特训05相似三角形压轴题（六大题型归纳）（解析版）_北师大初中数学_9上-北师大版初中数学_05习题试卷_5专项练习

特训05 相似三角形 压轴题（六大题型归纳） 题型1：动点问题 1．某托管服务数学兴趣小组针对如下问题进行探究，在等边 中， ，点 在射线 上运动， 连接 ，以 为一边在 右侧作等边 ． (1)【问题发现】如图（1），当点 在线段 上运动时 不与点 重合 ,连接 则线段 与 的数量 关系是___________ ；直线 与 的位置关系是___________ ； (2)【拓展延伸】如图（2），当点 在线段 的延长线上运动时，直线 相交于点 ，请探究 的面积与 的面积之间的数量关系； (3)【问题解决】当点 在射线 上运动时 点 不与点 重合 ，直线 相交于点 ，若 的面积是 ，请求出线段 的长． 【答案】(1) (2) (3)1或4 【分析】（1）证 ，得 ，再证 ，则 ； （2）证 ，得 ，再证 ，即可解决问题； （3）由（1）（2）可知 ， ，则 ， 1则 ，再证 ，得 ，设 当点 在线段 上时则 ，求出 ，则 ，解方程即可；当点 在线段 的延长线上时，解法同上． 【解析】（1）解： 和 是等边三角形， ， ， 即 ， ， ， ， ， 故答案为： ； （2）解： ，理由如下： 和 是等边三角形， ， ， 即 ， ， ， ， ； （3）解：由（1）（2）可知，无论点 在线段 上还是在线段 的延长线上，都有 ， ， ， 2， ， 的边 上的高 的边 上的高 ， ， ， ， ， ， 设 ， 当点 在线段 上时，如图， 则 ， ， ， ， ， 整理得： ， 解得： （不符合题意，舍去）， ； 当点 在线段 的延长线上时，如图， 3则 ， ， ， ， ， 整理得： ， 解得： （不符合题意，舍去）， ； 综上所述，线段 的长为 或 ． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、相似三角形的判 定与性质、平行线的判定与性质、三角形面积、一元二次方程的解法以及分类讨论等知识，本题综合性强， 熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 2．综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动． (1)操作判断 如图1，正方形纸片 ，在边 上任意取一点 ，连接 ，过点 作 于点 ，与边 交 于点 ．根据以上操作，请直接写出图1中线段 与线段 的关系． (2)迁移探究 小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下： 4如图2，在矩形纸片 中， ，在边 上任意取一点 ，连接 ，过点 作 于点 ，与边 交于点 ，请求出线段 与 的关系，并说明理由． (3)拓展应用 如图3，已知正方形纸片 的边长为2，动点 由点 向终点 做匀速运动，动点 由点 向终点 做匀速运动，动点 、 同时开始运动，且速度相同，连接 、 ，交于点 ，连接 ，则线段 长度的最小值为______，点 的运动轨迹的长为______．（直接写出答案不必说明理由） 【答案】(1) (2) ，理由见解析 (3) ； 【分析】（1）由四边形 是正方形，得 ，进一步可得 ， 所以 ，结论得证 ． （2）由四边形 是矩形，得 ，进一步可证 ，所以 ，于是 ，证得 . （3）取 的中点 ，连接 ， ，由（1）可得 ，可证 ， ； 中，勾股定理求得 ；由 得 的最小值是 ； 5由 ，知 、 、 三点共圆，所以点 在以点 为圆心，在以半径为1的 圆上运动，进而 求得运动轨迹的长为 ． 【解析】（1）∵四边形 是正方形， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ． （2）∵四边形 是矩形， ∴ ， ， 又 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． （3）如图，取 的中点 ，连接 ， ， 6由题意知， ， 由（1）可得 ， ∴ ∵ ∴ ， ∴ ， ∵ 是 的中点， ， ∴ ， 在 中， ； 在 中， ∵ ， ∴ 的最小值是 ， ∵ ， ∴ 、 、 三点共圆， ∴点 在以点 为圆心，在以半径为1的 圆上运动， ∴点 的运动轨迹的长为： ， 故答案为： ； 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形判定和性质、相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中 线性质，两点之间线段最短；合理添设辅助线，借助图中合适的定点运用两点之间线段最短是解题的关键． 3．探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在 中， ，D是 边上一点，且 （n为正整数），E是 边上的动点， 7过点D作 的垂线交直线 于点F． 【初步感知】 (1)如图1，当 时，兴趣小组探究得出结论： ，请写出证明过程． 【深入探究】 (2)①如图2，当 ，且点F在线段 上时，试探究线段 之间的数量关系，请写出结论并 证明； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段 之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证 明） 【拓展运用】 (3)如图3，连接 ，设 的中点为M．若 ，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的 路径长（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)① ，证明过程略；②当点F在射线 上时， ，当点F在 延长线上时， (3) 【分析】（1）连接 ，当 时， ，即 ，证明 ，从而得到 即 可解答； （2）①过 的中点 作 的平行线，交 于点 ，交 于点 ，当 时， ，根据 8，可得 是等腰直角三角形， ，根据（1）中结论可得 ，再根据 ， ，即可得到 ； ②分类讨论，即当点F在射线 上时；当点F在 延长线上时，画出图形，根据①中的原理即可解答； （3）如图，当 与 重合时，取 的中点 ，当 与 重合时，取 的中点 ，可得 的轨迹 长度即为 的长度，可利用建系的方法表示出 的坐标，再利用中点公式求出 ，最后 利用勾股定理即可求出 的长度． 【解析】（1）证明：如图，连接 ， 当 时， ，即 ， ， ， ， , ， ，即 ， ， ， 在 与 中， ， 9， ， ； （2）① 证明：如图，过 的中点 作 的平行线，交 于点 ，交 于点 ， 当 时， ，即 ， 是 的中点， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，且 ， ， 根据（1）中的结论可得 ， ； 故线段 之间的数量关系为 ； ②解：当点F在射线 上时， 如图，在 上取一点 使得 ，过 作 的平行线，交 于点 ，交 于点 ， 10同①，可得 ， ， ， ， ， 同①可得 ， ， 即线段 之间数量关系为 ； 当点F在 延长线上时， 如图，在 上取一点 使得 ，过 作 的平行线，交 于点 ，交 于点 ，连接 同（1）中原理，可证明 ， 可得 ， ， ， ， ， 同①可得 ， 11即线段 之间数量关系为 , 综上所述，当点F在射线 上时， ；当点F在 延长线上时， ； （3）解：如图，当 与 重合时，取 的中点 ，当 与 重合时，取 的中点 ，可得 的 轨迹长度即为 的长度， 如图，以点 为原点， 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系，过点 作 的垂线段，交 于点 ，过点 作 的垂线段，交 于点 ， 12， ， ， ， ， ， ， 是 的中点， ， ， ， ， 根据（2）中的结论 ， ， ， ， 13， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的 性质，正确地画出图形，作出辅助线，找对边之间的关系是解题的关键． 题型2：最值、定值问题 4．在 中， ，将 绕点B顺时针旋转得到 ，其中点A，C 的对应点分别为点 ， ． (1)如图1，当点 落在 的延长线上时，求 的长； (2)如图2，当点 落在 的延长线上时，连接 ，交 于点M，求 的长； (3)如图3，连接 ， ，直线 交 于点D，点E为 的中点，连接 ．在旋转过程中， 是否存在最小值？若存在，求出 的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8 (2) (3)存在，最小值为1 【分析】（1）由勾股定理得， ，由题意知，由旋转可知， ，则 是 等腰三角形，由点 落在 的延长线上， ，可得 ； （2）如图1，过C作 交 于E，过C作 于D， 由旋转可知， ， ，由 ，可得 ，则 ， ，由 14，求得 ，由勾股定理得， ，则 ， ，证明 ，则 ，即 ，计算求解即可； （3）如图2，过A作 交 的延长线于P，连接 ，由旋转可知， ，则 ，由 ， ，可得 ，由 ，可得 ，则 ， ，证明 ，则 ， 是 的中位线， ，可知 最小时， 最 小，当 、C、B共线， 最小，值为 ，即 ． 【解析】（1）解：∵ ， 由勾股定理得， ， 由题意知，由旋转可知， ， ∴ 是等腰三角形， ∵点 落在 的延长线上， ， ∴ ， ∴ 的长为8； （2）解：如图1，过C作 交 于E，过C作 于D， 由旋转可知， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， 15∴ ， ∵ ， ∴ ，解得 ， 由勾股定理得， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ，解得 ； （3）解： 存在最小值1，理由如下： 如图2，过A作 交 的延长线于P，连接 ， 由旋转可知，∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ，即D是 中点， 16∵点E为 的中点， ∴ 是 的中位线， ∴ ， ∴ 最小时， 最小， ∴当 、C、B共线， 最小，值为 ，即 ， ∴ 的最小值为1． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，中位 线，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 5．（1）特殊发现： 如图1，正方形 与正方形 的顶B重合， 、 分别在 、 边上，连接 ，则有： ① ______； ②直线 与直线 所夹的锐角等于______度； （2）理解运用 将图1中的正方形 绕点B逆时针旋转，连接 、 ， ①如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，若D、F、G三点在同一直线上，且过 边的中点O， ，直接写出 的长等于______； （3）拓展延伸 如图4，点P是正方形 的 边上一动点（不与A、B重合），连接 ，沿 将 翻折到 位置，连接 并延长，与 的延长线交于点F，连接 ，若 ，则 的值是否是定值？ 请说明理由． 【答案】（1）① ；② ；（2）①成立，见解析；② ；（3）是定值，3，见解析 【分析】（1）①连接 ， ，利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质解答即可； 17②利用等腰直角三角形的性质解答即可； （2）①连接 ， ，利用正方形的性质，等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； ②连接 ， ，利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理解答即可； （3）过点 作 于点 ，连接 ， ， ， 与 交于点 ，利用折叠的性质，正方形的性 质，等腰三角形的三线合一的性质，等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可． 【解析】解：（1）①连接 ， ，如图， ∵四边形 和四边形 为正方形， ∴ ， ∴B，F，D三点在一条直线上． ∵ ， ， ∴ 和 为等腰直角三角形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ； 故答案为： ； ②∵B，F，D三点在一条直线上， ， ∴直线 与直线 所夹的锐角等于45°． 故答案为： ； （2）①（1）中的结论仍然成立，理由如下： 连接 、 ，如图， ∵四边形 和四边形 为正方形， ∴ ， ， ∴ 和 为等腰直角三角形， ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， 18∴ ； 延长 ，交 于点 ，交 于点 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即直线 与直线 所夹的锐角等于 ， ∴（1）中的结论仍然成立； ②连接 ， ，如图， ∵四边形 为正方形， ∴ ． 由①知： ， ∴ ． ∵ 边的中点为O， ∴ ． 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 19∴ ， ∴ ． 故答案为： ； （3） 的值是定值，定值为3，理由： 过点 作 于点 ，连接 ， ， ， 与 交于点 ，如图， ∵四边形 为正方形， ∴ ， 由折叠的性质可得： ， ， ， ． ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ， ， ， ∴ ． 由（2）①的结论可得： ， ， ∴ ， 20∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 即： 的值是定值，定值为3． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，折叠 的性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 6．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 21【观察与猜想】 (1)如图 ，在正方形 中， ， 分别是 ， 上的两点，连接 ， ，若 ，则 的值为___________； (2)如图 ，在矩形 中， ， ， 是 上的一点，连接 ， ，若 ，则 的值为___________； 【类比探究】 (3)如图 ，在四边形 中， ， 为 上一点，连接 ，过 作 的垂线交 的延 长线于 ，交 的延长线于 ，求证： ； 【拓展延伸】 (4)如图4，在 中， ， ，将 沿 翻折， 落在 处，得到 ， 为线段 上一动点，连接 ，作 ，交 于 ，垂足为 ，连接 ．若 ，则 的最 小值为___________． 【答案】(1) (2) (3)见解析． (4) 【分析】（1）可证明 ，即可得到答案． （2）可证明 ，即可得到答案． （3）过点 作 的垂线，交 于点 ，可得到 ，然后证明 ，可得 ，问题即可得证． （4）过点 作 的垂线，交 于点 ，取 的中点为 ，连接 ，取以 的中点 ，连接 ． 可先证 ，得到 的长度，进而求得 ， ， 的长度．根据题意可知，点 在以 的中点 为圆心， 长度为半径的圆上，可知 ，当 时， 取得最小值， 22即可求得答案． 【解析】（1）解： 四边形 为正方形， ， ． ． ， ． ． 在 和 中， ． ． ． 故答案为： ． （2）解： 四边形 为长方形， ． ， ． ． 又 ， ． ． 故答案为： ． （3）解：如图，过点 作 的垂线，交 于点 ． 23由题意知四边形 为矩形， ， ． ． ， ． ． 又 ， ． 又 ， ． ． ． ． （4）解：如图，过点 作 的垂线，交 于点 ，取 的中点为 ，连接 ，取以 的中点为 ，连接 ，连接 ． 由轴对称图形的性质可知 ， . ， ， ． 又 ， ． 又 ， ． ． 24． ． ． ． ． 根据题意可知，点 在以 的中点 为圆心， 长度为半径的圆上，且 ． , 即 ， 当 时， 取得最小值． ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称图形的性 质等，牢记全等三角形的判定定理及性质、相似三角形的判定定理及性质、勾股定理及轴对称图形的性质 是解题的关键． 7．如图1，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ， ， ，点 为线段 上的 动点（不与点 ， 重合），连接 并延长交边 于点 ，交 的延长线于点 ． (1)当点 恰好为 的中点时，求证： ； 25(2)求线段 的长； (3)当 为直角三角形时，求 的值； (4)如图2，作线段 的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 ，连接 ，在点 的运动过程中， 的度数是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2 (4) 的度数是定值， 【分析】（1）由“ ”可证 ； （2）由菱形的性质可得 ， ， ， ，再由直角三角形的性 质可求解； （3）由直角三角形的性质可求 、 的长，由等腰三角形的判定与性质可求 的长，通过证明 ，可得 ，即可求解； （4）先证点 、点 、点 三点共线，由直角三角形的性质可得 ，可求 ，通过证明点 、点 、点 、点 四点共圆，可得 ，即可 求解． 【解析】（1）证明： 四边形 是菱形， ， ， 点 是 的中点， ， ， ； （2）解： 四边形 是菱形， ， ， ， ， ， ， 26， ， ， ； （3）解： 为直角三角形， ， ， 四边形 是菱形， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4）解： 的度数是定值， 如图，取 的中点 ，连接 、 、 ， 27， 是 的垂直平分线， ， ， ， 点 是 的中点， ， ， 四边形 是菱形， ， ， ， 点 是 的中点， ， ， 点 、点 、点 三点共线， 点 是 的中点， ， ， ， ， ， 点 、点 、点 、点 四点共圆， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、相似 三角形的判定与性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 8．在平行四边形 中，连接 ，若 ，点 为边 上一点，连接 ，交 于点 ． 28(1)如图1，若点 为 中点，对角线 与 相交于点 ，且 的面积为 ， ，求 的 长； (2)如图2，若点 在 上，且 ，连接 ，过 作 于点 ，连接 并延长交 于点 ，若 ，用等式表示线段 、 、 的数量关系，并证明； (3)如图3，若 ， ，点 在 边上， ，且 平分 ，线段 （点 在 点 的左侧）在线段 上运动，且 ，连接 ， ，请直接写出 的最小值． 【答案】(1) (2) ，证明过程见详解 (3) 的最小值为 【分析】（1）连接 ，证明 ，利用三角形的面积公式求出 的值，再根据三角形的中位线定 理可求出 的值，由此即可求解； （2）如图所示，过点 作 于点 ，可证 ，可得 ， 是等腰直角三角形， ，再证 是等腰直角三角形，可得 ，接着 证明 ，可得 ，由此即可求解； （3）如图所示，过点 作 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，延长 到 ，使得 ，连接 ，可得的平行四边形 ，证明 ，可得 ，由勾股定理求出 即可． 29【解析】（1）解：如图所示，连接 ， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∵点 是 的中点，即 ，且 ， ∴ 是 的中位线，即 ， ， ∴ ， ∴ ，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （2）证明： ，理由如下， 如图所示，过点 作 于点 ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， 30∵ ， ∴ ，且 (对顶角相等)， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵在平行四边形 中， ，且 ， ∴ ，即 ， ∵ ， ∴ ， 在 中， ， (对顶角)， ∴ ， 在 中， 31， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，且 ， ∴ ． （3）解：如图所示，过点 作 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，延长 到 ， 使得 ，连接 ， ∵在平行四边形 中， ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 32∵ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，当 三点共线时， 的值最小， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判 定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压 轴题． 题型3：相似三角形在平面直角坐标系中的应用 9．如图：在如图1所示的平面直角坐标系中，直线 交x轴于点A，交y轴于点B，点C与点A关 于y轴对称． 33(1)求直线 的解析式； (2)如图2，点E在线段 上，点D在线段 上，且 ，若点E的横坐标为t，三角形 的面积 为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）问的条件下，点H是点B关于x轴的对称点，连接 ，过点B作 的垂线，交 于点G，交x轴于点F，交 于点K，若 ，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据直线 求出 ，再根据条件求出 ，之后用待定系数法求解 即可； （2）过E作 轴于M，根据条件可得 是等腰直角三角形，进而表示出 ，再求出 ，即可求解； （3）作 于M，作 于N，设 ，由题意可得，四边形 是正方形，进而 可证 ，根据相似三角形的性质可求 ，同理可证得： ， ，求 出 ， ，根据 ，设 ，即可求解． 34【解析】（1）解：在 中，令 得 ，令 得 ， ， ∵点C与点A关于y轴对称， ， 设直线 的解析式为 ，将 代入得： ， 解得 ， ∴直线 的解析式为 ； （2）解：如图： 过E作 轴于M， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∵点E的横坐标为t， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴三角形 的面积 ； （3）解：如图2， 35作 于M，作 于N， 设 ， ∵ ， ∴ ， 由题意可得，四边形 是正方形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设 ， 同理可证得： ， ∴ ， ∴ ， 36∴ ， 由 得， ， ∴ ， 同理可证得： ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 设 ， 同理证得： ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 37【点睛】本题考查了求一次函数解析式，等腰直角三角形及正方形性质，相似三角形的判定和性质等知识， 解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 10．已知，平面直角坐标系中，直线 经过点 ； (1)如图 ，求直线 的解析式； (2)如图 ，点 为直线 上方一点，连接 ，过 作 的垂线交 轴于点 ，连接 ，设 的 面积为 ，点 的纵坐标为 ，当 时，求 与 的函数解析式； (3)如图 ，在（ ）的条件下，当点 在第一象限，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，若 ，求 的值． 【答案】(1) (2) 或 (3)4 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）分四种情况讨论：当点B在第四象限，且位于点A的上方时，当点B在第四象限，且位于点A的下 方时，当点B在x轴的上方，且位于点A的右侧时，当点B在x轴的上方，位于点A的左侧时，结合全等 三角形的判定和性质，即可求解； （3）设直线 的解析式为 ，点B的坐标为 ，则 ，如图，过点D作 轴于点P， 则 ，由（2）得： ，证明 ，可得点D的坐标为 ， 从而得到点B的坐标为 ，即可求解． 38【解析】（1）解：设直线 的解析式为 ， 把点 代入得： ， 解答： ， ∴直线 的解析式为 ； （2）解：如图，当点B在第四象限，且位于点A的上方时，过点B作 轴于点M，过点A作 于点N，则 ， ， ， ， ∴ ， ∵ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 如图，当点B在第四象限，且位于点A的下方时，过点B作 轴于点M，过点A作 于点 N，则 ， ， ， ， 39∴ ， ∵ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 如图，当点B在x轴的上方，且位于点A的右侧时，过点B作 轴于点M，过点A作 于点 N，则 ， ， ， ， ∴ ， ∵ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 40∴ ， ∴ ； 如图，当点B在x轴的上方，位于点A的左侧时，过点B作 轴于点M，过点A作 于点 N，则 ， ， ， ， ∴ ， ∵ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 综上所述， 与 的函数解析式为 或 ； （3）解：设直线 的解析式为 ，点B的坐标为 ，则 ， 如图，过点D作 轴于点P，则 ， 由（2）得： ， 41∴ ， ∵ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴点D的坐标为 ， ∴ ，解得： ， （舍去）， ∴点B的坐标为 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，解得： ， 此时 ． 【点睛】本题主要考查了一次函数的几何应用，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知 识，利用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． 4211．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线 经过点B，交x轴于点C． (1)如图l，求点C的坐标； (2)如图2，点D在线段 的延长线上，过点D作 轴于点H，设 ， 的面积为 ， 求S与t之间的函数关系式．（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下， 与 交于点E，连接 ，且 ，延长 交x轴交于点F， 点M在线段 的延长线上，连接 交x轴于点N，若 ，求线段 的长． 43【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用直线 求出点B的坐标，再将点B的坐标代入 ，求出解析式，即可 得到 ； （2）由 轴于点H， 得点D的纵坐标为t，进而求出 ， ，利用三角形面 积公式求出函数解析式； （3）设 ，得直线 的解析式为 ，求出 ，直线 的解析式为 ，令 ，得 ，证明 ，求出 过E作 于K，证明 求出 ，作 轴于L，则 ，得 ，求出 ，再求 出直线 解析式，得 ，由此求出线段 的长． 44【解析】（1）解：令 中 ，得 ， ∴ ， 将 代入 ，得 ， ∴ ， 当 时， ，解得 ， ∴ ； （2）∵ 轴于点H， ， ∴点D的纵坐标为t， ， 将 代入 中，得 ， ∴ ， ， ∴ 的面积为 ； （3）设 ， ∴直线 的解析式为 ， 45解方程组 ， 解得 ， ∴ ， ∵ 轴， ∴ ， ∴设直线 的解析式为 ， ∴ ，得 ， ∴ ， 令 ， ∴ ， ∴ ， 又 ， ∴ 又 ， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 46∴ ∴ ， 过E作 于K， ∴ ∴ ∴ ∴ ， ， ∴ ∴ ∴ ∴ 作 轴于L，则 ， ∴ ∴ ∴ ， ∴ ∴ ． 设直线 解析式为 ∵ ， 47又 ∴ ，得 经检验， 是原方程的解， ∴ ∴ ，得 ， ∴ 令 ，得 ∴ ∴ ． 【点睛】此题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质， （3）较难，设定未知数求出交点坐标是解题的关键． 12．如图1，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 在 轴的正半轴上．如图2，将正方形 绕 点 逆时针旋转，旋转角为 ， 交直线 于点 ， 交 轴于点 ． 48(1)当旋转角 为多少度时， ；（直接写出结果，不要求写解答过程） (2)若点 ， ①求 的长； ②连接对角线 交直线 于点 ，求 的长； (3)如图3，对角线 交 轴于点 ，交直线 于点 ，连接 ．将 与 的面积分别记 为 与 ，设 ， ，求 关于 的函数表达式． 【答案】(1) (2)① ② (3) 【分析】（1）在 轴正半轴任取一点 ，根据题意可知 ， ，可证得 ，结合 即可求得答案． （2）如图所示，过点 作 轴的垂线，交 轴于点 ，过点 作 轴的垂线，交 轴于点 ，过点 作 轴的垂线，交 轴于点 ．①可证得 ，得到 即可求得答案．②先证得 ，即可求得点 的坐标，采用待定系数法，即可求得直线 的函数解析式，进而可求得 点 的坐标，即可求得答案． （3）连接 ， ，证得 ，得到 ，设正方形 的边长为 ，可得 49的表达式，证明 ，可得 为等腰直角三角形，进而可得 的表达式． 【解析】（1）如图所示，在 轴正半轴任取一点 ． 根据题意可知 ， ． 在 和 中 ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． （2）如图所示，过点 作 轴的垂线，交 轴于点 ，过点 作 轴的垂线，交 轴于点 ，过点 作 轴的垂线，交 轴于点 ． ①根据题意可知， ， ， ∴ ． 根据题意可知， ， ， ， ∴ ． 50∴ ． ∴ ． ②∵ ， ∴ ． ∴ ． 根据题意可知 ， ． ∵ ， ， ∴ ． 在 和 中 ∴ ． ∴ ， ． ∴所以，点 的坐标为 ． 设直线 的函数解析式为 ． 因为 的图象经过点 ， ，所以 ． 解得 ． 所以，直线 的函数解析式为 ． 51根据题意可知， 的图象与 的图象的交点即为点 ，所以 ． 解得 ． ∴点 的坐标为 ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． （3）如图所示，连接 ， ． ∵ ， ， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ， ∴ ． 又 ， ∴ ． ∴ ． 52∴ ． 设正方形 的边长为 ，则 ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 又 ， ∴ ． ∴ ． 又 ， ∴ 为等腰直角三角形． ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系、图形的旋转、一次函数、相似三角形的判定及性质、勾股定理、 全等三角形的判定及性质，能根据题意构建辅助线是解题的关键． 题型4：动态几何问题 13．正方形 和正方形 有公共顶点 ． 53(1)如图 ，点 、 、 三点共线，若 ， ，点 为 的中点，则 的长为______ ； (2)将正方形 绕点 顺时针旋转至如图 所示的位置，连接 、 ，求证： ； (3)在（1）的条件下，将正方形 绕点 旋转一周的过程中， 的最小值是______ ，此时， 的度数为______ ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) ， 【分析】（1）连接 、 ，由正方形的性质求出 ， ， ，再由勾股定理 求得 ，然后由直角三角形斜边上中线性质即可得出答案； （2）连接 、 ，先证 ，再由 ，则 ，得 ，即可 得出结论； （3）点 的运动轨迹为以 为圆心 为半径的 ，点 的运动轨迹为 ，连接 交 于点 、 交 于点 ，延长 交 于点 ，先证 是 的直径， ，则 的半径为 ，再证点 为正方形 的对角线中点，连接 、 ， 与 的交于点 ，此时， 最短，求出 的长，然后证 是直角三角形，即可得出结果． 【解析】（1）解：如图 ，连接 、 ， 54四边形 和四边形 都是正方形， ， ， ， ， ， 在 中，由勾股定理得： ， 为 的中点， ， 故答案为： ； （2）证明：如图 ，连接 、 ， 55四边形 和四边形 都是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图 ， 56由题意得：点 的运动轨迹为以 为圆心 为半径的 ，点 的运动轨迹为 ，连接 交 于点 、交 于点 ，延长 交 于点 ， ， ， ， 与 交于点 ， 点 与点 重合时， 最长， 与 交相切于点 ， 当点 与点 重合时， 最短，点 与点 重合， 是圆 的直径， ， 的半径为 ， ， ， 点 为正方形 的对角线中点， 连接 、 ， 与 的交于点 ， 此时， 最短， 由正方形的性质得： ， ， ； 57在 中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ； 故答案为： ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质、直角三角形斜边上中线性质、勾股定理、勾股定理的逆 定理、相似三角形的判定与性质、圆的位置关系、旋转的性质以及最小值等知识，本题综合性强，熟练掌 握正方形的性质和勾股定理的逆定理，找出动点的轨迹，取得最值时满足的条件是解题的关键． 14．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． (1)㩧作猜想 58操作一：对折正方形纸片 、使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平； 操作二：继续沿 折叠，使点D落在正方形内部点G处，把纸片展平，连接 、 ； 根据以上操作：在图2中写出一个与 相等的角______． (2)探究证明 ①如图3，延长 与边 交于点 ，连接 ，则 与 的大小关系是______；线段 、 、 之间的数量关系是______； ②判断点 在 上的位置、并说明理由． (3)拓展延伸 如图4，若正方形的边长为 ，直接写出点 到线段 的距离． 【答案】(1) (2) ； ； 在 上靠近 点的三等分点处 (3)点 到线段 的距离为 【分析】（1）由折叠的性质可得 ，故 ； （2）①由 得： ， ，从而证得 ； ②设 ， ，在 中，通过勾股定理得到： ， 解方程得， ，即， ，从而解决问题； （3）如图：过点 作 的垂线段，垂足为 ，则 ，通过相似三角形的对应边成比例即 可求出点 到线段 的距离． 【解析】（1）解：由折叠的性质得： ， 故 ； 故答案为： ； （2）① 四边形 是正方形， ， ， 由折叠的性质得： ，即 ， ， ， ， 在 与 中， 59， ， ， ； 故答案为： ； ②设 ， ， 由折叠性质得： ， ， ， ， 在 中， ， ， 解得： ，即， ， 在 上靠近 点的三等分点处； （3）如图：过点 作 的垂线段，垂足为 ，则 ， ， ， ， ， ， 60， ， ． 点 到线段 的距离为 ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质、相似三 角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及方程思想是解题的关键． 15．在 中， ， ， ，点 是线段 上一动点，连接 ． (1)如图1，若 ，求 的面积； (2)如图2，若 ，以 为边在 下方作等腰 ， ，连接 ，若点 是线段 中点，过 作 于点 的延长线交 于点 ，求证： ； (3)如图3将 沿 翻折 ．连接 ， 是线段 上一点，且 ，直接写出当 取得最小值时 的面积． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)2 【分析】（1）作 交 于点 ，由三角形内角和定理可得 ，从而得出 是等腰直角 三角形，由勾股定理可得 ，再由直角三角形的性质可得 ，再由等腰三角形的判定与性 质可得 ，最后由面积公式进行计算即可； （2）取 的中点 ，连接 、 ，由（1）可得： ，从而证得 是等腰直角三角 61形，通过证明 得到 ，进而得到 ，由 直角三角形的性质可得 ，从而得到 在 的垂直平分线上，再证明点 在 的垂直 平分线上，得到点 和 重合，即可得证； （3）在 的下方作 ，截取 ，连接 、 、 交 于 ，作 关于 对称的 ，连接 ，证明 得到 ，从而得到 ，进而得到当 三点共线时， 最小此时点 在 处，点 在 处，由（1）知， ，则 ，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得 ，通过证明四边形 是等腰梯形，得到 ，则 ， 由折叠的性质可得： ， ，连接 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，由平角的定义可得 ，由直角三角形的性质可得 ，最后由三角形的 面积公式进行计算即可． 【解析】（1）解：如图，作 交 于点 ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在 中， ， ， 62， ， ； （2）证明：取 的中点 ，连接 、 ， ， 由（1）可得： ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，即 ， ， ， ， 为 的中点， ， 在 的垂直平分线上， ， ， ， ， 点 是线段 中点， 点 是 的中点， 63点 在 的垂直平分线上， 点 和 重合， ， ； （3）解：如图， ， 在 的下方作 ，截取 ，连接 、 、 交 于 ，作 关于 对称的 ，连接 ， 在 和 中， ， ， ， ， 当 三点共线时， 最小此时点 在 处，点 在 处， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， ， 64四边形 是等腰梯形， ， ， 由折叠的性质可得： ， ， 连接 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、三角形全等的判定与 性质、折叠的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、 勾股定理、三角形全等的判定与性质、折叠的性质、直角三角形的性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 16．在 中， ， ，点 在边 上， ，将线段 绕点 顺时针旋转 至 ，记旋转角为 ，连接 ， ，以 为斜边在其一侧作等腰直角三角形 ，连接 ． (1)如图1，当 时，请直接写出线段 与线段 的数量关系； (2)当 时， ①如图2，（1）中线段 与线段 的数量关系是否仍然成立?请说明理由； ②如图3，当B，E，F三点共线时，连接 ，判断四边形 的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)①成立，理由见解析；②平行四边形，理由见解析 【分析】（1）根据题意得 ，进而可得 ，得出 ，由 65，推出 ，即可得出答案； （2）①由 是等腰直角三角形， ， ，可得 ，推出 仍然 成立； ②如图3，过点 作 于点 ，由旋转得： ，进而得出 ，推出 ，再由 ，推出 ，可得 ，利用平 行四边形的判定即可得出答案． 【解析】（1）如图1，当 时，点 在线段 上， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 66，即 ， ； （2）① 仍然成立 理由如下： 如图2， 是等腰直角三角形， ， ， 在 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 仍然成立． ②四边形 是平行四边形． 理由如下： 如图3，过点 作 于点 ， 67由旋转得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由①知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形． 【点睛】本题是三角形与四边形综合题，考查了等腰直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，平行四 边形的判定，旋转的旋转等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质及等腰直角三角形性质是解题关键． 题型5：相似三角形解答证明题 17．（1）如本题图①， 为 的角平分线， ，点E在 上， ．求证： 平 分 ． （2）如本题图②，在（1）的条件下，F为 上一点，连结 交 于点G．若 68，求 的长． （3）如本题图③，在四边形 中， ，对角线 平分 ，点E 为 上一点， ．若 ，求 的长． 【答案】（1）见解析；（2） ；（3） 【分析】（1）由 得 ，因而 ，所以 平分 ； （2）先证明 ，其中 ，再由相似三角形的对应边成比例求出 的长； （3）根据角平分线的特点，在 上截取 ，连结 ，构造全等三角形和相似三角形，由相似三 角形的性质求出 的长． 【解析】（1）证明：如图1， 平分 ， ， ， ， ， ， ， 69， 平分 ． （2）如图2， ， ； ， ， ； ， ， ， （3）在 上取一点F，且 ，连接 和 ∵ 平分 ∴ ， 70又∵ ， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 长为 71【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识， 解第（3）题时，应注意探究题中的隐含条件，通过适当添加辅助线构造全等三角形和相似三角形；此题 难度较大，属于考试压轴题． 18．菱形 对角线AC与BD交于点O，若 ，过点A作 于点M，交BD于点N． (1)如图1，若 ，求AN的长度． (2)如图2，延长AM交DC延长线于点P，求证： ． (3)如图3，若 ，在线段AB上取一点E，使得 ，连接CE，在CE上任取一点G，R为线 段AC边上动点，当 取最小值时，直接写出四边形 的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）设元计算，找到直角三角形三边勾股关系列方程计算可得． （2）先通过三垂直全等得到 关系，转化目标为 ，再通过截长补短得到 及 的线段，最后由角度求得线段关系得证． （3）此题须先利用对称找到最值位置，再求出容易计算的 ，最后求解含有特殊角度的 的面积， 利用 的直角三角形相似及多重设元进行计算求得答案． 【解析】（1）解：过 作 于 72菱形 ， 平分 ， 又 ， ， ， 设 ， ， 与 均为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 得 ， ； （2）解：在 上取 连接 、 ， 菱形 ， ， ， ， ， ， 为菱形的对称轴，且 ； ， ， 又 ， ， 73， ， ， ， 为等腰直角三角形， 为菱形的对称轴， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：作 关于直线 的对称线段 ，则 关于直线 的对称点 在直线 上， ，当 时， 最小，即 最小值为 ， 与 的交点为点 ． 由 ， 得： ， ； ， ， ， ， 74中 ． 作 交 于 ， 交 于 ； 则 ， ， ， ， ， 得 ， ， ； 设 ， 则 ， ， ， ∴ ， ， ， ． 四边形 的面积为 ． 通过相似和设元计算得四边形 的面积为 ． 【点睛】本题考查复杂的四边形证明和计算问题，涉及菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角 形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，构作适当的辅助线是本题的难点与关键． 75在复杂计算中利用设元列方程能够有效简化计算，降低计算错误率． 19．（1）在 中， ，在 的外部作正方形 ，正方形 和正 方形 的延长线交 于点M， 的延长线分别交 于点K，交 于点Q． ①如图1，求 ； ②如图2，连接 分别交 于点P，交 于点N，求 ． （2）如图3，在 中， ，在 的外部作 ，已知 ，求 周长之比； （3）如图4，在五边形 中， ．M是 上一点， ，连接 ； 三等分 ，求 与 周长之比． 【答案】（1）① ② （2） （3） 【分析】（1）①易得四边形 是平行四边形，得到 ，即可得解；②勾股定理求出 ，证 明 ，求出 的值，进而求出 的值，利用平行线分线段成比例，即可得 出结论； （2）证明 ，结合 的直角三角形的性质，利用周长比等于相似比，即可得出结论； （3）延长 ，交于点 ，过点 作 于点 ，利用含 度角的直角三角形的性质，等腰直 角三角形的性质，求出 的长，证明 ，利用相似三角形的的周长比等于相似比，即可 得解． 76【解析】解：（1）①∵四边形 ，四边形 是正方形， ∴ ， ， ， ∵ ∴ ， ∴ 三点共线， 三点共线， ∵ 的延长线交 于点M， 的延长线分别交 于点K， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ； ②∵ ， ∴ ， ∵四边形 是平行四边形， ∴四边形 是矩形， ， ∴ ， ∵正方形 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即： ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即： ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， 77∴ ，即： ； （2）∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ 周长之比为： ； （3）∵五边形 ， ∴ ∵ 三等分 ， ∴ ， ∴ ， 同理： ， ∴ ， 延长 ，交于点 ，过点 作 于点 ， 则： ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 78∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 与 周长之比为 ． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质， 含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，多边形的内角和等知识．本题的综合性强，难度大， 熟练掌握相关性质，证明三角形相似，是解题的关键． 题型6：情景探究题 20．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究： [观察与猜想] (1)如图①，在正方形 中，点 、 分别是 、 上的两点，连接 、 ， ，则 的值为＝ ； (2)如图②，在矩形 中， ， ，点 是 上的一点，连接 ， ，且 ，则 79的值为 ． [性质探究] (3)如图③，在四边形 中， ．点 为 上一点，连接 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ．求证： ； [拓展延伸]已知四边形 是矩形， ， (4)如图④，点 是 上的点，过点 作 ，垂足为 ，点 恰好落在对角线 上．求 的值； (5)如图⑤，点 是 上的一点，过点 作 ，垂足为 ，点 恰好落在对角线 上，延长 、 交于点 ．当 时， ． 【答案】(1)1 (2) (3)见解析 (4) (5) 【分析】（1）由四边形 是正方形， ，证明 ，可得 ，即可得 到答案； （2）由四边形 是矩形， ，证明 ，可得 ，即可得到答案； （3）过 作 于 ，由 ， ，得四边形 是矩形，有 ， ，可证 ，从而 ，即得 ； （4）过 作 于点 ， 于点 ，证明 ，有 ，而 ， ，可得 ，有 ，故 ； （5）连接 、 ，证明 ，得 ，又 ，可得 ，故 80，由 ，可得 ，故 ，即可得 ，从而 ，有 ，所以 ． 【解析】（1）如图： 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：1； （2）如图： 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， 81， ， ， 故答案为： ； （3）证明：过 作 于 ，如图： ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4）过 作 于点 ， 于点 ，如图： ， 四边形 是矩形， 82， ， ， 四边形 是矩形， ， 于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理 ， ， ， ； （5）连接 、 ，如图： ， ， ， ， 83， ， ， ， ， ， 由（4）知 ， ， ， ， ， ， ， 即 ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、 相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，熟练掌握正方形的性质和矩形的判定与性质，证明三角形 全等和三角形相似是解题的关键，属于考试压轴题． 21．综合与实践 问题情境：数学课上，王老师出示了一个问题： 84如图1，在四边形 中， ， ， ， ．请直接写出 图中与 相等的角． 独立思考：（1）请解答王老师提出的问题． 实践探究：（2）在原有条件不变的情况下，王老师提出了新问题，请你解答． “探究线段 与 的数量关系，并证明．” 问题解决：（3）数学活动小组的同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，保留原题条件，如果给出 与 之间的数量关系，则图2中所有已经用字母标记的任意两条线段之间的比值均可求．该小 组提出下面的问题，请你解答． “如图2，若 ，求 的值．” 【答案】（1） 和 ；（2） ；证明见解析；（3） 【分析】（1）由等边对等角得到 ，再根据 ，即可得解； （2）过点 作 于点 ，交 于点 ，连接 ，根据等腰三角形的性质和 得到 ， ，根据平行线分线段成比例定理的推论得到 ，由三角形中位线定理得到 ，再证明 ，可得 ，即可得到结论； （3）过点 作 于点 ，交 于点 ，连接 ，过点 作 于点 ，设 ，仿照 （2）的证明方法先证明 ，得到 ， ，根据 ， 结合三角形内角和和外角的性质可得 ，从而证明 ，可得 ， 推出 ， ，再根据 ， ，利用勾股定理得 ， 85所以 ，再利用四边形 是矩形，得出 ， ，由勾股定理得 ，再根据 ，由比例性质得 ，代入数据即可． 【解析】（1）解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴与 相等的角有： 和 ． （2）线段 与 的数量关系： ． 证明：过点 作 于点 ，交 于点 ，连接 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， 86∴ ， ∴ ， ∴ ． （3）解：过点 作 于点 ，交 于点 ，连接 ，过点 作 于点 ，设 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， 87∴ ， ∴ ， ， ∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ， ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， ∵ ， ∴ ． 88∴ 的值为 ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理推论， 三角形中位线定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 勾股定理，三角形外角的性质等知识点．通过作辅助线并灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 22．纸飞机对于每一个孩子而言，都应该是一样不会缺少的童年玩具．随着年龄的增长，学习的知识逐渐 增多，大家对纸飞机的探究也在继续． (1)“长跑冠军”纸飞机是用正方形 纸张折叠而成， 、 分别是 、 的中点．小明在探究“长 跑冠军”飞机时，发现飞机重心落在正方形 的中心点 （即对角线的交点），他想将重心调整到线 段的黄金分割点（靠近点 ）处，以观察重心的改变对飞机飞行情况的影响，请你用尺规作图的方法，帮 他找到线段 的黄金分割点 （靠近点 ）（保留作图痕迹，不写作法）． (2)以下是“英雄号”纸飞机的部分折叠步骤，小明在探究过程中，取矩形纸张 ， ，点 是对角线的交点， 、 为 、 的中点． 第一步：将点 与点 重合，折痕交 于点 ，交 于点 ； 第二步，将点 与点 重合，折痕经过 点，交 于点 ； 第三步，将 、 点分别与点 重合，折痕交 、 、 、 于 、 、 、 四点， 、 、 三点不重合； 第四步，…… 89①小明在折叠时，认为 ，他说的对吗？请结合图四说明理由； ②若矩形纸张的宽为 ，此时 的值是多少？请你直接写出答案； ③小明在折叠第三步时，发现点 与点 重合、点 与点 重合，此时 的值是多少呢？请你直接写出 答案（结果保留根号）． 【答案】(1)见解析 (2)①说得对，理由见解析；② ；③ 【分析】（1）以 为半径作弧交 于点 ，以 为半径交 于点 ，则点 即为所求； （2）①根据折叠的性质得出 ， ，根据平行线的性质得出 ，根据等腰三角形 的性质得出 ，继而即可得出 ； ②设 交于点 ，证明 ，求得 ，即可求解． ③连接 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，证明 ，设 ， 则 ， ，根据相似三角形的性质得出 ，则 ，根据②的结论进而即可求解． 【解析】（1）解：如图所示，以 为半径作弧交 于点 ，以 为半径交 于点 ，则点 即为 90所求； 理由如下： ∵四边形 是正方形， 、 分别是 、 的中点． 设正方形的边长为 ，则 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ∴ ∴点 即为所求； （2）①如图 ∵折叠， 与 重合 ∴ ， ， ∵ ∴ ， ∵ ， ， ∴ ∵ ， ， 91∴ ， ∴ ∵ ， ∴ ； ②解：如图所示，设 交于点 ， 依题意， ， ， 在 中， ， ∵折叠， 重合， ∴ ， ， ∴ ， 依题意 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ∴ ∴ 解得： ， ∴ ； ③如图，连接 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ， 92∵发现点 与点 重合、点 与点 重合， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 设 ， ∵ ∴ ， 又∵ 为矩形对角线的交点， ∴ ， ∴ ∴ ， ∴ ， 在 中， ∴ ， 解得： ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ∴ ， ∴ 设 ，则 ， ∵ 为 的中点， 为 的中点，则 ， ∵ 93∴ 解得： 或 ∵ 即 ， ∴ 即 ， 由②得∴ ∴ ∴ 解得： ， ∴ ； 【点睛】本题考查了黄金分割比，相似三角形的性质与判定，折叠问题，掌握相似三角形的性质与判定是 解题的关键． 94