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专题突破卷 14 累加、累乘、构造法求数列通项公式
题型一：累加求数列通项公式
1．南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．
以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一
项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为 ，则该数列的第18项为
（ ）
A．188 B．208 C．229 D．251
【答案】A
【分析】记该二阶等差数列为 ， ，计算出 ，利用累加法结合等差
数列求和能求出 的值.
【详解】记该二阶等差数列为 ，且该数列满足 ，记
，由题意可知，数列 为等差数列，且
，
所以等差数列 的公差为 ，所以 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
故选：A
2．已知数列 的前 项和为 （ ）
A．276 B．272 C．268 D．266
【答案】A
【分析】令 得 ，当 时，结合题干作差得 ，从而利用累加
法求解 即可.
【详解】 ，又 ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，作差得 ，
.
故选：A
3．设 是公差为3的等差数列，且 ，若 ，则 （ ）
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A．21 B．25 C．27 D．31
【答案】D
【分析】由 ，得 ，从而可得 ，进而可求解.
【详解】由 ，得 ，则 ，
从而 .
故选：D
4．已知数列 对任意 均有 .若 ，则
（ ）
A．530 B．531 C．578 D．579
【答案】C
【分析】根据等差数列可得 ，再利用累加法求 .
【详解】因为 ，可知数列 是以首项 ，公差 的等差数列，
所以 ，
又因为 ，即 ，
可得 ，
累加可得 ，
则 ，所以 .
故选：C.
5．已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由题意可得 ，由累加法可得 ，进而可求 .【详解】由题意可得 ，
则可得 ，
，
，
将以上等式左右两边分别相加得，
，即 ，
又 ，所以 .
故选：D.
6．在数列 中， ， ，则 （ ）
A．43 B．46 C．37 D．36
【答案】C
【分析】由递推公式 用累加法公式
求出 ，再求 即可.
【详解】法一：由题得
，
所以 .
法二：由题 ， ，
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 .
故选：C.
7．已知数列 满足： ， ，且 ，则数列 前n项的和
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由叠加法求出数列{a }通项公式，再代入 ，求出数列{b }通项公式，再由
n n
列项相消法求出 .
【详解】由 得 ， ， ，…， ，
，
叠加得 ，
由题可知 也适合上式，故 ；
所以 ，
则数列{b }前n项的和
n
.
故选：B.
8．若数列 满足 ， ，且对任意的 都有 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】令 ，由题意可证得数列 是等差数列，从而求得 ，再利用累加法
求得 ，进而利用裂项相消法求即可得解.
【详解】因为对于 都有 ，
则 ，令 ，
所以 ，又 ，
所以数列 是以 为首项，2为公差的等差数列，
所以 ，即 ，
则 ，
累加得 ，
所以 ，
则 ，
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以
.
故选：C.
9．已知数列 满足 ， ，且 ，若 表示不超过 的最大
整数，则 （ ）
A．2015 B．2016 C．2017 D．2018
【答案】B
【分析】先由累加法求出 ，进而求得 ，再用裂项相消法求解即可.
【详解】由 可得 ，又 ，
故数列 是以12为首项，8为公差的等差数列，则 ，
， ， ， ， ，
故当 时， ，则 时，
，
又 适合上式，故 ，则 ，
则 ，所以
，
又 ，所以 .
故选：B.
10．已知数列 的前 项和为 ， ， ，且 是 ， 的等差中项，则
使得 成立的最小的 的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【分析】由题意得到 是等比数列，进而得到 ，利用错位相减法求出
，构造函数 ，并利用导数判断函数 的单调性，即
可求出符合条件的 的最小值.
【详解】 是 ， 的等差中项，
，故 ，
而 ， ，
故数列 是首项为1，公比为2的等比数列，则 ，
8
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记 ，则 ，
，
两式相减可得， ，
即 ，令 ，即 ，
设 ，则 ，
， ， 在 单调递减，
是递减数列，
当 时， ，
当 时， ，
使得 成立的最小的 的值为11.
故选：D.
题型二：累乘求数列通项公式
11．已知数列 对任意 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】由 ，得 ，从而 ，再利用累乘法求解.
【详解】解：由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，即 ①．
又因为 ②，
①②两式相乘，得 ．
故选：A．
12．已知数列 满足， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据递推关系利用累乘法求出通项 ，利用错位相减法求出 的前100项和得解.
【详解】由 ，得 ，
所以 ， ， ， ， （ ， ），
累乘可得 ，又 ，得 .
设 ①，
则 ②，
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！①-②得 ，
，
，
.
故选：C.
13．已知数列 满足 ，其中 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由累乘法代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意，得 ， ， ．
由累乘法，得 ，
即 ，
又 ，所以 ．
故选：C．
14．已知 是数列 的前 项和， 是数列 的前 项积， ，
则 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据给定条件，利用 求出 ，进而求出 ，再结合不等式的性
质及累乘法的思想推理判断得解.
【详解】当 时， ，当 时， ，则 ，
显然 符合上式，因此 ，由 ，得 ，
则 ，而 ，即有 ，
于是 ，
从而 ，
所以 ，即 .
故选：B
15．若数列 满足 ， ，则满足不等式 的最大正
整数 为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【答案】B
【分析】利用累乘法求得 ，由此解不等式 ,求得正确答案.
【详解】依题意，数列 满足 ， ，
，所以
， 也符合，所以 ， 是单调递增数列，
由 ，解得 ，
所以 的最大值为 .
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故选：B
16．对于一个给定的数列 ，令 ，则数列 称为数列 的一阶商数列，再
令 ，则数列 是数列 的二阶商数列．已知数列 为 ， ， ， ， ，
，且它的二阶商数列是常数列，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由数列 的二阶商数列 是常数列可知数列 的一阶商数列 是等比数
列，再利用累乘法求得 ，即可得解.
【详解】设数列 的一阶商数列为 ，二阶商数列为 ，
则 ， ， ，
又数列 的二阶商数列 是常数列，
则 ，
则 满足 ，
所以数列 是 为首项， 为公比的等比数列，
则 ，
所以 ，则 ， ， ， ， ， ，
等式左右分别相乘可得 ，
所以 ，
则 ，
故选：C.
17．定义：在数列 中， ，其中d为常数，则称数列 为“等
比差”数列.已知“等比差”数列 中， ， ，则 （ ）
A．1763 B．1935 C．2125 D．2303
【答案】B
【分析】运用累和法和累积法进行求解即可.
【详解】因为数列 是“等比差”数列，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以有 ，
累和，得 ，
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！因此有 ，
累积，得 ，
所以 ，
故选：B
18．已知数列 满足 ，且 ，
则数列 的前18项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用数列 的递推公式，结合累乘法，求得其通项公式，根据三角函数的计算，
求得数列 的周期，整理数列 的通项公式，利用分组求和，可得答案.
【详解】由 ，则 ，
即 ，
显然 ，满足公式，即 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ；
当 时， ，当 时， ；当 时， ；
则数列 是以 为周期的数列，由 ，则 ，
设数列 的前 项和为 ，.
故选：D.
19．已知数列 满足， ， .记数列 的前 项和为 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意首先整理所给的递推关系式，得到数列的通项的范围，然后利用裂项相消
法求和即可确定前 项和的范围．
【详解】因为 ， ，所以 ， ，所以 ，
，
，故 ，
16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！由累加法可得当 时，
，
又因为当 时， 也成立，所以 ，
所以 ，
，故 ，
由累乘法可得当 时， ，
所以 ，
所以 ．
故选：A．
20．已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A．2023 B．2024 C．4045 D．4047
【答案】C
【分析】根据递推关系化简后，由累乘法直接求 .
【详解】 ，
，
即 ，
可得 ，
.故选：C.
题型三：构造法求数列通项公式
21．已知 为正项数列 的前 项的乘积，且 ，则 （ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
【答案】B
【分析】利用给定的递推公式，结合对数运算变形，再构造常数列求出通项即可得解.
【详解】由 ，得 ，于是 ，则 ，
两边取对数得 ，因此 ，数列 是常数列，
则 ，即 ，所以 ， .
故选：B
22．已知数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A．190 B．210 C．380 D．420
【答案】B
【分析】根据给定的递推公式，结合 变形，再构造常数列求出通项即可得解.
【详解】数列{a }中， ， ，当 时， ，
n
两式相减得 ，即 ，
因此 ，显然数列 是常数列，
而 ，解得 ，于是 ，因此 ，
所以 .
18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故选：B
23．已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，得 ，构造等比数列求得 ，即可求解.
【详解】设在数列 中， ，则 ， ，
从而 ，故 是首项和公比都是2的等比数列.
由等比数列的通项公式可得 ，则 ，
故 .
故选：A
24．已知数列 的首项 为常数且 ， ，若数列 是递增数
列，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知条件推得数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，运用等比
数列的通项公式可得 ，再由数列的单调性，结合不等式恒成立思想，可得所求取值范围．
【详解】因为 ，所以 ，
由于 ，即 ，
可得数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
则 ，因为数列 是递增数列，可得 ，
即 对任意的正整数 都成立．
当 为偶数时， 恒成立，由于数列 单调递减，
可得 ，则 ；
当 为奇数时， 恒成立，由于数列 单调递增，
可得 ，则 ；
综上可得 的取值范围是 ．
故选：B ．
25．某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为 ，从第二题开始，甲同学回答
第 题时答错的概率为 ， ，当 时， 恒成立，则 的最大值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出数列 的通项，再借助单调性求出 的最小值即可得解.
【详解】依题意， ，当 时，由 ，得 ，
20
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！而 ，因此数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
则 ，即 ，显然数列 是递增数列，
当 时， ，而当 时， 恒成立，于是 ，
所以 的最大值为 .
故选：A
26．已知数列 的前 项和为 ， ，若 对任意的 恒成立，则实
数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定的递推公式求出 ，再按 为奇数、偶数分类求解即可得 的范围.
【详解】由 ，得 ，当 时， ，则 ，
整理得 ，即 ，而 ，解得 ，
于是 ，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
因此 ，即 ，由 ，得 ，
当 为奇数时， ，即 ，显然 为递增数列，
当 时， ，于是 ，
当 为偶数时， ，即 ，显然恒有 ，于是
，
所以实数 的取值范围为 .
故选：B27．已知数列 的前n项和为 ，且 ， ．若 ，则正整数k的
最小值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【分析】根据给定的递推公式，构造等比数列求出 ，再求解不等式即得.
【详解】数列 中， ，当 时， ，则 ，
整理得 ，即 ，而 ，即 ，
因此数列 是以 为首项，公比为 的等比数列， ，
则 ，由 ，知 为奇数，此时 是递增的，
而 ， ，
所以正整数k的最小值为13.
故选：C
28．已知数列{a }的首项 ，且满足 ，则{a }中最小的一
n n
项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的定义和通项公式进行求解即可.
【详解】由 ，
所以数列 是以 为首项，1为公差的等差数列，
即 ，
22
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以有 ，显然当 时， ，
因此{a }中最小的一项是 ，
n
故选：B
29．数列 中， ，若 ，都有 恒成立，
则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件可得 ，再由 ，都有 恒成立，可得对
，都有 恒成立，令 ，求出数列 的最大项即可
得答案.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
所以数列 是等差数列，首项为 ，公差为 ，
所以 ，
，
又因为 ，都有 恒成立，
所以 ，都有 恒成立，
令 ，则 ，
所以 = ，
所以当 时， ， ；
当 时， ， ；
所以在数列 中，第8项最大，且 ，
所以 ，
故 的最小值为 .
故选：C.
30．已知数列{a }的前n项和为 ， ， ，则 （ ）
n
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用构造法，结合 与等差数列的定义即可得解.
【详解】因为 ，则 ，整理得 ，
又 ，则 ，
因此数列 是首项为1，公差为1的等差数列，
则 ，所以 .
故选：D.
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1．若数列 的前 项和 ，则 等于（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【分析】根据 与 关系求解即可.
【详解】 .
故选：C.
2．已知数列 ，下列结论正确的有（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ，则数列 是等比数列
D．若 为等差数列 的前 项和，则数列 为等差数列
【答案】ABD
【分析】A.利用累加法求和，即可判断；B.利用构造法，构造 为等比数列，求通项
公式，即可判断;C.利用公式 ，即可求解通项公式，判断选项；D.根据
等差数列前 项和公式，结合等差数列的定义，即可判断选项.
【详解】对于选项A，由 ，得 ，
则，故A项正确；
对于选项B，由 得 ，
所以 为等比数列，首项为 ，公比为2，
所以 ，所以 ，故B项正确；
对于选项C，因为 ，
当 时， ，
当 时， ，
将 代入 ，得 ，
所以 ，所以数列 不是等比数列，故C项错误.
对于选项D，设等差数列的公差为d，
由等差数列前 项和公式可得 ，
所以 与n无关，
所以数列 为等差数列，故D项正确.
故选：ABD
3．甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机
传向另外5人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外5人中的1人，如此不
停地传下去，假设传出的球都能被接住.记第 次传球之后球在乙手中的概率为 .则下列正
确的有（ ）
26
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A．
B． 为等比数列
C．设第 次传球后球在甲手中的概率为
D．
【答案】ABD
【分析】依题意可得 ，且 ，即可得到
，结合等比数列的定义求出 的通项公式，即可得到
的通项公式，即可判断A、B、D，同理求出 ，再利用作差法判断C.
【详解】依题意 ， ，
第 次传球之后球在乙手中，则当 时，第 次传球之后球不在乙手中，其概率为
，
第 次传球有 的可能传给乙，因此 ，
于是 ，而 ，则 是以 为首项，公比为
的等比数列，
所以 ，则 ，故A、B、D正确；
因为 ， ，当 时 ，
则 ，又 ，
所以 是以 为首项，公比为 的等比数列，所以 ，所以 ，
则 ， ，
所以 ，
所以 ，故C错误.
故选：ABD
4．已知数列 满足 ，设数列 的前 项和为 ，则满
足 的实数 的最小值为 ．
【答案】
【分析】先将 代入题干表达式计算出 的值，当 时，由
，可得 ，两式相减进一步计
算即可推导出数列 的通项公式，再根据数列 的通项公式及等比数列的求和公式推
导出前 项和 的表达式，最后根据不等式的性质即可计算出实数 的最小值．
【详解】由题意，当 时， ，
当 时，由 ，
可得 ，
两式相减，可得 ，
28
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！解得 ，
当 时， 不满足上式，
，
则当 时， ，
当 时，
，
当 时， 也满足上式，
， ，
，且 对任意 恒成立，
，即实数 的最小值为 ．
故答案为： .
5．已知正项数列{a }的前 项和为 ，且满足 ，则
n
．（其中[x]表示不超过 的最大整数）
【答案】88
【分析】直接利用数列的递推关系求出 ，再利用放缩法结合裂项相消求出结果.【详解】正项数列 的前 项和为 ，且满足 ，
当 时，
当 时， ，整理可得： ，
所以数列 为首项为1，公差为1的等差数列，则 ，则 ，
则 ，
所以
故
因为 ， ， ，
，
所以 ，
，
所以 ，故 ，
故答案为：88
6．若数列 满足 ，数列 的前n项和为 ，则 ．
30
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】
【分析】根据递推公式求出数列 的通项公式，在计算出数列 的通项公式，即可计算
出 .
【详解】由 ，则 ，
当 时，上式相加，得 ，
且 符合上式，可知 ，
所以 ．
故答案为：
7．已知数列 ，_______________.请从下列两个条件中任选一个，补充在上面的问题中
并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.）①数列 的前 项和为
（ ）；②数列 的前 项之积为 （ ）.
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) (2)
【分析】（1）选①或②均可证明数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，再由等比
数列的通项公式求出数列 的通项公式；
（2）由分组求和法结合等差、等比的前 项和公式求解即可.【详解】（1）若选① ，
当 时， ，即 ，
当 时，由 （I），则 （II），
（I） （II）得： ，即 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ；
若选②，当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
当 时， 符合上式，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ；
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，
则 .
8．已知数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)证明：数列 是等比数列，并求 ；
(2)求数列 的前n项和 ．
32
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】(1)证明见解析， (2)
【分析】(1)根据题意 及 ，整理可得，即可得证；
(2)根据(1)中 可求出 分类讨论求出 的通项公式，再根据等比数列前n项和可求得 .
【详解】（1）因为 ，又 ，
所以 ，整理得 ．
由题意得 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，故 ，
即 ．
（2）由（1）可 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
.
当 ，代入 满足公式，综上，
9．已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)证明： 是等比数列，并求其通项公式；
(2)设 ，求数列 的前100项和 ．
【答案】(1)证明见解析， ．(2)100.
【分析】（1）利用给定的递推公式，结合 及等比数列定义推理得证，
再求出通项公式.
（2）利用（1）的结论求出 ，再利用分组求和法计算即得.
【详解】（1）数列 中， ，当 时， ，两式相减得
，
而 ，解得 ，所以 是首项为2，公比为5的等比数列，
通项公式为 .
（2）由（1）知， ，
所以
．
10．设数列 的前 项的和为 .
34
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)若 是公差为 的等差数列，且 成等比数列，求 ；
(2)若 ，求证： .
【答案】(1) 或 (2)证明见解析
【分析】（1）由等差数列前n项和公式以及等比中项公式列出等量关系式并转化成首项和
公差来表示即可求解.
（2）先由 ，进而由累乘法 结合
求出 即可由 得解.
【详解】（1）由题意知 ，故 ，
解得 ，所以 或 .
（2）因为 ①，所以 ②，
所以由② ①得 ， ，
所以 时， ，
所以由 得 ，
所以 ，
显然 也符合上式，所以 ，
所以 .36
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