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第 24 课 相似三角形的性质 利用相似三角形测高
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．如果两个相似三角形的对应高之比是 ，那么它们的周长比是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为 ，则另一个三角形的最小内角为
（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．已知 与 相似，且 ，那么下列结论中，一定成立的是（ ）
A． B． C．相似比为 D．相似比为
4．如图，身高为1．5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，
她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（ ）
A．4．5米 B．6米 C．3米 D．4米
5．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S 与S，周长分别是C 与
1 2 1
C ，则下列说法正确的是（ ）
2
A． B． C． D．
6．如图，在 △ 中， ， 垂足为 ，那么下列结论错误的是（ ）A．
B．
C．
D．
7．如图，在 中， ，中线 ， 相交于点 ． ，交 于点 ． ，
则 的长为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．12
8．如图在△ABC中，AD是BC边上的高线，BD＝1，DC＝3，过点A作AE∥BC，连接BE交AD，AC于点
F，点G，若BE平分AC，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如果 的三边长分别是3、4、5，与其相似的 的最长边为15，那么 的周长是______.
10．已知 ∽ ，它们的面积比为 ，则对应角的角平分线的比等于______．
11．如图，为了测量一水塔的高度，小强用2米的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔的顶端的影
子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8米，与水塔相距32米，则水塔的高度为______米．12．如图，EF分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB＝1，则AD＝
_____．
13．如图，点E是平行四边形 的边 延长线上一点， 与 相交于点F，若
，则 _______．
14．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，已知 ，则 _________．
三、解答题
15．如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D．若△ABC的边BC上的高为6，面积为
12 ，求△DEF的边EF上的高和面积．16．如图，在 和 中，G，H分别是边 和 的中点，已知
．
（1）中线 与 的比是多少？
（2） 与 的面积比是多少？
17．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S在一条
直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与直线PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS
垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，求PQ的长．
18．如图， 与 相似，AD，BE是 的高， ， 是 的高，求证
．
19．如图，在 中，点D，E分别在边 和 上，且 ．（1）若 ，则 等于多少？
（2）若 ，则 ， 各等于多少？
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，对角线AC、BD相交于点O，CE平分OB，且与AB交于点E．
若F为CE中点，则△BEF的周长是（ ）
A． ＋2 B．2 ＋2 C．2 ＋2 D．6
2．如图，在 中，点 、 分别在 、 上， ，点 在 的延长线上， ，则下
列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连结DE．过点D作DF⊥BC于点F，连结EF．
若△DEF的面积为1，则四边形DECB的面积为（ ）A．5 B．4 C．3 D．2
4．如图所示， 、 分别是 的边 、 上的点，且 ， 、 相交于点 ．若
，则 与 的比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5
5．如图，已知在 中，点 是 边上一点，连接 ，将 沿 翻折，得到 ， 交
中点 .若 ，若 ，求点 到线段 的距离（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在正方形ABCD中， 是等边三角形，AP、BP的延长线分别交边CD于点E、F，联结
AC、CP、AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是（ ）
A．AE=2DE B． C． D．
7．“化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是
证明勾股定理的一种思想方法．如图所示，在矩形 中，以 为边做正方形 ，以 为斜
边，作 使得点在 的延长线上，过点 作 交 于 ，再过 点作 于 ，连结 交 于 ，记四边形 ，四边形 的面积分别为 ，若 ， ，则
为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形 和正方形 的顶点 在同一条直线上，顶点 在同一条直线上．O
是 的中点， 的平分线 过点D，交 于点H，连接 交 于点M，连接 交 于点
N．则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即CO＝2米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果
他跳起击球时的高度是1.8米（即AC＝1.8米），排球落地点离墙的距离是6米（即OD＝6米），假设排
球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD的长是_____米．
10．如图，平行四边形 中，对角线 、 交于点 ，且 ， ， 、 分别为 、
上两点，且 ，连接 、 ，则 与 的面积比为_______．11．如图，菱形 中， ，点 为边 上一点，连接 ， ， 交对角线 于点 ．若
， ，则 ______．
12．如图，正方形 中， ，点 在边 上，点 在边 上， ， 的延长线与
射线 相交于点 ，设 ，则 的长为__________．
13．如图，已知在 中， ， ， ，正方形 的顶点G、F分别在边 、
上，点D、E在斜边 上，那么正方形 的边长为_____．
14．如图，在 中， ， ，点E是边 上一点，以 为斜边往 侧作等腰
，连接 ，若 ，四边形 的面积为12，则 _________， _________．三、解答题
15．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等腰三角形，PC＝PD，∠CPD＝70°，且△ACP∽△APB．
(1)求证：△ACP∽△PDB
(2)求∠APB的度数；
(3)若AC＝4，CD＝5，BD＝9，求△PCD的周长．
16．如图，在平行四边形 中，E为 边的中点，连接 ，若 的延长线和 的延长线相交于
点F．
（1）求证： ；
（2）连接 和 相交于点为G，若 的面积为2，求平行四边形 的面积．
17．已知：如图，在四边形 中， ， 、 相交于点 ，
（1）求证： ；
（2）如果 ，求证： ．
18．如图，在 中，点 、 分别在边 、 上， ， ， 与 交于点 ，且
．
求证：（1） ；
（2） ．19．如图，在矩形 中， ， ，直角三角板的直角顶点 在 上滑动， 点 与 ，
不重合 ，一直角边经过点 ，另一直角边与射线 交于点 ．
(1)求证： ∽ ；
(2)当 时，求 的长；
(3)是否存在这样的点 ，使 的周长等于 周长的 倍？若存在，求出 的长；若不存在，请
说明理由．
20．如图①，在四边形 中， ， ， 于点 ，作 于点 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，交 于点 （如图②），
①若 ，求 的值；
②求证： ．
21．如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转
60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
(2)延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2022·四川雅安·中考真题）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若 ＝
，那么 ＝（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相
等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在 中， 是 边上的点， ， ，
则 与 的周长比是（ ）A． B． C． D．
4．（2022·浙江金华·中考真题）如图是一张矩形纸片 ，点E为 中点，点F在 上，把该纸片
沿 折叠，点A，B的对应点分别为 与 相交于点G， 的延长线过点C．若 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在 中， ，将 以点 为中心逆时针旋转得到
，点 在 边上， 交 于点 ．下列结论：① ；② 平分 ；③
，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
6．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中， ， ， ，
，将四边形 向左平移 个单位后，点 恰好和原点 重合，则 的值是（ ）A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6
7．（2022·浙江舟山·中考真题）如图，在 和 中， ，点A在边 的
中点上，若 ， ，连结 ，则 的长为（ ）
A． B． C．4 D．
8．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都
落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结
论：①GF∥EC；②AB= AD；③GE= DF；④OC=2 OF；⑤ COF∽ CEG．其中正确的是
△ △
（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
二、填空题
9．（2022·黑龙江·中考真题）在矩形ABCD中， ， ，点E在边CD上，且 ，点P是
直线BC上的一个动点．若 是直角三角形，则BP的长为________．
10．（2021·吉林·中考真题）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为 的竹竿 斜靠在石坝
旁，量出竿上 长为 时，它离地面的高度 为 ，则坝高 为__________ ．11．（2021·辽宁阜新·中考真题）如图，已知每个小方格的边长均为1，则 与 的周长比为
_________．
12．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在 中， ，过点B作 ，垂足为B，且
，连接CD，与AB相交于点M，过点M作 ，垂足为N．若 ，则MN的长为
__________．
13．（2021·辽宁营口·中考真题）如图， 是 的中位线，F为 中点，连接 并延长交 于点
G，若 ，则 ________．
14．（2022·安徽·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上， BEF是以E为直角顶点的
等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，
△
请完成下列问题：
（1） ________°；（2）若 ， ，则 ________．
三、解答题
15．（2021·广西玉林·中考真题）如图，在 中， 在 上， ， ．
（1）求证： ∽ ；
（2）若 ，求 的值．
16．（2021·广西贵港·中考真题）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法），如图，已知 ABC，且
AB＞AC．
（1）在AB边上求作点D，使DB＝DC；
（2）在AC边上求作点E，使 ADE∽ ACB．
17．（2022·广西玉林·中考真题）如图，在矩形 中， ，点E是 边上的任一点（不
包括端点D，C），过点A作 交 的延长线于点F，设 ．(1)求 的长（用含a的代数式表示）；
(2)连接 交 于点G，连接 ，当 时，求证：四边形 是菱形．
18．（2022·湖南常德·中考真题）在四边形 中， 的平分线 交 于 ，延长 到 使
， 是 的中点， 交 于 ，连接 ．
(1)当四边形 是矩形时，如图，求证：① ；② ．
(2)当四边形 是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明．
19．（2022·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1）， 中， ， 是 的中点，延长
至点 ，使 ，延长 交 于点 ，探究 的值．
(1)先将问题特殊化．如图（2），当 时，直接写出 的值；
(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展：如图（3），在 中， ， 是 的中点， 是边 上一点， ，延长 至点 ，使 ，延长 交 于点 ．直接写出 的值（用含 的式子表示）．
