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专题突破卷 07 导数与零点问题
1.讨论零点的个数
1．（ 2023春·广东江门·高二统考期末）已知函数 ，其中 ．
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)讨论函数 的零点个数．
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学科网（北京）股份有限公司2．已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)讨论函数 的零点个数．
3．已知函数 ，在点 处的切线方程是 .
(1)求 ， 的值；
(2)设函数 ，讨论函数 的零点个数.
4．（多选）已知函数 ，则（ ）
A． 是 的极值点 B． 是 的最小值
C． 最多有2个零点 D． 最少有1个零点
5．已知函数
(1)讨论函数 的单调性；
(2)讨论函数 的零点个数．
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学科网（北京）股份有限公司6．已知函数 ， .
(1)讨论 零点的个数；
(2)当 时，若存在 ，使得 ，求证： .
2.已知零点个数求参数
7．已知函数 ，若函数 的图象与曲线 有三个交点，则 的取值范围是______.
8．已知函数 （e为自然对数的底数，a∈R）有3个不同的零点，则实数a
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数 若 恰有两个零点，则 的取值范围为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
10．已知函数 .
(1)若 ，求 的最小值；
(2)若 的图象与直线 在区间 上有两个不同交点，求a的取值范围.
参考数据： .
11．已知函数 ， .
(1)求 的单调区间；
(2)若 有两个零点，求 的取值范围.
12．已知函数 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 对 恒成立，求a的取值范围；
(3)证明：若 在区间 上存在唯一零点 ，则 ．
3.证明零点个数
13．已知函数 .
(1)求 的单调区间：
(2)求证： 在区间 上有且仅有一个零点.
14．已知函数 .
(1)若 ，求 在 处切线方程；
(2)求 的极大值与极小值；
(3)证明：存在实数 ，当 时，函数 有三个零点.
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学科网（北京）股份有限公司15．（ 2023春·广东广州·高二统考期末）已知函数 .
(1)若函数 与 的图象有一条斜率为1的公切线，求 的值；
(2)设函数 ，证明：当 时， 有且仅有两个零点.
16．已知函数 ，其中 .
(1)若 ，求函数 在 上的最值；
(2)当 时，证明： 在 上存在唯一零点.
17．设函数 ，若曲线 在 处的切线方程为 ．
(1)求实数 的值．
(2)证明：函数 有两个零点．
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学科网（北京）股份有限公司(3)记 是函数 的导数， ， 为 的两个零点，证明： ．
18．已知函数 ．
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 ，证明：方程 仅有1个实根．
4.存在零点求参数
19．若函数 有零点，则实数 的取值范围是________.
20．已知函数 存在零点a，函数 存在零点b，且 ，则实数m
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．若函数 有零点，则实数 的取值范围是________.
22．（ 2023春·北京通州·高二统考期中）已知函数 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求 的零点；
(2)设 ， ．
（ⅰ）若 在区间 上存在零点，求a的取值范围；
（ⅱ）当 时，若 在区间 上的最小值是0，求a的值．
23．已知函数 ．
(1)若 ，证明： 恒成立．
(2)若 存在零点，求a的取值范围．
5.与三角函数有关的零点
24．函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
25．已知函数 .
(1)求函数 在区间 上的最小值；
(2)判断函数 的零点个数，并证明.
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学科网（北京）股份有限公司26．已知函数 ．
(1)若 ，求函数 在点 处的切线方程；
(2)若函数 在区间 内有两个不同的零点，求a的取值范围．
27．已知 .
(1)求函数 的值域；
(2)当 时，
①讨论函数 的零点个数；
②若函数 有两个零点 ， ，证明 .
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学科网（北京）股份有限公司28．已知函数 .
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)当 时，证明：对任意的 ， ；
(3)讨论函数 在 上零点的个数.
29．已知函数 .
(1)当 时，证明： ；
(2)若函数 在 上只有一个零点，求实数a的取值范围.
30．已知函数 .
(1)求证：当 时， ；
(2)求函数 在 上的零点个数.
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学科网（北京）股份有限公司6.隐零点问题
31．已知函数 ，其中 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，设 ，
（ⅰ）证明：函数 在区间 内有唯一的一个零点；
（ⅱ）记（ⅰ）中的零点为 ，求证： ．
32．已知函数 ，其导函数为 .
(1)若不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围：
(2)当 时，证明： 在区间 上有且只有两个零点.
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学科网（北京）股份有限公司33．已知函数 为 的导函数．
(1)判断函数 在区间 上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理
由；
(2)求证：函数 在区间 上只有两个零点．
34．设函数
(1)当 时，求证：
(2)若 有唯一零点，求正实数 的取值范围.
35．已知函数 ，若 在 存在零点，则实数 值可以是（ ）
A． B． C． D．
36．已知函数 在区间 内有唯一极值点 .
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明： 在区间 内有唯一零点 ，且 .
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学科网（北京）股份有限公司1．设函数 ，则“ ”是“ 有 个零点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知 ，若关于x的方程 存在正零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 .
①若 ，不等式 的解集为______；
②若函数 恰有两个零点，则实数 的取值范围为______.
4．给定方程： ，则下列命题中：
①该方程没有小于0的实数解；
②该方程有无数个实数解；
③该方程在 内有且只有一个实数解；
④若 是该方程的实数解，则 .
正确的命题是________．
5．已知函数 ，e是自然对数的底数，若 恰为 的极值点.
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学科网（北京）股份有限公司(1)求实数a的值；
(2)求 在区间 上零点的个数.
6．已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)设函数 ，求证:当 时， 恰有两个零点.
7．已知函数 在 上的最小值为 ．
(1)求a的值；
(2)若函数 有3个零点，求实数b的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司8．已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 在 上零点的个数．
9．设函数 ，曲线 在点 处取得极值．
(1)求实数a的值；
(2)求函数 的单调区间；
(3)令函数 ，是否存在实数k使得 没有零点？若存在，请求出实数k的范围；若不存在，
请说明理由．
10．已知函数 .
（1）讨论 在 上的单调性；
（2）当 时，求 在 上的零点个数.
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学科网（北京）股份有限公司11．已知函数 ， ， 为 的导数，证明：
（1） 在区间 上有唯一零点；
（2） 有且仅有两个零点．
12．已知设函数 .
（1）若 ，求 极值；
（2）证明：当 ， 时，函数 在 上存在零点.
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