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相似三角形基本模型综合训练卷（二）
基础满分训练
1．如图，将5个全等的等腰三角形拼成内外两个大小不同的正五边形图案，设小正五边形边长为1，则大
正五边形边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在正五边形 中， ，
∵将5个全等的等腰三角形拼成内外两个大小不同的正五边形图案，
∴ ，
如图，作 的平分线CD交AB于D，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
故选：D．
2．如图，菱形ABCD中，AB＝2 ，∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若
BG＝4，则BE的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【详解】解：过点G作GM⊥BC于点M，过点C作CN⊥AD于点N，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝ ，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC，∴∠MGN＝90°，
∴四边形GMCN为矩形，∴GM＝CN，在△CDN中，∠D＝60°，CD＝ ，
∴CN＝CD•sin60°＝ ，∴MG＝3，
∵四边形BEFG为矩形，∴∠E＝90°，BG∥EF，∴∠BCE＝∠GBM，
又∵∠E＝∠BMG，
∴△GBM∽△BCE，∴ ，∴ ，
∴BE＝ ，故选：B．
3．如图，在矩形 中， ， ，点 、 、 、 分别在矩形 的各边上，
，则四边形 的周长是（ ）
A． B．13 C． D．
【答案】D
【详解】解：在矩形 中， ， ，
∴AC=BD= ，
∵ ，∴△BEF∽△BAC，∴ ，
∵ ，∴△AEH∽△ABD，∴ ，
∴ =1，∴EF+EH=AC= ，
∵ ，∴四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH的周长=2（EF+EH）= ，
故选：D．
4．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，连结AD，将△ACD沿AD翻折，得到△AED，AE交BD于点F．若BD＝2DC，AB＝AD，AF＝2EF，CD＝2，△DFE的面积为1，则点D到AE的距离为 _____．
【答案】
【详解】解：如图，过点A作AG⊥BC，垂足为点G，过点D作DH⊥AE，垂足为点H，
∵AF＝2EF，S DFE＝1，∴S ADF＝2S DFE＝2，
△ △ △
∵△AED由△ACD沿AD翻折得到，
∴DE＝DC＝2，∠E＝∠C，S ADC＝S ADE＝S ADF+S DEF＝1+2＝3，
△ △ △ △
∵BD＝2DC＝4，∴S ABD＝2S ADC＝2×3＝6，
△ △
∴ BD•AG＝6，即 ×4×AG＝6，∴AG＝3，
∵AB＝AD，AG⊥BC，∴BG＝DG＝ DB＝2，
∴CG＝CD+DG＝2+2＝4，∴AC＝ ＝ ＝5，
又∠DHE＝∠AGC＝90°，∴△DHE∽△AGC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得DH＝ ，∴点D到AE的距离为 ．故答案为： ．
5．如图，点 为正方形 中的一点， ， ，连接 ，则 的面积为______．【答案】18
【详解】解：过点E作 ，如图：
∵在正方形 中，∴∠ADC=90°，AD=CD，∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，∴△CDE∽△DEF，
∴ ，即 ，∴ ，∴ ，
∴ 的面积为： ；
故答案为：18；
6．如图，在 中， ， ，且 ，在 上取一点 ，使得 ，过点
作 于点 ，则 ________．
【答案】
【详解】解：过点 作 于点 ，设 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 平分 ，∴ ，
∵ ， ，且 ，
∴ ， ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵在 中， ，
∴ ， ，∴ ，
解得： ， （不合题意，舍去），∴ ．
故答案为： ．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点D'处，折痕
为EF，则DD'的长为 _____．
【答案】
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB= CD=6，∵AD′=CD，∴AD′=6；连接AC，
∵AB=6，BC=AD=8，∠ABC=90°，
∴由勾股定理得： ，
∵∠BAF=∠D′AE=90°，∴∠BAE=∠D′AF，
在△BAE和△D′AF中 ，
∴ （ASA），
∴D′F=BE，∠AEB=∠AFD′，∴∠AEC=∠D′FD，
由题意知：AE=EC；
设BE=x，则AE=EC=8-x，
在Rt ABE中，∠B=90°，由勾股定理得：（8-x）2=62+x2，解得： ，
△
∴BE= ，AE=8- = ，
∴ ，则： ，
∵∠AD′F=∠D′AE=90°，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
故答案为 ．
8．如图，点 是平行四边形 的 边的中点， ， 、 相交于点 ，则
________．【答案】1:7
【详解】如下图，延长EF，CD，相交于H点，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴ ∽ , ∽ ,
∵
∴
∵点E是AB的中点，
∴
∴
∴ ，∴
9．如图，将正方形 的边 延长到 ，使 ， 与 边相交于 点，那么 的值
是________．
【答案】
【详解】解：设正方形的边长是1，
则 ，∴ ，
∵正方形ABCD，∴CD∥AB，∴ ECF∽ EBA，∴ ，
△ △故答案为： ．
10．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把 沿着AD翻折，得到 ，DE
与AC交于点G．连接BE交AD于点F．若 ，点F到BC的距离为 ，则
的面积为________．
【答案】2
【详解】过点F作FM⊥BC于M，
由点F到BC的距离为 ，∴FM=
又根据折叠可知，∆ADB ∆ADE，AD⊥BE，
≅
在Rt BFM中，BM= ，
∆
∵FM⊥BC，∴∠FMB=∠FMD=90°，∴∠FBD+∠FDB=90°，
而∠DFM+∠FDB=90°，∴∠FBD=∠DFM
∴∆BFM∽∆DFM，∴ ，∴ ，DF=1
∴AD=AF+DF=3+1=4，∴S ABD=S AED= AD∙BF=
∆ ∆又∵DG=EG，∴S ADG=
∆
故答案为：2
11．如图，在矩形 中， ， ，点 在边 上，且 连接 ，将 沿 折
叠，若点 的对应点 落在矩形 的边上，则 的值为______ ．
【答案】 或
【详解】解：分两种情况：①当点 落在 边上时，如图 ，
四边形 是矩形， ，
将 沿 折叠，点 的对应点 落在 边上，
，
， ， ；
②当点 落在 边上时，如图 ．
四边形 是矩形，， ．
将 沿 折叠，点 的对应点 落在 边上，
， ， ，
， ，
， ，
∽ ， ，
解得 ， 舍去 ．
综上，所求 的值为 或 ，
故答案为： 或 ．
12．【基础巩固】
(1)如图 ，在 中， 为 上一点， ．求证： ．
【尝试应用】
(2)如图 ，在平行四边形 中， 为 上一点， 为 延长线上一点． ，若 ，
，求 的长．
【拓展提高】
(3)如图 ，在菱形 中， 是 上一点， 是 内一点． ， ，
，直接写出线段 与线段 之间的数量关系．【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3)
【解析】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ．
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ．
（3）解：如图，延长 、 交于 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
13．阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在 ABC中，点D在线段BC上，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝2，
BD＝2DC，求AC的长． △
小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，经过推理和计算能够使问题得到解决，如图2．
(1)请回答：∠ACE的度数为 ，AC的长为 ．
(2)参考小腾思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠CAD＝30°，∠ADC＝75°，AC与BD交于点E，AE＝2，BE
＝2ED，求BC的长．
【答案】(1)75°，3；(2)
【解析】（1）解：∵CE∥AB，∴∠BAD＝∠AEC＝75°，∠ABC＝∠BCE，∴∠ABC＋∠ACB＝∠BCE＋
∠ACB＝∠ACE＝180°−75°−30°＝75°，∴AE＝AC，又∵CE∥AB，∴ ABD∽ ECD，∴ ，∵BD
△ △
＝2DC，∴AD＝2DE＝2，∴DE＝1，∴AE＝AD＋DE＝3，∴AC＝AE＝3，故答案为：75°，3；
（2）如图，过点D作DF⊥AC于点F，∴∠DFA=90°，∵∠BAC＝90°＝∠DFA，∴AB∥DF，
∴△ABE∽△FDE，∴ ，∴EF＝1，AB＝2DF，在 ACD中，∠CAD＝30°，∠ADC＝
△
75°，∴∠ACD＝75°，∴AC＝AD，在Rt AFD中，AF＝2＋1＝3，∠FAD＝30°，∴DF＝AF·tan30°＝ ，
△
AD＝2DF＝ ，∴AC＝AD＝ ，AB＝2DF＝ ，∴BC＝ ．14．解答
(1)如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求
证： ；
(2)如图2，在满足（1）的条件下，点M，N分别在边BC，CD上，若 ，求 的值；
(3)如图3四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，，求
的值．
【答案】(1)见解析；(2) ；(3)
【解析】（1）解：过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP＝
EF，GH＝BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT+∠AQT＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝
∠D＝90°，∴∠DAP+∠DPA＝90°，∴∠AQT＝∠DPA．∴△PDA∽△QAB，∴ ，∴
；
（2）如图2，
∵EF⊥GH，AM⊥BN，∴由（1）中的结论可得 ， ，∴ ．
（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，
则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC＝90°，∴▱ABSR是矩形，∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS．∵AM⊥DN，∴由（1）中的结论可得 ．设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝5+x，RD＝10﹣
y，∴在Rt CSD中，x2+y2＝25①，在Rt ARD中，（5+x）2+（10﹣y）2＝100②，由②﹣①得x＝2y﹣
△ △
5③，解方程组 ，得 ，（舍去），或 ，∴AR＝5+x＝8，∴ ．
15．四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这
条对角线称为这个四边形的“理想对角线”．
(1)如图1，在四边形 中， ， ， ，当 时．求证：对角线
是四边形 的“理想对角线”；
(2)如图2，四边形 中， 平分 ， ， ，对角线 是四边形 的“理想对角
线”，求 的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）证明：如图1中，∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴对角线 是四边形 的“理想对角线”．（2）
解：如图2中，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵对角线 是四边形 的“理想对角线”，
∴ 与 相似，
①若 ，则 ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ， （不合题意，舍去）
②若 ，
∵ ， ，
∴ ，与四边形的“理想对角线”的定义矛盾，
∴ 与 不相等，即第二种情况不存在．
综上所述， 的长为 ．
