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相似三角形基本模型综合训练卷（三）
基础满分训练
1．如图，在Rt ABC纸片中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，将
ADE沿DE翻△折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则CF的长为（ ）
△
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：在Rt ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得：AB= =5，
△
∵将 ADE沿DE翻折得 DEF，∴AD=DF，∠A=∠DFE，
∵FD△平分∠EFB，∴∠D△FE=∠DFH，∴∠DFE=∠A，
∵∠B=∠B，∴△ABC∽△FBD，∴ ，
设BD=m，则AD=DF=5-m，
∴ ，解得m= ，BF= ，∴CF=BF-BC= -3= ，
故选：A．
2．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是 ，点B的横坐标为 ，则矩形AOBC的面积为（ ）
A． B．5 C． D．3
【答案】A
【详解】分别过A、B两点作x轴的垂线，垂足分别为E、M，如图所示，∴∠AEO=∠BMO=90゜，∴∠AOE+∠OAE=90°，
∵四边形AOBC是矩形， ∴∠AOB=90°，
∴∠AOE+∠BOM=90°，∴∠OAE=∠BOM，∴△AOE∽△OBM，∴ ．
∵点A的坐标是 ，点B的横坐标为 ，
∴OE=2，AE=1， ，∴ ，
分别在Rt AOE、Rt BOM中，由勾股定理得： ， ，
△ △
∴矩形AOBC的面积为： ，
故选：A．
3．如图，在 中， ， ， ，点P是边 上一动点，点D在边 上，且
，则 的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：延长 到点 ，使得 ，再连接 ， ，过 作 于点 ，如图，， ， ，
，
，
，
，
， ，
，
∴ ，
，
， ，
，
，
，
当点 、 、 三点共线时，取等号，
∴ 为 的最小值．
故选：C．
4．如图， ，∠D＝90°，AD＝2，BC＝3，CD＝7，若在边DC上有点P．使以P、A、D为顶点的
三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似，则这样的P点有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：∵AD∥BC，∠D=90°，
∴∠C=∠D=90°，
∵DC=7，AD=2，BC=3，
设PD=x，则PC=7-x．
①若PD：PC=AD：BC，则 PAD∽△PBC，
△
则 ，
解得：x= ，
∴PD= ；
②若PD：BC=AD：PC，则 PAD∽△BPC，
△
则 ，
解得：x=1或x=6，
∴PD=1或6，
所以这样的点P存在的个数有3个．
故选：C
5．如图，点E，F，G分别在正方形 的边 ， ， 上， ．若 ，则
，则正方形边长为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【详解】解：设正方形ABCD的边长为x，则AB=AD=x，
∵DF=1，
∴AF=AD-DF=x-1，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAG+∠FAG=90°，
∵AG⊥EF，
∴∠AFE+∠FAG=90°，
∴∠BAG=∠AFE，
∵∠B=∠BAD=90°，
∴△AEF∽△BGA，
∴ ，
∵AE=1，BG=1.2，
∴ ，解得：x=6，
即正方形的边长为6．
故选：D
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，AC＝6，CD＝3，BD＝5．CF⊥AD，垂足为F，CF
与AB相交于点E，则BE的长是______．【答案】4
【详解】解：过点B作BH⊥AD交AD延长线于点H，如图：
∵∠ADC＝∠BDH，∠H＝∠ACB＝90°，
∴△ACD∽△BHD，
∴ ．
∵∠ACB＝90°，AC＝6，CD＝3，
∴ ，
∴ ，
∴BH＝2 ，DH ，
，
∴ ，
，
∴∠CAD＝∠BAH．
∵CE⊥AC，
∴AC＝AE＝6，
∵AB 10，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4．
故答案为：4．
7．如图，在等腰 中， 垂直 于点D， 垂直 于点E， 与 交于点P，，则 ________．
【答案】
【详解】解：过点D作DG⊥AC于G，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，即点D是BC的中点，
∵BE⊥AC，DG⊥ACM
∴DG BE，∴GC=EG，∴DG是 BCE的中位线，
△
∴DG= BE= (BP+PE)= (3+1)=2，
∵PE DG，∴ ADG∽ APE，∴ ，
△ △
设EG=x，则EC=2x，AE=EG=x，
∵∠ADC=∠AEP=90°，∴∠C+∠CBE=∠C+∠PAE=90°，∴∠CBE=∠PAE，
∵∠AEP=∠BEC=90°，∴ APE∽ BCE，
△ △
∴ ，即 ，解得：x= 或x=- (不符合题意，舍去)，∴EG= ，∴S BPD= ，
△
故答案为： ．
8．如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝ ，
CD＝2，则△ABE的面积为_________．
【答案】
【详解】解：过点D作DF⊥AC于点F，
∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴ ，
∵∠ADC＝90°，CD=2，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵DF∥BC，∴△DEF∽△BEC，
∴ ，即 ，解得： ，∴ ，
∴ ．
故答案为：
9．一张矩形MNPQ纸片按如图所示的方式折叠，使得顶点Q与N重合，折痕为AB，MN=3，MQ=9，则
折痕AB的长度为______．
【答案】
【详解】解：连接NQ，如图所示：
∵四边形MNPQ为矩形，
∴ ， ，
∴ ，
由折叠可知，AB垂直平分NQ，∴ ，
，
∵ ，∴ ，∴ ，
即 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵在 和 中 ，
∴ ，
∴AO=BO，
∴ ．
故答案为： ．
10．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且AE＝2CE，点H为边AB上一点，且BH＝
2AH，连接DH与AC相交于点G，过点E作EF⊥DH于点F，若AB的长为9，则EF的长为_______．【答案】
【详解】如图，过点A作AM⊥DH于点M，
∵在正方形ABCD中，AB=9
∴AB=BC=CD=AD=9，∠B=∠BAD=90°，AB∥CD
∴
∴∠CAB=∠ACD，∠CDH=∠DHA
∴△AGH∽△CGD
∵BH＝2AH
∴AH=3
∴
∴
∵AE＝2CE
∴
∴
∵EF⊥DH， AM⊥DH
∴∠EFG=∠AMG=90°
∴△EFG∽△AMG∴
∵在Rt ADH中，
△
∴
∴
∴
故答案为： ．
11．如图，在 ABC中，AB=8，AC=6．点D在边AB上，AD=4.5． ABC的角平分线AE交CD于点F．
△ △
(1)求证： ACD∽△ABC；
△
(2)求 的值．
【答案】(1)见解析；(2)3
【解析】（1）证明：∵AB=8，AC=6，AD=4.5，
∴ ．
又∵∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC；
（2）
解：∵△ACD∽△ABC，
∴∠ACD=∠B．
∵AE平分∠BAC，∴∠CAF=∠BAE，
∴△ACF∽△ABE，
∴ ．
∴ ，即 ．
12．如图，矩形 中， ， ，动点 从点 出发，沿 边以 的速度向点
匀速移动，动点 从点 出发，沿 边以 的速度向点 匀速移动，一个动点到达端点时，另一个
动点也停止运动，点 ， 同时出发，设运动时间为 ．
(1)当 为何值时， 的面积为 ？
(2) 为何值时，以A， ， 为顶点的三角形与 相似．
【答案】(1) ；(2) 或
【解析】（1）由题意知， ， ，
的面积为 ，
，
解得 或 ，
，
时， 的面积为 ；
（2） ，
当 或 时，以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，
或 ，解得 或 ，
或 时，以A， ， 为顶点的三角形与 相似．
13．如图，正方形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，以AE，AF为边作正方形AEGF．
(1)在图1中，线段DF与CG之间有怎样的数量关系？说明理由.
(2)在图2中，将正方形AEGF绕点A顺时针旋转一定角度（旋转角小于90°）后，得到正方形AE'G'F'，连
接DF'，CG'，则线段DF′与CG′之间的数量关系是否仍然成立，请说明理由．
【答案】(1) ，理由见解析；(2) ，结论仍然成立，理由见解析
【解析】(1)解： ，理由：如图1，分别连结AG，AC，
∵四边形ABCD为正方形，四边形AEGF为正方形，
∴∠FAG=∠DAC＝45°， ，∴点A、点G、点C在一条直线上，
∵∠AFG=∠ADC＝90°，∴FG∥CD，∴ ，
∴ ；
(2)解： ，结论仍然成立．
理由：如图，连接AC，AG'．
在正方形ABCD中， ，∠CAD＝45°，
在正方形AE′G′F′中， ，∠G'AF'＝45°，
∴ ，
∵∠CAD﹣∠CAF'＝∠G'AF'﹣∠CAF'，即∠DAF'＝∠CAG'，
∴△ACG′∽△ADF'，
∴ ，
∴ ．
14．在 中， ，点D、E分别在AC、BC边上．(1)如图1，若D、E分别为边AC、BC的中点，连接DE，则 ______；
(2)如图2，若D为AC边上任意一点， ，则 ______；
(3)如图3，在图2的基础上将 绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，猜想 的值，并证明你的结
论；
(4)如图4，在（3）的条件下，当将 旋转，使点E在线段AD上时，若 ，请直接写出BE的长，
不必写出求解过程．
【答案】(1) ；(2) ；(3) ，理由见解析；(4)
【解析】（1）∵ ，
，
∵D、E分别为边AC、BC的中点，
， ，故答案为： ；
（2） ， ，故答案为： ；
（3） ，理由如下：如图2， ， ，
， ， ，
在图2的基础上将 绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，
， ， ；
（4）将△DEC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，∴∠ABC=∠CED=90°， ，
， ，即 ，∴DE=3，∴AD=DE+AE= ，
∵ ， ．
15．矩形ABCD中，E为AB边上的中点， AF⊥DE，交AF于点G．
(1)若矩形ABCD是正方形，
①如图1，求证：△ADG∽△EAG；
②如图2，分别连接BG和BD，设BD与AF交于点H．求证：BG2=AG·DG；
(2)类比：如图3，在矩形ABCD中，若 ， BG=5，求AG的长．
【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；(2)4
【解析】（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠DAG+∠BAF=90°，
∵DE⊥AF，∴∠AGD=∠AGE=90°，∴∠DAG+∠ADG=90°，
∴∠ADG=∠BAF，∴△ADG∽△EAG；
②如图所示：过点B作BN⊥AF于点N，
∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∵∠BAF=∠ADE，∠AGE=∠ANB=90°，∴△ABN≌△DAG，
∴AG=BN，DG=AN，∴∠AGE=∠ANB=90°，∴EG∥BN，
∵点E为AB的中点，∴AE=BE，∴AN=2AG=2GN=DG，
∵ ，∴ ；
（2）如图所示，过点B作BM⊥AF于点M，
∴∠AMB=90°，
∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，
∵DE⊥AF，∴∠DAF+∠ADE=90°，∠BAD=∠AMB=90°，
∴∠BAF=∠ADE，∴△DAE∽△AMB，∴ ，点E是AB中点，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
由（1）②中证明可得：AG=GM，AM=2AG，
∴ ，
∴ ，
∵BG=5，
∴AG=4．
