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第 01 讲 平面向量的概念、线性运算及坐标表示
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·江苏·统考模拟预测）在 中， ，点P在CD上，且 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，
又P，C，D三点共线，所以 ，得 .
故选：D.
2．（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）已知向量 ， ，且 ，则
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】 ，两边平方得 ，
展开整理得 .
,解得 .
故选：C
3．（2023·福建南平·统考模拟预测）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足 ，则
（ ）A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】
如图， ，所以M是AC的中点， ；
故选：C.
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，解得 ．
故选：D
5．（2023·江苏盐城·统考三模）已知 是平面四边形，设 ： ， ： 是梯形，则 是
的条件（ ）
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】在四边形 中，
若 ，
则 ，且 ，
即四边形 为梯形，充分性成立；
若当 ， 为上底和下底时，
满足四边形 为梯形，
但 不一定成立，即必要性不成立；
故 是 的充分不必要条件.
故选：A
6．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）在 中，记 ， ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】因为在 中，若 ，所以点 为 中点，所以 .
故选：D
7．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）在 中， 是 中线 的中点，过点 的直
线 交边 于点M，交边 于点N，且 ， ，则 （ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【解析】因为 三点共线，所以 ，且 ，
因为 是 的中点，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，则 ，得 .
故选：D
8．（2023·四川·校联考模拟预测）已知向量 ， ，则下列命题不正确的是
（ ）
A． B．若 ，则
C．存在唯一的 使得 D． 的最大值为
【答案】D
【解析】由向量 ， ，
对于A中，由 ，所以A正确；
对于B中，若 ，可得 且 ，可得 ，所以B正确；
对于C中，若 ，可得 ，整理得 ，
所以 ，可得 ，因为 ，可得 ，所以C正确；对于D中，由 ，
因为 ，所以 ，可得 ，
所以 的最大值为 ，即 的最大值为 ，所以D错误.
故选：D.
9．（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知向量 ， ，则正确的是
（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 与 的夹角为钝角，则 D．若向量是 与 同向的单位向量，则
【答案】ABD
【解析】对于A，若 ，则 ，所以 ，故A正确；
对于B，若 ，则 ，所以 ，故B正确；
对于C，若 与 的夹角为钝角，则 ，且 与 不共线，
即 ，解得 ，且 ，故C不正确；
对于D，若向量是 与 同向的单位向量，则 ，故D正确.
故选：ABD.
10．（多选题）（2023·湖南·模拟预测）给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．若线段 ，则向量
B．若向量 ，则线段
C．若向量 与 共线，则线段
D．若向量 与 反向共线，则
【答案】AD
【解析】选项A：由 得点B在线段 上，则 ，A正确：
选项B；三角形 ， ，但 ，B错误；
对于C： ， 反向共线时， ，故 ，C错误；
选项D： , 反向共线时， ，故D正确．故选：AD．
11．（多选题）（2023·江苏苏州·模拟预测）在 中，记 ， ，点 在直线 上，且
.若 ，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】BC
【解析】当 点在线段 上时，如图，
，
所以 ，
当 点在线段 的延长线上时，如图，
，
则 ，
故选：BC.
12．（多选题）（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）已知 ， ， 是同一条直线上三个不同
的点， 为直线外一点．在正项等比数列 中，已知 ，且 ，则 的公比 的
值可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】∵ ， ， 是同一条直线上三个不同的点，且 ，
∴ ．
∵ 为正项等比数列，所以公比 ．
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，即 ，
解得 （舍）或 ，∴
对于A， ，故选项A不正确；
对于B， ，故选项B不正确；
对于C， ，故选项C正确；
对于D， ，故选项D正确.
故选：CD.
13．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第一中学校考三模）设 ， 是两个不共线的向量，若向量 与
的方向相反，则 __________.
【答案】
【解析】由题意可知 与 共线，
所以存在实数 使 ，
因为 ， 不共线，所以 ，解得 或 ，
因为向量 与 的方向相反，即 .
故答案为： .
14．（2023·安徽·校联考模拟预测）给出下列命题：
①若 同向，则有 ；
② 与 表示的意义相同；
③若 不共线，则有 ；④ 恒成立；
⑤对任意两个向量 ，总有 ；
⑥若三向量 满足 ，则此三向量围成一个三角形．
其中正确的命题是__________ 填序号
【答案】①⑤
【解析】对于①，若 同向，则 与 同向，所以 ，故 正确；
对于②， 与 前者表示向量，后者表示向量模的和，表示的意义不相同，故②不正确；
对于③，若 不共线，则有 ，故③不正确；
对于④，若 ，则 ，故④不正确；
对于⑤，对任意两个向量 ，总有 ，故⑤正确；
对于⑥，若三向量 满足 ，若 中有零向量，则此三向量不能围成一个三角形，故⑥不
正确．
故答案为：①⑤．
15．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）在 中， ， ， 的平分线交
BC于点D，若 ，则 ______．
【答案】 /
【解析】在 中， ， ，则 ，又 平分 ，即有
，
因此 ，即有 ， ，整理得 ，
而 ，且 不共线，于是 ，
所以 .故答案为：
16．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知向量 ，若 ，则
___________.
【答案】
【解析】由 可得： ，
又因为 ，由 可得： ，
解得： .
故答案为： .
17．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）在 中，已知 ， 与
相交于 ，若 ，则 ______．
【答案】 /
【解析】因为 ， ，所以 ， ，
因为 ，所以
又 与 交于点O，所以 ，
另一方面，设 ，因为 ，
所以 ，则 ，代入 中，
可解得 ，则 .
故答案为： .
18．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）在直角坐标平面内，横，纵坐标均为整数的点称为整点，
点P从原点出发，在直角坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处.则点P到达点
所跳跃次数的最小值是__________.【答案】10
【解析】每次跳跃的路径对应的向量为
，
因为求跳跃次数的最小值，则只取 ，
设对应的跳跃次数分别为 ，其中 ，
可得
则 ，两式相加可得 ，
因为 ，则 或 ，
当 时，则次数为 ；
当 ，则次数为 ；
综上所述：次数最小值为10.
故答案为：10.
1．（2023•北京）已知向量 ， 满足 ， ，则
A． B． C．0 D．1
【答案】
【解析】 ， ，
， ，
．
故选： ．
2．（2022•全国）已知向量 ， ．若 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 ， ， ．
，
， ．
故选： ．3．（2022•乙卷）已知向量 ， ，则
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】
【解析】 ，
故 ，
故选： ．
4．（2022•新高考Ⅰ）在 中，点 在边 上， ．记 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图，
，
，即 ．
故选： ．
5．（2020•全国）设点 ， ， 在 上，若 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设 ，
，
，即 ，
，解得 ，
，同理可得， ， ，
△ 是等边三角形，
．
故选： ．6．（2020•海南）在 中， 是 边上的中点，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】在 中， 是 边上的中点，
则
．
故选： ．
7．（2019•新课标Ⅱ）已知向量 ， ，则
A． B．2 C． D．50
【答案】
【解析】 ， ，
， ， ， ，
．
故选： ．
8．（2023•上海）已知向量 ， ，则 ．
【答案】
【解析】因为向量 ， ，
所以 ， ， ．
故答案为： ．
9．（2021•乙卷）已知向量 ， ，若 ，则 ．
【答案】
【解析】因为 ， ， ，
所以 ，解得 ．故答案为： ．
