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专题突破卷 08 三角形中的“四心”问题
题型一：三角形的心的向量表示
1．已知点 在 所在平面内，且 ， ，
，则点 依次是 的（ ）
A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心
C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心
2．已知O是 所在平面上的一点，若
，则点O是 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
3．已知平面上四个点 ，其中任意三个不共线．若 ，则直线
一定经过三角形 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
4．在 中， 为 的重心， .则 （ ）A．1 B． C． D．
5．已知 ，若点P满足 ，其中 ，则点P的轨迹一定通过
的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
6．瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发
表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．
已知 ，为 所在平面上的点，满足
，
，则欧拉线一定过（ ）
A． B． C． D．
7．在 ABC中，O为BC的中点，若 ，则动点M的轨迹必通过 ABC的
△ △
（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
8．已知O，P，N在 所在平面内，满足 ，且
，则点P，O，N依次是 的（ ）
A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心
C．垂心，外心，重心 D．外心，重心，内心
9．已知G是 的重心，若 ，则
（ ）
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A． B． C． D．
10．已知 ，向量 ， ， 满足条件 ，|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|．
则 是（ ）
A．等腰直角三角形B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
题型二：根据向量关系判断三角形的心
11．下列说法正确的是（ ）
A．已知P在 所在平面内，满足 ，则点P是 的外心
B．长方体是平行六面体
C．已知 ， 是夹角为 的单位向量，且 ， ，则
D．在复平面内，已知平行四边形ABCD的顶点A，B，C，D对应的复数分别是 ，
， ，z，则
12．点 在 所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若 ，则点 为 的外心（外接圆圆心）
B．若 ，则动点 的轨迹一定通过 的重心
C．若 ， ， 分别表示 ， 的面积，则
D．若 ，则点 是 的
内心
13．已知点 在 所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若 为 的垂心，且 ，则
B．若 ，则 的面积与 的面积之比为C．若 ，则动点 的轨迹经过 的外
心
D．若E，F，G分别为 ， ， 的中点，且 ， ，则
的最大值为
14．设点O是 所在平面内任意一点， 的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c，已知点O不在 的边上，则下列结论正确的是（ ）
A．若点O是 的重心，则
B．若点O是 的垂心，则
C．若 ，则点O是 的外心
D．若O为 的外心，H为 的垂心，则
15．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．
奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：
已知M是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，且
．以下命题正确的是（ ）
A．若 ，则M为 的重心
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！B．若M为 的内心，则
C．若 ， ，M为 的外心，则
D．若M为 的垂心， ，则
16．在 中，有如下四个命题，其中正确的是（ ）
A．若 ，则 为锐角三角形
B． 内一点 满足 ，则 是 的重心
C．若 ，则 的形状为等腰三角形
D．若 ，则 必为 的垂心
17．下列结论正确的是（ ）
A．已知 是非零向量， ，若 ，则
B．向量 ， 满足 ， ， 与 的夹角为60°，则 在 上的投影向量为
C．点P在△ABC所在平面内，满足 ，则点P是△ABC的外心
D．以 为顶点的四边形是一个矩形
18．在 中， 是边 中点，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 是 在 上的投影向量
B．若点Q是线段AD上的动点，且满足 ，则 的最大值为
C．若O为 的外心，点P满足 ，则P为 的内心
D．若单位向量 满足 ，且 ，则
19．下列说法中，正确的是（ ）A．若 ，则 或
B．在平行四边形 中，
C．在 中，若 ，则 是钝角三角形．
D． 内有一点 ，满足 ，则点 是三角形的重心
20．如图，已知直线 ，点 是 ， 之间的一个定点，点 到 ， 的距离分别为1和
2，点 是直线 上的点，点 是直线 上的点，且 ，平面内一点 满足：
，则（ ）
A． 为直角三角形 B．
C． 面积的最小值是 D．
题型三：垂直关系的向量表示
21．下列关于平面向量的说法中错误的是（ ）
A．设 ， 为非零向量，若 ，则
B．设 ， 为非零向量，若 ，则 ， 的夹角为锐角
C．设 ， ， 为非零向量，则
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！D．若点 为 的外心，则
22．已知点 在 所在的平面内，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 为 的垂心
C．若 且 （ ， ），则
D．若 ， ， ，且 ，则 的值为
23．下列有关平面向量的说法中正确的是（ ）
A．已知 ， 均为非零向量，若 ，则
B．若 且 ，则
C．在 中，若 ，则点 为BC边上靠近 的三等分点
D．在平面四边形 中，若 ，则四边形 为矩形
24．下列有关向量的命题正确的是（ ）
A．若 均为非零向量，且 ，则
B．已知单位向量 满足 ，则
C．在 中，若 ，且 ，则 为等边三角形
D．若点 在 所在平面内，且 ，
则点 的轨迹经过 的外心．25．下列说法正确的是（ ）
A．
B． ，将 绕原点旋转 到 位置，则点 的坐标为
C．已知 ， ，则
D．点 在 所在平面内，且满足 ，则 是 的垂
心
26．下列叙述正确的是（ ）
A．在等边三角形 中， 与 的夹角为
B．若二非零向量 ， 满足 ，则
C．已知向量 ， ， ，若 ， ，则
D．若 为 所在平面内一点，且 ，则 为 的垂
心
27．已知 为 所在平面内的一点，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 且 ，则
B．
C． 与 的面积之比为
D． 与 的面积之比为
28．欧拉线定理指出三角形的外心､垂心､重心都在同一条直线士，且重心与外心之间的距
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！离是重心与垂心之间的距离的一半.设 分别是 的外心､垂心和重心，则（ ）
A． B．
C． D．
29．已知 ， 分别为该三角形的垂心、外心，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则 在 上的投影向量为
B．若 且 ，则
C．若 的内角 所对的边分别 ，则“ ”是“ 为
等腰三角形”的充分不必要条件
D．若 ，则
30．下列说法正确的（ ）
A．非零向量 ，若 与 共线，则
B．非零向量 满足 ，则
C．在 中，若 ，且 ，则 为等边三角
形
D．已知单位向量 满足 ，则
1．已知△ABC的重心为O，则向量 （ ）A． B． C． D．
2．O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足 ，
，则P的轨迹一定通过 的（ ）
A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心
3．在 中，设 ， ， 为 的重心，则用向量 和 为基底表示向量
（ ）
A． B． C． D．
4．设 为 的重心，则 （ ）
A．0 B． C． D．
5．边长为2的正 中，G为重心，P为线段BC上一动点，则 （ ）
A．1 B．2
C． D．
6．在平行四边形 中， 为 的重心， ，则 （ ）
A． B．2 C． D．3
7．在三棱锥P-ABC中，点O为 ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中
△
点，若 ， ， ，则 =（ ）
A． B． C． D．
8．已知 ， ， 是不在同一直线上的三个点， 是平面 内一动点，若
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！， ，则点 的轨迹一定过 的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
9．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N
两点，设x ＝ ，y ＝ ，则 的值为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
10．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足： ＝
，则直线AP一定通过△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
11．在 中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设 ，
，（ ， ），则 的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．2
12．在 中， ，G为 的重心，若 ，则 外接圆
的半径为（ ）
A． B．2 C． D．
13．记 内角 的对边分别为 ，点 是 的重心，若
则 的取值是（ ）A． B． C． D．
14．点 是 的重心， ，则 （ ）
A．32 B．30 C．16 D．14
15．已知点G为三角形ABC的重心，且 ，当 取最大值时，
（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知 为 的重心， ， ，则
的可能取值为（ ）
A． B．1 C． D．
17．如图， 是 所在平面内任意一点， 是 的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
18．已知 的重心为 ，过 点的直线与边 ， 的交点分别为 ， ，若
，且 与 的面积之比为 ，则 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．3
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19．在 中， 为重心， ， ，则 = .
20．已知等边 的重心为O，边长为3，则 .
21．已知 的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若 ，
，则 .
22．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若O为 的重心， ，
，则 .
23．在 中， ， ， ， 为 的重心， 在边 上，且
，则 ．
24．设 为 的重心，若 ，则
．
25．若点 为 的重心，且 ，则 的最大值为 ．
