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第 01 讲 平面向量的概念、线性运算及坐标表示
目录
考点要求 考题统计 考情分析
（1）理解平面向量的意义、 通过对近5年高考试题分析可知，
几何表示及向量相等的含 高考在本节以考查基础题为主，考
义． 查形式也较稳定，考查内容一般为
2023年北京卷第3题，5分
（2）掌握向量的加法、减法 平面向量基本定理与坐标运算，预
2022年I卷第3题，5分
运算，并理解其几何意义及 计后面几年的高考也不会有大的变
2021年乙卷（文）第13题，5分
向量共线的含义． 化．
2022年乙卷（文）第3题，5分
（3）了解平面向量基本定理
及其意义
（4）会用坐标表示平面向量
的加法、减法与数乘运算知识点一．向量的有关概念
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．
（2）向量的模：向量 的大小，也就是向量 的长度，记作 ．
（3）特殊向量：
①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
②单位向量：长度等于1个单位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定： 与任一向量平行．
④相等向量：长度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．
知识点二．向量的线性运算和向量共线定理
（1）向量的线性运算
运算 定义 法则（或几何意义） 运算律①交换律
a+b
求两个向量和的 b b a+b
加法
运算 a a ②结合律
三角形法则平行四边形法则
求 与 的相反 a-b
b
向量 的和的
减法
a
运算叫做 与
的差 三角形法则
（1）
求实数 与向量 （2）当 时， 与 的方向相同；当
数乘
的积的运算 时， 与 的方向相同；
当 时，
【注意】
（1）向量表达式中的零向量写成 ，而不能写成0．
（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或
重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．
（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须
重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首
尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．
（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如： ， ，
．
知识点三．平面向量基本定理和性质
1、共线向量基本定理
如果 ，则 ；反之，如果 且 ，则一定存在唯一的实数 ，使 ．
（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
2、平面向量基本定理
如果 和 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量 ，都存在唯一的一对
实数 ，使得 ，我们把不共线向量 ， 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记
为 ， 叫做向量 关于基底 的分解式．
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量 与 不共线，平面内的任一向量 都可以分解成形如
的形式，并且这样的分解是唯一的． 叫做 ， 的一个线性组合．平面向量基本
定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．推论1：若 ，则 ．
推论2：若 ，则 ．
3、线段定比分点的向量表达式
如图所示，在 中，若点 是边 上的点，且 （ ），则向量 ．
在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议
熟练掌握．
A
B C
D
4、三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数 ，使 ，其中 ， 为
平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．
A、B、C三点共线
存在唯一的实数 ，使得 ；
存在唯一的实数 ，使得 ；
存在唯一的实数 ，使得 ；
存在 ，使得 ．
5、中线向量定理
如图所示，在 中，若点D是边BC的中点，则中线向量 ，反之亦正确．
A
B C
D
知识点四．平面向量的坐标表示及坐标运算
（1）平面向量的坐标表示．
在平面直角坐标中，分别取与 轴， 轴正半轴方向相同的两个单位向量 作为基底，那么由平面
向量基本定理可知，对于平面内的一个向量 ，有且只有一对实数 使 ，我们把有序实数对
叫做向量 的坐标，记作 ．
（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量 向量 点 ．（3）设 ， ，则 ， ，即两个向量的和
与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
若 ， ，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相
为实数，则
应坐标．
（4）设 ， ，则 = ，即一个向量的坐标等于该向量的有
向线段的终点的坐标减去始点坐标．
知识点五．平面向量的直角坐标运算
①已知点 ， ，则 ，
②已知 ， ，则 ， ，
， ．
，
【解题方法总结】
（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称
为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向
量．
即 ．
（2） ，当且仅当 至少有一个为 时，向量不等式的等号成立．
（3）特别地： 或 当且仅当 至少有一个为 时或者两向量共线时，
向量不等式的等号成立．
（4）减法公式： ，常用于向量式的化简．
（5） 、 、 三点共线 ，这是直线的向量式方程．
题型一：平面向量的基本概念
例1．（2023·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．平行向量不一定是共线向量
C．对于任意向量 ，必有
D．若 满足 且 与 同向，则
例2．（2023·全国·高三专题练习）给出如下命题：
①向量 的长度与向量 的长度相等；②向量 与 平行，则 与 的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量 与向量 是共线向量，则点 ， ， ， 必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例3．（2023·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．
C． 与 的方向相反 D．若 ，则
变式1．（2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 不是共线向量
变式2．（2023·全国·高三对口高考）给出下列四个命题：
①若 ，则 ；
②若 ，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；
③若 ，则 ；
④若 ， ，则 ；
其中正确的命题的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
变式3．（2023·全国·高三对口高考）若 ，则 ， ， （ ）
A．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形
B．一定不可能构成三角形
C．都是非零向量时能构成三角形
D．一定可构成三角形
【解题方法总结】
准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键．共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传
递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相
等向量．共线向量或相等向量均与向量起点无关．题型二：平面向量的线性表示
例4．（2023·山东泰安·统考模拟预测）在 中，点 为 中点，点 在 上且 .记
，则 （ ）
A． B． C． D．
例5．（2023·河北邯郸·统考三模）已知等腰梯形 满足 ， 与 交于点 ，且
，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
例6．（2023·河北·统考模拟预测）已知 为 所在平面内一点，且满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
变式4．（2023·河北·高三学业考试）化简 所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）在 中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则
（ ）
A． B．
C． D．
变式6．（2023·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是边CD，BC的
中点，则 （ ）
A． B． C． D．
变式7．（2023·山东滨州·校考模拟预测）如图所示，点E为 的边AC的中点，F为线段BE上靠近点
B的四等分点，则 =（ ）A． B． C． D．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形 中，对角线 与 交于点 ，若
，则 （ ）
A． B．2 C． D．
变式9．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知等腰梯形ABCD中， ， ，
BC的中点为E，则 （ ）
A． B．
C． D．
【解题方法总结】
（1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以
“爪子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题．
（2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或
首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．
（3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似
三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
题型三：向量共线的运用
例7．（2023·广东广州·统考模拟预测）在 中， 是 边上一点，且 是 上一点，
若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
例8．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）如图，在 中，M为线段 的中点，G为线段
上一点， ，过点G的直线分别交直线 ， 于P，Q两点， ，，则 的最小值为（ ）．
A． B． C．3 D．9
例9．（2023·山西·高三校联考阶段练习）如图，在 中，D是BC边中点 ，CP的延长线与
AB交于AN，则（ ）
A． B． C． D．
变式10．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，
AC两边交于M，N两点，设x ＝ ，y ＝ ，则 的值为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
变式11．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在 中， 为 上一点， 为
线段 上任一点（不含端点），若 ，则 的最小值是（ ）
A．8 B．10 C．13 D．16变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 、 不共线，且 ，若 与 共线，
则实数 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 上有三点 ， ， ， 为 外一点，又等差数列 的
前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B．3 C． D．
变式14．（2023·全国·高三对口高考）设两个非零向量 与 不共线．
(1)若 ， ， 求证 三点共线．
(2)试确定实数 ，使 和 共线．
变式15．（2023·全国·高三对口高考）如图所示，在 ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，
△
.
(1)用 表示 ；
(2)求证：B，E，F三点共线．
【解题方法总结】
要证明A，B，C三点共线，只需证明 与 共线，即证 = （ ）．若已知A，B，C
三点共线，则必有 与 共线，从而存在实数 ，使得 = ．题型四：平面向量基本定理及应用
例10．（2023·上海·高三专题练习）设 是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量
的一个基底的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
例11．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知向量 是平面内所有向量的一组基
底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
例12．（2023·河北沧州·校考模拟预测）在 中 ，点 为 与 的交点，
，则 （ ）
A．0 B． C． D．
变式16．（2023·全国·模拟预测）如图，在 中， ， ，其中 ， ，
若AM与BN相交于点Q，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
变式17．（2023·广东汕头·统考三模）如图，点D、E分别AC、BC的中点，设 ， ，F是DE
的中点，则 （ ）A． B． C． D．
变式18．（2023·山西大同·统考模拟预测）在 ABC中，D为BC中点，M为AD中点， ，
则 （ ） △
A． B． C．1 D．
变式19．（2023·广东·统考模拟预测）古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到
了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提
升了空间利用率，体现了动物的智慧，得到世人的认可.已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则
（ ）
A． B．
C． D．
变式20．（2023·吉林长春·统考模拟预测）如图，在平行四边形 中，M，N分别为 ， 上的点，
且 ， ，连接 ， 交于P点，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
变式21．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在四边形 中， ，
，点 在线段 上，且 ，设 ， ，则 （ ）A． B．
C． D．
变式22．（2023·安徽·校联考二模）如图，在 中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD
上靠近D，A的三等分点，则 （ ）
A． B． C． D．
变式23．（2023·全国·模拟预测）如图，平行四边形 中， 与 相交于点 ， ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或
数乘运算，基本方法有两种：
（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．
（2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
（3）三点共线定理：A，B，P三点共线的充要条件是：存在实数 ，使 ，其中
，O为AB外一点．
题型五：平面向量的直角坐标运算
例13．（2023·全国·高三对口高考） 为平行四边形 的对角线， ，则____．
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， ，且 ，则
_____.
例15．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知 ， ，且 ，则点M的坐标为______.
变式24．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知平面内有三个向量 ， ， ，其中 与 和
的夹角分别为 和 ，且 ， ，若 ，则
________．
变式25．（2023·河南·郑州一中校联考模拟预测）已知向量 ， ，且 ，则实
数 ______．
变式26．（2023·全国·高三对口高考）已知向量 ．若实数k与向量 满足 ，
则 可以是（ ）
A． B．
C． D．
变式27．（2023·河北·统考模拟预测）在正六边形ABCDEF中，直线ED上的点M满足 ，
则 （ ）
A．1 B． C． D．
变式28．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）如图，在四边形ABCD中， ， ，
， ， ， ，则 （ ）A． B．2 C．3 D．6
变式29．（2023·全国·高三专题练习）已知 为坐标原点， ，若 、 ，则与
共线的单位向量为（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
【解题方法总结】
（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，
则应先求向量的坐标．
（2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解．
题型六：向量共线的坐标表示
例16．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，向量 ，
， ，若A，B，C三点共线，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 三点共线，则 （ ）
A． B． C． D．
例18．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知向量 ， ，若向量 ，且 与 的夹角
为钝角，写出一个满足条件的 的坐标为______.
变式30．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， ，向量 ， ，
若 ，则实数 ______.
变式31．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知向量 ，若 ，则实数 ______.变式32．（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）已知 ， ，若 与 互相平行，
则实数 的值是__________．
变式33．（2023·全国·高三对口高考）已知向量 ．若 与 共线，则实数
__________．
变式34．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知 ，若 与 平
行，则实数 ______________．
变式35．（2023·全国·高三专题练习）已知点 ，O为坐标原点，则AC与OB的交
点P的坐标为________.
【解题方法总结】
（1）两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若 ， ，则 的充要条件是
；②若 ，则 ．
（2）向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，
也可以利用坐标对应成比例来求解．
1．（2023•北京）已知向量 ， 满足 ， ，则
A． B． C．0 D．1
2．（2022•全国）已知向量 ， ．若 ，则
A． B． C． D．
3．（2022•新高考Ⅰ）在 中，点 在边 上， ．记 ， ，则
A． B． C． D．
