文档内容
第 01 讲 期中复习专题：选择题和填空题之易错压轴题
目录
【考点一 与等腰三角形有关的多解题】................................................................................................................1
【考点二 与直角三角形有关的多解题】................................................................................................................5
【考点三 等腰、直角三角形中的多结论问题】..................................................................................................12
【考点四 利用不等式的基本性质判断正误】......................................................................................................19
【考点五 一元一次不等式（组）含参数问题】..................................................................................................22
【考点六 方程与不等式（组）结合含参数问题】..............................................................................................25
【考点七 中心对称图形的判断】..........................................................................................................................27
【考点八 点坐标平移和旋转求解问题】..............................................................................................................29
【考点九 图形旋转求解问题】..............................................................................................................................32
【考点十 旋转规律探究问题】..............................................................................................................................36
【考点一 与等腰三角形有关的多解题】
例题：（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，已知点 为射线 上一动点，已知 ，若
为等腰三角形，则 的度数为 ．
【答案】 或 或
【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理；熟练掌握等腰三角形的判定与性质
是解题的关键．分三种情况：① 时；② 时；③ 时．
【详解】解：分三种情况：
① 时，
则 ；
② 时，
则 ，
∴ ；
③ 时，
则 ；
综上所述，若 为等腰三角形，则 的度数为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
【变式训练】1．（24-25八年级上·江西赣州·期中）等腰三角形的一边长是6，另一边长是10，则该等腰三角形的周长是
．
【答案】22或26/26或22
【知识点】等腰三角形的定义
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义．分两种情况解答即可求解．
【详解】解：若腰长为6，此时该等腰三角形的周长是 ；
若腰长为10，此时该等腰三角形的周长是 ；
综上所述，该等腰三角形的周长是22或26．
故答案为：22或26
2．（24-25八年级上·山东济宁·期中）等腰三角形的一个外角是 ，则它的顶角的度数是 ．
【答案】 或
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题考查等腰三角形，分两种情况：顶角的外角是 和底角的外角是 ，利用外角的定义、
等腰三角形的定义及三角形内角和定理分别计算即可．
【详解】解：分两种情况：
（1）当顶角的外角是 时，顶角的度数为： ；
（2）当底角的外角是 时，底角的度数为： ，
顶角的度数是： ，
故答案为： 或 ．
3．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）在 中， ， ，点D在 边上，连接 ，
若 为直角三角形，则 的度数为 ．
【答案】 或
【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．解答本题的关键是明确题意，利用等腰三
角形的性质和分类讨论的数学思想解答．
由题意可求出 ，故可分类讨论①当 时和②当 时，进而
即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ．
∵ 为直角三角形，
∴①当 时，如图，∴ ；
②当 时，如图，
∴
∴ ．
综上可知 的度数是 或 ．
故答案为： 或 ．
4．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）在古代文明中，人们开始观察并研究各种自然形状和图案，其中包
括等腰三角形．古希腊数学家对几何学进行了系统的研究，并提出了许多与等腰三角形相关的定理和性质．
已知等腰三角形的一边长为 ，且它的周长为 ，则它的底边长为 ．
【答案】 或
【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，分长为 的边分别为腰和底边，两种情况进行讨论
求解即可．
【详解】解：当长为 的边为腰时，底边长为： ，
此时： ，三边能构成三角形，符合题意；
当长为 的边为底边时，腰长为： ，
此时： ，三边能构成三角形，符合题意；
故答案为： 或 ．
5．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图， 中， 是射线 上的动点，连接
，令 ，将 沿 所在射线 翻折至 处，射线 与射线 相交
于点 ．若 是等腰三角形，则 的度数为 ．【答案】 或 或
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、三角形内角和定理的应用、折叠问题
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解
题的关键．分情况讨论，利用折叠的性质知 ， ，再画出图形，利用三角
形的外角性质列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知 ， ，
当 时，如图所示：
则
由三角形的外角性质得 ，即 ，
∴此情况不存在；
当 时，如图所示：
∵ ，
∴ ，
由三角形的外角性质得： ，
解得 ；
当 时，如图所示：
则∴ ，
由三角形的外角性质得 ，
解得 ；
当 时，如图所示：
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上， 的度数为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
【考点二 与直角三角形有关的多解题】
例题：（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图在 中， ， ， ，点 是 边
上的一个动点，点 与点 关于直线 对称，连接 ， ， ，当 是直角三角形时，求
的长为 ．
【答案】 或
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质．如图1，作 于 ，则
，由勾股定理得， ，由题意知，当 是直角三角形时， ，分
① 在 上，② 在 上，两种情况求解即可．
【详解】解：如图1，作 于 ，∵ ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
由题意知，当 是直角三角形时， ，
①当点 在 上时，如图1， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ；
②当点 在 上时，如图2， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ，
综上所述， 的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在 中， ， ， 是射线 上的一个
动点，连接 ，将 沿着 翻折得到 ，当 的三边与 的三边有一组边垂直时，
则 ．【答案】70或45或25
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、折叠问题
【分析】本题主要考查了折叠中的角度问题，直角三角形想性质，垂直的定义，掌握折叠的性质和进行分
类讨论是解题的关键．分当 时，当 时，当 时，画出对应的图形，根据三角形
内角和定理和折叠的性质求解即可．
【详解】解：当 时，如图，
，
由折叠性质，知 ，
，
；
当 时，如图，
由折叠性质，知 ，
；
当 时，如图，由折叠性质，知 ，
；
当 时与当 时相同，
综上所述， 的度数为 或 或 ．
故答案为：45或25或70．
2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点 为直线 上的一个动点， 于 点， 于 点，
点 在点 右侧，并且点 、 在直线 同侧， ， ，当 长为 时， 为
直角三角形．
【答案】 或 或
【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理．作 于 ，根据矩形的性质得到 ，
，根据勾股定理用 表示出 、 ，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到
答案．
【详解】解：作 于 ，
则四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
，，
当 为直角三角形时， ，
即 ，
解得， ；
同理可得：当 时，
由勾股定理得， ，
，
，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
当 时，
由 得： ，
解得： ，
综上： 的长为： 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
3．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，已知在 中， ， ， ， 是
上的一点， ，点 从 点出发沿射线 方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点 的运动时
间为 ．过点 作 于点 ．在点 的运动过程中，当 为 时，能使 ？
【答案】3或9
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用；运用勾股定理构建方程是
解题的关键．①当点P在点C左侧时，如图， ，可证 ．得 ，可求
； 中，运用勾股定理构建方程 ，解得 ；②当点P在点C右侧
时，如图，连接 ，同理，可得 ， ，同法构建方程 ，解得 ．
【详解】解：①当点P在点C左侧时，如图， ，
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
中， ， ， ．
中， ，
∴ ，解得 ；
②当点P在点C右侧时，如图，
连
连接 ，同理，可得 ，
中， ， ，
∴ ，解得
综上， 或 时， ．
故答案为：3或9．
4．（22-23八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在 中， ， ， 是 边上的动
点，点 关于直线 的对称点为 ，连接 交 于 ，当 为直角三角形时， 的长是
．【答案】 或
【知识点】用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解、直角三角形的两个锐角互余、三线
合一
【分析】分两种情况讨论： 当 时，由三线合一可得 ，由勾股定理可得
，由轴对称的性质可得 ， ，进而可得 ，设
，则 ，在 中，根据勾股定理可得 ，即
，解方程即可求出 的长； 当 时，作 于点 ，利用邻补角互补
可得 ，由轴对称的性质可得 ，利用邻
补角互补可得 ，由直角三角形的两个锐角互余可得 ，
进而可得 ，由等角对等边可得 ，根据 即可求出 的长；综
上，即可得出答案．
【详解】解：分两种情况讨论：
当 时，
如图，
，
， ，
，
，
，
由轴对称的性质可得： ， ，
，
设 ，则 ，
在 中，根据勾股定理可得：
，
即： ，
解得： ，
；
当 时，如图，作 于点 ，
，
，
，
由轴对称的性质可得：
，
，
，
，
，
；
综上， 的长是 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了三线合一，勾股定理，轴对称的性质，线段的和与差，解一元一次方程，垂线的
性质，利用邻补角互补求角度，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边等知识点，运用分类讨论思想是
解题的关键．
【考点三 等腰、直角三角形中的多结论问题】
例题：（24-25八年级上·天津滨海新·期中）如图， 和 均是等边三角形，A、C、B三点共线，
与 相交于点P， 与 分别与 ， 交于点M，N．则下列结论：① ；②
；③ ；④ ．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质．根据 证明 即
可判断①正确；利用全等三角形的性质结合三角形内角和定理即可判断②正确；证明 ，得出，即可判断④正确；根据 ， ，得出 ，根据 ，得出
，即可判断③不正确．
【详解】解：∵ 和 均是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
即 ，故②正确；
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，故④正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③不正确；
综上分析可知，正确的有3个，故B正确．
故选：B．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）如图，在直角三角形 中， ， ，点D是
的中点，将一块锐角为 的直角三角板 如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，
连接 、 ．下列判断正确的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角
【分析】本题考查的是全等三角形的性质和判定，等边对等角；熟练运用全等三角形的性质和判定是解题
的关键．由 是锐角为 的直角三角板、等腰三角形的性质及角的和差，即可得出
，从而得到 ，由确定的性质判断其它三个选项是否正确即可．
【详解】解： ，点 是 的中点，
∴ ， ，
是等腰直角三角形，
， ， ，
，
，
在 和 中，
，
，故①正确；
（全等三角形的对应边相等），故②正确；
（全等三角形的对应角相等），
，
，故③正确；
，
，
， ，
∴ ，
，故④错误．
综上分析，正确的有3个．
故选：C．
2．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在 中， ， 为 的角平分线相
交于点P，过点P作 交 延长线于点F，下列四个结论：① ；② ；③
；④连接 ，则 垂直 ．其中正确的命题个数有（ ）个A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、与角平分线有
关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定、三角形内角和定理等知识点．根据三角
形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②③；根据等腰三角形的性质
判断④．
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ，
又∵ 分别平分 ，
∴ ，
∴ ，故①正确．
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，故②正确．
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故③正确．
如图， 是 的角平分线， ，∴ 垂直 ，故④正确．
综上正确的有①②③④．
故选：D．
3．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，在 中， ， ， 是 的中点，
连接 ，点 在 上，点 在 上，且 ．给出以下四个结论：（1） ；（2）
是等腰直角三角形；（3） ；（4）图中全等的三角形有2对，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质和判定，由等腰直角三角形的性质
知 ，推出 ，结合 即可证得 ，根据全
等三角形的性质得出 ， ，即可判断（1）（2）（3）；图中全等三角形有3对可
判断（4）．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵点D是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ， ，故（1）正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形；故（2）正确；
∵ ，
∴ 和 的面积相等，
∵D为 中点，
∴ 的面积 的面积，
∴
；故（3）正确，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴中 ， ， ，即图中全等的三角形有3对；故（4）错误；
即正确的个数是3个，
故选：B．
4．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，等腰直角三角形 中， ，点 是底边
的中点，将一个三角尺的直角顶点与点 重合，且两条直角边分别与边 ， 交于点 ， ，下
列结论：① ；② ；③ ；④四边形 的面积是一个定值；
其中正确结论个数是（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】D【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角
的定义及性质
【分析】本题考查全等三角形，等腰直角三角形，三角形的外角等知识，解题的关键是作出辅助线，构建
全等三角形．连接 ，根据等腰三角形的性质，三线合一，求出 ， ，
，根据等量代换，全等三角形的判定和性质，可得 ，推出
， ；再根据 ，得到 ；根据三角形的外角，可得
， ，推出
，可得 ；根据
，得到 ，推出四边形 的面积为： ，
即可．
【详解】解：连接 ，如下图，
∵ 是等腰直角三角形， ，点 是底边 的中点，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴①正确；
∵ ，
∴ ，
∴②正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴③正确；
∵ ，
∴ ，
∵四边形 的面积为： ，
∴四边形 的面积为： ，
∴四边形 的面积为定值；
∴④正确；
故选：D．
【考点四 利用不等式的基本性质判断正误】
例题：（24-25八年级上·上海·期中）已知 ，则下列不等式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一
个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两
边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴四个选项中，只有B选项的不等式正确，符合题意；
故选：B．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向
不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除
以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断
即可得．
【详解】解：A、由 可得 ，则此项正确，不符合题意；
B、由 可得 ，则 ，则此项错误，符合题意；
C、由 可得 ，则此项正确，不符合题意；
D、因为 ，所以由 可得 ，则此项正确，不符合题意；
故选：B．
2．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．如果 ，那么 D．若 ，则
【答案】D
【知识点】不等式的性质、判断命题真假、绝对值的意义、有理数的乘方运算
【分析】本题考查了命题与定理，有理数的乘方，不等式的性质等知识，根据有理数的乘方和绝对值的意
义对各选项逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、如果 ，那么 不一定大于 ，如： ，则 ，故选项不符合题意；
B、如果 ，那么 不一定大于 ，如： ，则 ，故选项不符合题意；
C、如果 ，那么 可能等于 ，如： ，则 ，故选项不符合题意；
D、如果 ，则 ，正确，故选项符合题意；
故选：D．
3．（23-24八年级下·广东河源·期中）下列说法一定正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号
的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除
以）同一个负数，不等号的方向改变．利用不等式的基本性质逐项分析得出答案即可．
【详解】解：A．当 时， ，即a与b不一定相等，故本选项不符合题意；B．若 ，则 ，故本选项不符合题意；
C．若 ，当 时， ，故本选项不符合题意；
D．若 ，则 ，说法正确，故本选项符合题意．
故选：D．
4．（22-23八年级下·广东深圳·期中）下列各式中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【分析】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个
含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向
不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质，
逐项判断即可．
【详解】解： ，
，
选项A不符合题意；
若 ，则 不一定成立，例如： ， 时， ，但是 ，
选项B不符合题意；
，
当 时， ，
选项C不符合题意；
若 ，则 ，
选项D符合题意．
故选：D．
5．（23-24七年级下·河南漯河·期中）下列四个不等式：（ ） ；（ ） ；（ ）
；（ ） 中，能推出 的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两
边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方
向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】（ ） ，所以 ，但 大于 还是小于 ，不能确定，即不能确定 为正数，故不能得出，故错误；
（ ）因为 ，所以 ，但 大于 还是小于 ，不能确定，即不能确定出 为负数，故不
能得出 ，故错误；
（ ）因为 ，所以 ，即 必为正数，故可得出 ，故正确；
（ ） 中，不能得出 为负数，故不能得出 ，故错误；
综上可得（ ）正确，
故选： ．
【考点五 一元一次不等式（组）含参数问题】
例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）若关于x的不等式 只有3个正整数解，则m的取值范
围是 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的整数解
【分析】本题主要考查一元一次不等式的含参问题，掌握求一元一次不等式的方法，取值方法是解题的关
键．
首先解不等式，然后根据不等式只有3个正整数解即可得到一个关于m的不等式，求得m的范围．
【详解】解：
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ，
∵不等式只有3个正整数解，
∴ ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期中）已知关于x的不等式组 的整数解共有6个，则a的取值范
围是 ．
【答案】
【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】本题考查不等式组中不等式的未知字母的取值．先解出不等式组的解，然后确定x的取值范围，
根据整数解的个数可知a的取值．
【详解】解： ，
解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，∴ ．
∵原不等式组有6个整数解，
∴x可取3，2，1，0， ， ，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
2．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）关于 的不等式组 的解集为 ，则 的值为
．
【答案】
【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再结合不等式组的解集得出关
于 、 的方程，解之即可得出答案．
【详解】解： ，
解不等式①得：
解不等式②得：
∵不等式组的解集为：
∴
解得：
∴ ，
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）关于x的不等式组 的解集为 ，则m的取值范围是
．
【答案】 /
【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先分别求出不等式组中两个不等式的解集，
再根据不等式组的解集得到 ，解之即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得： ，解不等式②得： ，
∵关于x的不等式组 的解集为 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
4．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）若关于 的一元一次不等式组 无解，则 的取值范围
是 ．
【答案】
【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】本题考查解一元一次不等式组，先解出每个不等式的解集，再根据关于 的一元一次不等式组
无解，即可得到 的取值范围．
【详解】解： ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
∵关于 的一元一次不等式组 无解，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【考点六 方程与不等式（组）结合含参数问题】
例题：（23-24七年级下·重庆万州·期中）若关于x，y的二元一次方程组 的解为正数，则满足
条件的所有整数a的和为 ．
【答案】
【知识点】不等式组和方程组结合的问题
【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先解方程组得到 ，再根据方程组的解为正数，得到 ，据此求出 ，则满足条件的所有整数a有4、5、6，据此求和即可．
【详解】解：
得： ，
把 代入①得： ，解得 ，
∴方程组的解为 ，
∵方程组的解为正数，
∴ ，
解得 ，
∴满足条件的所有整数a有4、5、6，
∴满足条件的所有整数a的和为 ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x、y的二元一次方程组 （k为常数）．
（1）若该方程组的解x，y满足 ，则k的取值范围为 ．
（2）若该方程组的解x，y均为正整数，且 ，则该方程组的解为 ．
【答案】
【知识点】不等式组和方程组结合的问题
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组，解题的关键是得出关于k的不等式．
（1）将方程组中的两个方程相加，即可得到用含k的代数式表示出 ，然后根据 ，即可求得k
的取值范围
(2)先用含k的式子表示出方程组的解，再根据x，y均为正整数，且 ，即可得到该方程组的解．
【详解】解：（1）
①+②，得
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；故答案为： ；
（2）由 解得
，
∵ 均为正整数，且 ，
∴当 时， ；
当 时， ，不合题意，舍去；
当 时， ，不符合题意，都舍去，
由上可得，该方程组的解为 ．
故答案为： ．
2．（22-23七年级下·四川宜宾·期中）已知方程组： 的解x为正数，y为非负数，给出下列结
论：① ；②当 时，方程组的解也是方程 的解；③当 时， ；④若
，则 ；其中正确的是 （填写正确选项的番号）．
【答案】①④
【知识点】二元一次方程的解、已知二元一次方程组的解求参数、加减消元法、不等式组和方程组结合的
问题
【分析】先解出二元一次方程组得 ，再根据 为正数， 为非负数判断①，把 代入可判
断②，将 代入可判断③，根据不等式的性质可判断④．
【详解】解：由 得 ，
为正数， 为非负数，
，
，故①正确；
当 时， ， ，
此时 ，故②错误，
由①可得 时，故③错误；
若 ，则 ，
∴ ，∴ 即 ，故④正确；
故答案为：①④．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组，不等式的性质，熟练掌握解二元一次方
程组的方法步骤是解题关键．
【考点七 中心对称图形的判断】
例题：（24-25九年级下·山西长治·期中）我国有56个民族，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族
特色的服饰图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个
平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的
定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫
做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·河南安阳·期中）下面理化试验中常见的符号或仪器，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称图形的识别
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图
形绕着某个点旋转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个
点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点．
【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转 后与原来的图形完全重合，
所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转 后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形．故选D．
2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币
的图案，下图中我国四大银行的商标图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别
【分析】此题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，
直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，在同一平面内，如果把
一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
这个旋转点，就叫做对称中心．根据定义解答即可．
【详解】解：第一个不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
第二个是轴对称图形，也是中心对称图形；
第三个是轴对称图形，也是中心对称图形；
第四个是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：B．
3．（23-24九年级上·陕西渭南·期中）下列数学符号中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形的识别
【分析】此题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的
图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．利用中心对称图形的定义可得答案．
【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
4．（24-25九年级上·广东汕头·期中）下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，
其中是中心对称图形的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称图形的识别
【分析】本题考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键．
根据中心对称图形的概念判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意；
B．不是中心对称图形，不符合题意；
C．不是中心对称图形，不符合题意；
D．是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
【考点八 点坐标平移和旋转求解问题】
例题：（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）将点 向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，
则点B的坐标为 ．
【答案】
【知识点】由平移方式确定点的坐标
【分析】本题考查了点的平移，掌握点平移的规律是解题的关键．
点平移的规律“左减右加，上加下减”，由此即可求解．
【详解】解：点 向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，
∴ ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，将点 向左平移个4单位长度，再向下
平移3个单位长度后与点 重合，则点 的坐标是 ．
【答案】
【知识点】已知平移后的坐标求原坐标
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化 平移，根据所给平移方式，将点 进行反向平移即可解决问题．
【详解】解：由题知，将点 向上平移3个单位长度后，所得点的坐标为 ，
再将点 向右平移4个单位长度后，所得点的坐标为 ，
即点 的坐标是 ．故答案为： ．
2．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期中）在平面直角坐标系 中，点A坐标是 ，当把坐标系绕
点O顺时针旋转 时，点A在旋转后的坐标系中的坐标是 ．
【答案】
【知识点】求绕原点旋转一定角度的点的坐标
【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转．根据题意画出图形，连接 ，作 轴于点B，当把坐标
系绕点O顺时针旋转 时，相当于把 绕点O逆时针旋转 ，可得点A在旋转后的坐标系中的坐标是
．
【详解】解：如图所示：连接 ，作 轴于点B，
∵点A坐标是 ．
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
当把坐标系绕点O顺时针旋转 时，相当于把 绕点O逆时针旋转 ，
∴点A在旋转后的坐标系中的坐标是 ．
故答案为： ．
3．（24-25八年级下·全国·期中）在平面直角坐标系中，将点 绕原点 逆时针旋转 至点 ，则
点 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解、求绕原点旋转90度
的点的坐标
【分析】本题考查了旋转的性质，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，构造一线三直
角全等模型证明三角形全等即可．
【详解】解：过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，由旋转性质得 ， ，
∴ ，
∵ 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∵点 ，
∴ ，
∵点Q在第三象限，
故答案为： ．
4．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系 中，直线l与x轴，y轴分别交于A，
B，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，若点D的坐标为 ，则直线l的解析式为 ．
【答案】 /
【知识点】根据旋转的性质求解、求一次函数解析式
【分析】本题考查旋转的性质，待定系数法求函数解析式，先根据旋转的性质得到点 的坐标为 ，点
的坐标为 ，然后利用待定系数法求出直线解析式即可．【详解】∵点D的坐标为 ，
∴ ， ，
由旋转可得 ，
∴ ， ，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
设直线的解析式为 ，代入得：
，解得 ，
∴直线l的解析式为 ，
故答案为： ．
【考点九 图形旋转求解问题】
例题：如图，在 中， ， ， 绕点 按顺时针方向旋转得到 ，则
的度数为 度．
【答案】64
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理的运用．根据三角形内角和定理可得 的度数，
根据旋转的性质可得 ．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 绕点 按顺时针方向旋转得到 ，
∴ ，
故答案为：64．
【变式训练】
1．在 中， ，将 绕点C逆时针旋转得到 ，点A，B的对应点分别为D，
E，连接 ．如图，当点A，D，E在同一条直线上时， 的度数为 ．
【答案】 /70度【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，邻补角的性质，掌握旋转的性质是解题关键．根据旋
转可知 ， ，结合等腰三角形的性质和邻补角的性质可求出
，最后根据 求解即可．
【详解】解：由旋转可知 ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
2．如图，在直角 中， ， ，将点A绕点C顺时针旋转 至D点，连接 ，则
的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，旋转的性质，掌握证明三角形全等，得出边的长度是解
题的关键．根据题意，过点 作 交 延长线于 ，证明 ，则有 ，
由此即可求解．
【详解】解：将点A绕点C顺时针旋转 至D点，
∴ ， ，
过点 作 交 延长线于 ，如图所示，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
3．如图，在 中， ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ．
当 三点在同一直线上时，旋转角 的度数为 °．
【答案】104
【分析】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的
性质得到对应角相等，再由三角形内角和定理求出 ，即可求出答案．
【详解】解： ，
将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ．当 三点在同一直线上，
， ， ，
， 是等腰三角形，
是 的角平分线，
故旋转角 的度数为 ，
故答案为： ．
4．如图， 中， ， ， ，将 绕点 逆时针旋转得 ，若点 在
上，连接 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理等知识．由旋转的性质和勾股定理得出 的长度，
利用勾股定理即可得出答案．
【详解】解：∵将 绕点 逆时针旋转得 ，，
根据勾股定理得： ，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
故答案为： ．
5．如图，在 中， ， ， ．将 绕点 顺时针旋转得到
，连接 ，设旋转角为 ，若 ，当直线 时，以 为边长的正方形的面
积为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理；由直角三角形的性质可得 ，
，即得 ，由旋转的性质得 ， ，
，又根据平行线的性质可得 ，即得 ，得到
，利用直角三角形的性质求得 ，即得 ，最后利用勾
股定理求出 即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：在 中， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
由旋转的性质，得 ， ， ；
如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【考点十 旋转规律探究问题】
例题：（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中， ， ，
是等腰直角三角形且 ，把 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，把 绕点 顺时针
旋转 ，得到 ，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点 的坐标 ，顶点 的坐
标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与旋转规律问题
【分析】本题考查点的坐标变化规律．依次求出等腰直角三角形的顶点 （i为正整数）的坐标，发现规
律即可解决问题．
【详解】解：由题知，因为点 ， ， 是等腰直角三角形且 ，
所以点 的坐标为 ．
同理可得，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
…，
以此类推，点 的横坐标坐标为 ，
当n为奇数时，点 的纵坐标为 ；
当n为偶数时，点 的纵坐标为2．
所以点 的横坐标为： ，纵坐标为： ，
故点 的坐标为 ．
故答案为： ， ．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）在平面直角坐标系中，等边 如图放置，点 的坐标为 ．
每一次将 绕着点 逆时针方向旋转 ，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到 ，
第二次旋转后得到 ，以此类推，则点 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与旋转规律问题
【分析】本题考查旋转中坐标规律探究，解题的关键是确定 所在的位置．分析可得：每旋转6次，
的对应点又回到 轴正半轴，故 在 轴正半轴上，且 ，即可得到答案．
【详解】解：∵A点坐标为 ，
∴ ，∴第一次旋转后，点 在第一象限， ；
第二次旋转后，点 在第二象限， ；
第三次旋转后，点 在 轴负半轴， ；
第四次旋转后，点 在第三象限， ；
第五次旋转后，点 在第四象限， ；
第六次旋转后，点 在 轴正半轴， ；
如此循环，每旋转6次， 的对应点又回到 轴正半轴上，
∵ ，
∴点 在 轴正半轴上，且 ，
∴
故答案为： ．
2．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为 的正方形 绕点
顺时针旋转 后得到正方形 ……依此方式，绕点 连续旋转 次得到正方形 ，那
么点 的坐标是 ．
【答案】
【知识点】坐标与旋转规律问题、用勾股定理解三角形、点坐标规律探索
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，点坐标的规律，勾股定理等，解题的关键是找到点 坐
标的变化规律．根据旋转的性质，可得点 的运动轨迹，发现规律：即点 的位置每旋转 次一个循环，
然后找到正方形 旋转 次后点 的位置，再结合勾股定理即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴每旋转八次，点 的坐标循环出现．
因为 ，
所以点 的坐标与点 的坐标相同．
如图：过点 作 轴，交于点轴，交于点 ，∵正方形的边长为 ， ，
故 ，
故点 的坐标为 ．
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，将 绕点 顺时针旋转到
的位置，点 、 分别落在点 、 处，点 在 轴上，再将 绕点 顺时针旋转到 的位
置，点 在 轴上，将 绕点 顺时针旋转到 的位置，点 在 轴上，依次进行下去……，
若点 ， ．则点 的坐标是 ．
【答案】
【知识点】坐标与旋转规律问题、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了坐标与图形的变化−旋转、勾股定理等知识，先根据已知求出三角形三边长度，
然后通过旋转发现，B、 、 …，即可得每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得
的坐标，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题．
【详解】由图象可知点 在第一象限，
∵ ， ， ，
∴ ，∴ ， ， ，… ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ．
