽为__m．
【答案】1.8
【分析】根据两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形列出比例式解答
即可．
【详解】解：设每条纵向小路的宽为xm，则小路内缘所围成的矩形的长为（90-2x）m，宽为（60-2.4）
m，
∵小路内外边缘所围成的两个矩形相似，∴ ，
解得，x＝1.8，
故答案为：1.8
【点睛】题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质为：对应角相等；对应边的比相等是解题
的关键．
二、解答题
6．（2021·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x、y的长度和角α的大小．
【答案】x＝12， ，α＝83°．
【分析】直接根据相似多边形的性质即可得出结论．
【详解】∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴ ，即 ，∠C＝α，∠D＝∠D′＝140°．
∴x＝12， ，α＝∠C＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，相似多边形的对应角相等，对应边成比例．正确找出对应边和对应
角是解题关键．
7．（2022·全国·九年级课时练习）如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，
如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．
（1）A4纸较长边与较短边的比为 ；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．【答案】（1） ；（2）相似，理由见解析
【分析】（1）根据边的关系得出比例等式解答即可；
（2）根据相似图形的判定解答即可．
【详解】
解：（1）如图1，设AB＝x，
由上面两个图，由翻折的性质我们知道，∠ACF＝∠HDF，∠ACB＝∠HDB，∠ECF=45°，
∴∠BCF＝∠BDF=90°，
又∵∠ACE＝∠ACB+∠ECB=∠BCF=∠BCE+∠ECF，
∴∠ACB=∠ECF=45°，
∴BC= x，
∴BD＝BC＝ x，AD＝AB+BD＝（ +1）x，
∴EF＝CE＝AD＝（ +1）x，
∵DE＝AC＝AB＝x，
∴DF＝DE+EF＝（ +2）x，
∴ ，
故答案为： ．
（2）由（1）知：A5纸长边为A4纸短边，长为（ +1）x，A5纸短边长为（ ）x，
∴对A5纸，长边：短边 ，∴A4纸与A5纸相似．
【点睛】此题考查了相似图形，关键是根据相似图形判断和性质解答．
8．（2022·全国·九年级专题练习）如图，一个矩形广场的长 米，宽 米，广场内两条纵向
的小路宽为a米，横向的两条小路宽为b米，矩形 矩形EFGH．
(1)求 的值；
(2)若 ，求矩形EFGH的面积．
【答案】(1)a：b＝2：1
(2)6272米2
【分析】（1）根据题意可得HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米，根据矩形ABCD∽矩形EFGH．可
得 ，进而可以解决问题；
（2）由（1）得2b＝a，根据矩形EFGH的面积＝EF•HE，即可解决问题．
（1）
根据题意可知：HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米，
∵矩形ABCD∽矩形EFGH．
∴ ，
∴ ，
整理，得2b＝a，
∴a：b＝2：1；
（2）
∵a＝4，2b＝a，
∴b＝2，
∴矩形EFGH的面积＝EF•HE
＝（120﹣2a）•（60﹣2b）
＝（120﹣8）（60﹣4）
＝112×56
＝6272（米2）．
答：矩形EFGH的面积为6272米2．
【点睛】本题考查了相似多边形的应用，列代数式，解决本题的关键是掌握相似多边形的性质．
