文档内容
拔高点突破 02 平面向量与复数背景下的新定义问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：向量外积（叉积）................................................................................................................2
题型二：斜坐标系................................................................................................................................5
题型三：向量新定义之新概念..........................................................................................................10
题型四：向量新定义之新运算..........................................................................................................14
题型五：向量新定义之新性质..........................................................................................................18
题型六：复数新定义..........................................................................................................................22
03 过关测试.........................................................................................................................................261、平面向量背景下的新定义问题是一类既涉及平面向量基础知识，又融入新颖定义和复杂信息的数
学问题。这类问题要求考生不仅掌握平面向量的基本概念和运算规则，还需要具备良好的分析能力和逻辑
推理能力。平面向量背景下的新定义问题，通常基于平面向量的方向性和大小性，引入新的运算规则或概
念。解题时，首先要准确理解新定义的本质，明确其涉及的向量运算和性质。接着，将新定义应用到具体
的题目情境中，通过向量的加法、减法、数乘、数量积等运算，推导出所需的结论。这类问题往往信息量
大，背景新颖，需要考生耐心分析，细致推理。同时，注意平面向量的模、夹角等几何特征在新定义问题
中的应用，以及如何利用这些特征简化解题过程。最终，通过综合应用平面向量的基础知识和新定义，解
决这类复杂而有趣的数学问题。
2、复数背景下的新定义问题是一类融合了复数基础理论与新颖概念的数学问题。这类问题要求考生
不仅熟悉复数的代数表示、模、辐角等基本概念，还需具备灵活运用复数运算规则的能力。解题时，首先
要深入理解新定义的本质，明确其涉及的复数运算和性质。接着，将新定义与具体的题目情境相结合，通
过复数的加、减、乘、除等运算，推导出所需的结论。这类问题往往考察考生的逻辑推理能力和创新能力，
需要考生在新颖的复数运算或概念中找到解题的突破口。最终，通过综合运用复数的基础知识和新定义，
解决这类富有挑战性的数学问题。
题型一：向量外积（叉积）
【典例1-1】如果向量 ， 的夹角为 ，我们就称 为向量 与 的“向量积”， 还是一个向量，
它的长度为 ，如果 ， ， ，则 （ ）
A． B．16 C． D．20
【答案】B
【解析】因为 ， ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 .
故选：B
【典例1-2】（2024·高三·内蒙古呼和浩特·期末）若向量 ， ，则以 、 为邻边的平行四边形的面积 可以用 、 的外积 表示出来，即 .已知在平面直角坐标系
中， 、 ， ，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知在平面直角坐标系 中， 、 ， ，
因为
，
因为 ，则 ，则 ，
则 ，则 ，
当 时，即当 时， 面积取最大值 .
故选：A.
【变式1-1】（多选题）已知向量 的数量积（又称向量的点积或内积）： ，其中
表示向量 的夹角；定义向量 的向量积（又称向量的叉积或外积）： ，
其中 表示向量 的夹角，则下列说法正确的是（ ）
A．若 为非零向量，且 ，则
B．若四边形 为平行四边形，则它的面积等于
C．已知点 为坐标原点，则
D．若 ，则 的最小值为
【答案】BCD
【解析】对于A中，因为 是非零向量，由 ，可得 ，即
，
可得 ，且 ，解得 或 ，所以A错误；对于B中，由 ，所以B正确；
对于C中，因为 ，可知 ，
则 ，且 ，可得 ，
所以 ，故C正确；
对于D中，因为 ，即 ，
可得 ，可知 ，可得 ，
则 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，所以D正确，
故选：BCD.
【变式1-2】（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知两个非零向量 与 ，定义 ，其中
为 与 的夹角，若 ， ，则 的值为（ ）
A．5 B．7 C．2 D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，则 ，
，
则 ，
又 ，则 ，
则 .
故选：A
【变式1-3】定义： ，其中 为向量 ， 的夹角，若 ， ， ，则
（ ）
A．6 B． C． D．8
【答案】D【解析】∵ ，∴ ，即 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
.
∴
故选：D.
题型二：斜坐标系
【典例2-1】（2024·云南昆明·模拟预测）向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值，其选择
取决于问题的特定背景和需求．在物理学、工程学、计算机图形学等领域，广义坐标被广泛应用．比如，
物理学中的振动系统可能采用角度作为广义坐标，而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来简化问题．
通过选择适当的广义坐标，可以更自然地描述问题，简化数学表达，提高问题的可解性，并使模型更符合
实际场景．已知向量 ， 是平面 内的一组基向量，O为 内的定点．对于 内任意一点P，若
，则称有序实数对 为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为 ，
，关于下列命题正确的（ ）
A．点 关于点O的对称点不一定为
B．A，B两点间的距离为
C．若向量 平行于向量 ，则 的值不一定为0
D．若线段 的中点为C，则点C的广义坐标为
【答案】D
【解析】对于A， ，设 关于点 的对称点为 ，则
，
因为 ， 不共线，所以 ，A错误；
对于B，因为 ，
所以 ，
当向量 ， 是相互垂直的单位向量时， ， 两点间的距离为 ，否则距离不为，B错误；
对于C，当 与 中至少一个是 时，结论成立；
当 与 都不为 时，设 （ ），有 ，即 ，所以
，C错误；
对于D， ，
所以线段 中点 的广义坐标为 ，D正确
故选：D
【典例2-2】（2024·吉林长春·模拟预测）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果
平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P作两
坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记 ，则在x轴正
方向和y轴正方向的夹角为 的斜坐标系中，下列选项错误的是（ ）
A．当 时 与 距离为
B．点 关于原点的对称点为
C．向量 与 平行的充要条件是
D．点 到直线 的距离为
【答案】D
【解析】设 轴正方向的单位向量为 ， 轴正方向的单位向量为 ，
对于A选项：由已知得 ，所以 .
由 及斜坐标的定义可知 ，
，故A选项正确；
对于B选项：根据“斜坐标系”的定义可知：点 ，则 ，设 关于原点的对称点为
，则 ，
由于 不共线，所以 ，
故B选项正确；
对于C选项： ，
若 是零向量，则 成立，同时 ，所以 成立，
此时 ；
若 是非零向量，则 存在非零常数 ，使
，所以 .
故C选项正确；
对于D选项：设直线 上的动点为 , ，
因为 ，所以 ，
设 ，则点 在直线 上，
所以直线 过点 ，
因为 ，则 ，
，
由于 ，所以 .
所以 ，所以 ，
所以点A到直线 的距离为 ，
故D选项错误.
故选：D【变式2-1】如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成 角的两条数轴， 分别是与x，y轴正方向
同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为 斜坐标系，若 ，则把有序数对 叫做向量
的斜坐标，记为 ．在 的斜坐标系中， ﹒则下列结论中，错
误的是（ ）
① ；② ；③ ；④ 在 上的投影为
A．②③ B．②④ C．③④ D．②③④
【答案】D
【解析】对于①. ，
所以 ，故①正确；对于②. ，故②错误；
对于③. ，故③错误；
对于④. 在 上的投影为 ，故④错误.
故选：D
【变式2-2】如图，设 ， 是平面内夹角为 的两条数轴， ， 分别是与 轴、 轴正方向
同向的单位向量.若向量 ，则有序数对 叫做点 在坐标系 中的坐标.在该坐标系下，
， ， 为不共线的三点，下列结论错误的是（ ）
A．线段 中点的坐标为 B． 重心的坐标为
C． ， 两点的距离为 D．若 ，则 ， ， 三点共线
【答案】C
【解析】根据题意， ， ， ，
对于A，设 的中点为 ，则 ，
故线段 中点的坐标为 ，故A正确．
对于B，设 重心为 ，则
，故 重心的坐标为 ，故B正确；
对于C， ，
所以
=
即该坐标系中 ， 两点间的距离为：
，故C错误；
对于D， ， ，
若 ，易得 ，则 、 、 三点共线，
若 ，变形可得 ，所以 ，
所以 ，所以 、 、 三点共线，
综合可得：若 ，则 ， ， 三点共线，故D正确．
故选：C．
题型三：向量新定义之新概念
【典例3-1】（多选题）（2024·山东潍坊·三模）定义平面向量的一种运算“ ”如下：对任意的两个向量
， ，令 ，下面说法一定正确的是（ ）
A．对任意的 ，有
B．存在唯一确定的向量 使得对于任意向量 ，都有 成立
C．若 与 垂直，则 与 共线
D．若 与 共线，则 与 的模相等
【答案】AD【解析】设向量 ， ，对于A，对任意的 ，有
，故A正确；
对于B，假设存在唯一确定的向量 使得对于任意向量 ，都有 成立，即
恒成立，即方程组
，对任意 恒成立，而此方程组无解，故B不正确；
对于C，若 与 垂直，则 ，设 ，则
，
，其中 ，故C不正确；
对于D，若 与 共线，则 ，设 ，
，
，所以 与 的模相等，故D正确.
故选：AD.
【典例3-2】（多选题）设 是平面直角坐标系中相异的四点，若 ，
，且 ，则称 调和分割 ，已知平面上的点C，D调和分割点A，
B，则下面说法正确的是（ ）
A．A、B、C、D四点共线
B．D可能是线段 的中点
C．C、D可能同时在线段 上
D．C、D不可能同时在线段 的延长线上
【答案】AD
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ 、 、 、 四点共线∵平面上的点C，D调和分割点A，B
A、B、C、D四点共线，故A正确；
∴由题意可设 、 、 、 ，则 ， .
∴ ，
∵
∴
对于B，若D是线段 的中点，则 ，代入到 ， 不存在，故B错误；
对于C，若C、D同时在线段 上，则 ， ，代入到 ，可得 ，此时C、D
重合，与题意不符，故C错误；
对于D，若C、D同时在线段 的延长线上，则 ， ，所以 ，与 矛盾，故C、
D不可能同时在线段 的延长线上，故D正确.
故选：AD.
【变式3-1】设 为平面内的任意两个向量，定义一种向量运算“ ”： 对于
同一平面内的向量 ，给出下列结论：
① ；② ；
③ ；④若 是单位向量，则 ．
以上所有正确结论的序号是 ．
【答案】①④
【解析】对于①，当 与 不共线时， ；
当 与 共线时， ，①正确.
对于②，当 与 共线时， ， ，
所以 与 不一定相等，②错误.
对于③，当 ， ， 共线时， ， ，
所以 与 不一定相等，③错误.
对于④，当 与 不共线时，记 ，则 ；当 与 共线时， ，④正确.
故答案为：①④
【变式3-2】（2024·河北邯郸·二模）对任意两个非零的平面向量 和 ，定义： ，
．若平面向量 满足 ，且 和 都在集合 中，则
（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【答案】D
【解析】因为 ，
设向量 和 的夹角为 ，因为 ，所以 ，
得到 ，
又 ，所以 ，
又 在集合 中，所以 ，即 ，得到 ，
又因为 ，所以 或 ，
所以 或 ，
故选：D.
【变式3-3】（多选题）（2024·高三·山东青岛·期末）已知对任意平面向量 ，把 绕其起点沿逆
时针方向旋转 角得到向量 ，叫做把点 绕点A沿逆时针方向旋转 角
得到点 .已知平面内点 ，点 ， ， ，点 绕点A沿逆时针方向旋
转 角得到点 ，则（ ）
A． B．
C． 的坐标为 D． 的坐标为【答案】ACD
【解析】由题意可知点 ，点 ，故 ，
因为 ，故 ，
又 ，即 ，故 ，
所以 ， ，故B错误，C正确；
因为点 绕点A沿逆时针方向旋转 角得到点 ，
所以 ，
则由 ,可得点 坐标为 ，故D正确；
故 ，则 ，A正确，
故选：ACD
题型四：向量新定义之新运算
【典例4-1】（多选题）在实数集 中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”．类似实
数排序的定义，我们定义“点序”，记为“ ”：已知 ， ， ，当且仅当“
”或“ 且 ”．定义两点的“ ”与“ ”运算： ，
．则下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ， ，则 且
C．若 ，则对任意的点T，都有
D．若 ，则对任意的点T，都有
【答案】AC
【解析】选项A：因为 ， ，所以 ，
故由定义可知 ，故A正确；
选项B：根据定义可知，当 时，有 ，
当 时，y与2024之间没有大小关系，故B错误；
选项C：设 ， ， ，则由 可得，“ ”或“ 且 ”，
由定义得 ， ，当 时， ，所以 ；
当 时，有 ，此时 ，且 ，所以 ，故C正确；
选项D：设 ， ，取 ，
则有 ， ，
显然 不成立，故D错误．
故选：AC
【典例4-2】定义空间两个向量的一种运算 ，则关于空间向量上述运算的以下结论中
恒成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．若 ， ，则
【答案】D
【解析】A． ，
时， ， ，
时， ，成立，
时， ，
，
综上，A不恒成立；
B． 是一个实数， 无意义，B不成立；
C．若 ， ，则 ，
， ，
，
，
，C错误；
D．若 ， ，则 ， ，，
，
所以 ，成立．
故选：D．
【变式4-1】设向量 ，向量 ，规定两向量m，n之间的一个运算“ ”的结果为向量
）， 若已知向量 ，且向量 与向量 共线又与向量
垂直，则向量 的坐标为（ ）
A．（ ） B．（ ）
C．（ ） D．（ ）
【答案】B
【解析】解析：设 ，依题意得：
由题意可得 ，解得
故
故选：B．
【变式4-2】设向量 与 的夹角为 ，定义 .已知向量 为单位向量， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 ，
解得 ，又 ，所以 ，
所以 .
故选：C
【变式4-3】设向量 与 的夹角为 ，定义 ，已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ， ，
得 ， ，
，
.
故选：A
【变式4-4】定义向量一种运算“ ”如下：对任意的 ， ，令 ，下面错
误的是（ ）
A．若 与 共线，则
B．
C．对任意的 ，有
D．
【答案】D
【解析】对于A，因为若 与 共线，则 ，
所以 ，故A正确；
对于B， ， ，
，
，故B正确；对于C，因为 ，故C正确；
对于D，因为 ， ，不相等，故D错误；
故选：D.
【变式4-5】对任意量给非零向量 ， ，定义新运算： ．已知非零向量 ， 满足
，且向量 ， 的夹角 ，若 和 都是整数，则 的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】B
【解析】由题意可得 ．因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ，即 ，
解得 ．因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，
则 ，得 ，故 ,
符合该条件的是3，
故选：B
题型五：向量新定义之新性质
【典例5-1】我们称 元有序实数组 为 维向量， 为该向量的范数.已
知 维向量 ，其中 ，记范数为奇数的 的个数为 ，则 ；
（用含 的式子表示， ）.
【答案】
【解析】当 时，范数为奇数，则 的个数为偶数，即 的个数为 、 ，根据乘法原理和加法原理得到 .
在 维向量 中，范数为奇数，则 的个数为奇数，
即 的个数为 、 、 、 、 ，
根据乘法原理和加法原理得到 ，
，
，
两式相减得到 .
故答案为： ； .
【典例5-2】对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 ．若平面向量 、 满足 ，
与 的夹角 ，且 和 都在集合 中，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先观察集合 ，从而分析 和 的范围如下：
因为 ，所以， ，而 ，且 ，可得 ，
又因为 ，所以， ，从而 ，
所以， ，
又因为 ，所以 ．且 也在集合 中，
故有 ，因此， .
故选：B.
【变式5-1】（2024·浙江绍兴·模拟预测）定义两个向量组 的运算
，设 为单位向量，向量组 分别为的一个排列，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【解析】当 且 时， ；
当 且 、 时，则 ，当且仅当 时等号成立；
同理 且 、 或 且 、 时， 的最小值也为 ；
当 时，则 ，
由 ，设 ，则 ，
所以 ，当 时等号成立.
综上， 的最小值为 ．
故答案为： .
【变式5-2】我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，都可以用二元有
序实数对 表示．平面向量又称为二维向量．一般地，n元有序实数组 称为n维向量，
它是二维向量的推广．类似二维向量，对于n维向量，也可定义两个向量的数量积、向量的长度（模）等：
设 ， ，则 ；
．已知向量 满足 ，向量 满足 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，其中 ，当 且 时，证明： ．
【解析】（1）依题， ， ，
则 ①
②
①－②，得
即
所以 .（2）因为 ， ，
所以 ，
先证： ， ，
设 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，即当 时， ，
即 ，
故 ， .
因为 ，
所以
，
.
综上可得，当 且 时， .
【变式5-3】设向量 ， ，当 ，且 时，则记作 ；当 ，且
时，则记作 ，有下面四个结论：
①若 ， ，则 ；
②若 且 ，则 ；
③若 ，则对于任意向量 ，都有 ；
④若 ，则对于任意向量 ，都有 ；
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①④【答案】C
【解析】对于①：若 ， ，则 ，所以 ，故①正确；
对于②：取 ，满足 ，
则 ，满足 ，但 ，故②错误；
对于③：若 ，则 ，且 ，
设 ，则 ，
可知 ，所以 ，故③正确；
对于④：取 ，可知 ，
但 ，即 ，故④错误；
故选：C.
题型六：复数新定义
【典例6-1】已知平面直角坐标系 中向量的旋转和复数有关，对于任意向量 ，对应复数
，向量 逆时针旋转一个角度 ，得到复数
，于是对应向量 ．这就是向量的旋转公式．已
知正三角形 的两个顶点坐标是 ，根据此公式，求得点 的坐标是 ．（任写一个即
可）
【答案】 （答案不唯一）
【解析】设点 的坐标为 ，点 ，则 ，
从而 对应的复数为 ，
若 由 逆时针旋转 得到， 对应的复数为 ，
因此 ，解得 ，
则 的坐标是 ；
若 由 逆时针旋转 得到， 对应的复数为 ，
因此 ，解得 ，
则点 的坐标是 ．故答案为： （或 ）
【典例6-2】（2024·浙江·模拟预测）已知平面直角坐标系xOy中向量的旋转和复数有关，对于任意向量
=(a，b)，对应复数z=a+ib，向量x逆时针旋转一个角度 ，得到复数
，于是对应向量
.这就是向量的旋转公式.根据此公式，已知正三角形ABC的两个顶点坐
标是A(1，2)，B(3，4)，则C的坐标是 .(任写一个即可)
【答案】 (答案不唯一)
【解析】不妨设 的坐标为 ，且 是 逆时针旋转 得到，
因为A(1，2)，B(3，4)，所以 ， ，
从而 对应的复数为 ，
对应的复数为 ，
所以 ，解得 ， ，
故C的坐标是 .
故答案为： .
【变式6-1】（多选题）（2024·河北沧州·一模）在复数城内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋
予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替
绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面x轴上
方的复数为正，在x轴下方的复数为负，在x轴上的复数即为实数大小．“大小”用符号+“长度”表示，
我们用 来表示复数的“大小”，例如： ， ， ， ， ，
则下列说法正确的是（ ）
A． 在复平面内表示一个圆
B．若 ，则方程 无解
C．若 为虚数，且 ，则
D．复平面内，复数 对应的点在直线 上，则 最小值为
【答案】BCD
【解析】根据已知条件 表示模长为 ，在复平面位于 轴上方的复数，
所以并不是一个圆，A错误；
若 ，则方程 为一个实数，所以 无解，B正确；
若 为虚数，且 ，设 ，则 ， ， ，所以 ，C正确；
复数 对应的点在直线 上，则 最小值为：
点 到直线 的距离，所以 最小值为： ，D 正确.
故选：BCD
【变式6-2】（多选题）（2024·全国·三模）一般地，对于复数 （i为虚数单位，a， ），在
平面直角坐标系中，设 ，经过点 的终边的对应角为 ，则根据三角函数的定义可知
， ，因此 ，我们称此种形式为复数的三角形式，r称为复数z的模，
称为复数z的辐角.为使所研究的问题有唯一的结果，我们规定，适合 的辐角 的值叫做辐角的
主值.已知复数z满足 ， ， 为z的实部， 为z的辐角的主值，则（ ）
A． 的最大值为
B． 的最小值为
C．
D．
【答案】ABD
【解析】因为 ， ， 复数 在复平面的对应的点为 ,
所以点Z在以 为圆心、以r为半径的圆上或圆内.
对于选项A，B，由复数的几何意义可得 表示点Z与 的距离，
又点 到点 的距离为 ，
所以 的最大值为 ，A正确，
的最小值为 ，B正确，
对于C，过点 作以 为圆心， 为半径的圆的切线，设切点为 ，
设 ，则 或 ，
所以 ，所以 ，所以C错误.
对于D，设 ，有 （其中 是z的辐角的主值），
由于 ，所以 ，所以D正确.故选：ABD.
【变式6-3】现定义“ 维形态复数 ”： ，其中 为虚数单位， ， .
(1)当 时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系；
(2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求 的值；
(3)若正整数 ， ，满足 ， ，证明：存在有理数 ，使得 .
【解析】（1）当 时, ,
则 , .
因为 ，
故“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系.
（2）因为“2维形态复数”与“3维形态复数”相等,
所以 ,
因此 ，
解 ，得 或 ,
解 ，得 或 ,
由于两个方程同时成立,故只能有 ,即 .
所以 .
（3）由 ，得 ,由(2)同理可得 ,
即 .
因为 ,所以 .因为 ,由(1)知 ,所以 .
由(2)同理可得 ,即 .
因为 ,所以 ,
所以 ,
又因为 ,所以 ,所以 ,
即 ，
所以存在有理数 ,使得 .
【变式6-4】若定义一种运算： .已知 为复数，且 .
(1)求复数 ；
(2)设 为实数，若 为纯虚数，求 的最大值.
【解析】（1）设复数 , ， 是虚数单位），则 ，
因为 ，
解得 ， ，
可得 ．
（2） ，
由题意可得 ，
当 时， 取最大值
1．（多选题）（2024·河南·模拟预测）设向量 ， ，当且仅当 ，且 时，则称 ；当且仅当 ，且 时，则称 ，则下列结论正确的有（ ）
A．若 且 ，则
B．若 ， ，则
C．若 ，则对于任意向量 ，都有
D．若 ，则对于任意向量 ，都有
【答案】BC
【解析】对于A，取 ， ，满足 ，取 ， ，则 ，
，满足 ，但 ，A错误；
对于B，因为 ， ，根据新定义可知， ，B正确；
对于C，设向量 ， ， ，由 ，得 ，且 ，则 ，
且 ，所以 ，C正确；
对于D，根据 ，取向量 ， ， ，则 ， ， ，D
错误.
故选：BC.
2．（多选题）（2024·江苏盐城·一模）定义平面斜坐标系 ，记 ， ， 分别为x轴、y轴正
方向上的单位向量，若平面上任意一点P的坐标满足： ，则记向量 的坐标为 ，给出
下列四个命题，正确的选项是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ，以O为圆心、半径为1的圆的斜坐标方程为
【答案】AD
【解析】对于A， ， ，则 ，
，A正确；
对于B， ， ，则 ，
，显然 ，则 ，B错误；
对于C， ， ，由选项A同理得 ，即 ， ，
，C错误；
对于D，设以O为圆心、半径为1的圆上任意一点为 ，
由 ，得 ，于是 ，
由 ，得 ，即 ，D正确.
故选：AD
3．（多选题）（2024·山西临汾·二模）设 ， 是平面内相交成 角的两条数轴， 分别是与 轴、
轴正方向同向的单位向量.若 ，则把有序实数对 叫做向量 在斜坐标系Oxy中的坐标，
记作 .则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则A，B，C三点共线
C．若 ，则
D．若 ，则四边形OACB的面积为
【答案】ABD
【解析】对于A，由题意得 ，
故 ，
故 .正确；
对于B，由题意得 ，所以 ，所以A，B，C三点共线.正确；
对于C，由题意得 ，
所以 ，
故 与 不垂直，错误；
对于D，因为 ，所以 ，
所以 ， ，
，，所以 ，
即 ，所以 ，在 中，由余弦定理知，
，所以 ，
所以 ，
所以四边形OACB的面积为 .正确.
故选：ABD
4．（多选题）（2024·湖北·二模）定义空间两个非零向量的一种运算： ，则关于空
间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．
【答案】BD
【解析】对于A， ， ，
若 不共线,且 为负数，则 ，而 ，
此时 ，故A错误；
对于B，由定义知 ， ，故B正确；
对于C，若 ，则 ， 共线，故C错误；
对于D，由定义知 ，又 ，
故 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确．
故选：BD
5．（多选题）定义： ， 两个向量的叉乘 ，则以下说法正确的是（ ）A．若 ，则
B．
C．若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于
D．若 ， ，则 的最小值为
【答案】AC
【解析】对于A， ，
若 ， 至少有一个为零向量，则满足 ；
若 ， 均不为零向量，则 ，即 ， 同向或反向，即 ，故A正确，
对于B， ，
，
若 ，则 ，此时 ；
若 ， ，此时 ，故B错误；
对于C，若四边形 为平行四边形，
则它的面积等于 ，即 ，故C正确；
对于D， ，
，两式平方后相加得 ，即 ，
又 ，
当且仅当 时等号成立，
故 的最小值为 ，故D错误，
故选：AC
6．（多选题）在平面直角坐标系 内，设两个向量 ， ，定义运算：
，下列说法正确的是（ ）
A． 是 的充要条件 B．
C． D．若点 ， ， 不共线，则 的面积
【答案】ACD【解析】
，而 ，故 对；
， ，故 错；
设 ，则
，故 对；
对于选项 ：如图 是边 上的高，设 ， ， 是与 垂直的单位向量，
则 ， ，
即 ， ，
设 ， ，则 ，所以 对.
故选： .
7．（多选题）（多选）在三维空间中， 叫做向量 与 的外积，它是一个向量，且满足下列两个条件：
① ， ，且 ， ， 三个向量构成右手系（如图所示）；② .在
正方体 中，已知其表面积为S，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D． 与 共线
【答案】ACD
【解析】设正方体的棱长为a，如图.
对于A，连接 ，因为 为等边三角形，故 ，连接 ，因为 ， ， 为等边三角形，
所以 ，故A正确；
对于B，根据定义， ， ，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D，因为 ，而 平面 ，所以
，则 平面 ，又 平面 ，所以 ，
又 ， ， ，所以 平面 ，
所以 ，结合外积的定义可知 与 共线，故D正确.
故选：ACD.
8．（多选题）如图所示设 ， 是平面内相交成 角的两条数轴， ， 分别是与x，y轴正方
向同向的单位向量，则称平面坐标系 为 反射坐标系，若 ，则把有序数对 叫做向
量 的反射坐标，记为 ．在 的反射坐标系中， ， ．则下列结论中，
错误的是（ ）
A． B．
C． D． 在 上的投影向量为
【答案】AB
【解析】由题意 ，，A正确；
， ，B正确；
，C错误；
， ，
在 上的投影向量为 ，D错；
故选：AB．
9．（多选题）对任意两个非零向量 ，定义新运算： .已知非零向量 满足
且向量 的夹角 ，若 和 都是整数，则 的值可能是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】BC
【解析】由题意可得 ，因为 所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，故 ，
因为 ，所以 ，因为0 ，
所以 ，所以 ，所以 ，则
即 .
故选：BC.
10．如图，在平面斜坐标系 中， ，平面上任意一点 关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中 分别是 轴， 轴正方向的单位向量），则 点的斜坐标为 ，且向量 的
斜坐标为 .给出以下结论，其中所有正确的结论的序号是
①若 ， ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若 ，则
【答案】①②③
【解析】对于①：∵ ， ，即 ，
∴
，故①正确；
对于②：∵ ， ，即 ， ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
对于③：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
对于④：
，故④错误.
故答案为：①②③
11．（2024·河南·模拟预测）向量 的夹角为 ，定义运算“ ”: ，若 ，
，则 的值为 .
【答案】
【解析】由 ， ，得 ，， ，
则 ，所以 .
故答案为：
12．我们把由平面内夹角成 的两条数轴 ， 构成的坐标系，称为“@未来坐标系”，如图所示，
分别为 正方向上的单位向量，若向量 ，则把实数对 叫做向量 的“@未
来坐标”，记 ，已知 ， 分别为向量 ， 的“@未来坐标”，若向量 ， 的
“@未来坐标”分别为 ， ，则向量 ， 的夹角的余弦值为 .
【答案】
【解析】依题意 ， ， ，
所以 ，
，
，
所以 ，即向量 ， 的夹角的余弦值为 .
故答案为：
13．已知对任意平面向量 ，把B绕其起点沿逆时针方向旋转 得到向量
叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转 得到点P.已知平面内点 ，
点 ，把点B绕点A沿逆时针 后得到点P，向量 为向量 在向量 上的投影向量，则
.【答案】 /
【解析】因为 ， ，所以 ，
，
所以P点坐标为 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
14．定义平面非零向量之间的一种运算“ ”，记 （其中 是非零向量 ， 的夹角）．
若 ， 均为单位向量，且 ，则 ．
【答案】
【解析】 ，且 ， ，又 ，则 ；
，
故答案为：
15．定义 是向量 和 的“向量积”，其长度为 ，其中 为向量 和 的夹角．
若 ， ，则 = ．
【答案】
【解析】 ， , ,进而 ,,所以
由“向量积”的定义可知:
故答案为:
16．已知对任意平面向量 ，把 绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量
，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转 角得到点P.已知平面内点
， ，把点B绕点A沿顺时针方向旋转 后得到点P，则点P的坐标为
.
【答案】 .
【解析】由题意得 ，把点B绕点A沿顺时针方向旋转 （即按逆时针方向旋转 ）后得到点
P，
则 ，又 ，设 ，
则 ，解得 ， ，即点 的坐标为 .
故答案为： .
17．（多选题）在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，
我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复
数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面 轴上方的复数为正，在 轴下方的复
数为负，在 轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用 来表示复数的“大小”，
例如： ，则下列说法正确的是（ ）
A． 在复平面内表示一个圆
B．若 ，则方程 无解
C．若 为虚数，且 ，则
D．复数 满足 ，则 的取值范围为【答案】BCD
【解析】A：根据已知条件 表示模长为1，在复平面位于 轴上方的复数，所以并不是一个圆，故A
错误；
B：若 ，则方程 为一个实数，所以 无解，故B正确；
C：若 为虚数，且 ，设 ，则 ，
所以 ，所以 ，故C正确；
D：设 ，
根据复数的新定义有 ，
所以 ，且 ，
所以 ，
所以 是 ，
所以 ，故D正确；
故选：BCD.
18．（多选题）（2024·山西·模拟预测）数系的扩充是数学发展的一个重要内容，1843年，数学家哈密顿
发现了四元数．四元数的产生是建立在复数的基础上的，和复数相似，四元数是实数加上三个虚数单位 ，
和 ，而且它们有如下关系： ．四元
数一般可表示为 ，其中 为实数．定义两个四元数：
，那么这两个四元数之间的乘法定义如下：
．
关于四元数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若 ，且 ，则
【答案】AD
【解析】对于A：因为 ，所以 ，故A正确；
对于B：设 ，由两个四元数之间的乘法定义得，，故B错误；
对于C：设 ，
则
当 ，有 ，
所以 与 不一定相等，故C错误；
对于D：设 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，故D正确，
故选：AD．
19．（多选题）（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）定义复数的大小关系：已知复数 ， ，
， ， ， ．若 或（ 且 ）,称 ．若 且 ,称 ．共余情形
均为 ．复数u，v，w分别满足： ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】设复数 ，若 ，因为 ，则 无解，
所以 ，将 代入 ，可得，
，即 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
又因为 ，
设 ，所以 ，
所以 ，所以复数 对应的点在以 为圆心， 为半径的圆上，
所以 ，从而 最大，故B错误；
若 ， ，则 ，
所以当 ， 或 ，
时 ，则 ，C正确；
若 ，此时 ，则 ，A正确；
若 ，此时 ，则 ，D正确；
故选：ACD.
20．对于任意的复数 ，定义运算 ．
(1)集合 ， ， ， 均为整数 ，试用列举法写出集合 ；
(2)若 ， 为纯虚数，求 的最小值；
(3)直线 上是否存在整点 （坐标 ， 均为整数的点），使复数 经运算 后，
对应的点也在直线 上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意得 ，且 ， ，
所以 ，或 ，或 ，或 ，或 ，
所以 ，或 ，或 ，或 ，或 ，
所以 ，或 ，
或 ，或 ，或 ，
所以 ；
（2）若 ，则
若 为纯虚数，则 ，所以 ，得 ，
所以 ，
所以当 或 时， ．
（3） 对应点坐标为 ，由题意 ，得
所以 ，而 ，
①当 ， 时，得 不成立；
②当 ， 时，得 ，所以 成立，
此时 或 ，
故满足条件的整点为 和 ．
21．（2024·河南郑州·三模）复数除了代数形式 之外，还有两种形式，分别是三角形式和指数形式，
著名的欧拉公式 体现了两种形式之间的联系．利用复数的三角形式进行乘法运算，我们可
以定义旋转变换．根据 ，我们定义：在
直角坐标系内，将任一点绕原点逆时针方向旋转 的变换称为旋转角是 的旋转变换．设点 经过旋
转角是 的旋转变换下得到的点为 ，且旋转变换的表达式为 曲线的旋转变换也
如此，比如将“对勾”函数 图象上每一点绕原点逆时针旋转 后就得到双曲线：
．
(1)求点 在旋转角是 的旋转变化下得到的点的坐标；
(2)求曲线 在旋转角是 的旋转变化下所得到的曲线方程；
(3)等边 中， 在曲线 上，求 的面积．
【解析】（1）由题可设所求点的坐标为 ，由
得所求点的坐标为 ．
（2）设曲线 上任意一点 在旋转角是 的旋转变换下所得点坐标为 ．则 即
得 ，
所求曲线方程为 ．
（3）由题点 在旋转角是 的旋转变换下所得的点为 ．
设 在旋转角是 的旋转变换下所得的点分别为 和 ．
设曲线 在旋转角是 的旋转变换下所得曲线为 ，
则 方程为 ．
则 是曲线 的下顶点．
由题， 为等边三角形， 的面积即为 的面积．
设 的边长为 ，由双曲线的对称性：
当 和 同在曲线 的下支时，则 ，
代入 的方程得 无解．
当 和 同在曲线 的上支时，则 ，
代入 的方程得 的面积为 ．
综上所述， 的面积为 ．
22．（2024·河南·模拟预测）从数据组 中取出 个不同的数构成一个新数据组
： ．若 ， ， ，使得 ， ，则称数
据组 为数据组 的一个k维基本数据库.
(1)判断数据组 ： 是否为数据组 ： 的一个2维基本数据库；
(2)判断数据组 ： 是否为数据组 ： 的一个3维基本数据库.
(3)若数据组 是数据组 的一个k维基本数据库，求证： .
【解析】（1）因为 ，
所以数据组 ： 是数据组 ： 的一个2维基本数据库；（2）因为等式 ，
，对于 均不可能成立，
所以数据组 ： 不是数据组 ： 的一个3维基本数据库；
（3）不妨设 ，则形如 的正整数共有k个；
形如 的正整数共有k个；
形如 的正整数至多有 个；
形如 的正整数至多有 个；
又数据组 含n个不同的正整数，数据组 是数据组 的一个k维基本数据库，
故 ，化简得 .
23．（2024·全国·模拟预测）设有 维向量 ， ，称 为向量 和
的内积，当 ，称向量 和 正交．设 为全体由 和1构成的 元数组对应的向量的集合．
(1)若 ，写出一个向量 ，使得 ．
(2)令 ．若 ，证明： 为偶数．
(3)若 ， 是从 中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足 ，猜测 的值，
并给出一个实例．
【解析】（1）由定义，只需满足 ，不妨取 （答案不唯一）．
（2）对于 ， ，2， ， ，存在 ， ， ， ，使得 ．
当 时， ；当 时， ．令 ， ．所以 ．
所以 为偶数．
（3）当 时，可猜测互相正交的4维向量最多有4个，即 ．
不妨取 ， ， ， ，
则有 ， ， ， ， ， ．
若存在 ，使 ，则 或 或 ．
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
故找不到第5个向量与已知的4个向量互相正交．
