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第 08 课 特殊平行四边形 解答题（难点 3-解答证明与情景探究题）
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、解答题
1．如图1，四边形ABCD是矩形，点O位于对角线BD上，将△ADE，△CBF分别沿DE、BF翻折，点
A，点C都恰好落在点O处．
(1)求证：∠EDO= ∠FBO；
(2)求证：四边形DEBF是菱形；
(3)如图2，若AD=2，点P是线段ED上的动点，求2AP + DP的最小值．
2．问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到
△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．
(1)猜想证明：
试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
(2)如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与 的数量关系并加以证明；
(3)解决问题：
如图①，若AB＝4，当BE的长为 时，△ADE为等腰三角形，请直接写出结果．
3．已知正方形 ，E，F为平面内两点．(1)如图1，当点E在边 上时， ，且B，C，F三点共线．求证： ；
(2)如图2，当点E在正方形 外部时， ， ，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段
， ， 之间的数量关系；
(3)如图3，当点E在正方形 外部时， ， ， ，且D，F，E三点共线，
与 交于G点．若 ， ，求正方形 的面积．
4．如图，正方形 ，点 、 、 分别在 、 、 上， 与 相交于点 ．
(1)如图1，过点 作DF//GH交 的延长线于点 ，当 时．
①求证： ；
②平移图1中线段 ，使 点与 重合， 点在 延长线上，连接 ，取 中点 ，连接 如图
2，求证： ；
(2)如图3，当 ，边长 ， ，求 的长．
5．某数学小组在探究四边形的性质时，经历了如下过程：四边形 是菱形， ．(1)【操作发现】如图1，点 是线段 上的一个动点（不与端点重合），连接 ，以 为边作等边
，过 点作 于点 ，作 于点 ，连接 ．
① __________°；② __________ （填“＞”或“＜”或“＝”）．
(2)【数学思考】如图2，点 是线段 延长线上的一个动点（不与端点重合），连接 ，以 为边作
等边 ．
①连接 ，求证：点 在 的角平分线上；
②过 点作 ，交 于点 ，连接 ，求证：四边形 是平行四边形；
(3)【类比探索】如图3，若 点不在直线 上时，以 为边作等边 ，连接 并延长，交 于点
，连接 ，求 的大小．
6．如图所示，在菱形 中， 是等边三角形．
(1)如图1，点E、F分别在菱形的边 上滑动，且E、F不与B、C、D重合，求证： ；
(2)如图2，点E是 延长线上一点，连 ．
①求证： ；
②若 ，求 的长．
7．(1)操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将 沿AE折叠后得到 ，点F在矩形
ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．
(2)类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然
成立？请说明理由．
(3)解决问题：保持（1）中的条件不变，若G点是CD的中点，则矩形ABCD中，AD与AB的比值
______．
8．[情景引入]如图1，射线AD与线段AB重合，将射线AD绕点A逆时针方向旋转旋转角为 ，
，在旋转过程中，某一时刻射线AD把 分成面积相等两部分，于是我们可以求得
，此时我们把射线AD称为 的“完美分割线”．
[理解应用]
如图2，在钝角 中，点E是线段BC的中点，试说明：射线AD是 的“完美分割线”．
[问题提升]
在菱形ABCD中， ，点O为射线CA上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线
OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F．
（1）如图3，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，
①请直接写出CE，CF，CA三条段段之间的数量关系；
②连接E、F，试说明： 为等边三角形．
（2）如图4，将 绕点O以每秒2°的速度逆时针方向旋转，当OM与AD重合时停止运动（旋转时
间为t）；试问：当t为何值时，射线OM或射线ON是某个三角形的“完美分割线”？（注：解答时原图不添加任何字母和辅助线）
培优第二阶——拓展培优练
一、解答题
1．如图1，矩形 中， ，点P在边 上，且不与点B、C重合，直线 与 的延长
线交于点E．
(1)当点P是 的中点时，求证： ；
(2)将 沿直线 折叠得到 ，点 落在矩形 的内部，延长 交直线 于点F．
①证明 ，并求出在（1）条件下 的值；
②连接 ，求 周长的最小值；
③如图2， 交 于点H，点G是 的中点，当 时，请判断 与 的数量关系，
并说明理由．
2．如图1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，FE，DC为铅直方向的边，AF，ED，BC为水
平方向的边，点E在AB，CD之间，且在AF，BC之间，我们称这样的图形为“L图形”，记作“L图形
ABC﹣DEF”．若直线将L图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该L图形的面积平分线．
【活动】
小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案：如图2，将这个L图形分成矩形AGEF、矩形GBCD，
这两个矩形的对称中心O，O 所在直线是该L图形的面积平分线．请用无刻度的直尺在图1中作出其他的
1 2
面积平分线．（作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹）
【思考】
如图3，直线OO 是小华作的面积平分线，它与边BC，AF分别交于点M，N，过MN的中点O的直线分
1 2
别交边BC，AF于点P，Q，直线PQ （填“是”或“不是”）L图形ABCDEF的面积平分线．【应用】
在L图形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6．
（1）如图4，CD＝AF＝1．
①该L图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点P，Q，求PQ长的最大值；
②该L图形的面积平分线与边AB，CD分别相交于点G，H，当GH的长取最小值时，BG的长为 ．
（2）设 ＝t（t＞0），在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与边AB，CD相交
的面积平分线，直接写出t的取值范围 ．
3．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折叠纸片使B点落在边AD上的点E处，折痕为
PQ．过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形PBFE为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形PBFE的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，菱形PBFE的面积有最值吗？若有，请写出，若没有，填
“无”．最大值为 ；最小值为 ．
4．在等边三角形ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD的上方作
菱形ADEF，且∠DAF=60°，连接CF．
（1）【观察猜想】如图（1），当点D在线段CB上时，
① ；
② 之间数量关系为 ．
（2）【数学思考】：如图（2），当点D在线段CB的延长线上时，（1）中两个结论是否仍然成立？请说
明理由．
（3）【拓展应用】：如图（3），当点D在线段BC的延长线上时，若 ， ，请直接写出
的长及菱形ADEF的面积．．
5．折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形．同时纸的过程还蕴含
着丰富的数学知识．
(1)折纸1：如图，将正方形 沿 对折，使点A落在点 ，连接 ，若 ，则
_______．
(2)折纸2：请用一个正方形纸片折出一个30°的角（不借助任何工具），在给出的正方形图形中画出你的
折叠方法，并说明理由．
(3)折纸3：如图，操作一；将边长为4的正方形片 对折，使点B、C分别与点A，D重合，再展开得
到折痕 ；操作：将正方形 沿着 折叠，使得点D落在点 处；操作三：正方形纸片沿着
折叠再展开，折痕 与边 于点P，求线段 的长度．(4)综合应用：如图，在矩形 中， ， ，点P为 上的一点（不与B点重合，可以与C
点重合），将 沿着 折叠，点B的对应点为 ， 落在矩形的内部，连结 ， ，当
为等腰三角形时，求 的面积．
6．已知正方形 ， ， 为平面内两点．
(1)【探究建模】如图1，当点 在边 上时， ，且 ， ， 三点共线．求证： ；
(2)【类比应用】如图2，当点 在正方形 外部时， ， ，且 ， ， 三点共线．
猜想并证明线段 ， ， 之间的数量关系；
(3)【拓展迁移】如图3，当点 在正方形 外部时， ， ， ，且 ， ，
三点共线， 与 交于 点．若 ， ，求 的长．
7．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图1，小明在证明这个
定理时，通过延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，证明△ADE △CFE，再证明四边形DBCF是平行
四边形，即可得证．(1)【类比迁移】如图2，AD是BC边的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AC＝BF，求证：AE＝
EF．
小明发现可以类比以上思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使MD＝FD，连接MC，……
请你根据小明的思路完成证明过程．
(2)【方法运用】如图3，在菱形ABCD中，∠D＝60°，点E为射线BC上一个动点(在点C右侧)，把线段
EC绕点E逆时针旋转120°得到线段BC′，连接BC′，点F是BC′的中点，连接AE、CF、EF．
①请你判断线段EF和AE的数量关系是________，并说明理由；
②若菱形ABCD的边长为6，CF＝ CE，请直接写出CF的长．
8．[特例感知]如图1，在正方形 中，点E，F分别为 ， 的中点， 、 交于点G．（1）易证 ，可知 、 的关系为___________________；
（2）连接 ，若 ，求 的长．
[初步探究]如图2，在正方形 中，点E为 边上一点， 分别交 、 于F、G，垂足为
O．求证： ．
[基本应用]如图3，将边长为6的正方形 折叠，使得点A落在边 的中点M处，折痕为 ，点
P、Q分别在边 、 上，请直接写出折痕 的长： ________．
[应用拓展]如图4，在四边形 中， ， ， ， ， 于
E， 交 于F，则 长为________．
9．在图1中似乎包含了一些曲线，其实它们是由多条线段构成的．它不但漂亮，还蕴含着很多美妙的数学
结论．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是直线AB，BC上的点（E，F在直线AC的两侧），且AE＝
CF．
(1)如图2，求证：DE＝DF；
(2)若直线AC与EF相交于点G，
①如图3，求证：DG⊥EF；
②设正方形ABCD的中心为O，∠CFE＝α，用含α的式子表示∠DGO的度数（不必证明）．
10．阅读下面材料：有公共顶点A的正方形 与正方形 按如图1所示放置，点E，F分别在边
和 上，连接 ，M是 的中点，连接 交 于点N．(1)【观察猜想】线段 与 之间的数量关系是__________，位置关系是__________；
(2)【探究证明】将图1中的正方形 绕点A顺时针旋转 ，点G恰好落在边 上，如图2，其他条
件不变，线段 与 之间的关系是否仍然成立？并说明理由．
(3)【拓展应用】在图2的基础上，若 ，请直接写出线段 的长．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、解答题
1．（2021·江苏徐州·中考真题）如图1，正方形 的边长为4，点 在边 上（ 不与 重合），
连接 ．将线段 绕点 顺时针旋转90°得到 ，将线段 绕点 逆时针旋转90°得到 ．连接
．
（1）求证：
① 的面积 ；
② ；
（2）如图2， 的延长线交于点 ，取 的中点 ，连接 ，求 的取值范围．
2．（2021·甘肃兰州·中考真题）已知正方形 ， ， 为平面内两点．【探究建模】
（1）如图1，当点 在边 上时， ，且 ， ， 三点共线．求证： ；
【类比应用】
（2）如图2，当点 在正方形 外部时， ， ，且 ， ， 三点共线．猜想并证明
线段 ， ， 之间的数量关系；
【拓展迁移】
（3）如图3，当点 在正方形 外部时， ， ， ，且 ， ， 三点共
线， 与 交于 点．若 ， ，求 的长．
3．（2021·广西来宾·中考真题）【阅读理解】如图1， ， 的面积与 的面积相等吗？为什
么？
解：相等，在 和 中，分别作 ， ，垂足分别为 ， ．
，
．
，
四边形 是平行四边形，
．
又 ， ，
．
【类比探究】问题①，如图2，在正方形 的右侧作等腰 ， ， ，连接 ，求的面积．
解：过点 作 于点 ，连接 ．
请将余下的求解步骤补充完整．
【拓展应用】问题②，如图3，在正方形 的右侧作正方形 ，点 ， ， 在同一直线上，
，连接 ， ， ，直接写出 的面积．
4．（2019·湖南岳阳·中考真题）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩
形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处.点P为直线EF上一动点(不与E、F
重合)，过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形
PMQN.
(1)如图1，求证：BE＝BF；
(2)特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；
(3)类比探究：若DE＝a，CF＝b.
①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并
证明；
②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系.
(不要求写证明过程)
5．（2018·吉林长春·中考真题）在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结
BE．【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证 ABF≌△BCE．（不需要证明）
【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．
△
（1）求证：BE=FG．
（2）连结CM，若CM=1，则FG的长为 ．
【应用】如图③，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG．若
CM=3，则四边形GMCE的面积为 ．
