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5.1 平面向量的线性运算及基本定理（精练）（基础版）
题组一 概念辨析
1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下面的命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若 ， 满足 且 与 同向，则
D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且 ” “四边形ABCD是平行四边形”
2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．对于任意两个向量 ，若 ，且 同向，则
B．已知 ， 为单位向量，若 ，则 在 上的投影向量为
C．设 为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“ ”的充分不必要条件
D．若 ，则 与 的夹角是钝角
3．（2022·江苏）（多选）设 是已知的平面向量，向量 ， ， 在同一平面内且两两不共线，其中真命
题是（ ）
A．给定向量 ，总存在向量 ，使 ；
B．给定向量 和 ，总存在实数 和 ，使 ；
C．给定单位向量 和正数 ，总存在单位向量 和实数 ，使 ；
D．若 ，存在单位向量 ， 和正实数 ， ，使 ，则 ．4．（2022·全国·高三专题练习）（多选）设 是已知的平面向量且 ，向量 ， 和 在同一平面内且
两两不共线，关于向量 的分解，下列说法正确的是（ ）
A．给定向量 ，总存在向量 ，使 ；
B．给定向量 和 ，总存在实数 和 ，使 ；
C．给定单位向量 和正数 ，总存在单位向量 和实数 ，使 ；
D．给定正数 和 ，总存在单位向量 和单位向量 ，使 ．
5．（2022·东莞高级中学）（多选）关于平面向量 ，下列说法中错误的是（ ）
A．若 且 ，则 B．
C．若 ，且 ，则 D．
6．（2022·全国高三专题练习）（多选）已知 是三个平面向量，则下列叙述错误的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，且 ，则
C．若 ∥ ， ∥ ，则 ∥
D．若 ，则
7．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：①若 ，则 ；②若 是不共线的四
点，则 是四边形 为平行四边形的充要条件；③若 ， ，则 ；④ 的充要条件是 且 ；⑤若 ， ，则 ．其中正确命题的序号是________ ．
题组二 共线定理
1．（2022·广东）已知向量 和 不共线，向量 ， ， ，若 ､ ､
三点共线，则 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．
2．（2022·河南省杞县）已知向量 ， 不共线， ， ，若 ，则 ______．
3．（2021·全国）设两个非零向量 与 不共线，
（1）若 ， ， ，求证：A，B，D三点共线；
（2）试确定实数k，使 和 共线．
题组三 平面向量的基本定理
1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中） 中， 是边 上靠近 的三等分点，则向量 （ ）
A． B．
C． D．2．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形 中，设 ， ， 为 的中点， 与 交
于 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3（2022·全国·高三专题练习）如图平面四边形ABCD中， ，则 可表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·山东潍坊·模拟预测）在平行四边形 中， 分别是 的中点， ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）在 中，点D在边AB上， ．记 ，则
（ ）
A． B． C． D．6．（2022·全国·高三专题练习）在等边 中，O为重心，D是 的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2022·河南）在 ABC中， ，M为AD的中点， ，则 =（ ）
△
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知点 是 所在平面内一点，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·云南·一模（理））在 中， 是直线 上的点.若 ，记 的面积为 ，
的面积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2022·辽宁沈阳·二模）（多选）如图，在 方格中，向量 ， ， 的始点和终点均为小正方形的
顶点，则（ ）
A． B．
C． D．11．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）（多选）在 中， 为 中点，且 ，
则（ ）
A． B．
C． ∥ D．
12．（2022·全国·模拟预测）（多选）如图，直角三角形ABC中，D，E是边AC上的两个三等分点，G是
BE的中点，直线AG分别与BD， BC交于点F，H设 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·全国·高三专题练习）在三角形ABC中，点D在边BC上，若 ，
，则 ______．
14．（2022·全国·高三专题练习）在边长为 的等边 中，已知 ，点 在线段 上，且
，则 ________.15．（2022·浙江·模拟预测）在平行四边形 中， ，E、F是边 ， 上的点，
， ，若 ，则平行四边形的面积为_________．
16．（2022·全国·高三专题练习）等腰直角 ABC中，点P是斜边BC边上一点，若 = + ，则
ABC的面积为______
17．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 与 的面积之比为_______
题组四 数量积
1．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）在 中， ， ．若 ，则
（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知△ABC中， ，AB=4，AC=6，且 ， ，则
（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
3．（2022·全国·高三专题练习）已知菱形 的边长为 ，则 （ ）
A． B． C． D．4．（2022·全国·高三专题练习）如图， 中， ， ，P为CD上一点，且满足
，若AC＝3，AB＝4，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·陕西·交大附中）已知在平行四边形 中， ，则
值为__________．
6．（2022·湖南·湘潭一中高三阶段练习）已知等边 的边长为6，平面内一点P满足 ，
则 ____________．
7．（2022·天津·模拟预测）已知菱形 的边长为 ， 是 的中点，则 ______．
8．（2022·全国·高三专题练习）如图， ，则 _________题组五 取值范围
1．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆 ， 为圆 上任一点，若
，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
2．（2022·全国·高三专题练习）边长为2的正三角形 内一点 （包括边界）满足：
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
4．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 的半径为2，A为圆内一点， ，B，C为圆 上任意两点，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知线段 是圆 的一条动弦，且 ，若点 为直
线 上的任意一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6（2022·全国·高三专题练习）在 中， ， ， .D是BC边上的动点，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·天津·高三专题练习）如图，在菱形 中， ， ， 分别为 上的
点， ，若线段 上存在一点 ，使得 ，则 _______，若点
为线段 上一个动点，则 的取值范围为_______.8．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）如图，在 中， ，点 在线段 上移动（不含
端点），若 ，则 ___________， 的最小值为___________.
题组六 平面向量与其他知识的综合运用
1．（2022·全国·高三专题练习）若 是 的各边中线交点， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，
若 ，则角 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，已知点G是 的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边
交于M，N两点 点N与点C不重合 ，设 ， ，则 的最小值为（ ）A．2 B． C． D．
3．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）如图所示， 的面积为 ，其中 ，
AD为BC边上的高，M为AD的中点，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）在边长为2的等边 中， 为线段 上的动点， 且
交 于点 ， 且交 于点 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5（2022·全国·高三专题练习）在△ 中，点D满足 = ，直线 与 交于点 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．6．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知 是半径为2的圆O的内接三角形，则下列说法正确的
是（ ）
A．若角 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则 ， 的夹角为
D．若 ，则 为圆O的一条直径
7．（2022·江苏·高三专题练习）（多选）若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且
(λ，μ∈R)，则下列说法正确的有（ ）
A．若λ+μ=1且λ>0，则点P在线段BC的延长线上
B．若λ+μ=1且λ<0，则点P在线段BC的延长线上
C．若λ+μ>1，则点P在△OBC外
D．若λ+μ<1，则点P在△OBC内
8．（2022·山西大附中三模（理））如图，已知点 是平行四边形 的边 的中点，点 在
线段 上，且满足 ，其中数列 是首项为1的数列，则数列 的通项公
式为_____________
