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第 09 课 特殊平行四边形 单元综合检测
一、单选题
1．下列说法中能判定四边形是矩形的是（ ）
A．有两个角为直角的四边形 B．对角线互相平分的四边形
C．对角线相等的四边形 D．四个角都相等的四边形
【答案】D
【解析】
【分析】
矩形的性质和判定，依次分析只有D项正确.
A、有两个角为直角的四边形，有可能是梯形，故错误.
B、对角线互相平分的四边形有可能是菱形，故错误.
C、应为对角线相等的平行四边形为矩形.
D、四个角相等的四边形是矩形，正确符合矩形的性质.
故选D.
【点睛】
矩形的性质：1．矩形的4个内角都是直角；2．矩形的对角线相等且互相平分；
3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等；4．矩形既是轴对称图形，也是中心对
称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴.对称中心是对角线的交点.5．矩形是
特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. 矩形
的判定：①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 ②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形 ③定
理2：对角线相等的平行四边形是矩形 ④对角线互相平分且相等的四边形是矩形.
2．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AC＝8，则△ABO的周长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】A
【解析】
【分析】由矩形的性质得出OA=OB，再证明 AOB是等边三角形，得出AB=OA=OB=4，即可求出 ABO的周长．
∵四边形ABCD是矩形， △ △
∴OA＝ AC＝4，OB＝ BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝4，
∴△ABO的周长＝OA+OB+AB＝12；
故选A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解
决问题的关键．
3．如图，在菱形 中，对角线 、 相交于点 ，下列结论中不一定成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据菱形的性质即可一一判断
解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
故A、B、C正确，
故选D
【点睛】
本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
4．如图， 中， ， ，要判定四边形 是菱形，还需要添加的条件是（ ）A． 平分 B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，可知先证明四边形BDEF是平行四边形，再证明BD=DE即
可解决问题．
解：当 平分 时，四边形 是菱形，
理由：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形.
其余选项均无法判断四边形 是菱形，
故选A.
【点睛】
本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解
题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是( )A．5cm B．6cm C． cm D． cm；
【答案】D
【解析】
【分析】
首先利用菱形的性质结合勾股定理得出BC的长，再利用三角形面积求出答案
解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6cm，BD=8cm，
∴AO=CO=3cm，BO=DO=4cm，∠BOC=90°，
∴BC= =5（cm），
∵S AE×BC= BO×AC
△
ABC=
故5AE=24，
解得：AE= （cm）.
故选D．
【点睛】
此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得利用三角形面积求出AE的长是解题关键．
6．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接
CE，则 DCE的面积为（ ）
△
A． B． C．2 D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
由EF垂直平分AC可得AE=CE，设CE＝x，则ED＝AD﹣AE＝4﹣x，在Rt CDE中，利用勾股定理求出
x的长，继而根据三角形的面积公式进行求解即可. △
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠D=90°，∵EO是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
设CE＝x，则ED＝AD﹣AE＝4﹣x，
在Rt CDE中，CE2＝CD2+ED2，
即x2＝△22+(4﹣x)2，
解得：x＝ ，
即CE的长为 ，
DE＝4﹣ ＝ ，
所以 DCE的面积＝ × ×2＝ ，
△
故选B．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
7．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，则下列三种说法：
（1）如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形
（2）如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
（3）如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形 ．其中正确的有 （ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【解析】
解：因为DE∥CA，DF∥BA，所以四边形AEDF是平行四边形，如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩
形，所以（1）正确；
如果AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAC,又DE∥CA，所以∠ADE=∠DAC,所以∠ADE=∠BAD，所以
AE=ED,所以四边形AEDF是菱形，因此（2）正确；
如果AD⊥BC且AB=AC，根据三线合一可得AD平分∠BAC，所以四边形AEDF是菱形，所以（3）错误；所以正确的有2个，
故选B．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质；矩形的判定；菱形的判定；正方形的判定．
8．如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC
于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．
【答案】A
【解析】
解：如图，连接BP，设点C到BE的距离为 ，
在正方形 中，
因为 ,
即 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： .
9．如图，菱形ABCD和菱形EFGH，∠A＝∠E，它们的面积分别为9 cm 2和64 cm 2，CD落在EF上，若△BCF的面积为4cm2，则△BDH的面积是（ ）
A．8 cm 2 B．8.5 cm 2 C．9 cm 2 D．9.5 cm 2
【答案】B
【解析】
【分析】
先连接FH，求出 ，再将求 的面积转化为求 的面积即可．
解：如图，连接FH，
∵菱形ABCD和菱形EFGH，∠A＝∠E，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 和 同底等高，
∴ ，
∵菱形ABCD面积为9 cm2，△BCF的面积为4cm2，
∴ （cm2），
∴ （cm2）．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形性质及其应用，解决本题的关键是利用同底等高将求 的面积转化为求 的面积，
考查了学生的分析和推理的能力，运用了转化的思想方法．
10．如图，在正方形 中， 是对角线 上一点，且满足 ．连接 并延长交 于点 ，
连接 ，过 点作 于点 ，延长 交 于点 ．在下列结论中：① ；②
；③ ；④ ，其中正确的结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断出∠DAE＝∠ABH，再判断△ADE≌△CDE得出∠DAE＝∠DCE＝22.5°，∠ABH＝∠DCF，再判断出
△ABH≌△DCF从而得到①正确，根据三角形的外角求出∠AEF＝45°，得出②正确；结合①②可得DF＝
DE，根据AH＝DF即可得③正确；连接HE，判断出S EFH≠S EFD得出④错误．
△ △
解：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE＝∠ADE＝∠CDE＝45°，AB＝BC，
∵BE＝BC，
∴AB＝BE，
∵BG⊥AE，
∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH＝∠DBH＝22.5°，
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°﹣∠ABH＝67.5°，
∵∠AGH＝90°，
∴∠DAE＝∠ABH＝22.5°，
在△ADE和△CDE中，
，∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCE＝22.5°，
∴∠ABH＝∠DCF，
在△ABH和△DCF中，
，
∴△ABH≌△DCF（ASA），
∴AH＝DF，∠CFD＝∠AHB＝67.5°，
∵∠CFD＝∠EAF+∠AEF，
∴67.5°＝22.5°+∠AEF，
∴∠AEF＝45°，故①②正确；
∵∠FDE＝45°，∠DFE＝∠FAE+∠AEF＝22.5°+45°＝67.5°，
∴∠DEF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴DF＝DE，
∵AH＝DF，
∴AH＝DE，故③正确；
如图，连接HE，
∵BH是AE垂直平分线，
∴AG＝EG，
∴S AGH＝S HEG，
△ △
∵AH＝HE，
∴∠AHG＝∠EHG＝67.5°，
∴∠DHE＝45°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠DEH＝90°，∠DHE＝∠HDE＝45°，∴EH＝ED，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∵EF不垂直DH，
∴FH≠FD，
∴S EFH≠S EFD，
△ △
∴S EFHG＝S HEG+S EFH＝S AHG+S EFH≠S DEF+S AGH，故④错误，
四边形
△ △ △ △ △ △
∴正确的是①②③．
故选：C
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出
△ADE≌△CDE，难点是作出辅助线．
二、填空题
11．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是_________．填代号①对边平行且相等； ②对角线互相平
分；③对角相等；④对角线相等；⑤四个角都是 ；⑥轴对称图形．
【答案】④⑤⑥
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质以及矩形的性质进而分析得出答案即可．
解：矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是：
④对角线相等；
⑤4个角都是90°；
⑥轴对称图形．
故答案为：④⑤⑥．
【点睛】
此题主要考查了矩形与平行四边形的性质与区别，熟练区分它们的性质是解题关键．
12．菱形的边长为5，一条对角线长为6，则这个菱形的面积是________．
【答案】24
【解析】
【分析】
根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得菱形的
面积．
解：如图，当BD=6时，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=3，
∵AB=5，
∴AO= ，
∴AC=8，
∴菱形的面积是： BD×AC= ×6×8=24，
故答案为：24．
【点睛】
本题考查菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理，关键是掌握菱形的面积等于两条对角线的积的一半．
13．如图， 在矩形 中， 对角线 ， 相交于点 ，若 ， ，则 的长为
_____ ．
【答案】8
【解析】
【分析】
由四边形 为矩形，根据矩形的对角线互相平分且相等，可得 ，由 ，根据有一个
角为 的等腰三角形为等边三角形可得三角形 为等边三角形，根据等边三角形的每一个角都相等都
为 可得出 为 ，在直角三角形 中，根据直角三角形的两个锐角互余可得 为 ，根
据 角所对的直角边等于斜边的一半，由 的长可得出 的长．
解： 四边形 为矩形，
， ，且 ， ，
，
又 ，为等边三角形，
，
在直角三角形 中， ， ，
，
，
则 ．
故答案为：8．
【点睛】
此题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，以及含 角直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性
质是解觉本题的关键．
14．如图，在菱形 中，对角线 与 相交于点O， ，垂足为E点，若 ，则
________．
【答案】65°##65度
【解析】
【分析】
先根据菱形的邻角互补求出∠BAD的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAO的度数，然后根
据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
解：在菱形ABCD中，∠ADC=130°，
∴∠BAD=180°-130°=50°，
∴∠BAO= ∠BAD= ×50°=25°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°-∠BAO=90°-25°=65°．
故答案为：65°．
【点睛】
本题主要考查了菱形的邻角互补，每一条对角线平分一组对角的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟
练掌握性质是解题的关键．
15．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF=______．
【答案】
【解析】
【分析】
连接OP．由勾股定理得出AC=10，可求得OA=OB=5，由矩形的性质得出S ABCD=AB•BC=48，S AOB=
矩形
△
S ABCD=12，OA=OB=5，由S AOB=S AOP+S BOP= OA•PE+ OB•PF= OA（PE+PF）= ×5×
矩形
△ △ △
（PE+PF）=12求得答案．
解：连接OP，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB，AC= =10，
∴S ABCD=AB•BC=48，S AOB= S ABCD=12，OA=OB=5，
矩形 矩形
△
∴S AOB=S AOP+S BOP= OA•PE+ OB•PF= OA（PE+PF）= ×5×（PE+PF）=12，
△ △ △
∴PE+PF= ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形 是边长为1的正方形，顶点 分别在 轴的正半轴上．
点Q在对角线 上，且 ，连接 并延长 交边 于点P，则点P的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据正方形的性质得到对角线 ，结合题意推出 ，并由正方形的性质推出∠BPQ＝
∠BQP，得到 ，从而得到 ，即可得出结论．
解：∵四边形OABC是边长为1的正方形，
∴根据勾股定理，得对角线 ，
∵OQ＝OC，
∴ ，∠OCQ＝∠OQC，
∵OC//AB，
∴∠OCQ＝∠BPQ，
∵∠OQC＝∠BQP（对顶角相等），
∴∠BPQ＝∠BQP，
∴ ，
∴ ，
又 ∵OA＝1，∴点P的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查正方形的性质以及坐标与图形，理解正方形的基本性质，以及平面直角坐标系中点的基本特征是
解题关键．
17．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE翻折至△AFE，连接CF，则
CF的长为___．
【答案】3.6
【解析】
【分析】
连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根据勾股定
理求出答案．
解：连接BF，
∵BC＝6，点E为BC的中点，
∴BE＝3，
又∵AB＝4，
∴AE＝ ，
∴BH＝ ，则BF＝ ，
∵点E为BC的中点，
∴BE＝EC，
∵△ABE沿AE翻折至△AFE，
∴FE＝BE，
∴FE＝BE= EC，
∴∠CBF=∠EFB，∠BCF=∠EFC，
∴2∠EFB+2∠EFC=180°，
∴∠EFB+∠EFC=90°
∴∠BFC＝90°，
∴CF＝ ．
故答案为：3.6．
【点睛】
本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的
形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
18．如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB=3BE=6，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始
终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
过点E作EF∥MN，过点M作MF∥EN交EF于点F，证得当A、M、F三点在同一直线上时，AM+NE有最
小值，即为AF的长，过点M作MG⊥AB于点G，证明Rt ABE≌Rt MGN，得到△AEF是等腰直角三角形，
再利用勾股定理即可求解． △ △解：过点E作EF∥MN，过点M作MF∥EN交EF于点F，连接AF，如图：
则四边形MNEF为平行四边形，
∴MN=EF，MF=NE，MN∥EF，
∴AM+NE=AM+ MF AF，
∴当A、M、F三点在同一直线上时，AM+NE有最小值，即为AF的长，
过点M作MG⊥AB于点G，MN与AE相交于点O，如图：
∵四边形ABCD是正方形，MN⊥AE，
∴∠AON=∠B=90°，AB=BC=MG，
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∴Rt ABE≌Rt MGN，
∴AE△=MN， △
∵MN=EF，MN∥EF，
∴AE=MN=EF，AE⊥EF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∵AB=3BE=6，
∴BE=2，由勾股定理得AE= ，
∴AF= ，
即AM+NE的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，
正确的确定当A、M、F三点在同一直线上时，AM+NE有最小值，即为AF的长是解题的关键．
三、解答题
19．如图，菱形 的对角线 相交于点 且 ．求证：四边形 是矩形．
【答案】见详解
【解析】
【分析】
根据菱形的性质得出 ，再根据平行四边形的判定定理得四边形 为平行四边形，由矩形的定
义得出四边形 是矩形．
证明： 四边形 为菱形
四边形 为平行四边形，
平行四边形 是矩形．
【点睛】
本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定方法．20．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF＝AE，连接BF，AF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE＝2，DE＝4，求矩形BFDE的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）8 ．
【解析】
【分析】
（1）根据有一个角是90度的平行四边形是矩形即可判定．
（2）首先证明AD＝DF，求出AD即可解决问题．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴DF∥BE，
∵CF＝AE，
∴DF＝BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形．
（2）∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AFD，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
在Rt△ADE中，∵AE＝2，DE＝4，
∴AD＝ ＝ ＝2 ，
∴DF＝2 ，∴矩形BFDE的面积＝DF×DE＝2 ×4＝8 ．
【点睛】
此题主要考查矩形的判定以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.
21．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，点E是BC的中点，AE与BD交于点F，且F是AE的
中点．
（Ⅰ）求证：四边形AECD是菱形；（Ⅱ）若AC＝4，AB＝5，求四边形ABCD的面积．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）15.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先证四边形ADCE是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求AE=CE，即
可得四边形AECD是菱形；
（Ⅱ）由题意可求S =S = S ，即可求四边形ABCD的面积．
AEC ACD ABC
△ △ △
证明（Ⅰ）∵AD∥BC
∴∠ADB＝∠DBE
∵F是AE中点
∴AF＝EF且∠AFD＝∠BFE，∠ADB＝∠DBE
∴△ADF≌△BEF
∴BE＝AD
∵AB⊥AC，E是BC中点
∴AE＝BE＝EC
∴AD＝EC，且AD∥BC
∴四边形ADCE是平行四边形
且AE＝EC
∴四边形ADCE是菱形；
（Ⅱ）∵AC＝4，AB＝5，AB⊥AC
∴S ＝10
ABC
△∵E是BC中点
∴S ＝ S ABC＝5
AEC
△ △
∵四边形ADCE是菱形
∴S ＝S ＝5
AEC ACD
∴四△边形A△BCD的面积＝S
ABC
+S
ACD
＝15.
【点睛】 △ △
本题考查菱形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是利用三角形中线的性质求
三角形的面积．
22．已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF．
（1）求证：DE∥BF
（2）若四边形DEBF的面积为8，AE＝ ，则正方形边长为 ．
【答案】（1）详见解析；（2）4
【解析】
【分析】
（1）连接BD，交AC于点O，证明OE＝OF，得四边形DEBF是平行四边形，便可得DE∥BF；
（2）由正方形的性质得OA＝OD，进而得OD与OE的关系，由菱形的面积公式得OD与OE的关系式，
进而求得OD，OE，再由等腰直角三角形的性质求得正方形的边长．
（1）连接BD，交AC于点O，在正方形ABCD中，OB＝OD，OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OA−AE＝OC−CF，
∴OF＝OE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DE∥BF；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OD，OA⊥OD，
∴OD＝OE＋AE＝OE＋ ，
∵四边形DEBF是平行四边形，OA⊥OD，
∴四边形DEBF是菱形，
∵四边形DEBF的面积为8，
∴ BD•EF＝8，
即 ×2OD•2OE＝8，
∴OD•OE＝4，
∵OD＝OE＋ ，
∴OE＝ ，OD＝2 ，
∴AD＝ OD＝4，
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，菱形的面积公式，关键证
明四边形DEBF是平行四边形或菱形．
23．已知：如图，在四边形 中， 与 不平行， 分别是 的中点．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)①当 与 满足条件 时，四边形 是菱形；
②当 与 满足条件 时，四边形 是矩形．
【答案】（1）见解析；（2）① ；② ．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形中位线定理得到 ，EG∥AB， ，FH∥AB，根据平行四边形的判定定
理证明结论；
（2）①根据邻边相等的平行四边形是菱形解答；
②根据矩形的判定定理解答．
（1）证明：∵E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG是△DAB的中位线，
∴ 且 ，
同理： 且 ，
∴ 且 ，
∴四边形 为平行四边形；
（2）①当AB=CD时，四边形EGFH是菱形，
理由如下：
∵F，G分别是BC，BD的中点，
∴FG是△DCB的中位线，
∴FG= CD，FG∥CD，
当AB=CD时，EG=FG，
∴四边形EGFH是菱形；②当AB⊥CD时，平行四边形EGFH是矩形，
理由如下：
∵HF∥AB，
∴∠HFC=∠ABC，
∵FG∥CD，
∴∠GFB=∠DCB，
∵AB⊥CD，
∴∠ABC+∠DCB=90°，
∴∠HFC+∠GFB=90°，
∴∠GFH=90°，
∴平行四边形EGFH是矩形，
故答案为：①AB=CD；②AB⊥CD．
【点睛】
本题考查了中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形、菱形的判定定理是解题的关键．
24．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，MN垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点M，O，N，
连接BM，EN
(1)求证：四边形BMEN是菱形.
(2)若AE＝8，F为AB的中点，BF+OB＝8，求MN的长.
【答案】(1)证明见解析；(2)MN＝ .
【解析】
【分析】
(1)先根据线段垂直平分线的性质证明MB＝ME，由ASA证明△BON≌△EOM，得出ME＝NB，证出四边形
BMEN是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；
(2)根据已知条件得到AB+BE＝2BF+2OB＝16，设AB＝x，则BE＝16﹣x，根据勾股定理得到x＝6，求得BE＝16﹣x＝10，OB＝ BE＝5，设ME＝y，则AM＝8﹣y，BM＝ME＝y，根据勾股定理即可得到结论．
(1)证明：∵MN垂直平分BE，
∴MB＝ME，OB＝OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠MEO＝∠NBO，
在△BON与△EOM中， ，
∴△BON≌△EOM(ASA)，
∴ME＝NB，
又∵AD∥BC，
∴四边形BMEN是平行四边形，
又∵MB＝ME，
∴四边形BMEN是菱形；
(2)解：∵O，F分别为MN，AB的中点，
∴OF∥AD，
∴∠OFB＝∠EAB＝90°，
∵BF+OB＝8，
∴AB+BE＝2BF+2OB＝16，
设AB＝x，则BE＝16﹣x，
在Rt△ABE中，82+x2＝(16﹣x)2，
解得x＝6，
∴BE＝16﹣x＝10，
∴OB＝ BE＝5，
设ME＝y，则AM＝8﹣y，BM＝ME＝y，
在Rt△ABM中，62+(8﹣y)2＝y2，
解得y＝ ，在Rt△BOM中，MO＝ ＝ ，
∴MN＝2MO＝ ．
【点睛】
本题主要考查菱形的判定及性质，勾股定理，掌握菱形的判定方法及性质，结合勾股定理合理的利用方程
的思想是解题的关键．
25．在正方形ABCD中，AB＝4，点E是边AD上一动点，以CE为边，在CE的右侧作正方形CEFG，连
结BF．
（1）如图1，当点E与点A重合时，则BF的长为 ．
（2）如图2，当AE＝1时，求点F到AD的距离和BF的长．
（3）当BF最短时，请直接写出此时AE的长．
【答案】（1） ；（2）点F到AD的距离为3，BF= ；（3）2
【解析】
【分析】
（1）连接DF，证明△ADF≌△CDA，得出CDF共线，然后用勾股定理即可；
（2）过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，FH⊥BC交BC的延长线于K，证明△EHF≌△CDE，再用勾股定理即可；
（3）当B，D，F共线时，此时BF取最小值，求出此时AE的值即可．
解：（1）如图，连接DF，
∵∠CAF=90°，∠CAD=45°，
∴∠DAF=45°，
在△CAD和△FAD中，
，
∴△CAD≌△FAD（SAS），
∴DF=CD，
∴∠ADC=∠ADF=90°，
∴C，D，F共线，
∴BF2=BC2+CF2=42+82=80，
∴BF＝ ，
故答案为： ；
（2）如图，过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，FH⊥BC交BC的延长线于K，∵四边形CEFG是正方形，∴EC=EF，∠FEC=90°，
∴∠DEC+∠FEH=90°，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∴∠DEC+∠ECD=90°，
∴∠ECD=∠FEH，
又∵∠EDC=∠FHE=90°，
在△ECD和△FEH中，
，
∴△ECD≌△FEH（AAS），
∴FH=ED，
∵AD=4，AE=1，
∴ED=AD-AE=4-1=3，
∴FH=3，即点F到AD的距离为3，
∴∠DHK=∠HDC=∠DCK=90°，
∴四边形CDHK为矩形，
∴HK=CD=4，
∴FK=FH+HK=3+4=7，
∵△ECD≌△FEH，
∴EH=CD=AD=4，
∴AE=DH=CK=1，
∴BK=BC+CK=4+1=5，在Rt△BFK中，BF＝ ；
（3）∵当A，D，F三点共线时，BF的最短，
∴∠CBF=45°，
∴FH=DH，
由（2）知FH=DE，EH=CD=4，
∴ED=DH=4÷2=2，
∴AE=2．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定，关键是要作辅助线构造全等的三角形，在正方形和三角
形中辅助线一般是垂线段，要牢记正方形的两个性质，即四边相等，四个内角都是90°．
26．如图1，在矩形 中， ， ，点 为边 上一动点，连结 ，作点 关于直线
的对称点 ，连结 ， ， ， ， 与 交于点 ．
（1）若 ，求证： ．
（2）如图2，连结 ， ，若点 在矩形 的对角线上，求所有满足条件的 的长．
（3）如图3，连结 ，当点 到矩形 一个顶点的距离等于2时，请直接写出 的面积．【答案】（1）见解析；（2） 或 ；（3）①当点 到矩形顶点 的距离等于2时， 的面积
为 ；②当点 到矩形顶点 的距离等于2时， 的面积为 ；③当点 到矩形顶点 的距离等于
2时， 的面积为 ．
【解析】
【分析】
（1）因为点 关于 的对称点为点 ，得到 ，即点 为 的中点．因为 ， ，
得到点 为 的中点即可求解；
（2）分两种情况：①点 在对角线 上． ， ， ；②点 在对角线
上．求出DB 和AG ，再根据勾股定理即可求解；
（3）分三种情况：①当点 到矩形顶点 的距离等于2时．②当点 到矩形顶点 的距离等于2时．③当
点 到矩形顶点 的距离等于2时．
（1）证明：∵点 关于 的对称点为点 ，
∴ ，即点 为 的中点．
∵ ， ，
∴点 为 的中点，
∴ 为 的中位线．
∴ ．（2）分两种情况：
①如图1，点 在对角线 上．
∵点 关于 的对称点为点 ，
∴ ， ， ．
∴AC=5
设 ，
∴ ，
∴ ，即 ．
②如图2，点 在对角线 上．
∵ ， ，
∴ ．
∵S ABD=
△∴ ．
∴ ．
设 ， ，
∵DG2+GE2=DE2，
∴
∵S ADE=
△
∴
∴ ．
∴ ，即 ．
综上： 或 ．
（3）分三种情况：
①点 到矩形顶点A的距离等于2时
∵AF=AD=3＞2
∴此种情况不存在；
②当点 到矩形顶点 的距离等于2时，连接FB，
则BF=2，AF=AD=3
过F作FH⊥AB于H，FQ⊥BC于Q，如图，∴∠FHB=∠ABC=∠BQF=90°
∴四边形BHFQ是矩形
∴FQ=BH
设BH=x，则AH=4-x
∵FH2=AF2-FH2=FB2-BH2
∴4-x2=9-（4-x）2
∴x=
∴FQ=BH=
∴ 的面积为 = ．
③当点 到矩形顶点 的距离等于2时，如图，连接BF
则FC=2
∵AF+FC≥AC，又AF+FC=5，AC=5
∴AC+FC=AC
∴A，C，F三点共线，F在线段AC上
∵
∴ =
即 的面积为 ．
④当点 到矩形顶点 的距离等于2时，连接BF，过F点作MN AB则DF=2
∴DG=FG=1
∴AG=
∵
∴MF=
∴NF=MN-MF=4-
∴ 的面积为 = ．
综上①当点 到矩形顶点 的距离等于2时， 的面积为 ；②当点 到矩形顶点 的距离等于2
时， 的面积为 ；③当点 到矩形顶点 的距离等于2时， 的面积为 ．
【点睛】
此题考查了四边形的综合、轴对称的性质和矩形的性质，掌握它们的性质，根据题意作图分类讨论是解题
的关键．
